- 181.00 KB
- 2021-06-11 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
模块综合检测(二)
(时间:120 分钟,满分:150 分)
一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的)
1.(北京高考)已知向量 a=(2,4),b=(-1,1),则 2a-b=( )
A.(5,7) B.(5,9)
C.(3,7) D.(3,9)
解析:选 A 因为 a=(2,4),b=(-1,1),所以 2a-b=(2×2-(-1),2×4-1)=(5,7),
故选 A.
2.点 M(2,tan 300°)位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:选 D ∵tan 300°=tan(360°-60°)=-tan 60°=- 3,
∴M(2,- 3).故点 M(2,tan 300°)位于第四象限.
3.已知OA
=(2,3),OB
=(-3,y),且OA
⊥OB
,则 y 等于( )
A.2 B.-2
C.1
2 D.-1
2
解析:选 A ∵OA
⊥OB
,∴OA
·OB
=-6+3y=0,∴y=2.
4.已知 cos
π
2
-φ = 3
2
,且|φ|<π
2
,则 tan φ=( )
A.- 3
3 B. 3
3
C.- 3 D. 3
解析:选 D cos
π
2
-φ =sin φ= 3
2
,又|φ|<π
2
,则 cos φ=1
2
,所以 tan φ= 3.
5. 2sin 2α
1+cos 2α· cos2α
cos 2α
等于( )
A.tan α B.tan 2α
C.1 D.1
2
解析:选 B 2sin 2α
1+cos 2α· cos2α
cos 2α
=2sin 2α
2cos2α · cos2α
cos 2α
=tan 2α.
6.设 tan α,tan β是方程 x2-3x+2=0 的两根,则 tan(α+β)的值为( )
A.-3 B.-1
C.1 D.3
解析:选 A 由题意可知 tan α+tan β=3,
tan α·tan β=2,
则 tan(α+β)= tan α+tan β
1-tan αtan β
=-3.
7.已知函数 f(x)=2sin x,对任意的 x∈R 都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最小值为
( )
A.π
4 B.π
2
C.π D.2π
解析:选 C ∵f(x)=2sin x 的周期为 2π,
∴|x1-x2|的最小值为π.
8.已知 a=(1,sin2x),b=(2,sin 2x),其中 x∈(0,π).若|a·b|=|a||b|,则 tan x 的值等
于( )
A.1 B.-1
C. 3 D. 2
2
解析:选 A 由|a·b|=|a||b|知 a∥b.所以 sin 2x=2sin2x,即 2sin xcos x=2sin2x.而 x∈(0,
π),所以 sin x=cos x,即 x=π
4
,故 tan x=1.
9.将函数 y=sin x 的图象上所有的点向右平移 π
10
个单位长度,再把所得各点的横坐标伸
长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( )
A.y=sin 2x- π
10
B.y=sin 2x-π
5
C.y=sin
1
2x- π
10
D.y=sin
1
2x- π
20
解析:选 C 函数 y=sin x 的图象上的点向右平移 π
10
个单位长度可得函数 y=sin x- π
10 的
图象;再把各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)可得函数 y=sin
1
2
x- π
10 的图象,所
以所得函数的解析式是 y=sin
1
2
x- π
10 .
10.(山东高考)函数 y=2sin
πx
6
-π
3 (0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )
A.2- 3 B.0
C.-1 D.-1- 3
解析:选 A 当 0≤x≤9 时,-π
3
≤πx
6
-π
3
≤7π
6
,
- 3
2
≤sin
πx
6
-π
3 ≤1,所以函数的最大值为 2,最小值为- 3,其和为 2- 3.
11.如图,在△ABC 中,AD⊥AB, BC
= 3 BD
,| AD
|=1,则 AC
· AD
=( )
A.2 3 B.3 3
C. 3
2 D. 3
解析:选 D 建系如图.
设 B(xB,0),D(0,1),C(xC,yC),
BC
=(xC-xB,yC),
BD
=(-xB,1).
∵ BC
= 3 BD
,
∴xC-xB=- 3xB⇒xC=(1- 3)xB,yC= 3.
