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  • 2021-06-11 发布

2020届高考数学大二轮复习层级二专题五解析几何第2讲圆锥曲线的方程性质及与弦有关的问题教学案

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- 1 - 第 2 讲 圆锥曲线的方程性质及与弦有关的问题 [考情考向·高考导航] 圆锥曲线是高考的重点和热点,是高考中每年必考的内容.主要考查圆锥曲线的标准方 程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等内容.对圆锥曲线方程与性质的考查,以选择 题、填空题为主,对直线与圆锥曲线的位置关系的考查,常与其他知识交汇命题,多以解答 题的形式出现. [真题体验] 1.(2019·全国Ⅱ卷)若拋物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆 x2 3p+ y2 p =1 的一个焦点,则 p= (  ) A.2          B.3 C.4 D.8 解析:D [由椭圆 x2 3p+ y2 p =1,知半焦距 c= 3p-p= 2p, ∴ 2p= p 2,∴p=8.] 2.(2019·全国Ⅱ卷)设 F 为双曲线 C: x2 a2- y2 b2=1(a>0,b>0)的右焦点,O 为坐标原点, 以 OF 为直径的圆与圆 x2+y2=a2 交于 P,Q 两点.若|PQ|=|OF|,则 C 的离心率为(  ) A. 2 B. 3 C.2 D. 5 解析:A [以 OF 为直径的圆为 (x- c 2 )2+y2= c2 4 ,即 x2+y2-cx=0, 与圆 x2+y2=a2 相减得直线 PQ 的方程为 x= a2 c , 由勾股定理得: |PQ| 2 = a2- a4 c2= ab c , ∴|PQ|= 2ab c =c, ∴2ab=c2,平方得:4a2b2=c4,∴4a2(c2-a2)=c4, 化简得:e4-4e2+4=0,∴e2=2,即 e= 2.] 3.(2018·全国Ⅱ卷)已知 F1,F2 是椭圆 C: x2 a2+ y2 b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A 是 C 的左 顶点,点 P 在过 A 且斜率为 3 6 的直线上,△PF1F2 为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则 C 的离 心率为(  ) - 2 - A. 2 3 B. 1 2 C. 1 3 D. 1 4 解析:D [如图直线 AP 的方程为 y= 3 6 (x+a), ① 直线 PF2 的方程为 y= 3(x-c),② ①与②联立解得:x= a+6c 5 ,y= 3 5 (a+c), ∴P(a+6c 5 , 3 5 a+c), ∴|PF2|= (a+6c 5 -c)2+ 3 25a+c2 = 2 5(a+c),又∵|PF2|=|F1F2|,∴ 2 5(a+c)=2c, ∴a=4c,∴e= c a= 1 4.] 4.(2018·全国Ⅲ卷)已知点 M(-1,1)和抛物线 C:y2=4x,过 C 的焦点且斜率为 k 的直 线与 C 交于 A,B 两点.若∠AMB=90°,则 k=________. 解析:设直线 AB 的方程为 y=k(x-1),由Error! 得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设 A(x1,y1), B(x2,y2). 则 x1+x2= 2k2+4 k2 ,x1·x2=1. ∵∠AMB=90°,∴kMA·kMB=-1 解 y1-1 x1+1· y2-1 x2+1=-1. 化简得 k2-4k+4=0,解得 k=2. 答案:2 [主干整合] 1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆:|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|); (2)双曲线:||MF1|-|MF2||=2a(2a<|F1F2|); - 3 - (3)拋物线:|MF|=d(d 为 M 点到准线的距离). 