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  • 2021-06-11 发布

高中数学(人教版a版选修2-1)配套课时作业:第二章 圆锥曲线与方程 单元检测(a卷) word版含答案

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第二章 圆锥曲线与方程(A) (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值是( ) A.1 4 B.1 2 C.2 D.4 2.设椭圆x2 m2 +y2 n2 =1 (m>0,n>0)的右焦点与抛物线 y2=8x 的焦点相同,离心率为1 2 ,则此 椭圆的方程为( ) A.x2 12 +y2 16 =1 B.x2 16 +y2 12 =1 C.x2 48 +y2 64 =1 D.x2 64 +y2 48 =1 3.已知双曲线x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3x,它的一个焦点在抛物线 y2=24x 的准线上,则双曲线的方程为( ) A.x2 36 - y2 108 =1 B.x2 9 -y2 27 =1 C. x2 108 -y2 36 =1 D.x2 27 -y2 9 =1 4.P 是长轴在 x 轴上的椭圆x2 a2 +y2 b2 =1 上的点,F1、F2 分别为椭圆的两个焦点,椭圆的半 焦距为 c,则|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差一定是( ) A.1 B.a2 C.b2 D.c2 5.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 2倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲 线的标准方程为( ) A.x2 4 -y2 4 =1 B.y2 4 -x2 4 =1 C.y2 4 -x2 8 =1 D.x2 8 -y2 4 =1 6.设 a>1,则双曲线x2 a2 - y2 a+12 =1 的离心率 e 的取值范围是( ) A.( 2,2) B.( 2, 5) C.(2,5) D.(2, 5) 7. 如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,P 是侧面 BB1C1C 内一动点,若 P 到直线 BC 与到直线 C1D1 的距离相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是( ) A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线 8.设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A、B、C 为该抛物线上三点,若 FA  + FB  + FC  =0, 则| FA  |+| FB  |+| FC  |等于( ) A.9 B.6 C.4 D.3 9.已知双曲线x2 a2 -y2 b2 =1 (a>0,b>0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与双 曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2] B.(1,2) C.[2,+∞) D.(2,+∞) 10.若动圆圆心在抛物线 y2=8x 上,且动圆恒与直线 x+2=0 相切,则动圆必过定点( ) A.(4,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(0,-2) 11.抛物线 y=x2 上到直线 2x-y=4 距离最近的点的坐标是( ) A. 3 2 ,5 4 B.(1,1) C. 3 2 ,9 4 D.(2,4) 12.已知椭圆 x2sin α-y2cos α=1 (0≤α<2π)的焦点在 y 轴上,则α的取值范围是( ) A. 3 4π,π B. π 4 ,3 4π C. π 2 ,π D. π 2 ,3 4π 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.椭圆的两个焦点为 F1、F2,短轴的一个端点为 A,且三角形 F1AF2 是顶角为 120°的 等腰三角形,则此椭圆的离心率为________. 14 . 点 P(8,1) 平 分 双 曲 线 x2 - 4y2 = 4 的 一 条 弦 , 则 这 条 弦 所 在 直 线 的 方 程 是 ______________. 15.设椭圆x2 a2 +y2 b2 =1 (a>b>0)的左、右焦点分别是 F1、F2,线段 F1F2 被点 b 2 ,0 分成 3∶ 1 的两段,则此椭圆的离心率为________. 16.对于曲线 C: x2 4-k + y2 k-1 =1,给出下面四个命题: ①曲线 C 不可能表示椭圆; ②当 14; ④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 1b>0)上的一点,F1、F2 为椭圆的两焦点,若 PF1⊥PF2,试求: (1)椭圆的方程; (2)△PF1F2 的面积. 21.(12 分)已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,且|AB|=5 2p, 求 AB 所在的直线方程. 22.(12 分)在直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点(0,- 3)、(0, 3)的距离之和等于 4,设 点 P 的轨迹为 C,直线 y=kx+1 与 C 交于 A、B 两点. (1)写出 C 的方程; (2)若 OA  ⊥OB  ,求 k 的值. 第二章 圆锥曲线与方程(A) 1.A [由题意可得 2 1 m =2×2,解得 m=1 4.] 2.B [∵y2=8x 的焦点为(2,0), ∴x2 m2 +y2 n2 =1 的右焦点为(2,0),∴m>n 且 c=2. 又 e=1 2 =2 m ,∴m=4. ∵c2=m2-n2=4,∴n2=12. ∴椭圆方程为x2 16 +y2 12 =1.] 3.B [抛物线 y2=24x 的准线方程为 x=-6,故双曲线中 c=6.① 由双曲线x2 a2 -y2 b2 =1 的一条渐近线方程为 y= 3x,知b a = 3,② 且 c2=a2+b2.③ 由①②③解得 a2=9,b2=27. 