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  • 2021-06-11 发布

上海市2021届高三一模暨春考数学模拟试卷六 PDF版含答案

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公众号:上海 maths 做上海学生身边给力的辅助!! C1 D1 B1A1 C A B D E 2021 届高三一模暨春考数学模拟试卷六 2020.10.5 一、填空题: 1、已知数列 na 的前 n 项和为 2 1n nS   ,则此数列的通项公式为___________. 2、函数   1f x x  的反函数是_____________. 3、 61 2x 的展开式中 3x 项的系数为___________.(用数字作答) 4、如右图,已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D , 1 2AA  , E 为棱 1CC 的 中点,则三棱锥 1D ADE 的体积为________________. 5、一个袋子中共有 6 个球,其中 4 个红色球,2 个蓝色球. 这些球的质地和形状一样,从中 任意抽取 2 个球,则所抽的球都是红色球的概率是__________. 6、已知直线l : 0x y b   被圆 C: 2 2 25x y  所截得的弦长为 6,则b _____. 7、若复数 (1 )(2 )ai i  在复平面上所对应的点在直线 y x 上,则实数 a ______. 8、函数 ( ) ( 3sin cos )( 3 cos sin )f x x x x x   的最小正周期为_______. 9、若函数 22 1y ax a x    存在零点,则实数 a 的取值范围是____________. 10、已知数列 na 中, 1 11, ( 1) 1n na na n a    ,若对于任意的 [ 2,2]a  、 *n N ,不 等式 1 3 21 tna an     恒成立,则实数t 的取值范围为_____________. 11、若   axaxxf 3 ,且  1,0x 上的值域为   1,0 f ,则实数 a 的取值范围 是______________; 12、设函数    0,06sin       AxAxf  ,  2,0x ,若  xf 恰有 4 个零点,则 下列结论中: ①若    xfxf 0 恒成立,则 0x 的值有且仅有 2 个; ②  xf 在     19 8,0  上单调递增; ③存在 和 1x ,使得           211 xfxfxf 对任意  2,0x 恒成立; 公众号:上海 maths 做上海学生身边给力的辅助!! ⑤“ 1A ”是“方程   2 1xf 在 2,0 内恰有五个解”的必要条件. 所有正确结论的编号是_____________; 二、选择题: 13.“ {1,2}m ”是“ ln 1m  ”的成立的( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 设集合 { || | 1}A x x a   , {1, 3, }B b  ,若 A B ,则对应的实数对 ( , )a b 有( ) A. 1 对 B. 2 对 C. 3 对 D. 4 对 15.设 na 是等差数列,下列命题中正确的是 ( ) (A)若 1 2 0a a  ,则 2 3 0a a  (B)若 1 3 0a a  ,则 1 2 0a a  (C)若 1 20 a a  ,则 2 1 3a a a (D)若 1 0a  ,则  2 1 2 3 0a a a a   16.元旦将近,调查鲜花市场价格得知:购买 2 只玫瑰与 1 只康乃馨所需费用之和大于 8 元,而购买 4 只玫瑰与 5 只康乃馨所需费用之和小于 22 元;设购买 2 只玫瑰花所需费 用为 A 元,购买 3 只康乃馨所需费用为 B 元,则 A 、 B 的大小关系是 ( ) (A) A B (B) A B (C) A B (D) A 、 B 的大小关系不确定 三、解答题: 17、在长方体 ABCD - 1 1 1 1A B C D 中(如图), 11  AAAD , 2AB= ,点 E 是棱 AB 的 中点. (1)求异面直线 1AD 与 EC 所成角的大小; (2)《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的 四面体称为鳖臑. 试问四面体 1D CDE 是否为 鳖臑?并说明理由. A B CD E A1 B1 C1 D1 公众号:上海 maths 做上海学生身边给力的辅助!! 河 流 A B 20km 河 流 A B 污水处理厂★ x 18、已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的左、右焦点分别为 1F 、 2F ,过 2F 的一条直线交椭 圆于 P 、Q 两点,若 1 2PF F 的周长为 4 4 2 ,且长轴长与短轴长之比为 2 :1. (1)求椭圆C 的方程; (2)若 1 2F P F Q PQ    ,求直线 PQ 的方程. 19、如图所示,沿河有 A、B 两城镇,它们相距 20 千米.以前,两城 镇的污水直接排入河里,现为保护环境,污水需经处理才能排放.两 城镇可以单独建污水处理厂,或者联合建污水处理厂(在两城镇之间 或其中一城镇建厂,用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送).依 据经验公式,建厂的费用为 0.7( ) 25f m m  (万元), m 表示污水流 量;铺设管道的费用(包括管道费) ( ) 3.2g x x (万元),x 表示输 送污水管道的长度(千米). 