辽宁省辽南协作校2020届高三第一次模拟考试数学（理）试题 Word版含解析 23页

www.ks5u.com ‎2019——2020学年度下学期高三第一次模拟考试试题 数学（理科）‎ 一、选择题 ‎1.已知集合，，若，则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可知，进而可求得集合，即可求得.‎ ‎【详解】集合，，，‎ 则，所以，‎ 则，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了元素与集合关系，根据交集运算结果得集合，集合并集的简单运算，属于基础题.‎ ‎2.已知复数满足，为虚数单位，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数满足，利用复数的除法求解.‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查复数的运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ - 23 -‎ ‎3.设是向量，则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由无法得到，充分性不成立；由，得，两向量的模不一定相等，必要性不成立，故选D.‎ ‎【考点】充要条件,向量运算 ‎【名师点睛】由向量数量积的定义(为，的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近几年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.‎ ‎4.若空间中三条两两不同的直线，，，满足，，则下列结论一定正确的是( )‎ A. B. 与既不垂直又不平行 C. D. 与的位置关系不确定 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，，将三条线段置于正方体中，即可判断各选项.‎ ‎【详解】空间中三条两两不同的直线，，，满足，，‎ 位置关系可如下图所示：‎ - 23 -‎ 根据图示可知，当取两个不同位置时，满足，，可排除ABC选项，‎ 即与的位置关系不确定，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了空间中直线与直线位置关系的判断，属于基础题.‎ ‎5.已知正三棱锥，点、、、都在直径为的球面上，若、、两两互相垂直，则该正三棱锥的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将正三棱锥补形成正方体，根据几何体外接球的直径，计算出的长，由此求得正三棱锥的体积.‎ ‎【详解】将正三棱锥补形成正方体，如下图所示.设，‎ 由于正三棱锥的外接球和正方体的外接球相同，‎ 正方体的体对角线即为外接球的直径，‎ 即，‎ 所以正三棱锥的体积为.‎ 故选：A - 23 -‎ ‎【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，属于基础题.‎ ‎6.点到抛物线的准线的距离为6，则该抛物线的方程是（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据点到准线的距离为，分和两种情况分别求得，进而得到抛物线方程．‎ ‎【详解】当时，开口向上，准线方程为，则点到准线的距离为，求得，抛物线方程为，‎ 当时，开口向下，准线方程为，点到准线的距离为解得，抛物线方程为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的焦半径公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对抛物线开口方向的讨论.‎ - 23 -‎ ‎7.函数的值域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎，由于，故当时，函数取得最大值为，当时，函数取得最小值为，故函数的值域为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了同角三角函数关系，考查了二次函数最大值的求解方法，同时考查了化归与转化的数学思想方法.第一步首先用同角三角函数关系将化为，转化为同一个角的式子，为后续配方法做好准备.第第二步配方之后利用三角函数的值域，即可求得函数的值域.‎ ‎8.函数的图像大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 研究函数的定义域和奇偶性，用排除法求解．‎ ‎【详解】函数的定义域是，排除BD，‎ 又，即函数为奇函数．排除A．‎ - 23 -‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查由函数解析式选取函数图象．这类问题可研究函数的性质，求定义域，值域，研究奇偶性，单调性，对称性等，研究特殊值，特殊点（如顶点，与坐标轴交点），函数值的正负，变化趋势等，采取排除法．‎ ‎9.函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象　　‎ A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由图象知，，，，，得，所以，为了得到的图象，所以只需将的图象向右平移个长度单位即可，故选D．‎ 考点：三角函数图象.‎ ‎10.如图所示，为了测量，处岛屿的距离，小明在处观测，，分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶40海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则，两处岛屿间的距离为（ ）‎ A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 40海里 ‎【答案】A ‎【解析】‎ - 23 -‎ 在中，，所以，‎ 由正弦定理可得：，解得，‎ 在中，，所以，‎ 在中，由余弦定理可得：‎ ‎，解得.‎ ‎11. 甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是（ ）‎ A. 甲得9张，乙得3张 B. 甲得6张，乙得6张 C. 甲得8张，乙得4张 D. 甲得10张，乙得2张 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由题意可知：乙获得12张游戏牌概率为，所以甲应分得张牌，乙应分得张牌，故选A．