应用圆锥曲线定义解题时,易忽视定义中隐含条件导致错误. 2.圆锥曲线的标准方程 (1)椭圆: x2 a2+ y2 b2=1(a>b>0)(焦点在 x 轴上)或 y2 a2+ x2 b2=1(a>b>0)(焦点在 y 轴上); (2)双曲线: x2 a2- y2 b2=1(a>0,b>0)(焦点在 x 轴上)或 y2 a2- x2 b2=1(a>0,b>0)(焦点在 y 轴上); (3)拋物线:y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py(p>0). 3.圆锥曲线的重要性质 (1)椭圆、双曲线中 a,b,c 之间的关系 ①在椭圆中:a2=b2+c2;离心率为 e= c a= 1- b2 a2. ②在双曲线中:c2=a2+b2;离心率为 e= c a= 1+ b2 a2. (2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标 ①双曲线 x2 a2- y2 b2=1(a>0, b>0)的渐近线方程为 y=± b ax,焦点坐标 F1(- c,0), F2(c,0). ②双曲线 y2 a2- x2 b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± a bx,焦点坐标 F1(0,-c),F2(0, c). (3)拋物线的焦点坐标与准线方程 ①拋物线 y2=2px(p>0)的焦点 F(p 2,0 ),准线方程 x=- p 2. ②拋物线 x2=2py(p>0)的焦点 F(0, p 2 ),准线方程 y=- p 2. 4.弦长问题 (1)直线与圆锥曲线相交的弦长 设而不求,利用根与系数的关系,进行整体代入.即当斜率为 k,直线与圆锥曲线交于 A(x1,y1),B(x2,y2)时,|AB|= 1+k2|x1-x2|= 1+k2 x1+x22-4x1x2. (2)过拋物线焦点的弦长 拋物线 y2=2px(p>0)过焦点 F 的弦 AB,若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x2= p2 4 ,y1y2=- p2,弦长|AB|=x1+x2+p. - 4 - 热点一 圆锥曲线的定义与标准方程 [例 1] (1)(2018·天津卷)已知双曲线 x2 a2- y2 b2=1,(a>0,b>0)的离心率为 2,过右焦点 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点.设 A、B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别 为 d1 和 d2,且 d1+d2=6,则双曲线的方程为(  ) A. x2 4 - y2 12=1        B. x2 12- y2 4 =1 C. x2 3 - y2 9 =1 D. x2 9 - y2 3 =1 [解析] C [设双曲线的右焦点坐标为 F(c,0)(c>0),则 xA=xB=c, 由 c2 a2- y2 b2=1 可得:y=± b2 a , 不妨设:A(c, b2 a ),B(c,- b2 a ), 双曲线的一条渐近线方程为:bx-ay=0, 据此可得:d1= |bc-b2| a2+b2= bc-b2 c ,d2= |bc+b2| a2+b2= bc+b2 c , 则 d1+d2= 2bc c =2b=6,则 b=3,b2=9, 双曲线的离心率:e= c a= 1+ b2 a2= 1+ 9 a2=2, 据此可得:a2=3,则双曲线的方程为 x2 3 - y2 9 =1.] (2)(2020·太原模拟)已知 F1,F2 分别是双曲线 3x2-y2=3a2(a>0)的左、右焦点,P 是 拋物线 y2 =8ax 与双曲线的一个交点,若|PF1|+| PF2|=12,则拋物线的准线方程为 ____________. [解析] 由题意得拋物线的焦点与双曲线的右焦点(2a,0)重合.联立Error!消去 y 得 3x2 -8ax-3a2=0,解得 xP=3a(负舍).由点 P 在双曲线上得|PF1|-|PF2|=2a,又因为|PF1|+ |PF2|=12,所以|PF2|=6-a,又因为点 P 在拋物线上,所以|PF2|=3a+2a=5a=6-a,解 得 a=1,所以拋物线的准线方程为 x=-2a=-2. [答案] x=-2 圆锥曲线定义及标准方程的关注点 1.