2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§6-3　等比数列（讲解部分） 11页

§６.３ 等比数列 高考数学 考点一　等比数列的有关概念及运算 1.等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常 数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的① 　公比     , 公比通常用字母 q ( q ≠ 0)表示. 2.等比数列的通项公式 如果等比数列{ a n }的首项为 a 1 ,公比为 q ,则{ a n }的通项公式为 a n = a 1 q n -1 . 既是 等差数列又是等比数列的数列是② 　非零常数列     . 考点清单 3.等比中项 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列,那么称这个数 G 为 a 与 b 的等比中项,即③      G = ±        ( a , b 同号). (1) a , G , b 成等比数列 ⇔ G 2 = ab ( a · b >0). (2)同号的两个数才有等比中项. 4.等比数列{ a n }的前 n 项和公式 等比数列{ a n }的公比为 q ( q ≠ 0),其前 n 项和为 S n . (1)当 q =1时, S n = na 1 . (2)当 q ≠ 1时, S n =   =   . 考点二　等比数列的性质 1.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广: a n = a m · q n - m ( n , m ∈N * ). (2)若{ a n }为等比数列,且 k + l = m + n ( k , l , m , n ∈N * ),则④      a k · a l = a m · a n      . (3)若{ a n },{ b n }(项数相同)是等比数列,则{ λa n }( λ ≠ 0),   ,{   },{ a n · b n },   仍是等比数列. 2.等比数列的前 n 项和的性质 (1)当 q ≠ -1(或 q =-1且 k 为奇数)时, S k , S 2 k - S k , S 3 k - S 2 k , … 是等比数列. 注意　当 q =-1且 k 为偶数时, S k , S 2 k - S k , S 3 k - S 2 k , … 不是等比数列. (2)若 a 1 · a 2 · … · a n = T n ,则 T n ,   ,   , … 成等比数列. (3)若数列{ a n }的项数为2 n , S 偶 与 S 奇 分别为偶数项与奇数项的和,则   = q ;若 项数为2 n +1,则   = q . 3.等比数列的单调性 等比数列{ a n }的通项公式为 a n = a 1 · q n -1 ( a 1 · q ≠ 0),它的图象是分布在 y =   q x 曲 线( q >0)上的一群⑤ 　孤立     的点. 当 a 1 >0, q >1时,等比数列{ a n }是递增数列;当 a 1 <0,0< q <1时,等比数列{ a n }是递增数列;当 a 1 >0,0< q <1时,等比数列{ a n }是递减数列; 当 a 1 <0, q >1时,等比数列{ a n }是递减数列; 当 q <0时,等比数列{ a n }是摆动数列;当 q =1时,等比数列{ a n }是常数列. 考法一 　等比数列基本量运算的解题技巧 知能拓展 例1　 (1)(2015课标Ⅱ,4,5分)已知等比数列{ a n }满足 a 1 =3, a 1 + a 3 + a 5 =21,则 a 3 + a 5 + a 7 =   (　　) A.21　    B.42　    C.63　    D.84 (2)设{ a n }是公比大于1的等比数列, S n 为数列{ a n }的前 n 项和.已知 S 3 =7,且 a 1 + 3,3 a 2 , a 3 +4构成等差数列,则 a n = 　　　     . (3)设数列{ a n }的前 n 项和为 S n , a 1 =1,且数列{ S n }是以2为公比的等比数列. ①求数列{ a n }的通项公式; ②求 a 1 + a 3 + … + a 2 n +1 . 解析 　(1)设{ a n }的公比为 q ,由 a 1 =3, a 1 + a 3 + a 5 =21得1+ q 2 + q 4 =7,解得 q 2 =2(负值 舍去).∴ a 3 + a 5 + a 7 = a 1 q 2 + a 3 q 2 + a 5 q 2 =( a 1 + a 3 + a 5 ) q 2 =21 × 2=42. (2)由已知得   解得 a 2 =2.设数列{ a n }的公比为 q ,由 a 2 =2,可得 a 1 =   , a 3 =2 q .又 S 3 =7,所以   +2+2 q =7,即2 q 2 -5 q +2=0,解得 q 1 =2, q 2 =   .又 q >1,所以 q =2,所以 a 1 =1,所以 a n =2 n -1 . (3)①因为 S 1 = a 1 =1,且数列{ S n }是以2为公比的等比数列,所以 S n =2 n -1 ,又当 n ≥ 2时, a n = S n - S n -1 =2 n -2 (2-1)=2 n -2 ,所以 a n =   ② a 3 , a 5 , … , a 2 n +1 是以2为首项,4为公比的等比数列, 所以 a 3 + a 5 + … + a 2 n +1 =   =   .所以 a 1 + a 3 + … + a 2 n +1 =1+   =   . 答案 　(1)B　(2)2 n -1 方法总结 　1.等比数列可以由首项 a 1 和公比 q 确定,所有关于等比数列的计 算和证明,都可围绕 a 1 和 q 进行. 2.对于等比数列问题,一般给出两个条件,就可以通过列方程(组)求出 a 1 , q . 如果再给出第三个条件就可以完成 a n , a 1 , q , n , S n 的“知三求二”问题. 3.等比数列性质的应用 若 m + n = p + q ( m , n , p , q ∈N * ),则 a m · a n = a p · a q . (1)特别地,当 m + n =2 k ( m , n , k ∈N * )时, a m · a n =   . (2)对有穷等比数列,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项之 积,即 a 1 · a n = a 2 · a n -1 = … = a k · a n - k +1 = … ( k , n ∈N * ). 注意 　(1)等比数列求和要讨论 q =1和 q ≠ 1两种情况. (2)计算过程中,出现方程 q n = t 时,要看 q n 中的 n 是奇数还是偶数.若 n 是奇数,则 q =   ;若 n 是偶数,则 t >0时, q = ±   , t <0时,无解. 考法二 　等比数列的判定与证明 例2 　已知数列{ a n }的首项 a 1 =1, a n +1 =   ( n ∈N * ). (1)证明:数列   是等比数列; (2)设 b n =   ,求数列{ b n }的前 n 项和 S n . 解题导引      (1) (2) 解析 　(1)证明:∵ a n +1 =   ,∴   =   =   +   ,∴   -   =     ,又 a 1 =1,∴   -   =   ,∴数列   是以   为首项,   为公比的等比数列. (2)由(1)知   -   =   ·   =   ,即   =   +   ,∴ b n =   =   +   ,设 T n =   +   +   + … +   ①,则   T n =   +   + … +   +   ②, 由①-②得,   T n =   +   + … +   -   =   -   =1-   -   ,∴ T n =2-   -   . 又   × (1+2+3+ … + n )=   , ∴数列{ b n }的前 n 项和 S n =2-   +   . 方法总结 　判断等比数列的方法 1.定义法:若   = q ( q 为非零常数)或   = q ( q 为非零常数且 n ≥ 2),则{ a n }是 等比数列. 2.中项法:若数列{ a n }中, a n ≠ 0且   = a n · a n +2 ( n ∈N * ),则{ a n }是等比数列. 3.通项公式法:若数列的通项公式可写成 a n = c · q n ( c , q 均是不为0的常数, n ∈N * ),则{ a n }是等比数列. 4.前 n 项和公式法:若数列{ a n }的前 n 项和 S n = k · q n - k ( k 为常数且 k ≠ 0, q ≠ 0,1), 则{ a n }是等比数列. 其中前两种方法是证明等比数列的常用方法,而后两种方法常用于选择 题、填空题中的判定.