AC
=((1- 3)xB, 3), AD
=(0,1), AC
· AD
= 3.
12.已知向量 a,b 不共线,实数 x,y 满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,则 x-y 的值
为( )
A.3 B.-3
C.0 D.2
解析:选 A 由原式可得 3x-4y=6,
2x-3y=3,
解得 x=6,
y=3.
所以 x-y=3.
二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.(重庆高考)已知向量 a 与 b 的夹角为 60°,且 a=(-2,-6),|b|= 10,则 a·b=________.
解析:因为 a=(-2,-6),所以|a|= -22+-62=2 10,又|b|= 10,向量 a 与 b
的夹角为 60°,所以 a·b=|a|·|b|·cos 60°=2 10× 10×1
2
=10.
答案:10
14.(江西高考)已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为α,且 cos α=1
3
,若向量 a=3e1-2e2,则|a|
=________.
解析:因为 a2=(3e1-2e2)2=9-2×3×2×cos α+4=9,所以|a|=3.
答案:3
15.(山东高考)函数 y= 3
2 sin 2x+cos2x 的最小正周期为________.
解析:y= 3
2 sin 2x+1
2cos 2x+1
2
=sin2x+π
6
+1
2
,所以其最小正周期为2π
2
=π.
答案:π
16.化简:sin2 α-π
6 +sin2 α+π
6 -sin2α的结果是________.
解析:原式=1-cos 2α-π
3
2
+1-cos 2α+π
3
2
-sin2α
=1-1
2
cos 2α-π
3 +cos 2α+π
3 -sin2α
=1-cos 2α·cosπ
3
-sin2α
=1-cos 2α
2
-1-cos 2α
2
=1
2.
答案:1
2
三、解答题(本题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分 10 分)设 a=(1+cos x,1+sin x),b=(1,0),c=(1,2).
(1)求证:(a-b)⊥(a-c);
(2)求|a|的最大值,并求此时 x 的值.
解:(1)证明:a-b=(cos x,1+sin x),
a-c=(cos x,sin x-1),
(a-b)·(a-c)=(cos x,1+sin x)·(cos x,sin x-1)=cos2x+sin2x-1=0.
∴(a-b)⊥(a-c).
(2)|a|= 1+cos x2+1+sin x2
= 3+2sin x+cos x
= 3+2 2sin x+π
4 ≤ 3+2 2= 2+1.
当 sin x+π
4 =1,即 x=π
4
+2kπ(k∈Z)时,|a|有最大值 2+1.
18.(本小题满分 12 分)已知 sin(2α+β)=3sin β,设 tan α=x,tan β=y,记 y=f(x).
(1)求证:tan(α+β)=2tan α;
(2)求 f(x)的解析式.
解:(1)证明:由 sin(2α+β)=3sin β,
得 sin[(α+β)+α]=3sin[(α+β)-α],
即 sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α
=3sin (α+β)cos α-3cos(α+β)sin α,
∴sin(α+β)cos α=2cos(α+β)sin α.
∴tan(α+β)=2tan α.
(2)由(1)得 tan α+tan β
1-tan αtan β
=2tan α,
即 x+y
1-xy
=2x,
∴y= x
1+2x2
,
即 f(x)= x
1+2x2.
19.(本小题满分 12 分)已知 cos α-β
2 =-4
5
,sinβ-α
2
= 5
13
,且π
2
<α<π,0<β<π
2
,求 cosα+β
2
的值.
解:∵π
2
<α<π,0<β<π
2
,
∴α-β
2
∈
π
4
,π ,β-α
2
∈ -π
2
,π
4 .
∴sin α-β
2 = 1-cos2 α-β
2 =3
5
,
cos β-α
2 = 1-sin2 β-α
2 =12
13.
∵ α-β
2 + β-α
2 =α+β
2
,
∴cosα+β
2
=cos α-β
2 + β-α
2
=cos α-β
2 cos β-α
2 -sin α-β
2 sin β-α
2
= -4
5 ×12
13
-3
5
× 5
13
=-63
65.