圆锥曲线的定义是根本,“回归定义”是一种重要的解题策略.对于圆锥曲线的定义 不仅要熟记,还要深入理解细节部分:比如椭圆的定义中要求|PF1|+|PF2|>|F1F2|,双曲线 的定义中要求||PF1|-|PF2||<|F1F2|,拋物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转 - 5 - 化. 2.当焦点位置无法确定时,拋物线常设为 y2=2ax 或 x2=2ay(a≠0),椭圆常设为 mx2+ ny2=1(m>0,n>0,m≠n),双曲线常设为 mx2-ny2=1(mn>0). 3.注意数形结合,提倡画出合理草图. (1)(2019·全国Ⅰ卷)已知椭圆 C 的焦点为 F1(-1,0),F2(1,0),过 F2 的直线与 C 交于 A,B 两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则 C 的方程为(  ) A. x2 2 +y2=1 B. x2 3 + y2 2 =1 C. x2 4 + y2 3 =1 D. x2 5 + y2 4 =1 解析:B [由已知|AF1|+|AF2|=2a, |BF1|+|BF2|=2a. 又|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|, ∴|BF2|= 1 2a,|AF2|=|AF1|=a, |BF1|= 3 2a. 又|F1F2|=2. ∴ a2+4-a2 2·2a =- 1 4a2+4- 9 4a2 2 × 2· 1 2a 解得 a2=3,∴b2=2. ∴椭圆 C 的方程为 x2 3 + y2 2 =1.选 B.] (2)(2020·龙岩质检)已知以圆 C:(x-1)2+y2=4 的圆心为焦点的拋物线 C1 与圆 C 在第 一象限交于 A 点,B 点是拋物线 C2:x2=8y 上任意一点,BM 与直线 y=-2 垂直,垂足为 M, 则|BM|-|AB|的最大值为(  ) A.1 B.2 C.-1 D.8 解析:A [因为圆 C:(x-1)2+y2=4 的圆心为 C(1,0), 所以可得以 C(1,0)为焦点的拋物线方程为 y2=4x, 由Error!解得 A(1,2). 拋物线 C2:x2=8y 的焦点为 F(0,2), 准线方程为 y=-2, 即有|BM|-|AB|=|BF|-|AB|≤|AF|=1, - 6 - 当且仅当 A,B,F(A 在 B,F 之间)三点共线时,可得最大值 1.] 热点二 圆锥曲线的几何性质 数学 运算 素养 数学运算——圆锥曲线的性质与不等式综合中的核心素养 以学习过的圆锥曲线和不等式相关知识为基础,通过将已知条件代数化,并 进行一系列的数学运算,从而解决问题. [例 2] (1)(2019·长沙二模)设 F1,F2 分别是椭圆 x2 a2+ y2 b2=1(a>b>0)的左,右焦点, 若在直线 x= a2 c 上存在点 P,使线段 PF1 的中垂线过点 F2,则椭圆的离心率的取值范围是(  ) A.(0, 2 2 ]        B.(0, 3 3 ] C.[ 2 2 ,1) D.[ 3 3 ,1) [解析] D [设 P(a2 c ,y),线段 F1P 的中点 Q 的坐标为(b2 2c, y 2), y2= a2+c2·2c2-b2 c2 ,y2≥0. 但注意到 b2-2c2≠0,即 2c2-b2>0, 即 3c2-a2>0,即 e2> 1 3,故 3 3 <e<1. 当 不存在时,b2-2c2=0,y=0, 此时 F2 为中点,即 a2 c -c=2c,得 e= 3 3 , 综上,得 3 3 ≤e<1, 即所求的椭圆离心率的取值范围是[ 3 3 ,1).故选 D.] (2)(2020·石家庄模拟)已知双曲线 C: x2 a2- y2 b2=1(a>0,b>0)的焦距为 2c,直线 l 过点 (2 3a,0)且与双曲线 C 的一条渐近线垂直,以双曲线 C 的右焦点为圆心,半焦距为半径的圆与 - 7 - 直线 l 交于 M,N 两点,若|MN|= 4 2 3 c,则双曲线 C 的渐近线方程为(  ) A.y=± 2x B.y=± 3x C.y=±2x D.y=±4x [解析] B [由题意可设渐近线方程为 y= b ax,则直线 l 的斜率 kl=- a b,直线方程为 y= - a b(x- 2 3a), 整理可得 ax+by- 2 3a2=0. 