已知城镇 A 和城镇 B 的污水流量分别为 1 3m  、 2 5m  , A 、 B 两城镇连接污水处理厂的管道总长为 20 千米.假定:经管道 输送的污水流量不发生改变,污水经处理后直接排入河中. 请解答下列问题(结果精确到 0.1): (1)若在城镇 A 和城镇 B 单独建厂,共需多少总费用? (2)考虑联合建厂可能节约总投资,设城镇 A 到拟建厂的距离 为 x 千米,求联合建厂的总费用 y 与 x 的函数关系式,并求 y 的 取值范围. 公众号:上海 maths 做上海学生身边给力的辅助!! 20、已知函数 )(xfy  ,若存在实数 m 、 k ( 0m ),使得对于定义域内的任意 实数 x ,均有 )()()( kxfkxfxfm  成立,则称函数 )(xf 为“可平衡”函 数,有序数对  km, 称为函数 )(xf 的“平衡”数对. (1)若 1m ,判断 xxf sin)(  是否为“可平衡”函数,并说明理由; (2)若 a R, 0a ,当 a 变化时,求证: 2)( xxf  与 xaxg 2)(  的“平衡” 数对相同; (3)若 1m 、 2m R,且      2,1 m 、      4,2 m 均为函数 xxf 2cos)(  的“平衡”数 对.当 40  x 时,求 2 2 2 1 mm  的取值范围. 21. 数列{ }na 与{ }nb 满足: 1a a , 1n n nb a a  , nS 是数列{ }na 的前 n 项和( *n N ). (1)设数列{ }nb 是首项和公比都为 1 3  的等比数列,且数列{ }na 也是等比数列,求 a 的值; (2)设 1 2 1n n nb b    ,若 3a  且 4na a 对 *n N 恒成立,求 2a 的取值范围; (3)设 4a  , 2nb  , 2 2 n n n SC  ( *n N , 2   ),若存在整数 k 、l ,且 1k l  , 使得 k lC C 成立,求  的所有可能值. 公众号:上海 maths 做上海学生身边给力的辅助!! 参考答案: 一、填空题: 1. 12n na  ; 2.    21 1 ( 1)f x x x    ; 3.160; 4. 4 3 ;5、 2 5 ;6、 4 2 ; 7、3;8、 ;9、 3[0, ]3 ;10、  , 1  ;11、     4 1,0 ;12、①②③; 二、选择题: 13、A;14、D;15、C;16、A; 三、解答题: 17、解:(1)作 CEEA // 交CD 于 E , 因为 1 1AD AA DE'   ,所以 1 2AE D E   , 故  EAD 1 为正三角形,异面直线 1AD 与 EC 所成角为 60…………………6 分 (2) E 是棱 AB 上的中点,则  ADE 、 CBE 均为等腰直角三角形, 故 90DEC   ,所以 DEC 为直角三角形.………………………………………9 分 由 1DD  平面 ABCD , DE CE ,知 CE  平面 1DD E ,故 1CE D E ,所以 ECD1 为直角三角形…………………………………………………………………………13 分 而显然  1DD E 、  1DD C 均为直角三角形,故四面体 1D CDE 四个面均为直角三角形, 为鳖臑. …………………………………………………………………………………14 分 18、解:(1)由条件知: 2 2 4 4 2a c   , : 2 :1a b   222 cba  解得: 2 2, 2, 2a b c   ,…………4 分 所以椭圆C 的方程为 2 2 18 4 x y  ………………6 分 (2)设直线 2PF 的方程为: 2,x ty  1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y ; 因为 1 2 1 2F P F Q FO OP F O OQ OP OQ              , 所以 OP OQ PQ    ,所以 OP OQ ,所以 1 2 1 2 0x x y y  。…………9 分 2 2 18 4 2 x y x ty         2 22 4 4 0t y ty    1 2 1 22 2 4 4,2 2 ty y y yt t      ………………………………………11 分 公众号:上海 maths 做上海学生身边给力的辅助!!    2 1 2 1 2 1 2 1 21 2 4 0x x y y t y y t y y       解得: 2 1 2,2 2t t   …………………………………………………………13 分 所以直线 PQ 的方程为 2 2 2 0x y   …………………………………14 分 19.[解] (1)分别单独建厂,共需总费用 0.7 0.7 1 25 3 25 5 131.1y      万元 …………………………4 分 (2)联合建厂,共需总费用  0.725 3 5 3.2 3.2 20y x x       ( 0 20x  ) 所以 y 与 x 的函数关系式为  0.725 8 3.2 20y x x     ( 0 20x  )……8 分 令   20h x x x   ( 0 20x  )        22 20 2 20 20 2 10 100 20,40h x x x x         ………10 分 0.7 0.7121.5 25 8 3.2 20 25 8 3.2 40 127.4y          y 的取值范围为 121.5,127.4 . …………………………14 分 20、【解】(1)若 1m ,则 xxfm sin)(     kxkxkxfkxf  sinsin)()( kxcossin2 要使得 )(xf 为“可平衡”函数,需使故   0sincos21  xk 对于任意实数 x 均成 立,只有 2 1cos k ……3 分,此时 32   nk , Zn  ,故 k 存在,所以 xxf sin)(  是“可平衡”函数 (2) 2)( xxf  及 xaxg 2)(  的定义域均为 R 根据题意可知,对于任意实数 x ,     22222 22 kxkxkxmx  即 222 22 kxmx  ,即   022 22  kxm 对于任意实数 x 恒成立 只有 0,2  km ,故函数 2)( xxf  的“平衡”数对为  0,2 对于函数 xaxg 2)(  而言, 公众号:上海 maths 做上海学生身边给力的辅助!!    