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  • 2021-06-11 发布

高中数学人教a版必修4模块综合检测(二) word版含解析

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模块综合检测(二) (时间:120 分钟,满分:150 分) 一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.(北京高考)已知向量 a=(2,4),b=(-1,1),则 2a-b=( ) A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9) 解析:选 A 因为 a=(2,4),b=(-1,1),所以 2a-b=(2×2-(-1),2×4-1)=(5,7), 故选 A. 2.点 M(2,tan 300°)位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:选 D ∵tan 300°=tan(360°-60°)=-tan 60°=- 3, ∴M(2,- 3).故点 M(2,tan 300°)位于第四象限. 3.已知OA  =(2,3),OB  =(-3,y),且OA  ⊥OB  ,则 y 等于( ) A.2 B.-2 C.1 2 D.-1 2 解析:选 A ∵OA  ⊥OB  ,∴OA  ·OB  =-6+3y=0,∴y=2. 4.已知 cos π 2 -φ = 3 2 ,且|φ|<π 2 ,则 tan φ=( ) A.- 3 3 B. 3 3 C.- 3 D. 3 解析:选 D cos π 2 -φ =sin φ= 3 2 ,又|φ|<π 2 ,则 cos φ=1 2 ,所以 tan φ= 3. 5. 2sin 2α 1+cos 2α· cos2α cos 2α 等于( ) A.tan α B.tan 2α C.1 D.1 2 解析:选 B 2sin 2α 1+cos 2α· cos2α cos 2α =2sin 2α 2cos2α · cos2α cos 2α =tan 2α. 6.设 tan α,tan β是方程 x2-3x+2=0 的两根,则 tan(α+β)的值为( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 解析:选 A 由题意可知 tan α+tan β=3, tan α·tan β=2, 则 tan(α+β)= tan α+tan β 1-tan αtan β =-3. 7.已知函数 f(x)=2sin x,对任意的 x∈R 都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最小值为 ( ) A.π 4 B.π 2 C.π D.2π 解析:选 C ∵f(x)=2sin x 的周期为 2π, ∴|x1-x2|的最小值为π. 8.已知 a=(1,sin2x),b=(2,sin 2x),其中 x∈(0,π).若|a·b|=|a||b|,则 tan x 的值等 于( ) A.1 B.-1 C. 3 D. 2 2 解析:选 A 由|a·b|=|a||b|知 a∥b.所以 sin 2x=2sin2x,即 2sin xcos x=2sin2x.而 x∈(0, π),所以 sin x=cos x,即 x=π 4 ,故 tan x=1. 9.将函数 y=sin x 的图象上所有的点向右平移 π 10 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸 长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( ) A.y=sin 2x- π 10 B.y=sin 2x-π 5 C.y=sin 1 2x- π 10 D.y=sin 1 2x- π 20 解析:选 C 函数 y=sin x 的图象上的点向右平移 π 10 个单位长度可得函数 y=sin x- π 10 的 图象;再把各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)可得函数 y=sin 1 2 x- π 10 的图象,所 以所得函数的解析式是 y=sin 1 2 x- π 10 . 10.(山东高考)函数 y=2sin πx 6 -π 3 (0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( ) A.2- 3 B.0 C.-1 D.-1- 3 解析:选 A 当 0≤x≤9 时,-π 3 ≤πx 6 -π 3 ≤7π 6 , - 3 2 ≤sin πx 6 -π 3 ≤1,所以函数的最大值为 2,最小值为- 3,其和为 2- 3. 11.如图,在△ABC 中,AD⊥AB, BC  = 3 BD  ,| AD  |=1,则 AC  · AD  =( ) A.2 3 B.3 3 C. 3 2 D. 3 解析:选 D 建系如图. 设 B(xB,0),D(0,1),C(xC,yC), BC  =(xC-xB,yC), BD  =(-xB,1). ∵ BC  = 3 BD  , ∴xC-xB=- 3xB⇒xC=(1- 3)xB,yC= 3. AC  =((1- 3)xB, 3), AD  =(0,1), AC  · AD  = 3. 12.已知向量 a,b 不共线,实数 x,y 满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,则 x-y 的值 为( ) A.3 B.-3 C.0 D.2 解析:选 A 由原式可得 3x-4y=6, 2x-3y=3, 解得 x=6, y=3. 所以 x-y=3. 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.(重庆高考)已知向量 a 与 b 的夹角为 60°,且 a=(-2,-6),|b|= 10,则 a·b=________. 解析:因为 a=(-2,-6),所以|a|= -22+-62=2 10,又|b|= 10,向量 a 与 b 的夹角为 60°,所以 a·b=|a|·|b|·cos 60°=2 10× 10×1 2 =10. 答案:10 14.(江西高考)已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为α,且 cos α=1 3 ,若向量 a=3e1-2e2,则|a| =________. 解析:因为 a2=(3e1-2e2)2=9-2×3×2×cos α+4=9,所以|a|=3. 答案:3 15.