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  • 2021-06-11 发布

上海教育高中数学一下任意角的三角比

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‎5.2(1) 任意角的三角比 ‎ 上海市杨浦高级中学 方耀华 一、教学内容分析 ‎  通过平面直角坐标系定义了任意角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六个三角比,并利用与单位圆有关的线段,将前三个三角比的值分别用它们的几何形式表示出来;接着着重研究正弦、余弦、正切这三个三角比的条件和其在各个象限的符号;并根据三角比的定义,得出“终边重合的角的同一三角比的值相等”的结论及把此结论表示成为第一组诱导公式(公式一).‎ 二、教学目标设计 ‎(1) 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义,了解如何利用与单位圆有关的有向线段,将任意角的正弦、余弦、正切值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来;‎ ‎(2) 了解余切、正割、余割的定义;掌握正弦、余弦、正切等三角比对角的条件要求;‎ ‎(3) 体会同一角三角比的值,不因在其终边上取点的变化而变化,从而启示在研究问题时,要能在千变万化中,抓住事物的本质属性,不被表面现象所迷惑.‎ 三、教学重点及难点 重点:任意角的三角比的定义.‎ 难点:用单位圆中的有向线段表示角的正弦、余弦、正切值.‎ 四、教学流程设计 实例引入 概念辨析 巩固练习 总结提炼 作业及反馈 拓展与思考 五、教学过程设计 ‎ 一、情景引入 回顾:在初中我们学习了锐角的三角比,它是在直角三角形的条件下,通过角的对边、邻边与斜边之间两两的比值来定义的.例如:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 引入:前面我们对角的概念进行了扩充,并学习了弧度制,知道角的集合与实数集是一一对应的,在这个基础上,今天我们研究任意角的三角比.‎ 把锐角置于平面直角坐标系中,锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.易知在角的终边上,设它的坐标为,它与原点的距离,可发现作为锐角的三角比能用其终边上的点的坐标来定义,而这种定义方法可用于定义任意角的三角比.‎ 二、学习新课 ‎1、概念形成 n 任意角的三角比定义 设是一个任意角,在的终边上任取一点(除原点),‎ 则与原点的距离,‎ 比值叫做的正弦 记作: ‎ 比值叫做的余弦 记作: ‎ 比值叫做的正切 记作: ‎ 比值叫做的余切 记作: ‎ 比值叫做的正割 记作: ‎ 比值叫做的余割 记作: ‎ 提问:对于确定的角,这六个三角比值的大小与点在角终边上的位置是否有关?‎ 利用相似三角形的知识,可以得出对于确定的角,这六个三角比值的大小与点在角的终边上的位置无关.‎ 提问:根据这六个三角比的定义,是否对于任意的一个角,它的六个三角比都存在呢?‎ ‎(1) 当角的终边在纵轴上时,即时,终边上任意一点的横坐标都为0,所以、无意义;‎ ‎(2) 当角的终边在横轴上时,即时,终边上任意一点的纵坐标都为0,所以、无意义.‎ 从而有: ]‎ ‎[说明]]‎ ‎(1) 以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题,其顶点都在原点,始边都与轴的非负半轴重合.‎ ‎(2) 是角的终边,至于是转了几圈,按什么方向旋转的不清楚,也只有这样,才能说明角是任意的.‎ ‎(3) 是个整体符号,不能认为是“”与“”的积,其余五个符号也是这样.‎ ‎(4) 三角比值只与角的大小有关.‎ ‎(5) 任意角三角比的定义与锐角三角比的定义的联系与区别:‎ 任意角的三角比就包含了锐角三角比,实质上锐角三角比的定义与任意角的三角比的定义是一致的,锐角三角比是任意角三角比的一种特例. 所不同的是,锐角三角比是以边的比来定义的,任意角的三角比是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的. ‎ 为了便于记忆,我们可以利用两种三角比定义的一致性,将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限,使一锐角顶点与原点重合,一直角边与轴的非负半轴重合,利用我们熟悉的锐角三角比进行类比记忆. ‎2、三角比的一种几何表示 ‎(一)单位圆和有向线段 ‎(1) 单位圆:半径等于单位长度1的圆叫做单位圆.‎ ‎(2) 有向线段(非严格定义):带有方向的线段叫做有向线段.‎ 设任意角的顶点在原点,始边与轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点,过作轴的垂线,垂足为;过点作单位圆的切线,设它与角的终边(当在第一、四象限角时)或其反向延长线(当为第二、三象限角时)相交于.‎ 规定:当与轴同向时为正值,当与轴反向时为负值;‎ ‎ 当与轴同向时为正值,当与轴反向时为负值;‎ ‎ 当与轴同向时为正值,当与轴反向时为负值;‎ 根据上面规定,则,‎ 利用单位圆有关的有向线段,作出正弦线,余弦线,正切线.如下图3.‎ 图3‎ 由正弦、余弦、正切三角比的定义有 这几条与单位圆有关的有向线段叫做角的正弦线、余弦线、正切线.当角的终边在轴上时,正弦线、正切线分别变成一个点;当角的终边在轴上时,余弦线变成一个点,正切线则不存在.‎ 例1:已知角的终边经过点,求的六个三角函数值.‎ 答: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 提问:若将改为,如何求的六个三角函数值呢?(注意:分和两种情况进行讨论)‎ 例2:求下列各角的六个三角比值 ‎(1)   (2)   (3)  ‎ 答:(1) ,‎ 不存在,,不存在 ‎  (2) 不存在,‎ ‎,不存在,.‎ ‎  (3) ,‎ ‎,,.‎ 例3:作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线 ‎(1) (2) ‎ ‎[‎ 如图,正弦线、余弦线、正切线分别为.‎ 例4.求证:当为锐角时,.‎ 证明:如右图,作单位圆,当时作出正弦线和正切 线,连,, ‎ ‎   ‎ 三、巩固练习 练习5.2(1)‎ 四、课堂小结 ‎(1)任意角的三角比的定义;‎ ‎(2)三角比的几何表示——三角函数线;‎ ‎(3)掌握分类讨论的思想(主要对象限的讨论);‎ ‎(4)掌握数形结合的思想(对三角函数线的理解及其应用);‎ 五、课后作业 练习册 P15-17‎ 习题5.2 A组 1,2,3,9,10‎ 习题5.2 B组 1,4‎ 六、教学设计说明 1、 由任意角的三角比的定义可知,若已知角终边上一点,便可求出其各三角比的值,或通过三角比的定义,可知其二求其一.‎ ‎(2)必须讲清并强调这六个比值的大小都与点 在角的终边上的位置无关,只与角的大小有关.‎ ‎(3)教学中应注意,语言要准确严密. ‎ ‎(4)教学中,应当引导学生深刻认识三角比符号的含义.如这个符号,它表示,即角的正弦,不能把看成与的乘积.同时也应注意,每个三角比记号的第一个字母“ ”或“ ”或“ ”都不能大写,不能让学生写成“”、“”等 ‎ (5)本设计中的某些问题可能适合部分学生,教师应作适当选择.‎