高中数学必修4：1_1_1任意角（教、学案） 7页

‎1. 1.1‎任意角 一、教材分析 ‎“任意角的三角函数”是本章教学内容的基本概念，它又是学好本章教学内容的关键。它是学生在学习了锐角三角函数后，对三角函数有一定的了解的基础上，进行的推广。它又是下面学习平面向量、解析几何等内容的必要准备。并且，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念。‎ 二、教学目标 ‎1.理解任意角的概念；‎ ‎2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写。‎ 三、教学重点难点 ‎1．判断已知角所在象限；‎ ‎2．终边相同的角的书写。‎ 四、学情分析 五、教学方法 ‎1.本节教学方法采用教师引导下的讨论法，通过多媒体课件在教师的带领下，学生发现就概念、就方法的不足之处，进而探索新的方法，形成新的概念，突出数形结合思想与方法在概念形成与形式化、数量化过程中的作用，是一节体现数学的逻辑性、思想性比较强的课.‎ ‎2．学案导学：见后面的学案。‎ ‎3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 六、课前准备 七、课时安排：1课时 八、教学过程 ‎（一）复习引入：‎ ‎1．初中所学角的概念。‎ ‎2．实际生活中出现一系列关于角的问题。‎ ‎（二）新课讲解：‎ ‎1．角的定义：一条射线绕着它的端点，从起始位置旋转到终止位置，形成 一个角，点 是角的顶点，射线分别是角的终边、始边。‎ 说明：在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以简记为．‎ ‎2．角的分类：‎ 正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；‎ 负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；‎ 零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角。‎ 说明：零角的始边和终边重合。‎ ‎3．象限角：‎ 在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负轴重合，则 ‎（1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。‎ 例如：都是第一象限角；是第四象限角。‎ ‎（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。例如：等等。‎ 说明：角的始边“与轴的非负半轴重合”不能说成是“与轴的正半轴重合”。因为 轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线。‎ ‎4．终边相同的角的集合：由特殊角看出：所有与角终边相同的角，连同角 自身在内，都可以写成的形式；反之，所有形如 的角都与角的终边相同。 从而得出一般规律：‎ 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，‎ 即：任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。‎ 说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。‎ ‎5．例题分析：‎ 例1 在与范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？‎ ‎ （1） （2） （3） ‎ 解：（1），‎ 所以，与角终边相同的角是，它是第三象限角；‎ ‎（2），‎ 所以，与角终边相同的角是角，它是第四象限角；‎ ‎（3），‎ 所以，角终边相同的角是角，它是第二象限角。‎ 例2 若，试判断角所在象限。‎ 解：∵ ‎ ‎ ∴与终边相同， 所以，在第三象限。‎ 例3 写出下列各边相同的角的集合，并把中适合不等式的元素 写出来： （1）； （2）； （3）．‎ 解：（1），‎ 中适合的元素是 ‎ ‎ ‎（2），‎ S中适合的元素是 ‎ ‎ ‎（3）‎ S中适合的元素是 ‎ ‎ ‎（三）反思总结，当堂检测。‎ 教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。‎ 设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。（课堂实录）‎ ‎（四）发导学案、布置预习。‎ 九、板书设计 十、教学反思 以学生的学习为视角，可以对这节课的教学进行如下反思：‎ ‎（1）学生对课堂提问，回答是否积极？学生能否独立或通过合作探索出问题的结果？‎ ‎（2）学生处理课堂练习题情况如何？可能的原因是什么？‎ ‎（3）教学任务是否完成？‎ 下面我们着重分析一下提问的效果。‎ 在回答教学设计中的各项提问时，大多数学生存在一定困难，特别是“问题1：任意画一个锐角α，借助三角板，找出sinα的近似值．”和“问题5：现在，角的范围扩大了，由锐角扩展到了0°~360°内的角，又扩展到了任意角，并且在直角坐标系中，使得角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合．在这样的环境中，你认为，对于任意角α，sinα怎样定义好呢？”