2019版一轮复习理数通用版“平面向量”双基过关检测 5页

“平面向量”双基过关检测 一、选择题 1．(2018·常州调研)已知 A，B，C三点不共线，且点 O满足 OA ―→ ＋OB ―→ ＋ OC ―→ ＝0，则 下列结论正确的是( ) A． OA ―→ ＝ 1 3 AB ―→ ＋ 2 3 BC ―→ B． OA ―→ ＝ 2 3 AB ―→ ＋ 1 3 BC ―→ C． OA ―→ ＝ 1 3 AB ―→ － 2 3 BC ―→ D． OA ―→ ＝－ 2 3 AB ―→ － 1 3 BC ―→ 解析：选 D ∵ OA ―→ ＋OB ―→ ＋ OC ―→ ＝0， ∴O为△ABC的重心， ∴ OA ―→ ＝－ 2 3 × 1 2 ( AB ―→ ＋ AC ―→ )＝－ 1 3 ( AB ―→ ＋ AC ―→ ) ＝－ 1 3 ( AB ―→ ＋ AB ―→ ＋ BC ―→ )＝－ 1 3 (2 AB ―→ ＋ BC ―→ ) ＝－ 2 3 AB ―→ － 1 3 BC ―→ . 2．(2018·合肥质检)已知 O，A，B，C为同一平面内的四个点，若 2 AC ―→ ＋ CB ―→ ＝0，则 向量 OC ―→ 等于( ) A.2 3 OA ―→ － 1 3 OB ―→ B．－ 1 3 OA ―→ ＋ 2 3 OB ―→ C．2 OA ―→ －OB ―→ D．－ OA ―→ ＋2OB ―→ 解析：选 C 因为 AC ―→ ＝ OC ―→ － OA ―→ ， CB ―→ ＝OB ―→ － OC ―→ ， 所以 2 AC ―→ ＋ CB ―→ ＝2( OC ―→ － OA ―→ )＋(OB ―→ － OC ―→ ) ＝ OC ―→ －2 OA ―→ ＋OB ―→ ＝0， 所以 OC ―→ ＝2 OA ―→ －OB ―→ . 3．已知向量 a与 b 的夹角为 30°，且|a|＝ 3，|b|＝2，则|a－b|的值为( ) A．1 B. 13 C．13 D. 7－2 3 解析：选 A 由向量 a与 b 的夹角为 30°，且|a|＝ 3，|b|＝2， 可得 a·b＝|a|·|b|·cos 30°＝ 3×2× 3 2 ＝3， 所以|a－b|＝ a－b2＝ a2＋b2－2a·b＝ 3＋4－2×3＝1. 4．(2018·成都一诊)在边长为 1 的等边△ABC 中，设 BC ―→ ＝a， CA ―→ ＝b， AB ―→ ＝c，则 a·b＋b·c＋c·a＝( ) A．－ 3 2 B．0 C.3 2 D．3 解析：选 A 依题意有 a·b＋b·c＋c·a＝ － 1 2 ＋ － 1 2 ＋ － 1 2 ＝－ 3 2 . 5．已知非零向量 a，b 满足 a·b＝0，|a|＝3，且 a 与 a＋b 的夹角为 π 4 ，则|b|＝( ) A．6 B．3 2 C．2 2 D．3 解析：选 D 由非零向量 a，b 满足 a·b＝0，可知两个向量垂直， 由|a|＝3，且 a与 a＋b 的夹角为 π 4 ， 说明以向量 a，b 为邻边，a＋b 为对角线的平行四边形是正方形， 所以|b|＝3. 6．(2017·青岛二模)在平面直角坐标系中，已知向量 a＝(1,2)，a－ 1 2 b＝(3,1)，c＝(x,3)， 若(2a＋b)∥c，则 x＝( ) A．－2 B．－4 C．－3 D．－1 解析：选 D 依题意得 b＝2 a－ a－1 2 b ＝(－4,2)， 所以 2a＋b＝(－2,6)，所以 6x＝－2×3＝－6，x＝－1. 7．在平面直角坐标系 xOy中，已知 A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一点， 且∠AOC＝π 4 ，且| OC ―→ |＝2，若 OC ―→ ＝λ OA ―→ ＋μOB ―→ ，则λ＋μ＝( ) A．2 2 B. 2 C．2 D．4 2 解析：选 A 因为| OC ―→ |＝2，∠AOC＝π 4 ， 所以 C( 2， 2)， 又 OC ―→ ＝λ OA ―→ ＋μOB ―→ ， 所以( 2， 2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)， 所以λ＝μ＝ 2，λ＋μ＝2 2. 8.