故双曲线的方程为x2 9 -y2 27 =1,故选 B.] 4.D [由椭圆的几何性质得|PF1|∈[a-c,a+c], |PF1|+|PF2|=2a, 所以|PF1|·|PF2|≤ |PF1|+|PF2| 2 2=a2, 当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号. |PF1|·|PF2|=|PF1|(2a-|PF1|) =-|PF1|2+2a|PF1|=-(|PF1|-a)2+a2 ≥-c2+a2=b2, 所以|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差为 a2-b2=c2.] 5.B [由于双曲线的顶点坐标为(0,2),可知 a=2, 且双曲线的标准方程为y2 4 -x2 b2 =1. 根据题意 2a+2b= 2·2c,即 a+b= 2c. 又 a2+b2=c2,且 a=2, ∴解上述两个方程,得 b2=4. ∴符合题意的双曲线方程为y2 4 -x2 4 =1.] 6.B [∵双曲线方程为x2 a2 - y2 a+12 =1, ∴c= 2a2+2a+1. ∴e=c a = 2+ 1 a2 +2 a = 1 a +1 2+1. 又∵a>1,∴0<1 a<1.∴1<1 a +1<2. ∴1< 1+1 a 2<4.∴ 2 1 sin α>0. 又∵0≤α<2π,∴π 2<α<3π 4 .] 13. 3 2 解析 由已知得∠AF1F2=30°,故 cos 30°=c a ,从而 e= 3 2 . 14.2x-y-15=0 解析 设弦的两个端点分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x21-4y21=4,x22-4y22=4, 两式相减得(x1+x2)(x1-x2)-4(y1+y2)(y1-y2)=0. 因为线段 AB 的中点为 P(8,1), 所以 x1+x2=16,y1+y2=2. 所以y1-y2 x1-x2 = x1+x2 4y1+y2 =2. 所以直线 AB 的方程为 y-1=2(x-8), 代入 x2-4y2=4 满足Δ>0. 即 2x-y-15=0. 15. 2 2 解析 由题意,得 b 2 +c c-b 2 =3⇒b 2 +c=3c-3 2b⇒b=c, 因此 e=c a = c2 a2 = c2 b2+c2 = 1 2 = 2 2 . 16.③④ 解析 ①错误,当 k=2 时,方程表示椭圆;②错误,因为 k=5 2 时,方程表示圆;验证可 得③④正确. 17.解 设 P 点的坐标为(x,y),M 点的坐标为(x0,y0).∵点 M 在椭圆x2 36 +y2 9 =1 上,∴ x20 36 +y20 9 =1. ∵M 是线段 PP′的中点, ∴ x0=x, y0=y 2 , 把 x0=x y0=y 2 代入x20 36 +y20 9 =1, 得x2 36 +y2 36 =1,即 x2+y2=36. ∴P 点的轨迹方程为 x2+y2=36. 18.解 设双曲线方程为x2 a2 -y2 b2 =1. 由椭圆x2 8 +y2 4 =1,求得两焦点为(-2,0),(2,0), ∴对于双曲线 C:c=2. 又 y= 3x 为双曲线 C 的一条渐近线, ∴b a = 3,解得 a2=1,b2=3, ∴双曲线 C 的方程为 x2-y2 3 =1. 19.解 将 y=kx-2 代入 y2=8x 中变形整理得: k2x2-(4k+8)x+4=0, 由 k≠0 4k+82-16k2>0 ,得 k>-1 且 k≠0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由题意得:x1+x2=4k+8 k2 =4⇒k2=k+2⇒k2-k-2=0. 解得:k=2 或 k=-1(舍去), 由弦长公式得: |AB|= 1+k2· 64k+64 k2 = 5× 192 4 =2 15. 20.解 (1)令 F1(-c,0),F2(c,0), 则 b2=a2-c2.因为 PF1⊥PF2, 所以 kPF1·kPF2=-1,即 4 3+c· 4 3-c =-1, 解得 c=5,所以设椭圆方程为x2 a2 + y2 a2-25 =1. 因为点 P(3,4)在椭圆上,所以 9 a2 + 16 a2-25 =1. 解得 a2=45 或 a2=5. 又因为 a>c,所以 a2=5 舍去. 故所求椭圆方程为x2 45 +y2 20 =1. (2)由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6 5,① 又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100,② ①2-②得 2|PF1|·|PF2|=80, 所以 S△PF1F2=1 2|PF1|·|PF2|=20. 21.解 焦点 F(p 2 ,0),设 A(x1,y1),B(x2,y2), 若 AB⊥Ox,则|AB|=2p<5 2p,不合题意. 所以直线 AB 的斜率存在,设为 k, 则直线 AB 的方程为 y=k(x-p 2),k≠0. 由 y=kx-p 2 , y2=2px 消去 x, 整理得 ky2-2py-kp2=0. 由韦达定理得,y1+y2=2p k ,y1y2=-p2. ∴|AB|= x1-x22+y1-y22 = 1+1 k2·y1-y22 = 1+1 k2· y1+y22-4y1y2 =2p(1+1 k2)=5 2p. 解得 k=±2.∴AB 所在的直线方程为 y=2(x-p 2)或 y=-2(x-p 2). 22.解 (1)设 P(x,y),由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以(0,- 3)、(0, 3)为焦点, 长半轴为 2 的椭圆,它的短半轴 b= 22- 32=1, 故曲线 C 的方程为 x2+y2 4 =1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 联立方程 x2+y2 4 =1, y=kx+1. 消去 y 并整理得(k2+4)x2+2kx-3=0. 其中Δ=4k2+12(k2+4)>0 恒成立. 故 x1+x2=- 2k k2+4 ,x1x2=- 3 k2+4 . 若OA→⊥OB→,即 x1x2+y1y2=0. 而 y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1, 于是 x1x2+y1y2=- 3 k2+4 - 3k2 k2+4 - 2k2 k2+4 +1=0, 化简得-4k2+1=0,所以 k=±1 2.