高考数学一轮复习第五章平面向量5-3平面向量的数量积及平面向量的应用练习理北师大版 9页

‎5.3 平面向量的数量积及平面向量的应用 核心考点·精准研析 考点一　平面向量的数量积的基本概念及运算 ‎ ‎1.(2018·全国卷II)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=(　　)‎ A.4 B.3 C.2 D.0‎ ‎【解析】选B.因为|a|=1,a·b=-1,所以a·(2a-b)=2a2-a·b=2×1-(-1)=3.‎ ‎2.(2019·皖南八校联考)已知|a|=|b|=1,向量a与b的夹角为45°,则(a+2b)·a=　　　. ‎ ‎【解析】因为|a|=|b|=1,向量a与b的夹角为45°,所以(a+2b)·a=a2+‎ ‎2a·b=|a|2+2|a|·|b|cos 45°=1+.‎ 答案:1+‎ ‎【一题多解】‎ 坐标法解T2,因为|a|=|b|=1,向量a与b的夹角为45°,可设a=,‎ b=(1,0),则a+2b=,(a+2b)·a=×+=1+.‎ 答案:1+‎ ‎3.(2020·合肥模拟) 已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,|a+b|=,则a在b方向上的射影等于　　　. ‎ ‎【解析】因为|a|=1,|b|=2,|a+b|=,‎ 所以(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=5+2a·b=3,‎ 所以a·b=-1,‎ 所以a在b方向上的射影为=-.‎ 答案:-‎ - 9 -‎ ‎　平面向量数量积的三种运算方法 ‎(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·b=|a||b|cos .‎ ‎(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.‎ ‎(3)对于数量积与线性运算的综合问题,可先运用数量积的运算律,几何意义等化简,再运算.‎ 考点二　平面向量的数量积在几何中的应用 ‎ ‎【典例】1.在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ-(λ∈R),且·=-4,则λ的值为　　　. ‎ ‎2.已知O,N,P在△ABC所在平面内,且||=||=||,++=0,且·=·=·,则点O,N,P依次是△ABC的 (　　)‎ A.重心　外心　垂心 B.重心　外心　内心 C.外心　重心　垂心 D.外心　重心　内心 ‎(注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角形的垂心)‎ ‎【解题导思】‎ 序号 联想解题 ‎1‎ 看到“·=-4”,想到和分别用,来表示 ‎2‎ 看到三个题设条件,想到△ABC的“三心”‎ ‎【解析】1.·=3×2×cos 60°=3,=+,则·=·‎ ‎(λ-)‎ ‎=×3+×4-×9-×3=-4⇔λ=.‎ 答案:‎ ‎2.选C.由||=||=||知,O为△ABC的外心;由++=0知,N为△ABC的重心;因为·=·,所以(-)·=0,所以·=0,所以⊥,即CA⊥PB,同理AP⊥BC,CP⊥AB,所以P为△ABC的垂心.‎ - 9 -‎ ‎1.平面向量中数量积的三种求法 ‎(1)利用定义求解.‎ ‎(2)利用向量的坐标运算求解.‎ ‎(3)利用向量数量积的几何意义求解.‎ ‎2.向量的数量积在平面几何应用中的解题策略 ‎(1)利用运算律结合图形先化简再运算.‎ ‎(2)注意向量的夹角与已知平面几何中的角的关系(相等还是互补).‎ ‎【拓展】三角形四心的向量表示 在三角形ABC中,点O为平面内一点,若满足:‎ ‎(1)++=0,则点O为三角形的重心.‎ ‎(2)||=||=||,则点O为三角形的外心.‎ ‎(3)·=·=·,则点O为三角形的垂心.‎ ‎(4)||·+||·+||·=0,则点O为三角形的内心.‎ ‎1.(2020·济宁模拟)平面四边形ABCD中,+=0,(-)·=0,则四边形ABCD是 (　　)‎ A.矩形 B.正方形 C.菱形 D.梯形 ‎【解析】选C.因为+=0,所以=-=,所以四边形ABCD是平行四边形.又(-)·=·=0,所以四边形对角线互相垂直,所以四边形ABCD是菱形.‎ ‎2.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O为坐标原点,动点P满足=‎ ‎[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)·],λ∈R,则点P的轨迹一定经过(　　)‎ A.△ABC的内心 B.△ABC的垂心 C.△ABC的重心 - 9 -‎ D.AB边的中点 ‎【解析】选C.取AB的中点D,则2=+,‎ 因为=[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)],‎ 所以=[2(1-λ)+(1+2λ)]=+,又+=1,所以P,C,D三点共线,所以点P的轨迹一定经过△ABC的重心.‎ 考点三　 平面向量数量积的综合应用 ‎ 命 题 精 解 读 ‎1.考什么:(1)平面向量的模,平面向量的夹角,平行、垂直问题;‎ ‎(2)考查数学运算等核心素养,以及数形结合,转化与化归的思想.‎ ‎2.怎么考:与平面向量基本定理,坐标运算,平面几何结合考查求模,夹角,夹角余弦值,参数等等.‎ 学 霸 好 方 法 ‎1.在求向量的模时,一定要注意公式|a|= 的应用,即将向量的长度(或模)转化为向量数量积.‎ ‎2.求两个向量的夹角,常常利用两个向量夹角的余弦公式,求其夹角的余弦,然后利用余弦函数的单调性求角.‎ ‎3.解决关于平面向量的平行与垂直问题,其关键是充分利用平行与垂直的充要条件,得出一个等式,然后求解.‎ ‎ 平面向量的模 ‎【典例】1.(2019·全国卷Ⅱ)已知=(2,3), =(3,t),||=1,则·‎ ‎= (　　)‎ A.-3　　　B.-2　　　C.2　　　D.3‎ ‎【解析】选C.因为=-=(1,t-3),又因为||=1,即12+(t-3)2=12,解得t=3,所以=(1,0),所以·=2.‎ ‎2.