‎ 对于问题1，除了由于时间久而遗忘有关知识外，学生不熟悉独立地由一个锐角α，构造直角三角形并求锐角三角函数的过程是主要原因，他们更习惯于在给定的直角三角形中解决问题。‎ 对于问题5，教师强调“在坐标系下怎么样？”后，有学生开始尝试回答。这说明这个问题要求的思维概括水平较高，学生仅利用锐角三角函数的有关知识，难以形成当前研究任意角三角函数的思想方法。因此，教师必须要提供必要的脚手架。‎ ‎ 在后面的教学过程中会继续研究本节课，争取设计的更科学，更有利于学生的学习，也希望大家提出宝贵意见，共同完善，共同进步!‎ 十一、学案设计(见下页) ‎ ‎1.1.1‎任意角 ‎ 课前预习学案 一、预习目标 ‎1、认识角扩充的必要性，了解任意角的概念，与过去学习过的一些容易混淆的概念相区分；‎ ‎ 2、能用集合和数学符号表示终边相同的角，体会终边相同角的周期性；‎ ‎3、能用集合和数学符号表示象限角；‎ ‎4、能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角.‎ 二、预习内容 ‎ ‎1．回忆：初中是任何定义角的？‎ 一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。 ‎ 在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720o” （即转体2周），“转体1080o”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？‎ ‎2.角的概念的推广： ‎3．正角、负角、零角概念 ‎4.象限角 思考三个问题： ‎ ‎1.定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？‎ ‎2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？‎ ‎3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？‎ ‎4.已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？‎ ‎（1）4200； （2）-750； （3）8550； （4）-5100.‎ ‎5.终边相同的角的表示 三、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 一、学习目标 ‎（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；‎ ‎（2）理解任意角以及象限角的概念；‎ ‎（3）掌握所有与角a终边相同的角（包括角a）的表示方法；‎ 学习重难点：‎ 重点：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法及判断。‎ 难点: 把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。‎ 二、学习过程 例1. 例1在范围内，找出与 角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：是指）‎ 例2.写出终边在轴上的角的集合.‎ 例3.写出终边直线在上的角的集合,并把中适合不等式 的元素写出来.‎ ‎（三）【回顾小结】‎ ‎1.尝试练习 ‎（1）教材第3、4、5题.‎ ‎ （2）补充：时针经过3小时20分，则时针转过的角度为 ，分针转过的角度为 。‎ 注意: （1）；（2）是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.‎ ‎2.学习小结 (1) 你知道角是如何推广的吗?‎ (2) 象限角是如何定义的呢?‎ ‎(3)你熟练掌握具有相同终边角a的表示了吗?‎ ‎ (四)当堂检测 ‎1．设， ，那么有（  ）．‎ ‎　　A．　　　B．　　C．（ ）　　D． ‎ ‎2．用集合表示：‎ ‎　　（1）各象限的角组成的集合．　　（2）终边落在 轴右侧的角的集合．‎ ‎3．在～ 间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角 ‎（1） ；（2） ；（3） ．‎ ‎3.解：（1）∵ ‎ ‎　　　　∴与 角终边相同的角是 角，它是第三象限的角；‎ ‎　　（2）∵ ‎ ‎　　　　∴与 终边相同的角是 ，它是第四象限的角；‎ ‎　　（3） ‎ ‎　　所以与 角终边相同的角是 ，它是第二象限角．‎ 课后练习与提高 ‎1. 若时针走过2小时40分，则分针走过的角是多少？‎ ‎2. 下列命题正确的是： （ ）‎ ‎ （A）终边相同的角一定相等。 （B）第一象限的角都是锐角。‎ ‎ （C）锐角都是第一象限的角。 （D）小于的角都是锐角。‎ ‎3. 若a是第一象限的角，则是第 象限角。‎ ‎4.一角为 ，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_ _．‎ ‎5.集合M＝{α=k，k∈Z}中，各角的终边都在（   ）‎ ‎　　A．轴正半轴上，　　　　　B．轴正半轴上，‎ ‎　　C． 轴或 轴上，　　　　　D． 轴正半轴或 轴正半轴上 ‎6.设 ，　　　　　 ‎ ‎　　　　C＝{α|α= k180o+45o ,k∈Z} ，　　　　　 ‎ ‎　　　　 ‎ 则相等的角集合为_ _．‎ 参考答案 ‎1. 解：2小时40分=小时，‎ ‎ 故分针走过的角为480。‎ ‎ 2. C 3. 一或三 4. 5. C 6. _B＝D，C＝E ‎