专题11+三角函数的图像与性质中的易错点-名师揭秘2019年高考数学（文）命题热点全覆盖（教师版） 14页

专题11 三角函数的图像与性质中的易错点 一．学习目标 ‎1．理解三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调性与周期性、对称性．‎ ‎2．会判断简单三角函数的奇偶性，会求简单三角函数的定义域、值域、最值、单调区间及周期．‎ ‎3．理解三角函数的对称性，并能应用它们解决一些问题．‎ 二．方法总结 ‎1.三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致：‎ ‎(1)首先看定义域是否关于原点对称； ‎ ‎(2)在满足(1)后，再看f(－x)与f(x)的关系.‎ 另外三角函数中的奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式.‎ ‎2.三角函数的单调性 ‎(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的确定，其基本思想是把ωx＋φ看作一个整体，比如：由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为增区间.‎ 若函数y＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＜0，可用诱导公式将函数变为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间.‎ 对函数y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)等单调性的讨论同上.‎ ‎(2)三角函数单调性的应用主要有比较三角函数值的大小，而比较三角函数值大小的一般步骤：①先判断正负；②利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数；③再利用单调性比较.‎ ‎3.求三角函数的最值常见类型：‎ ‎(1)y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝Atan(ωx＋φ)＋B，‎ ‎(2)y＝A(sin x－a)2＋B，‎ ‎(3)y＝a(sin x±cos x)＋bsin xcos x(其中A，B，a，b∈R，A≠0，a≠0).‎ 三．函数图象与性质需要掌握的题型 ‎（一）三角函数图象平移 ‎（二）三角函数的零点 ‎（三）函数的单调性 ‎（四）函数的解析式 ‎（五）三角函数图象综合 ‎（六）三角函数的奇偶性 ‎（七）三角函数的对称性 ‎（八）三角函数的最值 ‎（九）三角函数与数列的综合 ‎（十）三角函数的周期性 四．典例分析 ‎（一）三角函数图象平移 例1．为了得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（ ）‎ A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 ‎【答案】B ‎【点睛】本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.‎ 练习1．为了得到的图像，只需把函数的图像（ ）‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】逆用两角和的余弦公式，得=，再分析两个函数图象的变换.‎ ‎【详解】因为，要得到函数，只需将的图象向右平移个单位长度即可．故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的图象与变换，考查了两角和的余弦公式的应用；解决三角函数图象的变换问题，首先要把变换前后的两个函数化为同名函数.‎ ‎（二）三角函数的零点 例2．函数的零点个数为 A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过函数为0，转化为两个函数的图象交点个数问题.‎ ‎【详解】由已知 ‎，‎ 令，即，‎ 在同一坐标系中画出函数和的图象，‎ 如图所示，两个函数图象有两个不同的交点，所以函数的零点个数为2个，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中根据三角函数的恒等变换，把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点问题，在同一坐标系中作出两个函数的图象是解答的关键，着重考查了转化思想和数形结合思想的应用.‎ 练习1．设函数为定义域为的奇函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为 A．10 B．8 C．16 D．20‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】根据函数是定义在R上的奇函数得函数图像关于原点对称，又由可得函数 图像关于直线对称，故而得出函数是以4为周期的周期函数，然后利用数形结合便可得解。