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公众号:上海 maths 做上海学生身边给力的辅助!!
C1
D1
B1A1
C
A B
D
E
2021 届高三一模暨春考数学模拟试卷六
2020.10.5
一、填空题:
1、已知数列 na 的前 n 项和为 2 1n
nS ,则此数列的通项公式为___________.
2、函数 1f x x 的反函数是_____________.
3、 61 2x 的展开式中 3x 项的系数为___________.(用数字作答)
4、如右图,已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D , 1 2AA , E 为棱 1CC 的
中点,则三棱锥 1D ADE 的体积为________________.
5、一个袋子中共有 6 个球,其中 4 个红色球,2 个蓝色球. 这些球的质地和形状一样,从中
任意抽取 2 个球,则所抽的球都是红色球的概率是__________.
6、已知直线l : 0x y b 被圆 C: 2 2 25x y 所截得的弦长为 6,则b _____.
7、若复数 (1 )(2 )ai i 在复平面上所对应的点在直线 y x 上,则实数 a ______.
8、函数 ( ) ( 3sin cos )( 3 cos sin )f x x x x x 的最小正周期为_______.
9、若函数 22 1y ax a x 存在零点,则实数 a 的取值范围是____________.
10、已知数列 na 中, 1 11, ( 1) 1n na na n a ,若对于任意的 [ 2,2]a 、 *n N ,不
等式 1 3 21
tna an
恒成立,则实数t 的取值范围为_____________.
11、若 axaxxf 3 ,且 1,0x 上的值域为 1,0 f ,则实数 a 的取值范围
是______________;
12、设函数 0,06sin
AxAxf , 2,0x ,若 xf 恰有 4 个零点,则
下列结论中:
①若 xfxf 0 恒成立,则 0x 的值有且仅有 2 个;
② xf 在
19
8,0 上单调递增;
③存在 和 1x ,使得
211
xfxfxf 对任意 2,0x 恒成立;
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⑤“ 1A ”是“方程
2
1xf 在 2,0 内恰有五个解”的必要条件.
所有正确结论的编号是_____________;
二、选择题:
13.“ {1,2}m ”是“ ln 1m ”的成立的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
14. 设集合 { || | 1}A x x a , {1, 3, }B b ,若 A B ,则对应的实数对 ( , )a b 有( )
A. 1 对 B. 2 对 C. 3 对 D. 4 对
15.设 na 是等差数列,下列命题中正确的是 ( )
(A)若 1 2 0a a ,则 2 3 0a a (B)若 1 3 0a a ,则 1 2 0a a
(C)若 1 20 a a ,则 2 1 3a a a (D)若 1 0a ,则 2 1 2 3 0a a a a
16.元旦将近,调查鲜花市场价格得知:购买 2 只玫瑰与 1 只康乃馨所需费用之和大于 8
元,而购买 4 只玫瑰与 5 只康乃馨所需费用之和小于 22 元;设购买 2 只玫瑰花所需费
用为 A 元,购买 3 只康乃馨所需费用为 B 元,则 A 、 B 的大小关系是 ( )
(A) A B (B) A B
(C) A B (D) A 、 B 的大小关系不确定
三、解答题:
17、在长方体 ABCD - 1 1 1 1A B C D 中(如图), 11 AAAD , 2AB= ,点 E 是棱 AB 的
中点.
(1)求异面直线 1AD 与 EC 所成角的大小;
(2)《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的
四面体称为鳖臑. 试问四面体 1D CDE 是否为
鳖臑?并说明理由.
A B
CD
E
A1
B1
C1
D1
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河
流
A
B
20km
河
流
A
B
污水处理厂★
x
18、已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的左、右焦点分别为 1F 、 2F ,过 2F 的一条直线交椭
圆于 P 、Q 两点,若 1 2PF F 的周长为 4 4 2 ,且长轴长与短轴长之比为 2 :1.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)若 1 2F P F Q PQ ,求直线 PQ 的方程.
19、如图所示,沿河有 A、B 两城镇,它们相距 20 千米.以前,两城
镇的污水直接排入河里,现为保护环境,污水需经处理才能排放.两
城镇可以单独建污水处理厂,或者联合建污水处理厂(在两城镇之间
或其中一城镇建厂,用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送).依
据经验公式,建厂的费用为 0.7( ) 25f m m (万元), m 表示污水流
量;铺设管道的费用(包括管道费) ( ) 3.2g x x (万元),x 表示输
送污水管道的长度(千米).
