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  • 2021-06-11 发布

2020年高中数学第一章y=Asin(ωx+ψ)第2课时函数y=Asin(ωx+φ)的性质优化练习

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第2课时 函数y=Asin(ωx+φ)的性质 ‎[课时作业] ‎ ‎[A组 基础巩固]‎ ‎1.若函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图,则ω=(  )‎ A.5          B.4‎ C.3 D.2‎ 解析:由图象可知,=x0+-x0=,即T==,故ω=4.‎ 答案:B ‎2.已知函数y=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则点P(ω,φ)的坐标为(  )‎ A. B. C. D. 解析:因为=-=,所以T=π,因此ω===2.又因为f=-1,即2×π+φ=+2kπ(k∈Z),所以φ=+2kπ(k∈Z).又因为0<φ≤,所以φ=,故P.‎ 答案:B ‎3.已知a是实数,则函数f(x)=1+asin ax的图象不可能是(  )‎ 解析:当a=0时,f(x)=1,C符合.‎ 当0<|a|<1时,T>2π,且最小值为正数,A符合;‎ 7‎ 当|a|>1时,T<2π,B符合,故选D.‎ 答案:D ‎4.函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期内,当x=时,取得最大值2,当x=π时,取得最小值-2,那么函数的解析式为(  )‎ A.y=2sin B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin 解析:由题意知A=2,T=2=π,‎ 所以ω==2,又f=2,‎ 所以2×+φ=+2kπ(k∈Z),‎ 所以φ=+2kπ(k∈Z),‎ 又|φ|<,所以φ=,‎ 所以y=2sin .‎ 答案:B ‎5.设ω>0,函数y=sin+2的图象向右平移个单位后与原图象重合,则ω的最小值是(  )‎ A. B. C. D.3‎ 解析:y=sin+2向右平移个单位后得到y1=sin+2=sin+2,又y与y1的图象重合,则-ω=2kπ(k∈Z).‎ ‎∴ω=-k.又ω>0,k∈Z,∴当k=-1时,ω取最小值为,故选C.‎ 答案:C ‎6.已知函数y=3sin ,则该函数的最小正周期、振幅、初相分别是________,________,________.‎ 7‎ 解析:由函数y=3sin 的解析式知,振幅为3,最小正周期为T==10π,初相为.‎ 答案:10π 3  ‎7.函数y=sin 的图象的一条对称轴方程是________.‎ 解析:由2x+=kπ+(k∈Z),得 x=+(k∈Z),‎ 令k=0,得x=.‎ 答案:x=(答案不唯一)‎ ‎8.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f(0)的值是________.‎ 解析:由题图可知:A=,=-=,所以T=2kπ+π,∴φ=2kπ+,令k=0,ω==2,又函数图象经过点,所以2×+φ=π,则φ=,故函数的解析式为f(x)=sin,所以f(0)=sin=.‎ 答案: ‎9.已知函数y=2cos(2x+),用“五点法”画出其一个周期内的简图.‎ 解析:(1)列表:‎ x ‎- ‎2x+ ‎0‎ π ‎2π y ‎2‎ ‎0‎ ‎-2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎(2)描点.(3)连线.‎ 7‎ ‎10.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图:‎ ‎(1)求其解析式;‎ ‎(2)写出函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)‎ 在[0,π]上的单调递减区间.‎ 解析: (1)由图象知,A=2,T=-=π,‎ 所以ω=2,又过点,‎ 令-×2+φ=0,得φ=,‎ 所以y=2sin .‎ ‎(2)由2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z)可得 kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),‎ 当k=0时,≤x≤,‎ 故函数在[0,π]上的单调递减区间为.‎ ‎[B组 能力提升]‎ ‎1.如果函数y=sin 2x+acos 2x的图象关于直线x=-对称,则a=(  )‎ A. B.- C.1 D.-1‎ 解析:因为函数y=sin 2x+acos 2x的图象关于x=-对称,‎ 设f(x)=sin 2x+acos 2x,则f=f(0),‎ 所以sin +acos =sin 0+acos 0,‎ 所以a=-1.‎ 答案:D ‎2.为了使函数y=sin ωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值,则ω 7‎ 的最小值是(  )‎ A.98π B.π C.π D.100π 解析:由题意至少出现50次最大值,即至少需有49个周期,所以49·T=·≤1,所以ω≥π.‎ 答案:B ‎3.若对任意的实数a,函数f(x)=sin -(k>0),x∈的图象与直线y=-有且仅有两个不同的交点,则实数k的值为________.‎ 解析:由函数f(x)的图象在x∈时与直线y=-有且仅有两个不同的交点,故的区间长度是函数f(x)的最小正周期,即T=,所以k==4.‎ 答案:4‎ ‎4.关于f(x)=4sin(x∈R),有下列命题:‎ ‎①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2是π的整数倍;‎ ‎②y=f(x)的表达式可改写成y=4cos;‎ ‎③y=f(x)图象关于点对称;‎ ‎④y=f(x)图象关于直线x=-对称.‎ 其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上).‎ 解析:对于①,由f(x)=0,可得2x+=kπ(k∈Z).∴x=π-(k∈Z),∴x1-x2是的整数倍,‎ ‎∴①错误;对于②,由f(x)=4sin可得f(x)=4cos=4cos.∴②正确;对于③,f(x)=4sin的对称中心满足2x+=kπ(k∈Z),∴x=π-(k∈Z),‎ ‎∴是函数y=f(x)的一个对称中心.∴③正确;‎ 7‎ 对于④,函数y=f(x)的对称轴满足2x+=+kπ(k∈Z),∴x=+(k∈Z).∴④错误.‎ 答案:②③‎ ‎5.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)‎ 的部分图象如图所示.‎ ‎(1)求函数y=f(x)的解析式;‎ ‎(2)求函数y=f(x)的单调增区间;‎ ‎(3)求方程f(x)=0的解集.‎ 解析:(1)由题干图知,A=1.‎ 因为周期T=4=π,所以ω==2.‎ 所以f(x)=sin(2x+φ).‎ 又因为f=-1,所以sin =-1,‎ 所以+φ=2kπ+(k∈Z).‎ 所以φ=2kπ+,k∈Z.因为|φ|<,所以φ=,‎ 所以f(x)=sin .‎ ‎(2)-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z.‎ 所以-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.‎ 所以函数y=f(x)的单调增区间为:‎ ,k∈Z.‎ ‎(3)因为f(x)=0,所以2x+=kπ,k∈Z.‎ 所以x=-+kπ(k∈Z),所以方程f(x)=0的解集为.‎ ‎6.已知函数的解析式f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为,且图象上一个最低点为M.‎ 7‎ ‎(1)求f(x)的解析式;‎ ‎(2)当x∈,求f(x)的值域.‎ 解析:(1)由最低点为M得A=2.由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=,即T=π,∴ω==2,由点M在图象上,得2sin =-2,即sin =-1,故+φ=2kπ+,k∈Z,∴φ=2kπ+.又φ∈,∴φ=,故f(x)=2sin .‎ ‎(2)∵x∈,∴2x+∈,当2x+=,即x=时,f(x)取得最大值2;当2x+=,即x=时,f(x)取得最小值-1,故f(x)的值域为[-1,2].‎ 7‎