2019版一轮复习理数通用版高考达标检测（三十五） 圆的方程命题3角度求方程算最值定轨迹 6页

高考达标检测（三十五） 圆的方程命题 3 角度 ——求方程、算最值、定轨迹 一、选择题 1．原点位于圆 x2＋y2－2ax－2y＋(a－1)2＝0(a>1)的( ) A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．均有可能 解析：选 C 把原点坐标代入圆的方程得(a－1)2>0(a>1)，所以点在圆外，故选 C. 2．已知圆 C 与直线 y＝x 及 x－y－4＝0 都相切，圆心在直线 y＝－x 上，则圆 C 的方 程为( ) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 解析：选 D 由题意知 x－y＝0 和 x－y－4＝0 之间的距离为|4| 2 ＝2 2，所以 r＝ 2. 又因为 y＝－x 与 x－y＝0，x－y－4＝0 均垂直， 所以由 y＝－x 和 x－y＝0 联立得交点坐标为(0,0)， 由 y＝－x 和 x－y－4＝0 联立得交点坐标为(2，－2)， 所以圆心坐标为(1，－1)， 所以圆 C 的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2. 3．(2018·广州测试)圆(x－1)2＋(y－2)2＝1 关于直线 y＝x 对称的圆的方程为( ) A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1 C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1 解析：选 A ∵圆心(1,2)关于直线 y＝x 对称的点为(2,1)， ∴圆(x－1)2＋(y－2)2＝1 关于直线 y＝x 对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1. 4．一束光线从点(－1,1)出发，经 x 轴反射到圆 C：(x－2)2＋(y－3)2＝1 上的最短路径 长度是( ) A．4 B．5 C．3 D．2 解析：选 A 由题意可得圆心 C(2,3)，半径为 r＝1, 点 A 关于 x 轴的对称点为 A′(－1，－1), 求得|A′C|＝5, 故要求的最短路径的长为 |A′C|－r＝5－1＝4. 5．已知点 M 是直线 3x＋4y－2＝0 上的动点，点 N 为圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 上的动点， 则|MN|的最小值是( ) A.9 5 B．1 C.4 5 D.13 5 解析：选 C 因为圆心(－1，－1)到点 M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线 3x＋ 4y－2＝0 的距离 d＝|－3－4－2| 5 ＝9 5 ，所以点 N 到点 M 的距离|MN|的最小值为9 5 －1＝4 5. 6．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2 上有且只有两个点到直线 4x－3y＝2 的距离等于 1，则半 径 r 的取值范围是( ) A．(4,6) B．[4,6] C．[4,6) D．(4,6] 解析：选 A 易求圆心(3，－5)到直线 4x－3y＝2 的距离为 5. 令 r＝4，可知圆上只有一点到已知直线的距离为 1； 令 r＝6，可知圆上有三点到已知直线的距离为 1， 所以半径 r 取值范围在(4,6)之间符合题意． 7．已知圆 C 关于 x 轴对称，经过点(0,1)，且被 y 轴分成两段弧，弧长之比为 2∶1，则 圆的方程为( ) A．x2＋ y± 3 3 2＝4 3 B．x2＋ y± 3 3 2＝1 3 C. x± 3 3 2＋y2＝4 3 D. x± 3 3 2＋y2＝1 3 解析：选 C 设圆的方程为(x±a)2＋y2＝r2(a>0)，圆 C 与 y 轴交于点 A(0,1)，B(0，－1)，由弧长之比为 2∶1，易知∠OCA＝1 2 ∠ACB＝1 2 ×120° ＝60°，则 tan 60°＝|OA| |OC| ＝ 1 |OC| ＝ 3，所以 a＝|OC|＝ 3 3 ，即圆心坐标为 ± 3 3 ，0 ，r2＝|AC|2＝12＋ ± 3 3 2＝4 3.所以圆的方程为 x± 3 3 2＋y2＝4 3. 8．已知圆 C：(x－3)2＋(y－4)2＝1 和两点 A(－m,0)，B(m，0)(m>0)．若圆 C 上存在点 P，使得 ∠APB＝90°，则 m 的最大值为( ) A．7 B．6 C．5 D．4 解析：选 B 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心 C 的坐标为(3,4)，半径 r＝1， 且|AB|＝2m，因为∠APB＝90°，连接 OP，易知|OP|＝1 2|AB|＝m.要求 m 的最大值，即求圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离．因为|OC|＝ 32＋42＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即 m 的最大值为 6. 二、填空题 9．在平面直角坐标系内，若圆 C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0 上所有的点均在第四 象限内，则实数 a 的取值范围为____________． 解析：圆 C 的标准方程为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4， 所以圆心为(－a,2a)，半径 r＝2， 故由题意知 a<0， |－a|>2， |2a|>2， 解得 a<－2， 故实数 a 的取值范围为(－∞，－2)． 答案：(－∞，－2) 10．当方程 x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0 所表示的圆的面积取最大值时，直线 y＝(k－1)x＋2 的倾斜角α＝________. 