湖北省宜昌市2020届高三下学期4月线上统一调研测试数学（文）试题 Word版含解析 24页

www.ks5u.com 宜昌市2020届高三年级4月线上统一调研测试数学试题（文科）‎ 一、选择题 ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求函数定义域得集合，求函数值域得集合，然后由交集的概念计算．‎ ‎【详解】由题意或，，‎ ‎∴．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握指数函数性质是解题关键．‎ ‎2.复数z满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出复数模后由复数除法可求得．‎ ‎【详解】∵，∴．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题．‎ ‎3.已知，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A - 24 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得，然后结合可解出答案.‎ ‎【详解】因为，所以 因为，所以可得 因为，所以 故选：A ‎【点睛】本题考查的是三角函数同角的基本关系，较简单.‎ ‎4.设，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 与中间值0，－1比较后可得．‎ ‎【详解】，，，∴．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查幂、对数的比较大小，不同类型的数比较大小时可先与中间值0，1，－1等比较后得出它们之间的大小关系．‎ ‎5.运行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）‎ - 24 -‎ A. 0 B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 模拟程序运行，利用数列的周期性求和、‎ ‎【详解】模拟程序运行，此框图的功能是求数列的和：，‎ ‎，因此数列是周期数列，周期为3，易得，‎ ‎∴．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题关键是确定程序功能，利用数列的周期性计算．‎ ‎6.某口罩厂一年中各月份的收入、支出情况如图所示（单位：万元，下列说法中错误的是（注：月结余=月收入一月支出）（ ）‎ - 24 -‎ A. 上半年的平均月收入为45万元 B. 月收入的方差大于月支出的方差 C. 月收入的中位数为70 D. 月结余的众数为30‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图中数据逐一判断即可 ‎【详解】由图可得，上半年的平均月收入为万元，故A正确 由图可得，月收入的方差大于月支出的方差，故B正确 由图可得，月的月收入（单位：万元）分别为：40、60、30、30、50、60、80、70、70、80、90、80‎ 所以月收入的中位数为：，故C错误 由图可得，月的月结余（单位：万元）分别为：20、30、20、10、30、30、60、40、30、30、50、30‎ 所以月结余的众数为30，故D正确 故选：C ‎【点睛】本题考查的是对数据的处理与分析，较简单.‎ ‎7.已知圆，过点的直线与圆C相交，则直线的斜率的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C - 24 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线的方程为，即，然后由圆心到直线的距离小于半径建立不等式求解即可.‎ ‎【详解】设直线的方程为，即 因为圆的圆心为，半径为2，且圆与直线相交 所以，解得 故选：C ‎【点睛】设圆的半径为，圆心到直线的距离为，当直线与圆相离时有，当直线与圆相切时有，当直线与圆相交时有.‎ ‎8.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细.在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤.问依次每一尺各重多少斤？”假定该金杖被截成长度相等的若干段时，其重量从粗到细构成等差数列.若将该金杖截成长度相等的20段，则中间两段的重量和为（ ）‎ A. 斤 B. 斤 C. 斤 D. 斤 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把每段重量依次用（表示，数列是等差数列，根据等差数列性质可求解．‎ ‎【详解】把每段重量依次用（表示，数列是等差数列，‎ 由题意，两式相加得，‎ ‎∴．‎ 故选：C．‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的应用，解题关键是从实际问题抽象出等差数列，然后应用等差数列性质解题即可．‎ ‎9.对于函数的图象，下列说法正确的是 （ ）‎ A. 关于直线对称 B. 关于直线对称 C. 关于点对称 D. 关于点对称 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，设,可得为奇函数,由图像平移可得答案.‎ ‎【详解】∵，‎ 令，则，‎ ‎∴为奇函数，其图象关于原点对称，‎ 将图象向上平移1个单位长度可得图象，‎ 所以图象关于对称.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查函数图像的平移和函数的奇函数的图像的对称性，属于基础题.‎ ‎10.中，，，，O为该三角形的外心，则（ ）‎ A. B. C. D. .‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出，然后以点为坐标原点如图建立直角坐标系，然后分别求出线段和 - 24 -‎ 的中垂线方程，然后可得外心的坐标，然后计算出答案.‎ ‎【详解】‎ 因为，，，所以，可得 以点为坐标原点如图建立直角坐标系，则 因为AC的中点坐标为，‎ 所以线段的中垂线方程为，即 线段的中垂线方程为 联立可得外心的坐标为 所以 所以 故选：C ‎【点睛】几何图形比较特殊的时候，通过建立直角坐标系来解决向量有关的问题是较好的方法.