(山东高考)函数 y= 3 2 sin 2x+cos2x 的最小正周期为________. 解析:y= 3 2 sin 2x+1 2cos 2x+1 2 =sin2x+π 6 +1 2 ,所以其最小正周期为2π 2 =π. 答案:π 16.化简:sin2 α-π 6 +sin2 α+π 6 -sin2α的结果是________. 解析:原式=1-cos 2α-π 3 2 +1-cos 2α+π 3 2 -sin2α =1-1 2 cos 2α-π 3 +cos 2α+π 3 -sin2α =1-cos 2α·cosπ 3 -sin2α =1-cos 2α 2 -1-cos 2α 2 =1 2. 答案:1 2 三、解答题(本题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)设 a=(1+cos x,1+sin x),b=(1,0),c=(1,2). (1)求证:(a-b)⊥(a-c); (2)求|a|的最大值,并求此时 x 的值. 解:(1)证明:a-b=(cos x,1+sin x), a-c=(cos x,sin x-1), (a-b)·(a-c)=(cos x,1+sin x)·(cos x,sin x-1)=cos2x+sin2x-1=0. ∴(a-b)⊥(a-c). (2)|a|= 1+cos x2+1+sin x2 = 3+2sin x+cos x = 3+2 2sin x+π 4 ≤ 3+2 2= 2+1. 当 sin x+π 4 =1,即 x=π 4 +2kπ(k∈Z)时,|a|有最大值 2+1. 18.(本小题满分 12 分)已知 sin(2α+β)=3sin β,设 tan α=x,tan β=y,记 y=f(x). (1)求证:tan(α+β)=2tan α; (2)求 f(x)的解析式. 解:(1)证明:由 sin(2α+β)=3sin β, 得 sin[(α+β)+α]=3sin[(α+β)-α], 即 sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α =3sin (α+β)cos α-3cos(α+β)sin α, ∴sin(α+β)cos α=2cos(α+β)sin α. ∴tan(α+β)=2tan α. (2)由(1)得 tan α+tan β 1-tan αtan β =2tan α, 即 x+y 1-xy =2x, ∴y= x 1+2x2 , 即 f(x)= x 1+2x2. 19.(本小题满分 12 分)已知 cos α-β 2 =-4 5 ,sinβ-α 2 = 5 13 ,且π 2 <α<π,0<β<π 2 ,求 cosα+β 2 的值. 解:∵π 2 <α<π,0<β<π 2 , ∴α-β 2 ∈ π 4 ,π ,β-α 2 ∈ -π 2 ,π 4 . ∴sin α-β 2 = 1-cos2 α-β 2 =3 5 , cos β-α 2 = 1-sin2 β-α 2 =12 13. ∵ α-β 2 + β-α 2 =α+β 2 , ∴cosα+β 2 =cos α-β 2 + β-α 2 =cos α-β 2 cos β-α 2 -sin α-β 2 sin β-α 2 = -4 5 ×12 13 -3 5 × 5 13 =-63 65. 20.(本小题满分 12 分)(湖北高考)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变 化近似满足函数关系:f(t)=10- 3cos π 12t-sin π 12t,t∈[0,24). (1)求实验室这一天上午 8 时的温度; (2)求实验室这一天的最大温差. 解:(1)f(8)=10- 3cos π 12 ×8 -sin π 12 ×8 =10- 3cos2π 3 -sin2π 3 =10- 3× -1 2 - 3 2 =10. 故实验室上午 8 时的温度为 10 ℃. (2)因为 f(t)=10-2 3 2 cos π 12t+1 2sin π 12t =10-2sin π 12 t+π 3 ,又 0≤t<24,所以π 3 ≤ π 12t+ π 3<7π 3 ,-1≤sin π 12 t+π 3 ≤1.当 t=2 时,sin π 12 t+π 3 =1;当 t=14 时,sin π 12 t+π 3 =-1. 于是 f(t)在[0,24)上取得最大值 12,取得最小值 8. 故实验室这一天最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大温差为 4 ℃. 21.(本小题满分 12 分)已知 f(x)=2 3cos2x+sin 2x- 3+1(x∈R). (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的递增区间; (3)当 x∈ -π 4 ,π 4 时,求 f(x)的值域. 解:f(x)=sin 2x+ 3(2cos2x-1)+1=sin 2x+ 3cos 2x+1=2sin 2x+π 3 +1. (1)函数 f(x)的最小正周期 T=2π 2 =π. (2)由 2kπ-π 2 ≤2x+π 3 ≤2kπ+π 2 , 得 2kπ-5π 6 ≤2x≤2kπ+π 6 , ∴kπ-5π 12 ≤x≤kπ+ π 12(k∈Z). ∴函数 f(x)的递增区间为 kπ-5π 12 ,kπ+ π 12 (k∈Z). (3)∵x∈ -π 4 ,π 4 ,∴2x+π 3 ∈ -π 6 ,5π 6 . ∴sin 2x+π 3 ∈ -1 2 ,1 . ∴f(x)∈[0,3]. 22.(本小题满分 12 分)(陕西高考)已知向量 a= cos x,-1 2 ,b=( 3sin x,cos 2x),x∈ R,设函数 f(x)=a·b. (1)求 f (x)的最小正周期; (2)求 f (x)在 0,π 2 上的最大值和最小值. 解:f(x)= cos x,-1 2 ·( 3sin x,cos 2x) = 3cos xsin x-1 2cos 2x = 3 2 sin 2x-1 2cos 2x =cosπ 6sin 2x-sinπ 6cos 2x =sin 2x-π 6 . (1)f(x)的最小正周期为 T=2π ω =2π 2 =π, 即函数 f(x)的最小正周期为π. (2)∵0≤x≤π 2 , ∴-π 6 ≤2x-π 6 ≤5π 6 . 由正弦函数的性质, 当 2x-π 6 =π 2 ,即 x=π 3 时,f(x)取得最大值 1. 当 2x-π 6 =-π 6 ,即 x=0 时,f(0)=-1 2 , 当 2x-π 6 =5π 6 ,即 x=π 2 时,f π 6 =1 2 , ∴f(x)的最小值为-1 2. 因此,f(x)在 0,π 2 上的最大值是 1,最小值是-1 2.