焦点(c,0)到直线的距离 d= |ac- 2 3a2| a2+b2 = |ac- 2 3a2| c , 则弦长为 2 c2-d2=2 c2- (ac- 2 3a2)2 c2 = 4 2 3 c, 整理可得 c4-9a2c2+12a3c-4a4=0, 即 e4-9e2+12e-4=0, 分解因式得(e-1)(e-2)(e2+3e-2)=0. 又双曲线的离心率 e>1,则 e= c a=2, 又 b a= e2-1= 3, ∴双曲线的渐近线方程为 y=± 3x.故选 B.] (1)求椭圆、双曲线的离心率,关键是根据已知条件确定 a,b,c 的等量关系,然后把 b 用 a,c 代换,求 c a的值;在双曲线中由于 e2=1+(b a )2,故双曲线的渐近线与离心率密切 相关. (2)圆锥曲线的几何性质常涉及一些不等关系,例如对椭圆 x2 a2+ y2 b2=1(a>b>0),有- a≤x≤a,-b≤y≤b,0<e<1 等,在求与圆锥曲线有关的一些量的范围,或者求这些量的最 大值或最小值时,经常用到这些不等关系. (1)(2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线 C: x2 a2- y2 b2=1(a>0,b>0)的离心率为 2,则点(4,0) 到 C 的渐近线的距离为(  ) - 8 - A. 2 B.2 C. 3 2 2 D.2 2 解析:D [∵e= c a= 1+ b2 a2= 2. ∴ b a=±1. ∴双曲线 C 的渐近线方程为 x±y=0, ∴点(4,0)到 C 的渐近线的距离 d= 4 1+1=2 2. 故答案选 D.] (2)(2018·北京卷改编)已知椭圆 M: x2 a2+ y2 b2=1(a>b>0),双曲线 N: x2 m2- y2 n2=1.若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆 M 的离心率为________. 解析: 设椭圆的右焦点为 F(c,0),双曲线 N 的渐近线与椭圆 M 在第一象限内的交点为 A, 由题意可知 A(c 2, 3c 2 ), 由点 A 在椭圆 M 上得, c2 4a2+ 3c2 4b2=1,∴b2c2+3a2c2=4a2b2,∵b2=a2-c2, ∴(a2-c2)c2+3a2c2=4a2(a2-c2),则 4a4-8a2c2+c4=0,e4-8e2+4=0,∴e2=4+2 3 (舍),e2=4-2 3.由 0<e<1,得 e= 3-1. 答案: 3-1 (3)(2019·临沂三模)已知双曲线 x2 a2- y2 b2=1(a>0, b>0)的两条渐近线与拋物线 y2= 2px(p>0)的准线分别交于 A,B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为 2,△AOB 的面积 为 3,则 p=________. 解析: - 9 - 由 e= c a=2,得 c=2a,b= 3a,所以双曲线的渐近线为 y=± 3x.又拋物线的准线方 程为 x=- p 2,联立双曲线的渐近线和拋物线的准线方程得 A(- p 2, 3p 2 ),B(- p 2,- 3p 2 ), 在△AOB 中,|AB|= 3p,O 到 AB 的距离为 p 2, 因为 S△AOB= 3,所以 1 2· 3p· p 2= 3,p=2. 答案:2 热点三 直线与圆锥曲线 [例 3] (2019·江苏卷)如图, 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: x2 a2+ y2 b2=1(a>b>0)的焦点为 F1(-1,0),F2(1,0).过 F2 作 x 轴的垂线 l,在 x 轴的上方,l 与圆 F2:(x-1)2+y2=4a2 交于点 A,与椭圆 C 交于点 D.连接 AF1 并延长交圆 F2 于点 B,连接 BF2 交椭圆 C 于点 E,连接 DF1.已知 DF1= 5 2. