2020届高三数学第一次（2月）模拟考试试题 文（含解析） 15页

‎2019届高三第一次模拟考试 数学文科试卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知，其中是虚数单位，则( )‎ A. B. C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ，则 ‎ 选B ‎2. 已知集合，，则为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ‎ ‎ ‎ 选D ‎3. 有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据几何概型的概率公式可得，A图中奖的概率P=，B图中奖的概率P=‎ - 15 -‎ ‎，C图中奖的概率P=，D图中奖的概率P=，则概率最大的为A，故选A.‎ 考点：几何概型.‎ ‎4. 已知函数 ，下列说法错误的是( )‎ A. 函数最小正周期是 B. 函数是偶函数 C. 函数在上是增函数 D. 函数图像关于对称 ‎【答案】C ‎【解析】 ，故A正确；‎ 即函数是偶函数，B正确；‎ ‎，当时，，故D正确；‎ 故选C.‎ ‎5. 若实数满足，则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 作出不等式组对应的平面区域如图：其中 的几何意义，即动点P（x，y）与点 连线斜率的取值范围． 由图象可知过点与点直线的斜率 2．所以 ， 故的取值范围是．............‎ 故选D．‎ - 15 -‎ ‎【点睛】本题考查线性规划的基本应用及数形结合的数学思想，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键．‎ ‎6. 如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的可能图象是( ) ‎ A. B. .‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题,该容器为漏斗形几何体,所以水面高度随时间的变化为先慢后快,再快最后慢的情况变化，如选项C的情况。故选C。‎ ‎7. 执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的( )‎ - 15 -‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：执行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m==0.5,S=S-m=0.5,=0.25,n=1,S=0.5＞t=0.01,是，循环，‎ 执行第2次，S="S-m" =0.25,=0.125,n=2,S=0.25＞t=0.01,是，循环，‎ 执行第3次，S="S-m" =0.125,=0.0625,n=3,S=0.125＞t=0.01,是，循环，‎ 执行第4次，S=S-m=0.0625,=0.03125,n=4,S=0.0625＞t=0.01,是，循环，‎ 执行第5次，S="S-m" =0.03125,=0.015625,n=5,S=0.03125＞t=0.01,是，循环，‎ 执行第6次，S=S-m=0.015625,=0.0078125,n=6,S=0.015625＞t=0.01,是，循环，‎ 执行第7次，S=S-m=0.0078125,=0.00390625,n=7,S=0.0078125＞t=0.01,否，输出n=7，故选C.‎ 考点：程序框图 视频 ‎8. 函数的图象是( )‎ - 15 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：函数为奇函数，去掉A,C;当时，因此选B.‎ 考点：函数图像与性质 ‎9. 在中，角的对边分别是，已知，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，所以，故选B。‎ ‎10. 设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，则的面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】交点坐标，所以直线的方程为，‎ ‎，得，‎ 所以，，‎ 所以，故选A。‎ ‎11. 已知是的重心，过点作直线与，交于点，且，，，则的最小值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ - 15 -‎ 如图 三点共线， ‎ ‎ ∵是的重心，‎ ‎ ‎ ‎ 解得， 结合图象可知 ‎ 令 ‎ 故 ‎ 故 ‎ 当且仅当等号成立 故选D ‎12. 已知函数有两个零点，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，‎ 不妨设，‎ 有，‎ 所以。‎ 因为，得，‎ 所以有，‎ 即，‎ - 15 -‎ 所以，故选A。‎ 点睛：本题考查函数的零点问题。函数零点所在区间的方法是转化为两个函数的交点问题，本题中还考察指数函数和对数函数的性质应用，结合函数的单调性，得到零点的相关特性，得到答案。‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 若，则的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时，显然成立；‎ 当时，，得；‎ 综上，的取值范围是。‎ ‎14. 《九章算术》“竹九节”问题：现有1根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由题意可知，解得，所以.‎ 考点：等差数列通项公式．‎ ‎15. 已知函数，则使得成立的的取值范围是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵函数满足 故函数为偶函数， 当时，为增函数，为减函数， 故函数在时为增函数，在 时为减函数， 则 解得： ‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查函数知识的综合应用，解题时灵活应用是函数单调性，函数的奇偶性，绝对值不等式的解法等是解题的关键．‎ ‎16. 过动点作圆：的切线，其中为切点，若(为坐标原点)，则的最小值是 .‎ - 15 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，得，即，‎ 所以点的运动轨迹是直线，‎ 所以，则。‎ 点睛：本题考查直线和圆的位置关系、轨迹问题。首先由条件，得到点的运动轨迹是直线，根据切线长的计算方法，取最小，即圆心到直线的垂线交点为的时候取到。‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知数列为等差数列，且，，数列的前项和为.