2020_2021学年新教材高中数学第七章概率2古典概型第2课时互斥事件概率的求法课件北师大版必修第一册 23页

第 2 课时　互斥事件概率的求法 激趣诱思 知识点拨 问题一 : 抛掷一枚骰子 , 点数 2 朝上和点数 3 朝上可以同时发生吗 ? 问题二 : 在两个装有质量盘的不透明箱子中各随机地取出一个质量盘 ,“ 总质量至少 20 kg” 与 “ 总质量不超过 10 kg” 能同时发生吗 ? 激趣诱思 知识点拨 一 、互斥事件的概率加法公式 1 . 定义 : 在一个试验中 , 如果事件 A 和事件 B 是互斥事件 , 那么有 P ( A ∪ B ) =P ( A ) +P ( B ), 这一公式称为互斥事件的概率加法公式 . 2 . 推广 : 一般地 , 如果事件 A 1 , A 2 , … , A n 两两互斥 , 那么有 P ( A 1 ∪ A 2 ∪ … ∪ A n ) =P ( A 1 ) +P ( A 2 ) + … +P ( A n ) . 名师点析 互斥事件概率加法公式的作用 在求某些较为复杂事件的概率时 , 先将它分解为一些较为简单的、并且概率已知或较容易求出的彼此互斥的事件 , 再利用互斥事件的概率加法公式求出概率 . 因此互斥事件的概率加法公式具有 “ 化整为零、化难为易 ” 的 功 能 , 但需要注意的是使用该公式时必须检验是否满足前提条件 “ 两两 互斥 ” . 激趣诱思 知识点拨 微练习 在掷骰子 的 试验 中 , 向上的数字是 1 或 2 的概率是 　　　　　 .   激趣诱思 知识点拨 二、对立事件的概率公式 名师 点析 (1) 对立事件的概率公式使用的前提 是 两个 事件 对立 , 否则不能使用 . (2) 当一个事件的概率不易直接求出 , 但其对立事件的概率易求时 , 可运用对立事件的概率公式 , 即运用间接法求概率 . 激趣诱思 知识点拨 微 练习 从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人去参加演讲比赛 , 所选 3 人都是男生的概率 是 , 则所选 3 人中至少有 1 名女生的概率为 　　　　 .   探究一 探究二 素养形成 当堂检测 互斥事件的 概率 ( 1) 分别 求得 到黑球、得到黄 球 、 得到 绿球的概率 ; (2) 求得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率 . 分析 从 12 个 球 中任取一球 , 取到红球、黑球、 白球 两两 互斥 , 所以可用互斥事件概率的加法公式求解 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 解 : (1) 从袋中任取一球 , 记事件 A 为 “ 得到红球 ”, B 为 “ 得到黑球 ”, C 为 “ 得到黄球 ”, D 为 “ 得到绿球 ”, 则事件 A , B , C , D 两两互斥 . 由 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 (2) ∵ 得到的球既不是黑球也不是绿球 , ∴ 得到的球是红球或黄球 , 即事件 A+C , 反思感悟互斥事件的概率的求解策略 1 . 当一个事件包含几种情况时 , 可把事件转化为几个互斥事件的并事件 , 再利用互斥事件的概率的加法公式计算 . 2 . 使用互斥事件的概率加法公式 P ( A ∪ B ) =P ( A ) +P ( B ) 时 , 必须先判断 A , B 是否为互斥事件 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 变式训练 (1) 一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球 , 从中摸出一个球 , 摸出红球或白球的概率为 0 . 58, 摸出红球或黑球的概率为 0 . 62, 那么摸出红球的概率为 ( 　　 ) A.0 . 42 B . 0 . 38 C . 0 . 2 D. 0 . 8 (2) 向三个相邻的军火库投一枚炸弹 , 炸中第一个军火库的概率为 0 . 2, 炸中第二个军火库的概率为 0 . 12, 炸中第三个军火库的概率为 0 . 28, 三个军火库中 , 只要炸中一个另两个也会发生爆炸 , 求军火库发生爆炸的概率 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 答案 : (1) C 　 解析 : 记分别摸一个球为红球、白球和黑球为事件 A , B , C , 则 A , B , C 为互斥事件 , 且 A+B+C 为必然事件 , 由题意知 P ( A ) +P ( B ) = 0 . 58, P ( A ) +P ( C ) = 0 . 62, P ( A ) +P ( B ) +P ( C ) = 1, 解得 P ( A ) = 0 . 2 . (2) 解 : 设 A , B , C 分别表示炸中第一、第二及第三个军火库这三个事件 , 事件 D 表示军火库爆炸 , 已知 P ( A ) = 0 . 2, P ( B ) = 0 . 12, P ( C ) = 0 . 28 . 又因为只投掷了一枚炸弹 , 故不可能炸中两个及以上军火库 , 所以 A , B , C 是互斥事件 , 且 D=A+B+C , 所以 P ( D ) =P ( A+B+C ) =P ( A ) +P ( B ) +P ( C ) = 0 . 2 + 0 . 12 + 0 . 28 = 0 . 6, 即军火库发生爆炸的概率为 0 . 6 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 互斥事件和对立事件的概率 例 2 某射手在一次射击训练中 , 射中 10 环 ,9 环 ,8 环 ,7 环的概率分别为 0 . 21,0 . 23,0 . 25,0 . 