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)求点 E 的坐标. [审题指导] (1)直接根据条件运用椭圆的定义求解. (2)思路 1:结合(1)中结论求出点 A 的坐标,写出直线 AF1 的方程,并与圆的方程联立得 点 B 的坐标,从而写出直线 BF2 的方程,将其与椭圆方程联立求得点 E 的坐标. 思路 2:连接 EF1,注意到∠A=∠B=∠BF1E,所以 EF1∥F2A,可得 EF1⊥x 轴,从而可得 点 E 的横坐标为-1,将 x=-1 与椭圆方程联立可得点 E 的坐标. [解] (1)设椭圆 C 的焦距为 2c. 因为 F1(-1,0),F2(1,0),所以 F1F2=2,c=1. 又因为 DF1= 5 2,AF2⊥x 轴, - 10 - 所以 DF2= DF21-F1F22= (5 2 )2-22= 3 2. 因此 2a=DF1+DF2=4,从而 a=2. 由 b2=a2-c2,得 b2=3. 因此椭圆 C 的标准方程为 x2 4 + y2 3 =1. (2)方法 1:由(1)知,椭圆 C: x2 4 + y2 3 =1,a=2. 因为 AF2⊥x 轴,所以点 A 的横坐标为 1. 将 x=1 代入圆 F2 的方程(x-1)2+y2=16,解得 y=±4. 因为点 A 在 x 轴上方,所以 A(1,4). 又 F1(-1,0),所以直线 AF1:y=2x+2. 由Error!得 5x2+6x-11=0, 解得 x=1 或 x=- 11 5 . 将 x=- 11 5 代入 y=2x+2,解得 y=- 12 5 . 因此 B(- 11 5 ,- 12 5 ). 又 F2(1,0),所以直线 BF2:y= 3 4(x-1). 由Error!得 7x2-6x-13=0, 解得 x=-1 或 x= 13 7 . 又因为 E 是线段 BF2 与椭圆的交点,所以 x=-1. 将 x=-1 代入 y= 3 4(x-1),得 y=- 3 2. 因此 E(-1,- 3 2). 方法 2:由(1)知,椭圆 C: x2 4 + y2 3 =1. 如图,连接 EF1. - 11 - 因为 BF2=2a, EF1+EF2=2a, 所以 EF1=EB, 从而∠BF1E=∠B. 因为 F2A=F2B,所以∠A=∠B. 所以∠A=∠BF1E, 从而 EF1∥F2A. 因为 AF2⊥x 轴,所以 EF1⊥x 轴. 因为 F1(-1,0),由Error!得 y=± 3 2. 又因为 E 是线段 BF2 与椭圆的交点,所以 y=- 3 2. 因此 E(-1,- 3 2). 1.在涉及弦长的问题中,应熟练地利用根与系数关系与弦长公式|AB|= 1+k2|x2- x1|,设而不求计算弦长;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解,以简化运 算. 2.对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解,在使用根与系数的关 系时,要注意使用条件 Δ>0,在用“点差法”时,要检验直线与圆锥曲线是否相交. (1)(2019·日照三模)中心为原点,一个焦点为 F(0,5 2)的椭圆,截直线 y=3x-2 所得 弦中点的横坐标为 1 2,则该椭圆方程为(  ) A. 2x2 75 + 2y2 25 =1      B. x2 75+ y2 25=1 C. x2 25+ y2 75=1 D. 2x2 25 + 2y2 75 =1 解析:C [由已知知 c=5 2,设椭圆的方程为 x2 a2-50+ y2 a2=1,联立得Error!消去 y 得 (10a2-450)x2-12(a2-50)x+4(a2-50)-a2(a2-50)=0,设直线 y=3x-2 与椭圆的交点坐 标分别为(x1,y1),(x2,y2),由根与系数关系得 x1+x2= 12a2-50 10a2-450 ,由题意知 x1+x2= 1,即 12a2-50 10a2-450 =1,解得 a2=75,所以该椭圆方程为 y2 75+ x2 25=1,故选 C.] (2)(2018·全国Ⅰ卷)设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,过点(-2,0)且斜率为 2 3的直线与 C - 12 - 交于 M,N 两点,则FM→ ·FN→ =(  ) A.5 B.6 C.7 D.8 解析:D [如图焦点 F(1,0), 直线的方程为 y= 2 3(x+2), 将其代入 y2=4x 得:x2-5x+4=0, 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2=5,x1x2=4, ∴FM→ ·FN→ =(x1-1,y1)·(x2-1,y2)=(x1-1)(x2-1)+y1y2 =x1x2-(x1+x2)+1+ 2 3(x1+2)· 2 3(x2+2) = 13 9 x1x2- 1 9(x1+x2)+ 25 9 = 13 9 ×4- 1 9×5+ 25 9 =8.故选 D.] - 13 - 限时 50 分钟 满分 76 分 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.(2019·天津卷)已知拋物线y2=4x 的焦点为 F,准线为 l.若 l 与双曲线 x2 a2- y2 b2=1(a> 0,b>0)的两条渐近线分别交于点 A 和点 B,且|AB|=4|OF|(O 为原点),则双曲线的离心率 为(  ) A. 2            B. 3 C.2 D. 5 解析:D [双曲线 x2 a2- y2 b2=1(a>0,b>0)的离心率 e= c a= 1+(b a )2. l 的方程为 x=-1,双曲线的渐近线方程为 y=± b ax, 故得 A(-1, b a),B(-1,- b a), 所以|AB|= 2b a , 2b a =4,b=2a, 所以 e= c a= a2+b2 a = 5.故选 D.] 2.(2020·贵阳监测)已知拋物线x2=2py(p>0)的焦点 F 是椭圆 y2 a2+ x2 b2=1(a>b>0)的一 个焦点,且该拋物线的准线与椭圆相交于 A,B 两点,若△FAB 是正三角形,则椭圆的离心率 为(  ) A. 1 2 B. 2 2 C. 3 3 D. 3 2 解析:C [ 如图,由|AB|= 2b2 a ,△FAB 是正三角形,得 3 2 × 2b2 a =2c,化简可得(2a2-3b2)(2a2+b2)= 0,所以 2a2-3b2=0,所以 b2 a2= 2 3,所以椭圆的离心率 e= c a= 1- b2 a2= 3 3 ,故选 C.] - 14 - 3.(2020·福州模拟)过椭圆C: x2 a2+ y2 b2=1(a>b>0)的右焦点作 x 轴的垂线,交 C 于 A,B 两点,直线 l 过 C 的左焦点和上顶点.若以 AB 为直径的圆与 l 存在公共点,则 C 的离心率 的取值范围是(  ) A.(0, 5 5 ] B.[ 5 5 ,1) C.(0, 2 2 ] D.[ 2 2 ,1) 解析:A [由题设知,直线 l: x -c+ y b=1,即 bx-cy+bc=0,以 AB 为直径的圆的圆心 为(c,0),根据题意,将 x=c 代入椭圆 C 的方程,得 y=± b2 a ,即圆的半径 r= b2 a .又圆与直线 l 有公共点,所以 2bc b2+c2≤ b2 a ,化简得 2c≤b,平方整理得 a2≥5c2,所以 e= c a≤ 5 5 .又 0<e <1,所以 0<e≤ 5 5 .故选 A.] 4.(2019·全国Ⅲ卷)双曲线 C: x2 4 - y2 2 =1 的右焦点为 F,点 P 在 C 的一条渐近线上,O 为坐标原点,若|PO|=|PF|,则△PFO 的面积为(  ) A. 3 2 4 B. 3 2 2 C.2 2 D.3 2 解析:A [忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅,采取列方程组 的方式解出三角形的高,便可求三角形面积.由 a=2,b= 2,c= a2+b2= 6. ∵|PO|=|PF|,∴xP= 6 2 , 又 P 在 C 的一条渐近线上,不妨设为在 y= b ax 上, ∴S△PFO= 1 2|OF|·|yP|= 1 2× 6× 3 2 = 3 2 4 ,故选 A.] 5.(2019·烟台三模)过拋物线 E:x2=2py(p>0)的焦点,且与其对称轴垂直的直线与 E 交于 A,B 两点,若 E 在 A,B 两点处的切线与 E 的对称轴交于点 C,则△ABC 外接圆的半径是 (  ) A.