已知城镇 A 和城镇 B 的污水流量分别为 1 3m 、 2 5m , A 、
B 两城镇连接污水处理厂的管道总长为 20 千米.假定:经管道
输送的污水流量不发生改变,污水经处理后直接排入河中.
请解答下列问题(结果精确到 0.1):
(1)若在城镇 A 和城镇 B 单独建厂,共需多少总费用?
(2)考虑联合建厂可能节约总投资,设城镇 A 到拟建厂的距离
为 x 千米,求联合建厂的总费用 y 与 x 的函数关系式,并求 y 的
取值范围.
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20、已知函数 )(xfy ,若存在实数 m 、 k ( 0m ),使得对于定义域内的任意
实数 x ,均有 )()()( kxfkxfxfm 成立,则称函数 )(xf 为“可平衡”函
数,有序数对 km, 称为函数 )(xf 的“平衡”数对.
(1)若 1m ,判断 xxf sin)( 是否为“可平衡”函数,并说明理由;
(2)若 a R, 0a ,当 a 变化时,求证: 2)( xxf 与 xaxg 2)( 的“平衡”
数对相同;
(3)若 1m 、 2m R,且
2,1
m 、
4,2
m 均为函数 xxf 2cos)( 的“平衡”数
对.当
40 x 时,求 2
2
2
1 mm 的取值范围.
21. 数列{ }na 与{ }nb 满足: 1a a , 1n n nb a a , nS 是数列{ }na 的前 n 项和( *n N ).
(1)设数列{ }nb 是首项和公比都为 1
3
的等比数列,且数列{ }na 也是等比数列,求 a 的值;
(2)设 1 2 1n
n nb b ,若 3a 且 4na a 对 *n N 恒成立,求 2a 的取值范围;
(3)设 4a , 2nb , 2
2
n
n n
SC ( *n N , 2 ),若存在整数 k 、l ,且 1k l ,
使得 k lC C 成立,求 的所有可能值.
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参考答案:
一、填空题:
1. 12n
na ; 2. 21 1 ( 1)f x x x ; 3.160; 4. 4
3
;5、 2
5
;6、 4 2 ;
7、3;8、 ;9、 3[0, ]3
;10、 , 1 ;11、
4
1,0 ;12、①②③;
二、选择题:
13、A;14、D;15、C;16、A;
三、解答题:
17、解:(1)作 CEEA // 交CD 于 E , 因为 1 1AD AA DE' ,所以 1 2AE D E ,
故 EAD 1 为正三角形,异面直线 1AD 与 EC 所成角为 60…………………6 分
(2) E 是棱 AB 上的中点,则 ADE 、 CBE 均为等腰直角三角形,
故 90DEC ,所以 DEC 为直角三角形.………………………………………9 分
由 1DD 平面 ABCD , DE CE ,知 CE 平面 1DD E ,故 1CE D E ,所以 ECD1
为直角三角形…………………………………………………………………………13 分
而显然 1DD E 、 1DD C 均为直角三角形,故四面体 1D CDE 四个面均为直角三角形,
为鳖臑. …………………………………………………………………………………14 分
18、解:(1)由条件知: 2 2 4 4 2a c ,
: 2 :1a b 222 cba
解得: 2 2, 2, 2a b c ,…………4 分
所以椭圆C 的方程为
2 2
18 4
x y ………………6 分
(2)设直线 2PF 的方程为: 2,x ty 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y ;
因为 1 2 1 2F P F Q FO OP F O OQ OP OQ ,
所以 OP OQ PQ ,所以 OP OQ ,所以 1 2 1 2 0x x y y 。…………9 分
2 2
18 4
2
x y
x ty
2 22 4 4 0t y ty
1 2 1 22 2
4 4,2 2
ty y y yt t
………………………………………11 分
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2
1 2 1 2 1 2 1 21 2 4 0x x y y t y y t y y
解得: 2 1 2,2 2t t …………………………………………………………13 分
所以直线 PQ 的方程为 2 2 2 0x y …………………………………14 分
19.[解] (1)分别单独建厂,共需总费用
0.7 0.7
1 25 3 25 5 131.1y 万元 …………………………4 分
(2)联合建厂,共需总费用
0.725 3 5 3.2 3.2 20y x x ( 0 20x )
所以 y 与 x 的函数关系式为 0.725 8 3.2 20y x x ( 0 20x )……8 分
令 20h x x x ( 0 20x )
22 20 2 20 20 2 10 100 20,40h x x x x ………10 分
0.7 0.7121.5 25 8 3.2 20 25 8 3.2 40 127.4y
y 的取值范围为 121.5,127.4 . …………………………14 分
