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- 2021-06-11 发布
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第二章 圆锥曲线与方程(A)
(时间:120 分钟 满分:150 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1.椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值是( )
A.1
4 B.1
2 C.2 D.4
2.设椭圆x2
m2
+y2
n2
=1 (m>0,n>0)的右焦点与抛物线 y2=8x 的焦点相同,离心率为1
2
,则此
椭圆的方程为( )
A.x2
12
+y2
16
=1 B.x2
16
+y2
12
=1
C.x2
48
+y2
64
=1 D.x2
64
+y2
48
=1
3.已知双曲线x2
a2
-y2
b2
=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3x,它的一个焦点在抛物线
y2=24x 的准线上,则双曲线的方程为( )
A.x2
36
- y2
108
=1 B.x2
9
-y2
27
=1
C. x2
108
-y2
36
=1 D.x2
27
-y2
9
=1
4.P 是长轴在 x 轴上的椭圆x2
a2
+y2
b2
=1 上的点,F1、F2 分别为椭圆的两个焦点,椭圆的半
焦距为 c,则|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差一定是( )
A.1 B.a2 C.b2 D.c2
5.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 2倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲
线的标准方程为( )
A.x2
4
-y2
4
=1 B.y2
4
-x2
4
=1
C.y2
4
-x2
8
=1 D.x2
8
-y2
4
=1
6.设 a>1,则双曲线x2
a2
- y2
a+12
=1 的离心率 e 的取值范围是( )
A.( 2,2) B.( 2, 5)
C.(2,5) D.(2, 5)
7.
如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,P 是侧面 BB1C1C 内一动点,若 P 到直线 BC
与到直线 C1D1 的距离相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是( )
A.直线 B.圆
C.双曲线 D.抛物线
8.设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A、B、C 为该抛物线上三点,若 FA
+ FB
+ FC
=0,
则| FA
|+| FB
|+| FC
|等于( )
A.9 B.6 C.4 D.3
9.已知双曲线x2
a2
-y2
b2
=1 (a>0,b>0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与双
曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( )
A.(1,2] B.(1,2)
C.[2,+∞) D.(2,+∞)
10.若动圆圆心在抛物线 y2=8x 上,且动圆恒与直线 x+2=0 相切,则动圆必过定点( )
A.(4,0) B.(2,0)
C.(0,2) D.(0,-2)
11.抛物线 y=x2 上到直线 2x-y=4 距离最近的点的坐标是( )
A.
3
2
,5
4 B.(1,1)
C.
3
2
,9
4 D.(2,4)
12.已知椭圆 x2sin α-y2cos α=1 (0≤α<2π)的焦点在 y 轴上,则α的取值范围是( )
A.
3
4π,π B.
π
4
,3
4π
C.
π
2
,π D.
π
2
,3
4π
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答 案
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.椭圆的两个焦点为 F1、F2,短轴的一个端点为 A,且三角形 F1AF2 是顶角为 120°的
等腰三角形,则此椭圆的离心率为________.
14 . 点 P(8,1) 平 分 双 曲 线 x2 - 4y2 = 4 的 一 条 弦 , 则 这 条 弦 所 在 直 线 的 方 程 是
______________.
15.设椭圆x2
a2
+y2
b2
=1 (a>b>0)的左、右焦点分别是 F1、F2,线段 F1F2 被点
b
2
,0 分成 3∶
1 的两段,则此椭圆的离心率为________.
16.对于曲线 C: x2
4-k
+ y2
k-1
=1,给出下面四个命题:
①曲线 C 不可能表示椭圆;
②当 14;
④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 1b>0)上的一点,F1、F2 为椭圆的两焦点,若
PF1⊥PF2,试求:
(1)椭圆的方程;
(2)△PF1F2 的面积.
21.(12 分)已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,且|AB|=5
2p,
求 AB 所在的直线方程.
22.(12 分)在直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点(0,- 3)、(0, 3)的距离之和等于 4,设
点 P 的轨迹为 C,直线 y=kx+1 与 C 交于 A、B 两点.
(1)写出 C 的方程;
(2)若 OA
⊥OB
,求 k 的值.
第二章 圆锥曲线与方程(A)
1.A [由题意可得 2 1
m
=2×2,解得 m=1
4.]
2.B [∵y2=8x 的焦点为(2,0),
∴x2
m2
+y2
n2
=1 的右焦点为(2,0),∴m>n 且 c=2.
又 e=1
2
=2
m
,∴m=4.
∵c2=m2-n2=4,∴n2=12.
∴椭圆方程为x2
16
+y2
12
=1.]
3.B [抛物线 y2=24x 的准线方程为 x=-6,故双曲线中 c=6.①
由双曲线x2
a2
-y2
b2
=1 的一条渐近线方程为 y= 3x,知b
a
= 3,②
且 c2=a2+b2.③
由①②③解得 a2=9,b2=27.
故双曲线的方程为x2
9
-y2
27
=1,故选 B.]
4.D [由椭圆的几何性质得|PF1|∈[a-c,a+c],
|PF1|+|PF2|=2a,
所以|PF1|·|PF2|≤
|PF1|+|PF2|
2 2=a2,
当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号.
|PF1|·|PF2|=|PF1|(2a-|PF1|)
=-|PF1|2+2a|PF1|=-(|PF1|-a)2+a2
≥-c2+a2=b2,
所以|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差为 a2-b2=c2.]