‎ ‎(1)求数列和的通项公式；‎ ‎(2)设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）根据等差数列的定义即可求出通项公式，再根据数列的递推公式即可求出{bn}的通项公式；（Ⅱ）由错位相减求和法求出数列的前项和 试题解析：（Ⅰ）数列为等差数列，所以又因为，当时，所以当时，‎ 即数列是首项为，公比为的等比数列，所以 ‎（Ⅱ）‎ 两式相减得 所以 点睛：本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于 - 15 -‎ ‎，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.‎ ‎18. 如图所示，正四棱椎中，底面的边长为2，侧棱长为，为的中点.‎ ‎(1)求证：平面；‎ ‎(2)若为上的一点，且，求三棱椎的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1），得平面；（2）由等体积法，得。‎ 试题解析：‎ ‎(1)设交于，连接，则在中，分别为的中点，‎ ‎∴，又平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）易知，且平面，‎ ‎∴‎ - 15 -‎ ‎19. 某中学为研究学生的身体素质与与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如下表：(平均每天锻炼的时间单位：分钟)‎ 将学生日均课外体育运动时间在上的学生评价为“课外体育达标”.‎ 平均每天锻炼的时间(分钟)‎ 总人数 ‎20‎ ‎36‎ ‎44‎ ‎50‎ ‎40‎ ‎10‎ 请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？‎ 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 女 ‎20‎ ‎110‎ 合计 从上述200名学生中，按“课外体育达标”、“课外体育不达标”分层抽样，抽取4人得到一个样本，再从这个样本中抽取2人，求恰好抽到一名“课外体育不达标”学生的概率.‎ 参考公式：，其中.‎ 参考数据：‎ ‎【答案】（1）不能判断（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）完成表格，得到在犯错误的概率不超过 - 15 -‎ 的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关；（2）由题意，通过穷举法，得到.‎ 试题解析：‎ ‎(1)由题意可得如下列联表：‎ 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 ‎60‎ ‎30‎ ‎90‎ 女 ‎90‎ ‎20‎ ‎110‎ 合计 ‎150‎ ‎50‎ ‎200‎ ‎.‎ 所以在犯错误的概率不超过的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关.‎ ‎(2)由题意，样本中“课外体育不达标”的学生有3人，记为：；“课外体育达标”的学生有1人，记为：.‎ 从这4人中抽取2人共有，，，，，6种情况，‎ 其中“恰好抽到一名‘课外体育不达标’学生”有，，3种情况，‎ 设“恰好抽到一名‘课外体育不达标’学生”为事件，则.‎ ‎20. 椭圆的左顶点为，右焦点为，上顶点为，下顶点为，若直线与直线的交点为.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)点为椭圆的长轴上的一个动点，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，证明：为定值.‎ ‎【答案】（1）（2）是定值.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意，得到且，又因为，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）设的方程为，得，，所以是定值.‎ - 15 -‎ 试题解析：‎ ‎(1)由椭圆的左顶点的坐标为，上下定点的坐标为，，右焦点的坐标为，则直线的方程为，直线的方程为，又因为直线和直线的交点为，所以有，解得且，又因为，解得，‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎(2)设的方程为，即，代入并整理得：‎ ‎，‎ 设，，则，，‎ 又因为，同理，‎ 则，‎ 所以是定值.‎ 点睛：本题考查直线和椭圆的位置关系。由题意，联立方程得到韦达定理：，，表示，，则，代入韦达定理，求得定值。‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎(1)求函数在点处的切线方程；‎ ‎(2)在函数的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上.若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）存在两点为，‎ ‎【解析】试题分析：（1）切线方程为即.（2）由题意，‎ - 15 -‎ ‎，又在上单调递增，所以，解得：，，所以存在两点为，。‎ 试题解析：‎ ‎(1)∵，又，∴，‎ 故所求切线方程为即.‎ ‎(2)设所求两点为，，，不妨设，‎ ‎∵，‎ 由题意：，‎ ‎∵在上单调递增，‎ ‎∴，，‎ 又，∴，∴，‎ 解得：，(舍)，，(舍)‎ 所以，存在两点为，即为所求.‎ ‎22. 已知曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)把的参数方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)求与交点的极坐标.‎ ‎【答案】（1）（2），.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先得到的普通方程，进而得到极坐标方程；（2）先联立求出交点坐标，进而求出极坐标．‎ 试题解析：（1）将消去参数，化为普通方程5，‎ - 15 -‎ 即．‎ 将代入得 ‎，‎ 所以的极坐标方程为．‎ ‎（2）的普通方程为．‎ 由，解得或，‎ 所以与交点的极坐标分别为，．‎ 考点：1、参数方程与普通方程的互化；2、极坐标方程与直角坐标方程的互化．‎ ‎23. 设函数.‎ ‎(1)画出函数的图象；‎ ‎(2)若不等式的解集非空，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）先讨论的范围，将函数写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可； （II）根据函数与函数的图象可知先寻找满足的零界情况，从而求出的范围．‎ 试题解析：‎ ‎ (1)由于，则的图象如图所示：‎ - 15 -‎ ‎(2)由函数与函数的图象可知，当且仅当或时，‎ 函数与函数的图象有交点，‎ 故不等式的解集非空时，的取值范围是.‎ - 15 -‎