28, 计算这个射手在一次射击中 : (1) 射中 10 环或 7 环的概率 ; (2) 不够 7 环的概率 . 分析 先设出事件 , 判断是否互斥或对立 , 然后再使用概率公式求解 . 解 : (1) 设 “ 射中 10 环 ” 为事件 A ,“ 射中 7 环 ” 为事件 B , 由于在一次射击中 , A 与 B 不可能同时发生 , 故 A 与 B 是互斥事件 . “ 射中 10 环或 7 环 ” 的事件为 A ∪ B. 故 P ( A ∪ B ) =P ( A ) +P ( B ) = 0 . 21 + 0 . 28 = 0 . 49, ∴ 射中 10 环或 7 环的概率为 0 . 49 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 反思感悟 互斥事件和对立事件的概率的求解策略 1 . 对于一个较复杂的事件 , 一般将其分解成几个简单的事件 , 当这些事件彼此互斥时 , 原事件的概率等于这些事件概率的和 . 并且互斥事件的概率加法公式可以推广为 : P ( A 1 ∪ A 2 ∪ … ∪ A n ) =P ( A 1 ) +P ( A 2 ) + … +P ( A n ) . 其使用的前提条件仍然是 A 1 , A 2 , … , A n 两两 互斥 . 故解决此类题目的关键在于分解事件及 确 定 事件 是否互斥 . 2 . “ 正难则反 ” 是解决问题的一种很好的方法 , 应注意掌握 , 如本例中的第 (2) 问 , 不能直接求解 , 则可考虑求其对立事件的概率 , 再转化为所求 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 延伸探究 本例条件不变 , 求射中 8 环及以上的概率 . 解 : 记 “ 射中 8 环及以上 ” 为事件 H , 因为 “ 射中 8 环 ” 、 “ 射中 9 环 ” 、 “ 射中 10 环 ” 彼此是互斥事件 , 所以 P ( H ) = 0 . 21 + 0 . 23 + 0 . 25 = 0 . 69 . ∴ 射中 8 环及以上的概率为 0 . 69 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 复杂的互斥事件的概率 典例 在 “ 元旦 ” 联欢会上设有一个抽奖游戏 . 抽奖箱中共有 12 张纸条 , 分一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种 . 从中任取一张 , 不中奖 的 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 解 : 设任取一张 , 抽得一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件分别为 A , B , C , D , 它们 是 两两 互斥事件 . 由条件可 得 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 方法点睛 1 . 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法 : 一是直接求法 , 即将事件的概率分解成一些彼此互斥事件的概率的和 ; 二是间接求法 , 先求出此事件的对立事件的概率 , 再用公式 P ( A ) = 1 - 即运用逆向思维法 ( 正难则反 ) . 2 . 特别是解决 “ 至多 ”“ 至少 ” 型的题目 , 用方法二显得更为方便 , 注意对立事件的分类做到不重不漏 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 1 . 某次抽奖活动共设置一等奖、二等奖两类奖项 , 已知中一等奖的概率为 0 . 1, 中二等奖的概率为 0 . 1, 那么本次活动中 , 中奖的概率为 ( 　　 ) A.0 . 1 B.0 . 2 C.0 . 3 D.0 . 7 答案 : B 　 解析 : 由于中一等奖 , 中二等奖为互斥事件 , 故中奖的概率为 0 . 1 + 0 . 1 = 0 . 2 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 2 . 若事件 A 与 B 是互斥事件 , 且事件 A+B 的概率是 0 . 8, 事件 A 的概率是事件 B 的概率的 3 倍 , 则事件 A 的概率为 ( 　　 ) A . 0 . 2 B . 0 . 4 C . 0 . 6 D . 0 . 8 答案 : C 　 解析 : 由已知得 P ( A ) +P ( B ) = 0 . 8, 又 P ( A ) = 3 P ( B ), 于是 P ( A ) = 0 . 6 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 3 . 据统计 , 在某银行的一个营业窗口等候的人数及其相应的概率如下 : 则至多有 2 人等候排队的概率是 　　　　　 , 至少有 3 人等候排队的概率是 　　　　　 .   答案 : 0 . 54 　 0 . 46 　 解析 : 记 A 为 “ 至多有 2 人等候排队 ”, 则 P ( A ) = 0 . 05 + 0 . 14 + 0 . 35 = 0 . 54 .B= “ 至少有 3 人等候排队 ”, 则 P ( B ) = 0 . 3 + 0 . 1 + 0 . 06 = 0 . 46 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 4 . 某学校成立了数学、英语、音乐 3 个课外兴趣小组 ,3 个小组分别有 39,32,33 个成员 , 一些成员参加了不止 1 个小组 , 具体情况如图所示 . 随机选取 1 个成员 : (1) 他至少参加 2 个小组的概率是多少 ? (2) 他参加不超过 2 个小组的概率是多少 ? 探究一 探究二 素养形成 当堂检测