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为　　　. ‎ - 9 -‎ ‎【解析】建立平面直角坐标系如图所示,则 A(2,0),设P(0,y),C(0,b),则B(1,b).‎ 所以+3=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),‎ 所以|+3|=(0≤y≤b),当y=b时,|+3|取得最小值5.‎ 答案:5‎ ‎ ‎ ‎1.求向量的模有哪些方法?‎ 提示:(1)公式法,利用|a|=及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算.‎ ‎(2)几何法,利用向量的几何意义.‎ ‎2.求向量模的最值(范围)有哪些方法?‎ 提示:(1)代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解.‎ ‎(2)几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.‎ ‎ 平面向量的夹角 ‎【典例】1.(2019·全国卷Ⅲ)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-b,则cos=________________. ‎ ‎【解析】因为c2=(2a-b)2=4a2+5b2-4a·b=9,所以|c|=3,‎ 因为a·c=a·(2a-b)=2a2-a·b=2,‎ 所以cos===.‎ 答案: ‎ ‎2.(2020·运城模拟)已知平面向量a,b满足a·(a+b)=3,且|a|=2,|b|=1,则向量a与b的夹角的正弦值为____________________. ‎ - 9 -‎ ‎【解析】因为a·(a+b)=a2+a·b=22+2×1×cos=4+2cos=3,‎ 所以cos=-,‎ 又∈[0,π],‎ 所以sin==.‎ 答案: ‎ ‎1.向量夹角问题如何求解?‎ 提示:若题目给出向量的坐标表示,可直接运用公式cos θ= 求解.没有坐标时可用公式cos θ=.研究向量夹角应注意“共起点”,注意取值范围是[0,π].‎ ‎2.对于两个不共线的向量,数量积的符号与夹角有何关系?‎ 提示:当数量积大于0时,夹角为锐角;‎ 当数量积等于0时,夹角为直角;‎ 当数量积小于0时,夹角为钝角.‎ 平行、垂直问题 ‎【典例】1.(2020·天津模拟)已知向量a=(1,2),a-b=(4,5),c=(x,3),若(2a+b)∥c,则x= (　　)‎ A.-1 　 B.-2 C.-3 D.-4‎ ‎【解析】选C.因为a=(1,2),a-b=(4,5),所以b=a-(a-b)=(1,2)-(4,5)=(-3,-3),所以2a+b=2(1,2)+(-3,-3)=(-1,1).又因为c=(x,3),(2a+b)∥c,所以-1×3-x=0,所以x=-3.‎ ‎2.(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选B.设夹角为θ,因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2,所以cos θ==,又θ∈[0,π],所以a与b的夹角为.‎ - 9 -‎ 两个非零向量垂直的充要条件有哪些?‎ 提示:a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0⇔|a-b|=|a+b|.‎ 注意:数量积的运算a·b=0⇔a⊥b中,是对非零向量而言的,若a=0,虽然有a·b=0,但不能说a⊥b.‎ ‎1.已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a +2b|=　　　　　　 . ‎ ‎【解析】=(a+2b)2‎ ‎=22+2×2×2×+22=4+4+4=12,‎ 所以==2.‎ 答案:2‎ ‎2.若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b的夹角余弦值为　. ‎ ‎【解析】因为|a|=|a+2b|,所以|a|2=|a|2+4a·b+4|b|2,所以a·b=-|b|2,令夹角为θ,所以cos θ=‎ 答案:-‎ ‎3.(2019·北京高考)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m=　　　. ‎ ‎【解析】因为a⊥b,所以a·b=-4×6+3m=0,‎ 所以m=8.‎ 答案:8‎ ‎1.(2019·天津高考)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=2,AD=5,∠A=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则·=　　　　. ‎ ‎【解析】如图,过点B作AE的平行线交AD于F,因为AD∥BC,所以四边形AEBF为平行四边形,‎ - 9 -‎ 因为AE=BE,故四边形AEBF为菱形.‎ 因为∠BAD=30°,AB=2,所以AF=2,即=.‎ 因为==-=-,‎ 所以·=(-)·=·--=×2×5×‎ ‎-12-10=-1.‎ 答案:-1‎ ‎【一题多解】解答本题还可以用如下方法解决:‎ 建立如图所示的平面直角坐标系,则B(2,0),D.‎ 因为AD∥BC,∠BAD=30°,所以∠ABE=30°,‎ 因为AE=BE,所以∠BAE=30°,‎ 所以直线BE的斜率为,其方程为y=(x-2),直线AE的斜率为-,其方程为y=-x.‎ 由得x=,y=-1,‎ 所以E(,-1).‎ 所以·=·(,-1)=-1.‎ - 9 -‎ 答案:-1‎ ‎2.(2020·武汉模拟)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量,若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是 (　　)‎ A.-1 B.+1‎ C.2 D.2-‎ ‎【解析】选A.设e=(1,0),b=(x,y),则b2-4e·b+3=0⇒x2+y2-4x+3=0⇒(x-2)2+y2=1.如图所示,a=,b=(其中A为射线OA上动点,B为圆C上动点,∠AOx=).‎ 所以|a-b|min=|CD|-1=-1(其中CD⊥OA).‎ - 9 -‎