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- 2021-06-11 发布
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5.2(1) 任意角的三角比
上海市杨浦高级中学 方耀华
一、教学内容分析
通过平面直角坐标系定义了任意角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六个三角比,并利用与单位圆有关的线段,将前三个三角比的值分别用它们的几何形式表示出来;接着着重研究正弦、余弦、正切这三个三角比的条件和其在各个象限的符号;并根据三角比的定义,得出“终边重合的角的同一三角比的值相等”的结论及把此结论表示成为第一组诱导公式(公式一).
二、教学目标设计
(1) 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义,了解如何利用与单位圆有关的有向线段,将任意角的正弦、余弦、正切值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来;
(2) 了解余切、正割、余割的定义;掌握正弦、余弦、正切等三角比对角的条件要求;
(3) 体会同一角三角比的值,不因在其终边上取点的变化而变化,从而启示在研究问题时,要能在千变万化中,抓住事物的本质属性,不被表面现象所迷惑.
三、教学重点及难点
重点:任意角的三角比的定义.
难点:用单位圆中的有向线段表示角的正弦、余弦、正切值.
四、教学流程设计
实例引入
概念辨析
巩固练习
总结提炼
作业及反馈
拓展与思考
五、教学过程设计
一、情景引入
回顾:在初中我们学习了锐角的三角比,它是在直角三角形的条件下,通过角的对边、邻边与斜边之间两两的比值来定义的.例如:
引入:前面我们对角的概念进行了扩充,并学习了弧度制,知道角的集合与实数集是一一对应的,在这个基础上,今天我们研究任意角的三角比.
把锐角置于平面直角坐标系中,锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.易知在角的终边上,设它的坐标为,它与原点的距离,可发现作为锐角的三角比能用其终边上的点的坐标来定义,而这种定义方法可用于定义任意角的三角比.
二、学习新课
1、概念形成
n 任意角的三角比定义
设是一个任意角,在的终边上任取一点(除原点),
则与原点的距离,
比值叫做的正弦 记作:
比值叫做的余弦 记作:
比值叫做的正切 记作:
比值叫做的余切 记作:
比值叫做的正割 记作:
比值叫做的余割 记作:
提问:对于确定的角,这六个三角比值的大小与点在角终边上的位置是否有关?
利用相似三角形的知识,可以得出对于确定的角,这六个三角比值的大小与点在角的终边上的位置无关.
提问:根据这六个三角比的定义,是否对于任意的一个角,它的六个三角比都存在呢?
(1) 当角的终边在纵轴上时,即时,终边上任意一点的横坐标都为0,所以、无意义;
(2) 当角的终边在横轴上时,即时,终边上任意一点的纵坐标都为0,所以、无意义.
从而有: ]
[说明]]
(1) 以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题,其顶点都在原点,始边都与轴的非负半轴重合.
(2) 是角的终边,至于是转了几圈,按什么方向旋转的不清楚,也只有这样,才能说明角是任意的.
(3) 是个整体符号,不能认为是“”与“”的积,其余五个符号也是这样.
(4) 三角比值只与角的大小有关.
(5) 任意角三角比的定义与锐角三角比的定义的联系与区别:
任意角的三角比就包含了锐角三角比,实质上锐角三角比的定义与任意角的三角比的定义是一致的,锐角三角比是任意角三角比的一种特例. 所不同的是,锐角三角比是以边的比来定义的,任意角的三角比是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的.
为了便于记忆,我们可以利用两种三角比定义的一致性,将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限,使一锐角顶点与原点重合,一直角边与轴的非负半轴重合,利用我们熟悉的锐角三角比进行类比记忆.
2、三角比的一种几何表示
(一)单位圆和有向线段
(1) 单位圆:半径等于单位长度1的圆叫做单位圆.
(2) 有向线段(非严格定义):带有方向的线段叫做有向线段.
设任意角的顶点在原点,始边与轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点,过作轴的垂线,垂足为;过点作单位圆的切线,设它与角的终边(当在第一、四象限角时)或其反向延长线(当为第二、三象限角时)相交于.
规定:当与轴同向时为正值,当与轴反向时为负值;
当与轴同向时为正值,当与轴反向时为负值;
当与轴同向时为正值,当与轴反向时为负值;
根据上面规定,则,
利用单位圆有关的有向线段,作出正弦线,余弦线,正切线.如下图3.
图3
由正弦、余弦、正切三角比的定义有
这几条与单位圆有关的有向线段叫做角的正弦线、余弦线、正切线.当角的终边在轴上时,正弦线、正切线分别变成一个点;当角的终边在轴上时,余弦线变成一个点,正切线则不存在.
例1:已知角的终边经过点,求的六个三角函数值.
答:
提问:若将改为,如何求的六个三角函数值呢?(注意:分和两种情况进行讨论)
例2:求下列各角的六个三角比值
(1) (2) (3)
答:(1) ,
不存在,,不存在
(2) 不存在,
,不存在,.
(3) ,
,,.
例3:作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线
(1) (2)
[
如图,正弦线、余弦线、正切线分别为.
例4.求证:当为锐角时,.
证明:如右图,作单位圆,当时作出正弦线和正切 线,连,,
三、巩固练习
练习5.2(1)
四、课堂小结
(1)任意角的三角比的定义;
(2)三角比的几何表示——三角函数线;
(3)掌握分类讨论的思想(主要对象限的讨论);
(4)掌握数形结合的思想(对三角函数线的理解及其应用);
五、课后作业
练习册 P15-17
习题5.2 A组 1,2,3,9,10
习题5.2 B组 1,4
六、教学设计说明
1、 由任意角的三角比的定义可知,若已知角终边上一点,便可求出其各三角比的值,或通过三角比的定义,可知其二求其一.
(2)必须讲清并强调这六个比值的大小都与点 在角的终边上的位置无关,只与角的大小有关.
(3)教学中应注意,语言要准确严密.
(4)教学中,应当引导学生深刻认识三角比符号的含义.如这个符号,它表示,即角的正弦,不能把看成与的乘积.同时也应注意,每个三角比记号的第一个字母“ ”或“ ”或“ ”都不能大写,不能让学生写成“”、“”等
(5)本设计中的某些问题可能适合部分学生,教师应作适当选择.
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