高中数学必修2教案：第二章 2_3_2平面与平面垂直的判定 13页

‎2.3.2　平面与平面垂直的判定 ‎[学习目标]　1.理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大小.2.理解两平面垂直的定义.3.掌握两平面垂直的判定定理．‎ ‎[知识链接]‎ ‎1．直线与平面垂直：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直．‎ ‎2．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．‎ ‎3．直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角．‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．二面角 ‎(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．这两个半平面叫做二面角的面．‎ 如图(1)可记作：二面角αlβ或PABQ或PlQ.‎ 如图(2)对二面角αlβ若有：‎ ‎①O∈l；‎ ‎②OA⊂α，OB⊂β；‎ ‎③OA⊥l，OB⊥l.‎ 则∠AOB就叫做二面角αlβ的平面角．‎ ‎2．平面与平面的垂直 ‎(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．‎ ‎(2)画法：‎ 记作：α⊥β.‎ ‎(3)面面垂直的判定定理 文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．‎ 图形语言：如图所示 符号语言：⇒α⊥β.‎ 要点一　二面角及其平面角的概念 例1　下列命题中：‎ ‎①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；‎ ‎④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是(　　)‎ A．①③ B．②④ C．③④ D．①②‎ 答案　B 解析　由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，所以①不对，实质上它共有四个二面角；由a，b分别垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③不对；由定义知④正确．故选B.‎ 规律方法　1.要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一致．‎ ‎2．要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角面上的角的联系与区别．‎ ‎3．可利用实物模型，作图帮助判断．‎ 跟踪演练1　若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角(　　)‎ A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．关系无法确定 答案　D 解析　如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角HDGF的大小不确定．‎ 要点二　面面垂直的判定与证明 例2　如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.‎ 证明　连接AC，BC，则BC⊥AC，又PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，‎ ‎∴PA⊥BC，而PA∩AC＝A，‎ ‎∴BC⊥平面PAC，‎ 又BC⊂平面PBC，‎ ‎∴平面PAC⊥面PBC.‎ 规律方法　面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直．‎ 跟踪演练2　如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．求证：平面AEC⊥平面PDB.‎ 证明　∵AC⊥BD，AC⊥PD，PD，BD为平面PDB内两条相交直线，∴AC⊥平面PDB.又∵AC ‎⊂平面AEC，‎ ‎∴平面AEC⊥平面PDB.‎ 要点三　二面角 例3　如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求二面角BA1C1B1的正切值．‎ 解　取A1C1的中点O，连接B1O，BO.由题意知B1O⊥A1C1，‎ 又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，‎ 所以BO⊥A1C1，‎ 所以∠BOB1即是二面角BA1C1B1的平面角．‎ 因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1⊂平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB1.‎ 设正方体的棱长为a，则OB1＝a，‎ 在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝＝＝，‎ 所以二面角BA1C1B1的正切值为.‎ 规律方法　1.求二面角的大小关键是要找出或作出平面角．再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为作角→证明→计算．‎ ‎2．为在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点，如是否为等腰三角形等．‎ 跟踪演练3　已知正四棱锥(底面为正方形各侧面为全等的等腰三角形)的体积为12，底面对角线的长为2，求侧面与底面所成的二面角．‎ 解　设正四棱锥为SABCD，‎ 如图所示，高为h，底面边长为a，‎ 则2a2＝(2)2，‎ ‎∴a2＝12.‎ 又a2h＝12，∴h＝＝3.‎ 设O为S在底面上的投影，作OE⊥CD于E，连接SE，‎ 可知SE⊥CD，∠SEO为所求二面角的平面角．‎ tan∠SEO＝＝＝＝，∴∠SEO＝60°.