( 2-1)p B.p C. 2p D.2p 解析:B [因为直线过拋物线 E:x2 =2py(p>0)的焦点,且与其对称轴垂直,∴ A(p, p 2 ),B(-p, p 2),由 y′= x p可知 E 在 A,B 两点处的切线斜率为 k1=1,k2=-1, - 15 - ∴k1·k2=-1,∴AC⊥BC, 即△ABC 为直角三角形,又|AB|=2p,所以△ABC 外接圆的半径是 p.] 6.以拋物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A,B 两点,交 C 的准线于 D,E 两点.已知|AB| =4 2,|DE|=2 5,则 C 的焦点到准线的距离为(  ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析:B [设出拋物线和圆的方程,将点的坐标代入,联立方程组求解. 设拋物线的方程为 y2=2px(p>0), 圆的方程为 x2+y2=r2. ∵|AB|=4 2,|DE|=2 5, 拋物线的准线方程为 x=- p 2, ∴不妨设 A(4 p,2 2),D(- p 2, 5). ∵点 A(4 p,2 2),D (- p 2, 5)在圆 x2+y2=r2 上, ∴Error!∴ 16 p2+8= p2 4 +5,∴p=4(负值舍去). ∴C 的焦点到准线的距离为 4.] 二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分) 7.(2020·深圳模拟)已知圆 C1:x2+(y-2)2=4,拋物线 C2:y2=2px(p>0),C1 与 C2 相 交于 A,B 两点,|AB|= 8 5 5 ,则拋物线 C2 的方程为____________. 解析:由题意,知圆C1 与拋物线 C2 的其中一个交点为原点,不妨记为 B,设 A(m,n).∵ |AB|= 8 5 5 , ∴Error!∴Error!即 A(8 5, 16 5 ).将 A 的坐标代入拋物线方程得 (16 5 )2=2p× 8 5,∴p= 16 5 , ∴拋物线 C2 的方程为 y2= 32 5 x. 答案:y2= 32 5 x 8.(2019·全国Ⅰ卷)已知双曲线 C: x2 a2- y2 b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2, 过 F1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A,B 两点.若F1A→ =AB→ ,F1B→ ·F2B→ =0,则 C 的离心率 为____________. 解析:设直线方程为 y=k(x+c), - 16 - 由Error!得 A 点坐标为 A(- akc b+ak, bkc b+ak), 由Error!得 B 点坐标为 B( akc b-ak, bkc b-ak) ∵F1A→ =AB→ , ∴A 为 F1B 的中点, ∴Error! 整理得 b=3ak.① ∵F1B→ =( akc b-ak+c, bkc b-ak), F2B→ =( akc b-ak-c, bkc b-ak), F1B→ ·F2B→ =0. ∴( akc b-ak)2-c2+( bkc b-ak)2=0 整理得 c2k2=(b-ak)2② 由①②得 c a=2 ∴C 的离心率 e=2. 答案:2 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 9.(2019·全国Ⅰ卷)已知拋物线 C:y2=3x 的焦点为 F,斜率为 3 2的直线 l 与 C 的交点为 A,B,与 x 轴的交点为 P. (1)若|AF|+|BF|=4,求 l 的方程; (2)若AP→ =3PB→ ,求|AB→ |. 解: (1)设直线 l 的方程为 y= 3 2x+b, A(x1,y1),B(x2,y2) - 17 - 由Error!得 9 4x2+(3b-3)x+b2=0. ∴x1+x2= 3-3b 9 4 = 4-4b 3 , 又|AF|+|BF|=x1+ p 2+x2+ p 2= 4-4b 3 + 3 2=4. 解得 b=- 7 8,∴直线 l 的方程为 y= 3 2x- 7 8. (2)设直线 l 的方程为 y= 3 2(x-a),则 P(a,0). 