‎ ‎【详解】因为函数为定义域为的奇函数，‎ 所以，‎ 又因为，‎ 所以，可得，‎ 即函数是周期为4的周期函数，且 图像关于直线对称。‎ 故在区间上的零点，即方程的根，‎ 分别画出与的函数图像，‎ 因为两个函数图像都关于直线对称，因此方程的零点关于直线对称，‎ 由图像可知交点个数为8个，分别设交点的横坐标从左至右依次为，‎ 则，‎ 所以所有零点和为8,故选B。‎ 练习2．设，则函数 A．有极值 B．有零点 C．是奇函数 D．是增函数 ‎【答案】D ‎【解析】由x＜0，求得导数判断符号，可得单调性；再由三次函数的单调性，可得x≥0的单调性，即可判断正确结论．‎ ‎【详解】由x＜0，f（x）=x﹣sinx，导数为f′（x）=1﹣cosx，‎ 且f′（x）≥0，f（x）递增，f（x）＞0；‎ 又x≥0，f（x）=x3+1递增，‎ 且f（0）=1＞0﹣sin0，‎ 故f（x）在R上递增；‎ f（x）无极值和无零点，且不为奇函数.‎ 故答案为：D 练习3．已知，若函数在上有两个不同零点，则_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】通过两角和的正弦公式得到函数的解析式，再通过换元结合正弦函数的图像得到两根之和，进而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 已知=，令，‎ 函数在上有两个不同零点,‎ 即函数和y=m两个图像有两个不同的交点，‎ 做出函数y=sint，和y=m的图像,‎ 通过观察得到 ‎ 进而得到= ‎ 故答案为：. ‎ ‎（五）三角函数图象综合 例5．函数在[－π，π]上的图象大致为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题易得函数f(x)是奇函数，所以其图象关于原点对称，排除选项B、C，当 时，f(x)>0，排除选项A.故选D.‎ 练习1．函数的图像大致是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】因为函数y=f(x)= 可化简为f(x)= 可知函数为奇函数关于原点对称，可排除答案C；‎ 同时有y′=f′(x)= =‎ 故函数在x∈(0, )时f′(x)>0,则x∈(0, )上单调递增，排除答案B和D，‎ 故选：A.‎ 点睛：识图常用的方法 ‎(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；‎ ‎(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；‎ ‎(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．‎ 练习2．函数在上的图像大致为（ ）‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：因为函数的定义域为，关于原点对称，且，所以函数的图像关于原点对称，排除A、B选项，在同一直角坐标系中，作出函数， 在的图像，由图可知故在时，靠近轴的部分满足，比较选项C、D可得答案C正确.‎ ‎（六）三角函数的奇偶性 例6．已知函数f(x)＝sin(2x＋α)在x＝时有极大值，且f(x－β)为奇函数，则α，β的一组可能值依次为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】依题意得2×＋α＝2k1π＋，即α＝2k1π＋，k1∈Z，A，B均不正确．由f(x－β)是奇函数得f(－x－β)＝－f(x－β)，即f(－x－β)＋f(x－β)＝0，函数f(x)的图象关于点(－β，0)对称，f(－β)＝0，sin(－2β＋α)＝0，sin(2β－α)＝0,2β－α＝k2π，k2∈Z，结合选项C，D取α＝得β＝＋，k2∈Z，故选D.‎ 练习1．设函数的最小正周期为，且 ‎，则（ ） ‎ A．在单调递减 B．在单调递减 C．在单调递增 D．在单调递增 ‎【答案】A 考点：函数的解析式，函数的奇偶性，单调性．‎ ‎（七）三角函数的对称性 例7．函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω≠0)对任意x都有，则等于(　　)‎ A．2或0 B．－2或2 C．0 D．－2或0‎ ‎【答案】B ‎【解析】由f＝f得x＝是函数f(x)的一条对称轴，所以f＝±2，故选B.‎ 练习1．已知函数对任意都有则等于（ ）‎ A． B． C．或 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为函数对任意都有 所以关于直线对称.‎ 则为的最大值或最小值，即或.‎ 故选C.‎ ‎（八）三角函数的最值 例8．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是(　　)‎ A．f(2)＜f(－2)＜f(0) B．f(0)＜f(2)＜f(－2)‎ C．f(－2)＜f(0)＜f(2) D．