2020-2021学年高二数学上学期期中测试卷04（人教A版）（理） 14页

‎2020-2021学年高二数学上学期期中测试卷04（人教A版）（理）‎ ‎（本卷满分150分，考试时间120分钟）‎ 测试范围：人教A版必修5全册+选修2-1全册 一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知命题：，则为（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为命题：，‎ 所以为，，‎ 故选A ‎2．关于x的不等式的解集为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】不等式可化为，有，‎ 故不等式的解集为.‎ 故选B ‎3．设是非零实数，则“”是“成等差数列”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】若依次成等差数列，则一定成立，‎ 所以必要性成立，‎ 若，满足，但不成等差数列，‎ 即充分性不成立，‎ 所以“”是“成等差数列”的必要不充分条件，‎ 故选B ‎4．在中，，则此三角形解的情况是（ ）‎ A．一解 B．两解 C．一解或两解 D．无解 ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以有两解.‎ 故选B.‎ ‎5．已知等比数列，，是方程的两实根，则等于（ ）‎ A．4 B． C．8 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，是方程的两实根，‎ 由根与系数的关系可得 ，，可知，‎ 因为是等比数列，所以，‎ 因为 ，所以，‎ 所以，‎ 故选 ‎6．如图，在三棱柱中，为的中点，若，则下列向量与相等的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由于是的中点，所以.‎ 故选A.‎ ‎7．双曲线左、右焦点分别为，一条渐近线与直线垂直，点在上，且，则（ ）‎ A．6或30 B．6 C．30 D．6或20‎ ‎【答案】C ‎【解析】双曲线左、右焦点分别为，，一条渐近线与直线垂直，‎ 可得，解得，‎ 点在上，，所以在双曲线的右支上，‎ 则．‎ 故选．‎ ‎8．已知实数，满足不等式组，则的最小值为（ ）‎ A．0 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】不等式组表示的可行域如图所示，‎ 由，得，‎ 作出直线，即直线，‎ 将此直线向下平移过点时，直线在轴上的截距最小，此时取得最小值，‎ 由，得，即，‎ 所以的最小值为，‎ 故选D ‎9．已知数列满足，，则（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知得，，，‎ ‎，，‎ 可以判断出数列是以4为周期的数列，故，‎ 故选D.‎ ‎10．正四棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 有图知，‎ 由题得、、、.‎ ‎，，.‎ 设平面的一个法向量，‎ 则，，‎ 令，得，，‎ ‎.‎ 设直线与平面所成的角为，则.‎ 故选C.‎ ‎11．在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，若，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由和余弦定理得，又，.‎ 因为三角形为锐角三角形，则，即，解得，‎ ‎，‎ ‎，即，所以，，‎ 则，因此，的取值范围是.‎ 故选A.‎ ‎12．已知椭圆的方程为，上顶点为，左顶点为，设为椭圆上一点，则面积的最大值为.若已知，点为椭圆上任意一点，则的最小值为（ ）‎ A．2 B． C．3 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】在椭圆中，‎ 点，则，，‎ 直线的方程为，设与直线平行的椭圆的切线方程为，‎ 由方程组得，‎ 由，得，则，‎ 两平行线间的距离，‎ 则面积的最大值为，得，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 当且仅当时取等号.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．设内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由及正弦定理，‎ 得，‎ 即，因为，，‎ 所以 故填 ‎14．已知数列的前n项和为，，则____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，得，‎ 令，则，即，‎ ‎，‎ 所以，‎ 故填29‎ ‎15．若正实数满足，则的最小值为_____.‎ ‎【答案】6；‎ ‎【解析】因为，所以，即，‎ 所以，‎ 所以，当且仅当，即时取等号，‎ 所以的最小值为6‎ 故填6‎ ‎16．以下四个关于圆锥曲线命题：‎ ‎①“曲线为椭圆”的充分不必要条件是“”；‎ ‎②若双曲线的离心率，且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为；‎ ‎③抛物线的准线方程为；‎ ‎④长为6的线段的端点分别在、轴上移动，动点满足，则动点的轨迹方程为．‎ 其中正确命题的序号为_________．‎ ‎【答案】③④‎ ‎【解析】对于①， “曲线为椭圆”的充要条件是“且”.‎ 所以“曲线为椭圆”的必要不充分条件是“”，故①错误；‎ 对于②，椭圆的焦点为，又双曲线的离心率，所以双曲线的方程为，所以双曲线的渐近线方程为，故②错误；‎ 对于③，抛物线的方程化为标准式，准线方程为，故③正确；‎ 对于④，设，，‎ ‎，即，即动点的轨迹方程为 ‎.故④正确.‎ 故填③④.‎ 三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．已知椭圆C：的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设直线l：交椭圆C于A，B两点，且，求m的值．‎ ‎【解析】（1）由题意可得，‎ 解得：，，‎ 椭圆C的方程为；‎ ‎（2）设，‎ 联立，‎ 得，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 解得．‎ ‎18．已知两两垂直,,为的中点，点在上，.‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）若点在线段上，设,当时，求实数的值．‎ ‎【解析】（1）由题意， 以OA,OB,OC分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系，‎ ‎ ‎ 由于为的中点，点在上，可得, ‎ ‎ ‎ ‎（2）设 ，且点在线段上 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19．已知数列的前项和，等比数列的公比，且，是和的等差中项.‎ ‎（1）求和的通项公式；‎ ‎（2）令，的前项和记为，若对一切成立，求实数的最大值.‎ ‎【解析】（1）时，，‎ 当时 ‎ 也符合上式，所以，‎ 又和，得，或.‎ ‎∵∴.‎ ‎∴， ‎ ‎（2）∵‎ ‎∴ ‎ 而随着的增大而增大，所以 故有最大值为.‎ ‎20．如图．在中，点P在边上，，，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若的面积为．求 ‎【解析】（1）在中，设， 因为，‎ ‎，又因为，，‎ 由余弦定理得：‎ 即：，‎ 解得，‎ 所以，‎ 此时为等边三角形，‎ 所以；‎ ‎（2）由，‎ 解得，则，‎ 作交于D，如图所示：‎ 由（1）知，在等边中，，，‎ 在中．‎ 在中，由正弦定理得，‎ 所以．‎ ‎21．如图，在四棱锥中，平面，四边形为梯形，，，为侧棱上一点，且，，，.‎ ‎（1）证明：平面.‎ ‎（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎【解析】（1）证明：如图所示，连接交于点，连接.‎ 四边形为梯形，且，‎ ‎，即，‎ 在中，，，‎ ‎//‎ 又平面，平面，‎ ‎//平面.‎ ‎（2）如图所示，以点为坐标原点，以分别以、、为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，则，，，，.‎ 所以，，，，，‎ 设和分别是平面和平面的法向量，则 ‎，得，令得，，即，‎ ‎，得，令得，，即 所以，，‎ 故平面和平面所成角锐二面角的余弦值为平面.‎ ‎22．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于M，N两点．‎ ‎（1）若，直线l的斜率为2，求的面积；‎ ‎（2）设点P是线段的中点（点P与点F不重合，点是线段的垂直平分线与x轴的交点，若给定p值，请探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．‎ ‎【解析】（1）由题意得，直线，抛物线．‎ 联立，整理得，．‎ 设，，则，， ‎ ‎∴． ‎ ‎（2）由题意得，，易知直线l的斜率存在且不为0，‎ 设直线l的方程为，‎ 联立，整理得．‎ 设，，则，‎ ‎∴，∴， ‎ ‎∴直线的方程为． ‎ 令，得，∴， ‎ ‎∴，， ‎ ‎∴，即为定值，定值为p．‎