2019版一轮复习理数通用版“导数及其应用”双基过关检测 5页

“导数及其应用”双基过关检测 一、选择题 1．已知函数 f(x)＝logax(a>0 且 a≠1)，若 f′(1)＝－1，则 a＝( ) A．e B. 1 e C.1 e2 D.1 2 解析：选 B 因为 f′(x)＝ 1 xln a ，所以 f′(1)＝ 1 ln a ＝－1，所以 ln a＝－1，所以 a＝1 e. 2．直线 y＝kx＋1 与曲线 y＝x2＋ax＋b 相切于点 A(1,3)，则 2a＋b 的值为( ) A．－1 B．1 C．2 D．－2 解析：选 C 由曲线 y＝x2＋ax＋b，得 y′＝2x＋a， 由题意可得 k＋1＝3， k＝2＋a， 1＋a＋b＝3， 解得 k＝2， a＝0， b＝2， 所以 2a＋b＝2. 3．函数 y＝2x3－3x2 的极值情况为( ) A．在 x＝0 处取得极大值 0，但无极小值 B．在 x＝1 处取得极小值－1，但无极大值 C．在 x＝0 处取得极大值 0，在 x＝1 处取得极小值－1 D．以上都不对 解析：选 C y′＝6x2－6x， 由 y′＝6x2－6x>0，可得 x>1 或 x<0， 即单调增区间是(－∞，0)，(1，＋∞)． 由 y′＝6x2－6x<0，可得 01，所以 m≤1. 5．函数 f(x)＝(x－3)ex 的单调递增区间是( ) A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) 解析：选 D 依题意得 f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex， 令 f′(x)>0，解得 x>2， ∴f(x)的单调递增区间是(2，＋∞)．故选 D. 6．已知函数 f(x)＝x(x－m)2 在 x＝1 处取得极小值，则实数 m＝( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选 B f(x)＝x(x2－2mx＋m2)＝x3－2mx2＋m2x， 所以 f′(x)＝3x2－4mx＋m2＝(x－m)(3x－m)． 由 f′(1)＝0 可得 m＝1 或 m＝3. 当 m＝3 时，f′(x)＝3(x－1)(x－3)， 当 13 时，f′(x)>0，此时在 x＝1 处取得极大值，不合 题意， ∴m＝1，此时 f′(x)＝(x－1)(3x－1)， 当1 31 时，f′(x)>0， 此时在 x＝1 处取得极小值．选 B. 7．由曲线 y＝x2－1，直线 x＝0，x＝2 和 x 轴所围成的封闭图形的面积是( ) A.错误!(x2－1)dx B.错误!|x2－1|dx C.错误!(x2－1)dx D.错误!(x2－1)dx＋错误!(1－x2)dx 解析：选 B 作出封闭图形的示意图如图所示， 易得所围成的封闭图形的面积是 S＝错误!(1－x2)dx＋错误!(x2－1)dx＝错误!|x2－1|dx. 8．若函数 f(x)＝ 1－2x，x≤0， x3－3x＋a，x>0 的值域为[0，＋∞)， 则 实 数 a 的取值范围是( ) A．[2,3] B．(2,3] C．(－∞，2] D．(－∞，2) 解析：选 A 当 x≤0 时，0≤f(x)＝1－2x<1； 当 x>0 时，f(x)＝x3－3x＋a，f′(x)＝3x2－3， 当 x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 所以当 x＝1 时，函数 f(x)取得最小值 f(1)＝1－3＋a＝a－2. 由题意得 0≤a－2≤1，解得 2≤a≤3，选 A. 二、填空题 9．若函数 f(x)＝x＋aln x 不是单调函数，则实数 a 的取值范围是________． 解析：由题意知 f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝1＋a x ，要使函数 f(x)＝x＋aln x 不是单调函数， 则需方程 1＋a x ＝0 在(0，＋∞)上有解，即 x＝－a，∴a<0. 答案：(－∞，0) 10．已知函数 f(x)＝ln x－f′(－1)x2＋3x－4，则 f′(1)＝________. 解析：∵f′(x)＝1 x －2f′(－1)x＋3， ∴f′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3， ∴f′(－1)＝－2，∴f′(1)＝1＋4＋3＝8. 