‎ ‎11.某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，为正视图一边的中点，且几何体表面上的点M、A、B在正视图上的对应点分别为、、，在此几何体中，平面过点M且与直线垂直.则平面截该几何体所得截面图形的面积为（ ）‎ - 24 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图作出原几何体是一个正三棱柱，如图，利用线面垂直的判定定理确定的位置形状，从而计算出面积．‎ ‎【详解】如图，原几何体是一个正三棱柱，上中点，取中点，连接，连接，由三视图知是正方形， ，又分别是中点，∴，∴，‎ 正三棱柱中，平面，平面，故，‎ 又，，则可得平面，平面，∴，‎ 又，∴平面，即为截面，‎ 同理由平面得，由三视图得，，‎ ‎．‎ 故选：A．‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查三视图，考查棱柱的截面，掌握线面垂直的判定定理与性质定理是解题关键．‎ ‎12.若函数在区间内有且仅有一个零点，则实数的取值范围是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 令，即，分离参数可得，令，则，令，则，当时，所以当时，所以当时，所以函数在上单调递减，所以当时，，即，又函数在区间内有且仅有一个零点，所以，故实数的取值范围是，故选D．‎ - 24 -‎ 点睛：本题主要考查了函数的导数与函数零点间的关系，具有一定的综合性，此题通过分离参数将函数零点问题转化为求函数值域问题，最大的难点在于导函数与0的关系需要进一步对导函数再次进行求导.‎ 二、填空题 ‎13.已知函数为R上的奇函数，时，，则________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件可得，然后算出即可 ‎【详解】因为函数为R上的奇函数，时，，‎ 所以 故答案为：2‎ ‎【点睛】本题考查是函数的奇偶性，较简单.‎ ‎14.若实数x，y满足约束条件，则的最小值为__________.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出不等式组表示的可行域，然后令，即，然后即可分析出答案 ‎【详解】约束条件表示的可行域为：‎ - 24 -‎ 令，即，‎ ‎ 由图可得当直线过点时，最小，最小值为5‎ 故答案为：5‎ ‎【点睛】本题考查的是线性规划的知识，较简单.‎ ‎15.各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，则使成立的n的最小值为_____________.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件解出，然后求出，然后解出不等式即可 ‎【详解】设等比数列的公比为 因为，，所以 解得或（舍）‎ 所以 - 24 -‎ 所以由可得，所以使成立的n的最小值为8‎ 故答案为：8‎ ‎【点睛】本题考查的是等比数列基本量的计算，较简单.‎ ‎16.已知双曲线的左焦点为，点P在双曲线的右支上，若线段与圆相交于点M，且，则直线的斜率为________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设双曲线的右焦点为，连结，，由可得是线段的中点，然后可得，然后由双曲线的定义可得，然后在中用余弦定理算出，然后算出即可.‎ ‎【详解】设双曲线的右焦点为，连结，‎ 由可得是线段的中点 所以 由双曲线定义得 - 24 -‎ 所以，所以 在中由余弦定理得 所以可解得 所以直线的斜率为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查的是双曲线的定义及焦点三角形，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17.在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且.‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若的面积为，，求的周长.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）应用正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和的正弦公式化简已知式后可求得；‎ ‎（2）由三角形面积公式得，再利用余弦定理可求得，从而得三角形周长．‎ ‎【详解】解：（1）由，可得，‎ 即，‎ 展开化简得， ‎ 又在中，，所以， ‎ 又，所以.‎ ‎（2）因为的面积，所以， ‎ - 24 -‎ 由余弦定理得， ‎ 因为，可得，所以， ‎ 所以，即的周长为.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，考查两角和的正弦公式，三角形面积公式，解题关键是由正弦定理化边为角，利用三角函数恒等变换求得．‎ ‎18.已知菱形的边长为2，，对角线、交于点O，平面外一点P在平面内的射影为O，与平面所成角为30°.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）点N在线段上，且，求的值. ‎ ‎【答案】（1）证明见解析 ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由面得，然后证明出面即可 ‎（2）由面得与平面所成角为，然后利用算出点D到平面的距离为，然后利用即可算出答案.‎ ‎【详解】（1）由题意面，∴， ‎ 菱形中，，又，则面， ‎ 所以； ‎ ‎（2）因面，所以与平面所成角为， ‎ - 24 -‎ 又菱形边长为2，，所以，，，，. ‎ 所以，.‎ 设，点D到平面的距离为 由得，‎ 即，解得 所以D到平面的距离也为. ‎ 所以. ‎ 所以.‎ ‎【点睛】常用等体积法求点到平面的距离.‎ ‎19.目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如下图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）.潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”.‎ ‎（1）求这500名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；‎ - 24 -‎ ‎（2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关；‎ 短潜伏者 长潜伏者 合计 ‎60岁及以上 ‎90‎ ‎60岁以下 ‎140‎ 合计 ‎300‎ ‎（3）研究发现，某药物对新冠病毒有一定的抑制作用，需要在抽取的300人中分层选取7位60岁以下的患者做Ⅰ期临床试验，再从选取的7人中随机抽取两人做Ⅱ期临床试验，求两人中恰有1人为“长潜伏者”的概率.‎ 附表及公式：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）平均数为,“长潜伏者”的人数为人 ‎（2）列联表见解析,有97.5%的把握认为潜伏期长短与年龄有关 ‎（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率分布直方图中的数据计算即可 ‎（2）首先将列联表补充完整，然后计算出的观测值即可 ‎（3）由分层抽样知7人中，“短潜伏者”有3人，记为，“长潜伏者”有4人，记为D，E，F，G， 然后列举出所有的情况，然后数出满足所求事件的基本事件的个数即可.‎ - 24 -‎ ‎【详解】（1）平均数. ‎ ‎“长潜伏者”即潜伏期时间不低于6天的频率为0.5‎ 所以500人中“长潜伏者”的人数为人 ‎（2）由题意补充后的列联表如图：‎ 短潜伏者 长潜伏者 合计 ‎60岁及以上 ‎90‎ ‎70‎ ‎160‎ ‎60岁以下 ‎60‎ ‎80‎ ‎140‎ 合计 ‎150‎ ‎150‎ ‎300‎ 所以的观测值为， ‎ 经查表，得，所以有97.5%的把握认为潜伏期长短与年龄有关. ‎ ‎（3）由分层抽样知7人中，“短潜伏者”有3人，记为，“长潜伏者”有4人，记为D，E，F，G， ‎ 从中抽取2人，共有，，，，，，，‎ ‎，，，，，，，，，‎ ‎，，，，，‎ 共有21种不同的结果，两人中恰好有1人为“长潜伏者”包含了12种结果. ‎ 所以所求概率.‎ ‎【点睛】本题考查的知识点有：由频率分布直方图估计平均数、分层抽样、独立性检验和古典概型，属于基础题.‎ ‎20.已知抛物线和直线，直线恒过圆P的圆心，且圆P上的点到直线的最大距离为2.‎ - 24 -‎ ‎（1）求圆P的方程；‎ ‎（2）直线与抛物线C和圆P都相交，且四个交点自左向右顺次记为A、B、C、D.如果，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据条件直接得出圆心和半径即可 ‎（2）设，，联立直线与抛物线的方程消元，然后韦达定理可得，，由抛物线的定义可得，，然后利用可得出，，然后即可算出答案.‎ ‎【详解】（1）直线过定点，∵圆心.‎ 因为圆P上的点到直线的最大距离为2，所以， ‎ 所以圆P的方程为.‎ ‎（2）由知为抛物线焦点 由图和，知. ‎ - 24 -‎ ‎，‎ 设，，则，. ‎ 由拋物线的定义得， ‎ 所以，所以，，从而有 所以.所以直线的方程为.‎ ‎【点睛】涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）当时，求的最小值；‎ ‎（2）若时，，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数求出在上的单调性即可 ‎（2）由得，令，然后分、、、四种情况求出的单调性即可.‎ ‎【详解】（1）， ‎ 令，得；‎ ‎，得和 ‎ - 24 -‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减 因为，，，‎ 所以时，. ‎ ‎（2），即..‎ 设，‎ ‎ ‎ ‎，∴，，，.‎ ‎∴，又，. ‎ ‎①即时，，在上递减，则，不满足.‎ ‎②即时，‎ 当，即时，，使得 且，，在内递减，，不满足 当，即时，，使得，且，，，，‎ ‎∴在上递增，在上递减，又，，所以成立. ‎ 当，即时，，在上递增，则.满足题意.‎ 综上，‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性，最值和利用导数解决恒成立问题，属于较难题.‎ ‎22.在直角坐标系中，直线参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知定点，直线与曲线C分别交于P、Q两点，求的值.‎ ‎【答案】（1）的普通方程为,曲线C的直角坐标方程为 ‎（2）3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由可化极坐标方程为直角坐标方程，用消元法可化参数方程为普通方程；‎ ‎（2）直线的参数方程为正好是标准参数方程，参数表示直线上的点到点距离的绝对值，直接把直线参数方程代入曲线的直角坐标方程应用韦达定理易求得结论．‎ ‎【详解】解：（1）由消去参数t得直线的普通方程为.‎ 由得曲线C的直角坐标方程为.‎ ‎（2）将代入得.‎ 设方程的两根为，，则，，， ‎ - 24 -‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程与变通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程的应用，属于中档题．‎ ‎23.已知正实数a、b、c满足，且的最小值为t.‎ ‎（1）求t的值；‎ ‎（2）设，若存在实数x，使得不等式成立，求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用可求得的最小值t.‎ ‎（2）用分类讨论去掉中的绝对值符号，求得其最大值，然后解不等式可得．‎ ‎【详解】解：（1）因为，‎ 所以 ‎，‎ 即，所以的最小值.‎ ‎（2）当时，，可得， ‎ 存在实数x，使不等式有解，则，‎ 从而，即，解得.‎ - 24 -‎ 所以实数m的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查用基本不等式求最值，考查含绝对值函数的最值问题，考查不等式能成立问题，解题时要注意不等式有解与恒成立的区别．分离参数后不等式有解与恒成立的区别在于一个是求函数的最小值一个是求最大值．‎ - 24 -‎ - 24 -‎