解析：由题意知，圆的半径 r＝1 2 k2＋4－4k2＝1 2 4－3k2≤1， 当半径 r 取最大值时，圆的面积最大，此时 k＝0，r＝1， 所以直线方程为 y＝－x＋2，则有 tan α＝－1， 又α∈[0，π)，故α＝3π 4 . 答案：3π 4 11．已知圆 C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0 的圆心在直线 ax－by＋1＝0 上，则 ab 的取值范 围是__________． 解析：把圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆心坐标为(－1,2)， 根据题意可知，圆心在直线 ax－by＋1＝0 上， 把圆心坐标代入直线方程得，－a－2b＋1＝0，即 a＝1－2b， 则 ab＝(1－2b)b＝－2b2＋b＝－2 b－1 4 2＋1 8 ≤1 8 ， 当 b＝1 4 时，ab 有最大值1 8 ，故 ab 的取值范围为 －∞，1 8 . 答案： －∞，1 8 12．已知圆 O：x2＋y2＝1，直线 x－2y＋5＝0 上的动点 P，过点 P 作圆 O 的一条切线， 切点为 A，则|PA|的最小值为________． 解析：过 O 作 OP 垂直于直线 x－2y＋5＝0，过 P 作圆 O 的切线 PA，连接 OA， 易知此时|PA|的值最小．由点到直线的距离公式，得|OP|＝|1×0－2×0＋5| 12＋－22 ＝ 5. 又|OA|＝1，所以|PA|＝ |OP|2－|OA|2＝2. 答案：2 三、解答题 13．(2018·湖南六校联考)已知直线 l：4x＋3y＋10＝0，半径为 2 的圆 C 与 l 相切，圆心 C 在 x 轴上且在直线 l 的右上方． (1)求圆 C 的方程； (2)过点 M(1,0)的直线与圆 C 交于 A，B 两点(A 在 x 轴上方)，问在 x 轴正半轴上是否存 在定点 N，使得 x 轴平分∠ANB？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)设圆心 C(a,0) a＞－5 2 ，则|4a＋10| 5 ＝2⇒a＝0 或 a＝－5(舍去)． 所以圆 C 的方程为 x2＋y2＝4. (2)当直线 AB⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB. 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y＝k(x－1)， N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 x2＋y2＝4， y＝kx－1， 得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0， 所以 x1＋x2＝ 2k2 k2＋1 ，x1x2＝k2－4 k2＋1 . 若 x 轴平分∠ANB， 则 kAN＝－kBN⇒ y1 x1－t ＋ y2 x2－t ＝0⇒kx1－1 x1－t ＋kx2－1 x2－t ＝0 ⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0 ⇒2k2－4 k2＋1 －2k2t＋1 k2＋1 ＋2t＝0⇒t＝4， 所以当点 N 为(4,0)时，能使 x 轴平分∠ANB. 14．在△OAB 中，已知 O(0,0)，A(8,0)，B(0,6)，△OAB 的内切圆的方程为(x－2)2＋(y －2)2＝4，P 是圆上一点． (1)求点 P 到直线 l：4x＋3y＋11＝0 的距离的最大值和最小值； (2)若 S＝|PO|2＋|PA|2＋|PB|2，求 S 的最大值和最小值． 解：(1)由题意得圆心(2,2)到直线 l：4x＋3y＋11＝0 的距离 d＝|4×2＋3×2＋11| 42＋32 ＝25 5 ＝5 ＞2，故点 P 到直线 l 的距离的最大值为 5＋2＝7，最小值为 5－2＝3. (2)设点 P 的坐标为(x，y)， 则 S＝x2＋y2＋(x－8)2＋y2＋x2＋(y－6)2 ＝3(x2＋y2－4x－4y)－4x＋100＝－4x＋88， 而(x－2)2≤4，所以－2≤x－2≤2， 即 0≤x≤4，所以－16≤－4x≤0，所以 72≤S≤88， 即当 x＝0 时，Smax＝88，当 x＝4 时，Smin＝72. 1．已知圆 O：x2＋y2＝1，圆 B：(x－3)2＋(y－4)2＝4，P 是平面内一动点，过点 P 作圆 O，圆 B 的切线，切点分别为 D，E，若|PE|＝|PD|，则点 P 到坐标原点 O 的距离的最小值 为__________． 解析：设 P(x，y)，因为|PE|＝|PD|，|PD|2＋|OD|2＝|PO|2，|PE|2＋|BE|2＝|PB|2， 所以 x2＋y2－1＝(x－3)2＋(y－4)2－4， 整理得：3x＋4y－11＝0, 点 P 到坐标原点 O 的距离的最小值就是点 O 到 3x＋4y－11＝0 的距离， 所以点 P 到坐标原点 O 的距离的最小值为 11 32＋42 ＝11 5 . 答案：11 5 2．已知圆 C 过点 P(1,1)，且与圆 M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)关于直线 x＋y＋2＝0 对称． (1)求圆 C 的方程； (2)设 Q 为圆 C 上的一个动点，求 PQ―→ ·MQ―→的最小值． 解：(1)设圆心 C(a，b)，由已知得 M(－2，－2)， 则 a－2 2 ＋b－2 2 ＋2＝0， b＋2 a＋2 ＝1， 解得 a＝0， b＝0， 则圆 C 的方程为 x2＋y2＝r2， 将点 P 的坐标代入得 r2＝2，故圆 C 的方程为 x2＋y2＝2. (2)设 Q(x，y)，则 x2＋y2＝2， PQ―→ ·MQ―→＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2. 令 x＝ 2cos θ，y＝ 2sin θ， 所以 PQ―→ ·MQ―→＝x＋y－2＝ 2(sin θ＋cos θ)－2＝2sin θ＋π 4 －2， 又 sin θ＋π 4 min＝－1，所以 PQ―→·MQ―→的最小值为－4.