‎ 考点：排列组合问题．‎ ‎12.已知双曲线的两顶点分别为，，为双曲线的一个焦点，为虚轴的一个端点，若在线段（不含端点）上存在两点，，使得，则双曲线的渐近线斜率的平方的取值范围是( )‎ A. B. ‎ - 23 -‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，先求得直线的方程，由在线段（不含端点）上存在两点，，使得可得线段与以为直径的圆相交，即可求得；再根据即可得双曲线的渐近线斜率的平方的取值范围.‎ ‎【详解】双曲线，为双曲线的一个焦点，为虚轴的一个端点，‎ 不妨设，‎ 则直线的方程为，‎ 因为在线段（不含端点）上存在两点，，使得，‎ 所以线段与以为直径的圆相交，即，‎ 化简可得，‎ 双曲线中满足，代入上述不等式可得，‎ 则，‎ 由在线段（不含端点）上存在两点，，使得可知，‎ 所以，即双曲线的渐近线斜率的平方的取值范围为，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线几何性质的简单应用，渐近线斜率取值范围的应用，直线与圆位置关系的判断及应用，属于中档题.‎ 二、填空题 - 23 -‎ ‎13.已知函数，则______．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分段函数解析式，求得所求表达式的值.‎ ‎【详解】依题意，.‎ 故答案为.‎ ‎14.我国古代数学名著《数术九章）有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1530石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒.估计这批米内所夹的谷有______石.‎ ‎【答案】170‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等古典概型概率公式求法即可得解.‎ ‎【详解】由等可能事件概率公式可知，这批米内所夹的谷有 ‎ 石 故答案为：170.‎ ‎【点睛】本题考查了古典概型概率的求法，属于基础题.‎ ‎15.考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间.当有机体生存时，会持续不断地吸收碳14，从而其体内的碳14含量会保持在一定的水平；但当有机体死亡后，就会停止吸收碳14，其体内的碳14含量就会逐渐减少，而且每经过大约5730年后会变为原来的一半.假设有机体生存时碳14的含量为1，如果用表示该有机体死亡年后体内碳14的含量，则与的关系式可以表示为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，建立函数模型，由经过大约5730年后会变为原来的一半可求得解析式.‎ - 23 -‎ ‎【详解】由题意可设，‎ 当时，，即，‎ 解得，‎ 所以，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数模型的选择，函数解析式的求法，属于基础题.‎ ‎16.已知，，对于时都有恒成立，则的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 构造函数，利用导数研究的最小值，由此列不等式，解不等式求得的取值范围.‎ ‎【详解】构造函数，‎ 依题意在区间上恒成立.‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以在区间上递减，在区间上递增，‎ - 23 -‎ 所以在区间的最小值为，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 所以在区间，，在区间，，‎ 所以当时，有最小值 ‎.‎ 依题意在区间上恒成立，‎ 所以，‎ 解得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.‎ 三、解答题 ‎17.数列的前项和，满足，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ ‎（1）根据，结合条件式即可判断数列为等比数列，即可由首项与公比求得数列的通项公式.‎ ‎（2）将数列的通项公式代入，结合对数式的化简即可知数列为等差乘等比形式，结合错位相减法即可得解.‎ ‎【详解】（1）∵，‎ ‎∴当时，.‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，故为等比数列，公比为3，首项为3.‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，可得.‎ ‎∴‎ 两式相减得 ‎ ‎ 可得 ‎【点睛】本题考查了递推公式证明数列为等比数列的方法，错位相减法的综合应用，属于中档题.‎ - 23 -‎ ‎18.港珠澳大桥是一座具有划时代意义的大桥.它连通了珠海香港澳门三地，大大缩短了三地的时空距离，盘活了珠江三角洲的经济，被誉为新的世界七大奇迹.截至2019年10月23日8点，珠海公路口岸共验放出入境旅客超过1400万人次，日均客流量已经达到4万人次，验放出入境车辆超过70万辆次，2019年春节期间，客流再次大幅增长，日均客流达8万人次，单日客流量更是创下11.3万人次的最高纪录.‎ ‎2019年从五月一日开始的连续100天客流量频率分布直方图如下 ‎（1）①同一组数据用该区间的中点值代替，根据频率分布直方图.估计客流量的平均数.‎ ‎②求客流量的中位数.‎ ‎（2）设这100天中客流量超过5万人次的有天，从这天中任取两天，设为这两天中客流量超过7万人的天数.求的分布列和期望．‎ ‎【答案】（1）①4.15，②4.125；（2）分布列见解析，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）①根据频率分布直方图估计平均数的方法，计算出平均数；‎ ‎②根据频率分布直方图估计中位数的方法，计算出中位数；‎ ‎（2）根据超几何分布的分布列和数学期望的计算方法，计算出的分布列和期望.‎ ‎【详解】（1）①平均值为 ‎②设中位数为，则 解得中位数为 ‎（2）可知其中超过7万人次的有5天 - 23 -‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 所以 ‎【点睛】本小题主要考查利用频率分布直方图估计平均数和中位数，考查超几何分布的分布列和期望的计算，属于基础题.‎ ‎19.