答案：8 11．已知函数 f(x)的图象在点 M(1，f(1))处的切线方程是 y＝1 2x＋3，则 f(1)＋f′(1)＝ ________. 解析：由题意知 f′(1)＝1 2 ，f(1)＝1 2 ×1＋3＝7 2 ， ∴f(1)＋f′(1)＝7 2 ＋1 2 ＝4. 答案：4 12．已知函数 g(x)满足 g(x)＝g′(1)ex－1－g(0)x＋1 2x2，且存在实数 x0，使得不等式 2m－1≥g(x0)成立，则实数 m 的取值范围为________． 解析：g′(x)＝g′(1)ex－1－g(0)＋x， 令 x＝1 时，得 g′(1)＝g′(1)－g(0)＋1， ∴g(0)＝1，g(0)＝g′(1)e0－1＝1， ∴g′(1)＝e， ∴g(x)＝ex－x＋1 2x2，g′(x)＝ex－1＋x， 当 x<0 时，g′(x)<0，当 x>0 时，g′(x)>0， ∴当 x＝0 时，函数 g(x)取得最小值 g(0)＝1. 根据题意得 2m－1≥g(x)min＝1，∴m≥1. 答案：[1，＋∞) 三、解答题 13．已知函数 f(x)＝x＋a x ＋b(x≠0)，其中 a，b∈R. (1)若曲线 y＝f(x)在点 P(2，f(2))处的切线方程为 y＝3x＋1，求函数 f(x)的解析式； (2)讨论函数 f(x)的单调性； (3)若对于任意的 a∈ 1 2 ，2 ，不等式 f(x)≤10 在 1 4 ，1 上恒成立，求实数 b 的取值范围． 解：(1)f′(x)＝1－ a x2(x≠0)， 由已知及导数的几何意义得 f′(2)＝3，则 a＝－8. 由切点 P(2，f(2))在直线 y＝3x＋1 上可得－2＋b＝7，解得 b＝9， 所以函数 f(x)的解析式为 f(x)＝x－8 x ＋9. (2)由(1)知 f′(x)＝1－ a x2(x≠0)． 当 a≤0 时，显然 f′(x)>0，这时 f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数． 当 a>0 时，令 f′(x)＝0，解得 x＝± a， 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－ a) － a (－ a，0) (0， a) ( a，＋∞) f′(x) ＋ 0 － － 0 ＋ f(x) 极大值 极小值 所以当 a>0 时，f(x)在(－∞，－ a)，( a，＋∞)上是增函数，在(－ a，0)，(0， a) 上是减函数． (3)由 (2)知 ， 对 于 任 意的 a ∈ 1 2 ，2 ， 不 等 式 f(x)≤10 在 1 4 ，1 上 恒 成 立 等 价于 f 1 4 ≤10， f1≤10， 即 b≤39 4 －4a， b≤9－a 对于任意的 a∈ 1 2 ，2 成立，从而得 b≤7 4 ， 所以实数 b 的取值范围是 －∞，7 4 . 14．已知函数 f(x)＝x 4 ＋a x －ln x－3 2 ，其中 a∈R，且曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线 垂直于直线 y＝1 2x. (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间与极值． 解：(1)对 f(x)求导，得 f′(x)＝1 4 － a x2 －1 x(x>0)， 由 f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线 y＝1 2x， 知 f′(1)＝－3 4 －a＝－2，解得 a＝5 4. (2)由(1)知 f(x)＝x 4 ＋ 5 4x －ln x－3 2 ， 则 f′(x)＝x2－4x－5 4x2 ， 令 f′(x)＝0，解得 x＝－1 或 x＝5. 因为 x＝－1 不在 f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当 x∈(0,5)时，f′(x)<0，故 f(x)在(0,5)内为减函数； 当 x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故 f(x)在(5，＋∞)内为增函数． 由此知函数 f(x)在 x＝5 时取得极小值 f(5)＝－ln 5，无极大值．