20.(本小题满分 12 分)(湖北高考)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变
化近似满足函数关系:f(t)=10- 3cos π
12t-sin π
12t,t∈[0,24).
(1)求实验室这一天上午 8 时的温度;
(2)求实验室这一天的最大温差.
解:(1)f(8)=10- 3cos
π
12
×8 -sin
π
12
×8 =10- 3cos2π
3
-sin2π
3
=10- 3× -1
2 - 3
2
=10.
故实验室上午 8 时的温度为 10 ℃.
(2)因为 f(t)=10-2
3
2 cos π
12t+1
2sin π
12t =10-2sin
π
12
t+π
3 ,又 0≤t<24,所以π
3
≤ π
12t+
π
3<7π
3
,-1≤sin
π
12
t+π
3 ≤1.当 t=2 时,sin
π
12
t+π
3 =1;当 t=14 时,sin
π
12
t+π
3 =-1.
于是 f(t)在[0,24)上取得最大值 12,取得最小值 8.
故实验室这一天最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大温差为 4 ℃.
21.(本小题满分 12 分)已知 f(x)=2 3cos2x+sin 2x- 3+1(x∈R).
(1)求 f(x)的最小正周期;
(2)求 f(x)的递增区间;
(3)当 x∈ -π
4
,π
4 时,求 f(x)的值域.
解:f(x)=sin 2x+ 3(2cos2x-1)+1=sin 2x+
3cos 2x+1=2sin 2x+π
3 +1.
(1)函数 f(x)的最小正周期 T=2π
2
=π.
(2)由 2kπ-π
2
≤2x+π
3
≤2kπ+π
2
,
得 2kπ-5π
6
≤2x≤2kπ+π
6
,
∴kπ-5π
12
≤x≤kπ+ π
12(k∈Z).
∴函数 f(x)的递增区间为 kπ-5π
12
,kπ+ π
12 (k∈Z).
(3)∵x∈ -π
4
,π
4 ,∴2x+π
3
∈ -π
6
,5π
6 .
∴sin 2x+π
3 ∈ -1
2
,1 .
∴f(x)∈[0,3].
22.(本小题满分 12 分)(陕西高考)已知向量 a= cos x,-1
2 ,b=( 3sin x,cos 2x),x∈
R,设函数 f(x)=a·b.
(1)求 f (x)的最小正周期;
(2)求 f (x)在 0,π
2 上的最大值和最小值.
解:f(x)= cos x,-1
2 ·( 3sin x,cos 2x)
= 3cos xsin x-1
2cos 2x
= 3
2 sin 2x-1
2cos 2x
=cosπ
6sin 2x-sinπ
6cos 2x
=sin 2x-π
6 .
(1)f(x)的最小正周期为 T=2π
ω
=2π
2
=π,
即函数 f(x)的最小正周期为π.
(2)∵0≤x≤π
2
,
∴-π
6
≤2x-π
6
≤5π
6 .
由正弦函数的性质,
当 2x-π
6
=π
2
,即 x=π
3
时,f(x)取得最大值 1.
当 2x-π
6
=-π
6
,即 x=0 时,f(0)=-1
2
,
当 2x-π
6
=5π
6
,即 x=π
2
时,f
π
6 =1
2
,
∴f(x)的最小值为-1
2.
因此,f(x)在 0,π
2 上的最大值是 1,最小值是-1
2.
相关文档
- 2018-2019学年四川省攀枝花市高一2021-06-119页
- 2021版高考文科数学(北师大版)一轮复2021-06-1147页
- 2013-2017高考数学分类汇编-第8章 2021-06-119页
- 数学卷·2018届宁夏石嘴山市平罗中2021-06-1121页
- 【数学】2019届高考一轮复习北师大2021-06-1113页
- 2017-2018学年河南省安阳市第三十2021-06-1112页
- 2017-2018学年河北省邯郸市高二上2021-06-1119页
- 2019高三数学(人教A版 文)一轮课时分2021-06-1110页
- 【数学】2019届一轮复习北师大版 2021-06-1113页
- 2020届高三数学第一次(2月)模拟考试2021-06-1115页