如图，四棱柱中，平面，，，，，为棱的中点 ‎ ‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过勾股定理计算证明证得，再证得，由此证得平面，从而证得.‎ - 23 -‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，利用得出点的坐标，根据直线与平面所成角的正弦值为列方程，解方程求得的值，进而求得线段的长.‎ ‎【详解】（1）在中，，‎ ‎，∴，‎ ‎∵平面，平面∥平面，‎ ‎∴平面，又∥，所以平面，‎ 所以且 ‎∴平面，‎ ‎∴‎ ‎（2）由题可知，，，两两垂直，以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，，‎ ‎，，设，则 则 易知为平面的一个法向量.‎ 设为直线与平面所成角，则 解得，（舍去）‎ 所以，，故线段的长为.‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查根据线面角求线段的长，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎20.已知椭圆的标准方程是，设是椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过做的垂线交椭圆于点，.‎ ‎（1）证明：线段平分线段（其中为坐标原点）；‎ ‎（2）当最小时，求点的坐标.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由椭圆的标准方程可得的坐标，设点坐标为，可得直线的斜率，讨论与两种情况，设直线的方程是，，；联立直线与椭圆方程，即可用表示点的坐标，即可证明结论.‎ ‎（2）由（1）结合弦长公式，表示出，即可得，结合基本不等式即可求得最小值及最小值时的值，进而得点的坐标.‎ ‎【详解】（1）证明：椭圆的标准方程是，‎ 设是椭圆的左焦点，为直线上任意一点，‎ 所以得坐标为，设点坐标为，‎ 则直线的斜率，‎ - 23 -‎ 当时，直线的斜率，‎ 直线的方程是，‎ 当时，直线的方程，‎ 也符合方程的形式，‎ 设，，将直线的方程与椭圆的方程联立得：‎ 消去得，‎ 有，‎ 设的中点的坐标为，‎ ‎， ，‎ 所以直线的斜率，又因为直线的斜率，‎ 所以点在直线上，因此线段平分线段.‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 所以，‎ 当且仅当，‎ 即时等号成立，此时取得最小值，‎ 点的坐标为或 - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的几何性质的应用，由韦达定理分析弦的中点坐标问题，线段比值最值的求法，基本不等式的应用，属于中档题.‎ ‎21.已知函数 ‎（1）若函数在点处的切线与轴平行，求实数的值及函数在区间上的单调区间；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若，，求证：.（为的导函数）‎ ‎【答案】（1），函数的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用求得的值.再结合求得在区间上的单调区间.‎ ‎（2）将要证明的不等式转化为证明，进一步转化为证明.利用构造函数法，结合导数证得在区间上成立，由此证得不等式成立.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎∴‎ 所以 当时，，递减，当时，，递增 所以函数的递增区间为，递减区间为 - 23 -‎ ‎（2）由（1）知与异号，不妨设，则 因为在单调递减，‎ 要证，需要证明，需要证明 因 ‎∴需证，‎ 因为 即需要证明，即 即 令 所以在上递增 综上 ‎【点睛】本小题主要考查根据切线的斜率求参数，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，（满分10分）‎ 选修4-4：坐标系与参数方程选讲 ‎22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，‎ - 23 -‎ ‎），在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的单位长度，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴）中，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）若可，试判断曲线和的位置关系；‎ ‎（2）若曲线与交于点，两点，且，满足.求的值.‎ ‎【答案】（1）相离；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入，可将和转化为直角坐标方程，结合点到直线距离即可判断和的位置关系；‎ ‎（2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，由参数方程的几何意义即可确定的关系，进而求得的值.‎ ‎【详解】（1）曲线的参数方程为，化为普通方程为，‎ 曲线的极坐标方程为，‎ ‎∴的直角坐标方程，是以为圆心，1为半径的圆，‎ 因为圆心到直线的距离，‎ 所以曲线和相离.‎ ‎（2）将代入.‎ 整理得，‎ 由得，‎ - 23 -‎ 设交点，对应的参数分别为，，‎ 则，‎ 因此所以，‎ 又，‎ 所以，‎ 即，‎ 所以，‎ 解得，‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程几何意义的应用，属于中档题.‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）解不等式：；‎ ‎（Ⅱ）若函数的最小值为，且，求的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）去掉绝对值符号转化为分段函数求解即可（Ⅱ）求出分段函数最小值，则，，，根据，利用均值不等式求最值即可.‎ - 23 -‎ ‎【详解】（Ⅰ） ‎ 可得当时，，即，所以无解；‎ 当时，，得，可得；‎ 当时，，得，可得.‎ ‎∴不等式的解集为.‎ ‎（Ⅱ）根据函数 可知当时，函数取得最小值，可知，‎ ‎∵，，，‎ ‎∴ .‎ 当且仅当，即时，取“=”.‎ ‎∴的最小值为1.‎ ‎【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，分段函数，均值不等式，属于中档题.‎ - 23 -‎ - 23 -‎