设 A(x1,y1),B(x2,y2). 由Error!消去 x,得 y2-2y-3a=0. ∵AP→ =3PB→ ,∴y1=-3y2. 又Error!,解得 a=1. ∴y1+y2=2,y1·y2=-3, ∴|AB|= 1+ 1 k2· y1+y22-4y1y2 = 1+ 4 9· 4+12= 4 13 3 . 10.(2019·天津卷)设椭圆 x2 a2+ y2 b2=1(a>b>0)的左焦点为 F,上顶点为 B.已知椭圆的短 轴长为 4,离心率为 5 5 . (1)求椭圆的方程; (2)设点 P 在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点 M 为直线 PB 与 x 轴的交点,点 N 在 y 轴的负半轴上.若|ON|=|OF|(O 为原点),且 OP⊥MN,求直线 PB 的斜率. 解:(1)设椭圆的半焦距为c,依题意,2b=4, c a= 5 5 ,又 a2=b2+c2,可得 a= 5,b= 2,c=1. 所以,椭圆的方程为 x2 5 + y2 4 =1. (2)由题意,设 P(xp,yp)(xp≠0),M(xM,0).设直线 PB 的斜率为 k(k≠0),又 B(0,2),则 直线 PB 的方程为 y=kx+2,与椭圆方程联立得Error!整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得 xp= - 20k 4+5k2,代入 y=kx+2 得 yp= 8-10k2 4+5k2 ,进而直线 OP 的斜率 yp xp= 4-5k2 -10k .在 y=kx+2 中, 令 y=0,得 xM =- 2 k.由题意得 N(0,-1),所以直线 MN 的斜率为- k 2.由 OP⊥MN,得 - 18 - 4-5k2 -10k ·(- k 2 )=-1,化简得 k2= 24 5 ,从而 k=± 2 30 5 . 所以,直线 PB 的斜率为 2 30 5 或- 2 30 5 . 11.(2018·北京卷)已知椭圆 M: x2 a2+ y2 b2=1(a>b>0)的离心率为 6 3 ,焦距为 2 2.斜率 为 k 的直线 l 与椭圆 M 有两个不同的交点 A,B. (1)求椭圆 M 的方程; (2)若 k=1,求|AB|的最大值; (3)设 P(-2,0),直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为 C,直线 PB 与椭圆 M 的另一个交点为 D.若 C、D 和点 Q (- 7 4, 1 4)共线,求 k. 解:(1)由题意得 2c=2 2,∴c= 2 又∵e= c a= 6 3 ,∴a= 3 ∴b2=a2-c2=1,∴椭圆标准方程为 x2 3 +y2=1 (2)设直线 AB 的方程为:y=x+m, A(x1,y1),B(x2,y2) 联立Error!,得:4x2+6mx+3m2-3=0 又∵Δ=36m2-4×4(3m2-3)=48-12m2>0, ∴m2<4, Error! |AB|= 1+k2|x1-x2|= 1+k2× x1+x22-4x1x2= 6 × 4-m2 2 ∴m2=0 时,|AB|max= 6 (3)设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4) x21+3y21=3① x22+3y22=3② 又∵P(-2,0),故设 k1=kPA= y1 x1+2, ∴直线 PA 的方程为:y=k1(x+2) 联立Error!,消 y 得(1+3k1)x2+12k21x+12k21-3=0 x1+x3=- 12k21 1+3k21,∴x3=- 12k21 1+3k21-x1 又 k1= y1 x1+2,代入①式得 - 19 - ∴x3= -7x1-12 4x1+7 ,∴y3= y1 4x1+7 ∴C(-7x1-12 4x1+7 , y1 4x1+7),同理可得 D(-7x2-12 4x2+7 , y2 4x2+7) 易知:QC→ =(x3+ 7 4,y3- 1 4),QD→ =(x4+ 7 4,y4- 1 4) ∵Q,C,D 三点共线,∴(x3+ 7 4)(y4- 1 4)-(x4+ 7 4)(y3- 1 4)=0 代入 C,D 坐标化简得: y1-y2 x1-x2=1,∴k=1