‎ ‎∴侧面与底面所成二面角的大小为60°.‎ ‎1．已知l⊥α，则过l与α垂直的平面(　　)‎ A．有1个 B．有2个 C．有无数个 D．不存在 答案　C 解析　由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个．‎ ‎2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是(　　)‎ A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n⊂α C．m∥n，n⊥β，m⊂α D．m∥n，m⊥α，n⊥β 答案　C 解析　∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m⊂α，由面面垂直的判定定理，∴α⊥β.‎ ‎3．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有(　　)‎ A．平面ABC⊥平面ADC B．平面ABC⊥平面ADB C．平面ABC⊥平面DBC D．平面ADC⊥平面DBC 答案　D 解析　∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，‎ ‎∴AD⊥平面BCD.‎ 又∵AD⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.‎ ‎4. 已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图所示)，图中互相垂直的平面有(　　)‎ A．1对 B．2对 C．3对 D．5对 答案　D 解析　∵DA⊥AB，DA⊥PA，AB∩PA＝A，‎ ‎∴DA⊥平面PAB，同样BC⊥平面PAB，‎ 又易知AB⊥平面PAD，∴DC⊥平面PAD.‎ ‎∴平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面PAD，共5对．‎ ‎5. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1ABC的大小为________．‎ 答案　45°‎ 解析　∵AB⊥BC，AB⊥BC1，‎ ‎∴∠C1BC为二面角C1ABC的平面角，其大小为45°.‎ ‎1.证明两个平面垂直的主要途径：‎ ‎(1)利用面面垂直的定义；‎ ‎(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．‎ ‎2．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的．‎ ‎3．下面的结论，有助于判断面面垂直：‎ ‎(1)m∥n，m⊥α，n⊂β⇒α⊥β；‎ ‎(2)m⊥α，n⊥β，m⊥n⇒α⊥β；‎ ‎(3)α∥β，γ⊥α⇒γ⊥β.‎ 一、基础达标 ‎1．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有(　　)‎ A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥β C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ 答案　A 解析　B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．‎ ‎2．从空间一点P向二面角αlβ的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角的平面角的大小是(　　)‎ A．60° B．120°‎ C．60°或120° D．不确定 答案　C 解析　若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.‎ ‎3. 如图，在立体图形DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列说法中正确的是(　　)‎ A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE C．平面ABD⊥平面BDC D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE 答案　B 解析　由条件得AC⊥DE，AC⊥BE，又DE∩BE＝E，‎ ‎∴AC⊥平面BDE，又AC⊂面ADC，AC⊂面ABC.∴平面ABC⊥平面BDE，平面ADC⊥平面BDE，故选B.‎ ‎4. 如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA＝a，PB＝PD＝a，则它的5个面中互相垂直的面有(　　)‎ A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 答案　D ‎5. 如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角PBCA的大小为(　　)‎ A．60° B．30°‎ C．45° D．15°‎ 答案　C 解析　由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC又PA∩AC＝C，‎ ‎∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角PBCA的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，∴C对．‎ ‎6．已知三棱锥DABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则二面角DBCA的大小为________．‎ 答案　90°‎ 解析　如图，由题意知AB＝AC＝BD＝CD＝，BC＝AD＝2.‎ 取BC的中点E，连接DE，AE，则AE⊥BC，DE⊥BC，所以∠DEA为所求二面角的平面角．‎ 易得AE＝DE＝，又AD＝2，‎ 所以∠DEA＝90°.‎ ‎7. 