kkxkxkxx aaaam   2222222 所以    kkxx aam  22222      02222   mam kkx ,        02 22 ma m kk , 即      2 2 m m ,故 2m ,只有 0k ,……9 分, 所以函数 xaxg 2)(  的“平衡”数对为  0,2 综上可得函数 2)( xxf  与 xaxg 2)(  的“平衡”数对相同 (3)            2cos2coscos 222 1  xxxm ,所以 xxm 22 1 sin2cos             4cos4coscos 222 2  xxxm ,所以 1cos2 2 xm 由于 40  x ,所以 1cos2 1 2  x , 故 xm 2 1 tan2  2,0 ,  2,1sec 2 2  xm 2 2 2 1 mm       1tan2tan5tan4tan1 222422  xxxx 5 4 5 1tan5 2 2       x , 由于 40  x ,所以 1tan0 2  x 时, 5 6tan5 1 5 1 2  x   832tan21 22  x ,所以 1 2 2 2 1 mm  8 21.(1) 由条件得 1( )3 n nb   , *Nn ,即 1 1( )3 n n na a    ,………………1 分 则 2 1 1 3a a   , 2 3 2 1 1( )3 9a a    ,设等比数列 na 的公比为 q , 则 3 2 2 1 1 3 a aq a a    ,又 1( 1) 3a q    ,则 1 4a  . …………………………3 分 当 1 4a  , 1 3q   时, 11 1( )4 3 n na   , *Nn , 则 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( )4 3 4 3 3 4 4 3 3 n n n n n na a                满足题意, 公众号:上海 maths 做上海学生身边给力的辅助!! 故所求的 a 的值为 1 4 . ………………………………………4 分 (2)当 2n  时, 1 1 2 1n n nb b     , 2 1 2 2 1n n nb b      ,, 2 1 2 1b b   , 以上 1n  个式子相加得, 1 2 3 1 2 2 2 2 ( 1)n n n nb b n          , ………2 分 又 1 2 1 2 3b a a a    ,则 1 2 2 2(1 2 ) ( 1) 3 2 41 2 n n nb n a n a          , 即 22 4n nb n a    . 由 1 2 1 0n n nb b     知数列 nb 是递增数列,………4 分 又 1n n nb a a  ,要使得 4na a 对 *Nn 恒成立, 则只需 3 4 3 4 5 4 0 0 b a a b a a        ,即 3 2 4 2 1 0 8 0 b a b a        ,则 28 1a    . …………………6 分 (3) 由条件得数列 na 是以 4 为首项, 2 为公差的等差数列, 则 4 2( 1) 2 2na n n     , 2(4 2 2) 32n n nS n n    , 则 22 3 2 2 2 n n n n S n nC      . ………………………………2 分 则 2 2 2 1 1 1 ( 1) 3( 1) 2 3 2 4 2 2 2 2n n n n n n n n n n nC C                    , 当 3n  时, 2 24 2 3 3 4 2 8 2 8 2 ( 2) 4 0n n                       , 即 3n  时, 1n nC C  , 则当 3k l  时, k lC C 与 k lC C 矛盾. ………………………4 分 又 1l  ,即 2l  时, 2 3 2 5 2 2k k k     . 当 5k  时, 2 2 5 3 2 5 3 5 2 20 2 2 16k k k          , 又 20 5 20 7 20 7 ( 2) 3 016 2 16 16 8                , 即当 5k  , 2l  时, 2 3 2 5 2 2k k k     ,与 2 3 2 5 2 2k k k     矛盾. 又 2k l  ,则 3k  或 4 , 公众号:上海 maths 做上海学生身边给力的辅助!! 当 3k  时, 2 2 3 3 2 3 3 3 2 5 2 2 2k k k          ,解得 1   ; 当 4k  时, 2 2 4 3 2 4 3 4 2 5 2 2 2k k k          ,解得 2   . 综上得  的所有可能值为 1 和 2 . …………………………………8 分