f(2)＜f(0)＜f(－2)‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为函数的最小正周期为，所以，又当时，函数取得最小值，则是经过函数最小值的一条对称轴，是经过函数最大值的一条对称轴，因为，所以 ‎，且，所以，即；故选A.‎ 点睛：本题考查三角函数的性质；比较三角函数值的大小时，往往将角转化到同一个单调区间上，而本题中将难以转化到同一个单调区间上，而是利用对称性和开口方向进行比较.‎ 练习1．已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】，又函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，‎ ‎∴，解得： ‎ 故选：D 练习2．已知函数，若存在实数，使得对任意的实数，都有 ‎≤≤恒成立，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，所以周期，存在实数，使得对任意的实数，都有≤≤恒成立，则,解得： ，故选B.‎ ‎（九）三角函数与数列的综合 例9．若，则中值为的有（ ）个 A．200 B．201 C．402 D．403‎ ‎【答案】C ‎【解析】不难发现，‎ 在10个位一组里面有两个值为0，那么在中有 ‎ 故答案选 练习1．函数，若对任意 ‎，存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵当时,，∴f(x)∈[1,2]，‎ 对于(m>0)，‎ 当时, , ‎ ‎∵对任意，存在,使得成立，‎ ‎∴解得实数m的取值范围是.‎ 故选：D.‎ 点睛：函数中的方程有解问题：‎ ‎（1）若为一元方程，通常有两个方法：要么画函数的图象，研究图象与轴的交点即可；要么将方程整理成两个函数相等，画两个函数的图象求解即可；‎ ‎（2）若为二元方程，通常是转成研究方程左右两边的函数的值域的包含关系即可.‎ 练习2．函数（）的图象与轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，若要得到函数的图象，只要将的图象（ ）个单位 A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 ‎【答案】D ‎【解析】正弦函数图象与轴相邻交点横坐标相差为半个周期，即，又因为，所以 ‎，则＝，所以只要将函数的图象向右平移个单位就能得到的图象，故选A．‎ 考点：1、三角函数的图象与性质；2、三角函数图象的平移变换．‎ ‎（十）三角函数的周期性 例10．函数的最小正周期为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】化简，利用周期公式可得结果.‎ ‎【详解】因为函数 ‎，‎ 所以最小正周期为，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系、二倍角的正弦公式，以及正弦函数的周期公式，属于中档题. 函数的最小正周期为.‎ 练习1．给出以下命题：‎ ‎①若均为第一象限角，且，且；‎ ‎②若函数的最小正周期是，则；‎ ‎③函数是奇函数；‎ ‎④函数的周期是；‎ ‎⑤函数的值域是[0，2]‎ 其中正确命题的个数为（　　）‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用三角函数周期公式，奇偶性以及图像即可得出结果.‎ ‎④若函数的周期是，由周期定义知，故函数的周期不是，故不正确. ‎ ‎⑤= ,当时，，可知函数的值域为故不正确;‎ 综上可知:①②③④⑤都不正确.‎ 故选：D．‎ 练习2．（2018年全国卷Ⅲ文）函数的最小正周期为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】将函数进行化简即可 详解：由已知得 的最小正周期 故选C.‎ 练习3．下列函数的周期为的是( )‎ ‎①；②；③；④.‎ A．①④ B．①③④ C．②③④ D．①②④‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用，的周期不是，可排除选项；利用 ‎，排除，从而可得结果.‎ ‎【详解】设，则，‎ ‎，‎ ‎，‎ 不是的周期，‎ ‎③不合题意，排除，‎ 设，‎ 则，‎ 故是的周期，②符合题意，排除，故选D.‎ ‎【点睛】用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.‎ 练习4．函数是（ ）‎ A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 ‎【答案】D ‎ ‎【解析】由题意，‎ 因为，所以为偶函数，故排除A,C，由诱导公式得 ‎，‎ 即函数的最小正周期为，所以正确答案为D.‎ 点睛：引题主要考查三角函数的奇偶性、周期性等性质，以及三角函数诱导公式的应用等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考考点.在此类问题中，函数解析式相对特殊，直接法求解不容易算，采用三角函数的性质去判断，反而会使问题简单化，以达到四两拔千斤的效果.‎