已知函数 f(x)＝Asin(πx＋φ)的部分图象如图所示，点 B，C 是 该图象与 x轴的交点，过点 C的直线与该图象交于 D，E两点，则 ( BD ―→ ＋ BE ―→ )·( BE ―→ － CE ―→ ) 的值为( ) A．－1 B．－ 1 2 C.1 2 D．2 解析：选 D 注意到函数 f(x)的图象关于点 C对称， 因此 C是线段 DE的中点， BD ―→ ＋ BE ―→ ＝2 BC ―→ . 又 BE ―→ － CE ―→ ＝ BE ―→ ＋ EC ―→ ＝ BC ―→ ， 且| BC ―→ |＝1 2 T＝1 2 × 2π π ＝1， 因此( BD ―→ ＋ BE ―→ )·( BE ―→ － CE ―→ )＝2 BC ―→2＝2. 二、填空题 9．(2018·洛阳一模)若三点 A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数 a 的值为 ________． 解析：∵ AB ―→ ＝(a－1,3)， AC ―→ ＝(－3,4)， 据题意知 AB ―→ ∥ AC ―→ ， ∴4(a－1)＝3×(－3)， 即 4a＝－5， ∴a＝－ 5 4 . 答案：－ 5 4 10．已知▱ABCD的对角线 AC和 BD相交于 O，且 OA ―→ ＝a，OB ―→ ＝b，则 DC ―→ ＝________， BC ―→ ＝________.(用 a，b 表示) 解析：如图， DC ―→ ＝ AB ―→ ＝OB ―→ － OA ―→ ＝b－a， BC ―→ ＝ OC ―→ －OB ―→ ＝－ OA ―→ －OB ―→ ＝－a－b. 答案：b－a －a－b 11．已知向量 a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若 ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则 m－n的值 为________． 解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴ 2m＋n＝9， m－2n＝－8， ∴ m＝2， n＝5， ∴m－n＝2－5＝－3. 答案：－3 12．若向量 a＝(2,3)，b＝(－4,7)，a＋c＝0，则 c 在 b 方向上的投影为________． 解析：∵a＋c＝0，∴c＝－a＝(－2，－3)， ∴c·b＝8－21＝－13，且|b|＝ 65， ∴c 在 b 方向上的投影为|c|cos〈c，b〉＝|c|· c·b |c||b| ＝ c·b |b| ＝－ 13 65 ＝－ 65 5 . 答案：－ 65 5 三、解答题 13．已知向量 a＝(3,0)，b＝(－5,5)，c＝(2，k)． (1)求向量 a 与 b 的夹角； (2)若 b∥c，求 k的值； (3)若 b⊥(a＋c)，求 k的值． 解：(1)设向量 a 与 b 的夹角为θ， ∵a＝(3,0)，b＝(－5,5)， ∴a·b＝3×(－5)＋0×5＝－15，|a|＝3，|b|＝ －52＋52＝5 2， ∴cos θ＝ a·b |a|·|b| ＝ －15 3×5 2 ＝－ 2 2 . 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π 4 . (2)∵b∥c，∴－5k＝5×2，∴k＝－2. (3)∵a＋c＝(5，k)，又 b⊥(a＋c)，∴b·(a＋c)＝0， ∴－5×5＋5×k＝0，∴k＝5. 14．在平面直角坐标系 xOy中，已知向量 m＝ 2 2 ，－ 2 2 ，n＝(sin x，cos x)，x∈ 0，π 2 . (1)若 m⊥n，求 tan x的值； (2)若 m与 n的夹角为 π 3 ，求 x的值． 解：(1)若 m⊥n，则 m·n＝0. 由向量数量积的坐标公式得 2 2 sin x－ 2 2 cos x＝0，∴tan x＝1. (2)∵m与 n的夹角为 π 3 ，∴m·n＝|m|·|n|cos π 3 ， 即 2 2 sin x－ 2 2 cos x＝1 2 ，∴sin x－π 4 ＝ 1 2 . 又∵x∈ 0，π 2 ，∴x－π 4 ∈ － π 4 ， π 4 ，∴x－π 4 ＝ π 6 ，即 x＝5π 12 .