如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，AC∩BD＝E，AD＝2，AB＝2，BC＝6.求证：平面PBD⊥平面PAC.‎ 证明　∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，‎ ‎∴BD⊥PA.又tan∠ABD＝＝，‎ tan∠BAC＝＝，∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°，‎ ‎∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC.‎ 又PA∩AC＝A，‎ ‎∴BD⊥平面PAC.‎ 又BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.‎ 二、能力提升 ‎8．在正四面体PABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是(　　)‎ A．BC∥面PDF B．DF⊥面PAE C．面PDF⊥面ABC D．面PAE⊥面ABC 答案　C 解析　如图所示，∵BC∥DF，‎ ‎∴BC∥平面PDF.∴A正确．‎ 由BC⊥PE，BC⊥AE，‎ ‎∴BC⊥平面PAE.‎ ‎∴DF⊥平面PAE.∴B正确．‎ ‎∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)．‎ ‎∴D正确．‎ ‎9. 如图所示，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是(　　)‎ A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBC C．直线BC∥平面PAE D．直线PD与平面ABC所成的角为45°‎ 答案　D 解析　∵PA⊥平面ABC，‎ ‎∴∠ADP是直线PD与平面ABC所成的角．‎ ‎∵六边形ABCDEF是正六边形，‎ ‎∴AD＝2AB，即tan∠ADP＝＝＝1，‎ ‎∴直线PD与平面ABC所成的角为45°，选D.‎ ‎10．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝，则二面角BACD的大小为________．‎ 答案　60°‎ 解析　如图所示，由二面角的定义知∠BOD即为二面角的平面角．‎ ‎∵DO＝OB＝BD＝，‎ ‎∴∠BOD＝60°.‎ ‎11. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中点．‎ ‎(1)求证：平面MNF⊥平面ENF；‎ ‎(2)求二面角M－EF－N的平面角的正切值．‎ ‎(1)证明　连接MN，‎ ‎∵N，F均为所在棱的中点，‎ ‎∴NF⊥平面A1B1C1D1.‎ 而MN⊂平面A1B1C1D1，‎ ‎∴NF⊥MN.‎ 又∵M，E均为所在棱的中点，‎ ‎∴△C1MN和△B1NE均为等腰直角三角形．‎ ‎∴∠MNC1＝∠B1NE＝45°，∴∠MNE＝90°，‎ ‎∴MN⊥NE.∴MN⊥平面NEF.‎ 而MN⊂平面MNF，‎ ‎∴平面MNF⊥平面NEF.‎ ‎(2)解　在平面NEF中，过点N作NG⊥EF于点G，连接MG.‎ 由(1)得知MN⊥平面NEF，‎ 又EF⊂平面NEF，∴MN⊥EF.‎ 又MN∩NG＝N，∴EF⊥平面MNG，∴EF⊥MG.‎ ‎∴∠MGN为二面角M－EF－N的平面角．‎ 设该正方体的棱长为2.‎ 在Rt△NEF中，NG＝＝，‎ ‎∴在Rt△MNG中，tan∠MGN＝＝＝.‎ ‎∴二面角M－EF－N的平面角的正切值为.‎ 三、探究与创新 ‎12. 已知三棱锥PABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AB＝20.D为AB的中点，且△PDB为等边三角形，PA⊥PC.‎ ‎(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；‎ ‎(2)求二面角DAPC的正弦值．‎ ‎(1)证明　在Rt△ACB中，D是斜边AB的中点，‎ 所以BD＝DA.‎ 因为△PDB是等边三角形，‎ 所以BD＝DP＝BP，则BD＝DA＝DP，‎ 因此△APB为直角三角形，即PA⊥BP.‎ 又PA⊥PC，PC∩BP＝P，‎ 所以PA⊥平面PCB.‎ 因为BC⊂平面PCB，所以PA⊥BC.‎ 又AC⊥BC，PA∩AC＝A，‎ 所以BC⊥平面PAC，‎ 因为BC⊂平面ABC，‎ 所以平面PAC⊥平面ABC.‎ ‎(2)解　由(1)知PA⊥PB及已知PA⊥PC，‎ 故∠BPC即为二面角DAPC的平面角．‎ 由(1)知BC⊥平面PAC，则BC⊥PC.‎ 在Rt△BPC中，BC＝4，BP＝BD＝10，‎ 所以sin∠BPC＝＝＝，‎ 即二面角DAPC的正弦值为.‎ ‎13. 如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝.‎ ‎(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；‎ ‎(2)求二面角ABEP的大小．‎ ‎(1)证明　如图所示，连接BD，‎ 由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，‎ ‎△BCD是等边三角形．‎ 因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.‎ 又AB∥CD，所以BE⊥AB.‎ 又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，‎ 所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，‎ 因此BE⊥平面PAB.又BE⊂平面PBE，‎ 所以平面PBE⊥平面PAB.‎ ‎(2)解　由(1)知BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，‎ 所以PB⊥BE.又AB⊥BE，‎ 所以∠PBA是二面角ABEP的平面角．‎ 在Rt△PAB中，tan∠PBA＝＝，∠PBA＝60°，‎ 故二面角ABEP的大小是60°.‎