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- 2021-06-11 发布
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二元一次不等式表示的平面区域
一、考点突破
知识点
课标要求
题型
说明
二元一次不等式的平面区域
1. 了解二元一次不等式的几何意义;
2. 会画二元一次不等式表示的平面区域。
选择题
填空题
渗透“直线定界,特殊点定域”的思想,帮助学生用集合的观点和语言来分析和描述结合图形的问题,使问题更清晰和准确。
二、重难点提示
重点:用二元一次不等式表示平面区域。
难点:二元一次不等式表示的平面区域的确定,即如何确定不等式Ax+By+C>0(或<0)表示直线Ax+By+C=0的哪一侧区域。
考点:二元一次不等式表示的平面区域
1. 二元一次不等式及其解的含义
含有两个未知数,且未知数的次数都是一次的不等式叫做二元一次不等式。使不等式成立的未知数的值叫做它的解。所有二元一次不等式的解构成由很多有序数对构成的集合,因此,它的解集不能用数轴上的一个区间表示,而应是平面上的一个区域。
2. 二元一次不等式表示的平面区域
一般地,二元一次不等式,在平面直角坐标系中,表示某一侧所有点组成的平面区域,我们则把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。在画所表示的平面区域时,此区域应包括边界直线,则把边界直线画成实线。
由于对在同一侧的所有点,实数的符号相同,所以只需在直线的某一侧取一个特殊点,从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域。特殊地,当时,常把原点作为特殊点。
技巧点拨:“同侧同号,异侧异号;要知是哪侧,取点一试就知道。”
【随堂练习】已知x,y为非负整数,则满足x+y≤2的点(x,y)共有________个。
答案:满足条件的点依次为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(0,2),(2,0),共6个。
思路分析:由题知,分别取代入求出的范围,再求出非负整数y。
技巧点拨:注意列举法的应用。
例题1 (画二元一次不等式表示的平面区域)
画出下列不等式表示的平面区域。
3
(1)2x+y-6<0;(2)y≤-2x+3。
思路分析:
答案:(1)画出直线2x+y-6=0(画成虚线),
取原点(0,0),代入2x+y-6。
∵2×0+0-6=-6<0,
∴原点在2x+y-6<0表示的平面区域内,
∴不等式2x+y-6<0表示的平面区域如图(1)所示。
图(1) 图(2)
(2)将y≤-2x+3变形为2x+y-3≤0,
画出直线2x+y-3=0(画成实线),
取原点(0,0),代入2x+y-3,
∵2×0+0-3<0,
∴原点在2x+y-3≤0表示的平面区域内,
∴不等式y≤-2x+3表示的平面区域如图(2)所示。
技巧点拨:
1. 画二元一次不等式表示的平面区域时,一定要注意不等号是否含有相等的情形,若含,边界画为实线,若不含,画为虚线。
2. 画二元一次不等式Ax+By+C>0(或<0,≥0,≤0)表示平面区域的步骤:
(1)画直线Ax+By+C=0;
(2)进行选点法检验,若直线不过原点,一般选原点进行检验;
(3)画出所求区域,若包括边界用实线,若不包括边界用虚线。
例题2 (由平面区域求不等式)
将下图中阴影部分表示的平面区域用不等式表示出来。
(1) (2) (3)
思路分析:求直线方程→选点代入定符号→检查边界虚实→得不等式。
答案:由图(1)知,其边界所在的直线在x轴和y轴上的截距均为1,故边界所在的直线方程为x+y-1=0,
将原点(0,0)代入直线方程x+y-1=0的左边,得0+0-1<0,
3
故所求的不等式为x+y-1≤0;
由图(2)知,其边界所在的直线方程为+=1,
即x-2y+2=0,
将原点(0,0)代入直线方程x-2y+2=0的左边,得0-2×0+2>0,
故所求的不等式为x-2y+2≤0;
由图(3)知,可设其边界所在的直线方程为y=kx,将(2,-1)代入,得-1=2k,即k=-,
所以边界所在的直线方程为y=-x,即x+2y=0。
将(1,0)代入直线方程x+2y=0的左边,得1+2×0>0,故所求的不等式为x+2y≥0。
技巧点拨:
1. 本题中写不等式一定要注意边界的虚实,若边界为实线,则有相等情形;若边界为虚线,则无相等情形。
2. 由平面区域写二元一次不等式的步骤如下:
(1)求边界直线方程;
(2)在区域内选点代入方程,确定不等号;
(3)根据边界虚实,确定等号是否保留。
【满分训练】
已知点(3,1)和(-4,6)在直线3x-2y+a=0的两侧,求a的取值范围。
思路分析:两点在直线的两侧,把点代入3x-2y+a,使其结果的符号相反。
答案:将(3,1)和(-4,6)分别代入3x-2y+a,使其结果的符号相反,即(9-2+a)×(-12-12+a)<0,解得a的取值范围是(-7,24)。
技巧点拨:
1. 本题中,由不等式表示平面区域的特点,利用符号法则转化成不等式求出结果。
2. 如果两点在直线的同侧,那么把两点坐标代入直线所对应的整式,所得结果的符号相同;如果两点在直线的两侧,那么把两点坐标代入直线所对应的整式,所得结果的符号相反。
3
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