5.B [由于双曲线的顶点坐标为(0,2),可知 a=2,
且双曲线的标准方程为y2
4
-x2
b2
=1.
根据题意 2a+2b= 2·2c,即 a+b= 2c.
又 a2+b2=c2,且 a=2,
∴解上述两个方程,得 b2=4.
∴符合题意的双曲线方程为y2
4
-x2
4
=1.]
6.B [∵双曲线方程为x2
a2
- y2
a+12
=1,
∴c= 2a2+2a+1.
∴e=c
a
= 2+ 1
a2
+2
a
=
1
a
+1 2+1.
又∵a>1,∴0<1
a<1.∴1<1
a
+1<2.
∴1< 1+1
a 2<4.∴ 2 1
sin α>0.
又∵0≤α<2π,∴π
2<α<3π
4 .]
13. 3
2
解析 由已知得∠AF1F2=30°,故 cos 30°=c
a
,从而 e= 3
2 .
14.2x-y-15=0
解析 设弦的两个端点分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x21-4y21=4,x22-4y22=4,
两式相减得(x1+x2)(x1-x2)-4(y1+y2)(y1-y2)=0.
因为线段 AB 的中点为 P(8,1),
所以 x1+x2=16,y1+y2=2.
所以y1-y2
x1-x2
= x1+x2
4y1+y2
=2.
所以直线 AB 的方程为 y-1=2(x-8),
代入 x2-4y2=4 满足Δ>0.
即 2x-y-15=0.
15. 2
2
解析 由题意,得
b
2
+c
c-b
2
=3⇒b
2
+c=3c-3
2b⇒b=c,
因此 e=c
a
= c2
a2
= c2
b2+c2
= 1
2
= 2
2 .
16.③④
解析 ①错误,当 k=2 时,方程表示椭圆;②错误,因为 k=5
2
时,方程表示圆;验证可
得③④正确.
17.解 设 P 点的坐标为(x,y),M 点的坐标为(x0,y0).∵点 M 在椭圆x2
36
+y2
9
=1 上,∴
x20
36
+y20
9
=1.
∵M 是线段 PP′的中点,
∴
x0=x,
y0=y
2
, 把
x0=x
y0=y
2
代入x20
36
+y20
9
=1,
得x2
36
+y2
36
=1,即 x2+y2=36.
∴P 点的轨迹方程为 x2+y2=36.
18.解 设双曲线方程为x2
a2
-y2
b2
=1.
由椭圆x2
8
+y2
4
=1,求得两焦点为(-2,0),(2,0),
∴对于双曲线 C:c=2.
又 y= 3x 为双曲线 C 的一条渐近线,
∴b
a
= 3,解得 a2=1,b2=3,
∴双曲线 C 的方程为 x2-y2
3
=1.
19.解 将 y=kx-2 代入 y2=8x 中变形整理得:
k2x2-(4k+8)x+4=0,
由 k≠0
4k+82-16k2>0
,得 k>-1 且 k≠0.
设 A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意得:x1+x2=4k+8
k2
=4⇒k2=k+2⇒k2-k-2=0.
解得:k=2 或 k=-1(舍去),
由弦长公式得:
|AB|= 1+k2· 64k+64
k2
= 5× 192
4
=2 15.
20.解 (1)令 F1(-c,0),F2(c,0),
则 b2=a2-c2.因为 PF1⊥PF2,
所以 kPF1·kPF2=-1,即 4
3+c· 4
3-c
=-1,
解得 c=5,所以设椭圆方程为x2
a2
+ y2
a2-25
=1.
因为点 P(3,4)在椭圆上,所以 9
a2
+ 16
a2-25
=1.
解得 a2=45 或 a2=5.
又因为 a>c,所以 a2=5 舍去.
故所求椭圆方程为x2
45
+y2
20
=1.
(2)由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6 5,①
又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100,②
①2-②得 2|PF1|·|PF2|=80,
所以 S△PF1F2=1
2|PF1|·|PF2|=20.
21.解 焦点 F(p
2
,0),设 A(x1,y1),B(x2,y2),
若 AB⊥Ox,则|AB|=2p<5
2p,不合题意.
所以直线 AB 的斜率存在,设为 k,
则直线 AB 的方程为 y=k(x-p
2),k≠0.
由
y=kx-p
2
,
y2=2px
消去 x,
整理得 ky2-2py-kp2=0.
由韦达定理得,y1+y2=2p
k
,y1y2=-p2.
∴|AB|= x1-x22+y1-y22
= 1+1
k2·y1-y22
= 1+1
k2· y1+y22-4y1y2
=2p(1+1
k2)=5
2p.
解得 k=±2.∴AB 所在的直线方程为 y=2(x-p
2)或 y=-2(x-p
2).
22.解 (1)设 P(x,y),由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以(0,- 3)、(0, 3)为焦点,
长半轴为 2 的椭圆,它的短半轴 b= 22- 32=1,
故曲线 C 的方程为 x2+y2
4
=1.
(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),
联立方程
x2+y2
4
=1,
y=kx+1.
消去 y 并整理得(k2+4)x2+2kx-3=0.
其中Δ=4k2+12(k2+4)>0 恒成立.
故 x1+x2=- 2k
k2+4
,x1x2=- 3
k2+4
.
若OA→⊥OB→,即 x1x2+y1y2=0.
而 y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1,
于是 x1x2+y1y2=- 3
k2+4
- 3k2
k2+4
- 2k2
k2+4
+1=0,
化简得-4k2+1=0,所以 k=±1
2.
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