20、【解】(1)若 1m ,则 xxfm sin)(
kxkxkxfkxf sinsin)()( kxcossin2
要使得 )(xf 为“可平衡”函数,需使故 0sincos21 xk 对于任意实数 x 均成
立,只有
2
1cos k ……3 分,此时
32 nk , Zn ,故 k 存在,所以
xxf sin)( 是“可平衡”函数
(2) 2)( xxf 及 xaxg 2)( 的定义域均为 R
根据题意可知,对于任意实数 x , 22222 22 kxkxkxmx
即 222 22 kxmx ,即 022 22 kxm 对于任意实数 x 恒成立
只有 0,2 km ,故函数 2)( xxf 的“平衡”数对为 0,2
对于函数 xaxg 2)( 而言,
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kkxkxkxx aaaam 2222222
所以 kkxx aam 22222
02222 mam kkx ,
02
22
ma
m kk
,
即
2
2
m
m ,故 2m ,只有 0k ,……9 分,
所以函数 xaxg 2)( 的“平衡”数对为 0,2
综上可得函数 2)( xxf 与 xaxg 2)( 的“平衡”数对相同
(3)
2cos2coscos 222
1
xxxm ,所以 xxm 22
1 sin2cos
4cos4coscos 222
2
xxxm ,所以 1cos2
2 xm
由于
40 x ,所以 1cos2
1 2 x ,
故 xm 2
1 tan2 2,0 , 2,1sec 2
2 xm
2
2
2
1 mm 1tan2tan5tan4tan1 222422 xxxx
5
4
5
1tan5
2
2
x ,
由于
40 x ,所以 1tan0 2 x 时,
5
6tan5
1
5
1 2 x
832tan21 22 x ,所以 1 2
2
2
1 mm 8
21.(1) 由条件得 1( )3
n
nb , *Nn ,即 1
1( )3
n
n na a ,………………1 分
则 2 1
1
3a a , 2
3 2
1 1( )3 9a a ,设等比数列 na 的公比为 q ,
则 3 2
2 1
1
3
a aq a a
,又 1( 1) 3a q ,则 1
4a . …………………………3 分
当 1
4a , 1
3q 时, 11 1( )4 3
n
na , *Nn ,
则 1 1
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( )4 3 4 3 3 4 4 3 3
n n n n
n na a
满足题意,
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故所求的 a 的值为 1
4
. ………………………………………4 分
(2)当 2n 时, 1
1 2 1n
n nb b
, 2
1 2 2 1n
n nb b
,, 2 1 2 1b b ,
以上 1n 个式子相加得, 1 2 3
1 2 2 2 2 ( 1)n n n
nb b n , ………2 分
又 1 2 1 2 3b a a a ,则
1
2 2
2(1 2 ) ( 1) 3 2 41 2
n
n
nb n a n a
,
即 22 4n
nb n a . 由 1 2 1 0n
n nb b 知数列 nb 是递增数列,………4 分
又 1n n nb a a ,要使得 4na a 对 *Nn 恒成立,
则只需 3 4 3
4 5 4
0
0
b a a
b a a
,即 3 2
4 2
1 0
8 0
b a
b a
,则 28 1a . …………………6 分
(3) 由条件得数列 na 是以 4 为首项, 2 为公差的等差数列,
则 4 2( 1) 2 2na n n , 2(4 2 2) 32n
n nS n n ,
则
22 3 2
2 2
n
n n n
S n nC . ………………………………2 分
则
2 2 2
1 1 1
( 1) 3( 1) 2 3 2 4 2
2 2 2n n n n n
n n n n n nC C
,
当 3n 时, 2 24 2 3 3 4 2 8 2 8 2 ( 2) 4 0n n ,
即 3n 时, 1n nC C ,
则当 3k l 时, k lC C 与 k lC C 矛盾. ………………………4 分
又 1l ,即 2l 时,
2 3 2 5
2 2k
k k .
当 5k 时,
2 2
5
3 2 5 3 5 2 20
2 2 16k
k k ,
又 20 5 20 7 20 7 ( 2) 3 016 2 16 16 8
,
即当 5k , 2l 时,
2 3 2 5
2 2k
k k ,与
2 3 2 5
2 2k
k k 矛盾.
又 2k l ,则 3k 或 4 ,
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当 3k 时,
2 2
3
3 2 3 3 3 2 5
2 2 2k
k k ,解得 1 ;
当 4k 时,
2 2
4
3 2 4 3 4 2 5
2 2 2k
k k ,解得 2 .
综上得 的所有可能值为 1 和 2 . …………………………………8 分
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