2020届高考数学大二轮复习层级二专题五解析几何第2讲圆锥曲线的方程性质及与弦有关的问题教学案 19页

- 1 - 第 2 讲　圆锥曲线的方程性质及与弦有关的问题 [考情考向·高考导航] 圆锥曲线是高考的重点和热点，是高考中每年必考的内容．主要考查圆锥曲线的标准方 程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等内容．对圆锥曲线方程与性质的考查，以选择 题、填空题为主，对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，常与其他知识交汇命题，多以解答 题的形式出现． [真题体验] 1．(2019·全国Ⅱ卷)若拋物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆 x2 3p＋ y2 p ＝1 的一个焦点，则 p＝ (　　) A．2　　　　　　　　　 B．3 C．4 D．8 解析：D　[由椭圆 x2 3p＋ y2 p ＝1，知半焦距 c＝ 3p－p＝ 2p， ∴ 2p＝ p 2，∴p＝8.] 2．(2019·全国Ⅱ卷)设 F 为双曲线 C： x2 a2－ y2 b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O 为坐标原点， 以 OF 为直径的圆与圆 x2＋y2＝a2 交于 P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则 C 的离心率为(　　) A. 2 B. 3 C．2 D. 5 解析：A　[以 OF 为直径的圆为 (x－ c 2 )2＋y2＝ c2 4 ，即 x2＋y2－cx＝0， 与圆 x2＋y2＝a2 相减得直线 PQ 的方程为 x＝ a2 c ， 由勾股定理得： |PQ| 2 ＝ a2－ a4 c2＝ ab c ， ∴|PQ|＝ 2ab c ＝c， ∴2ab＝c2，平方得：4a2b2＝c4，∴4a2(c2－a2)＝c4， 化简得：e4－4e2＋4＝0，∴e2＝2，即 e＝ 2.] 3．(2018·全国Ⅱ卷)已知 F1，F2 是椭圆 C： x2 a2＋ y2 b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，A 是 C 的左 顶点，点 P 在过 A 且斜率为 3 6 的直线上，△PF1F2 为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则 C 的离 心率为(　　) - 2 - A. 2 3 B. 1 2 C. 1 3 D. 1 4 解析：D　[如图直线 AP 的方程为 y＝ 3 6 (x＋a)，　① 直线 PF2 的方程为 y＝ 3(x－c)，② ①与②联立解得：x＝ a＋6c 5 ，y＝ 3 5 (a＋c)， ∴P(a＋6c 5 ， 3 5 a＋c)， ∴|PF2|＝ (a＋6c 5 －c)2＋ 3 25a＋c2 ＝ 2 5(a＋c)，又∵|PF2|＝|F1F2|，∴ 2 5(a＋c)＝2c， ∴a＝4c，∴e＝ c a＝ 1 4.] 4．(2018·全国Ⅲ卷)已知点 M(－1,1)和抛物线 C：y2＝4x，过 C 的焦点且斜率为 k 的直 线与 C 交于 A，B 两点．若∠AMB＝90°，则 k＝________. 解析：设直线 AB 的方程为 y＝k(x－1)，由Error! 得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设 A(x1，y1)， B(x2，y2)． 则 x1＋x2＝ 2k2＋4 k2 ，x1·x2＝1. ∵∠AMB＝90°，∴kMA·kMB＝－1 解 y1－1 x1＋1· y2－1 x2＋1＝－1. 化简得 k2－4k＋4＝0，解得 k＝2. 答案：2 [主干整合] 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)； (2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)； - 3 - (3)拋物线：|MF|＝d(d 为 M 点到准线的距离)． 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误． 2．圆锥曲线的标准方程 (1)椭圆： x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0)(焦点在 x 轴上)或 y2 a2＋ x2 b2＝1(a＞b＞0)(焦点在 y 轴上)； (2)双曲线： x2 a2－ y2 b2＝1(a＞0，b＞0)(焦点在 x 轴上)或 y2 a2－ x2 b2＝1(a＞0，b＞0)(焦点在 y 轴上)； (3)拋物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0)． 3．圆锥曲线的重要性质 (1)椭圆、双曲线中 a，b，c 之间的关系 ①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为 e＝ c a＝ 1－ b2 a2. ②在双曲线中：c2＝a2＋b2；离心率为 e＝ c a＝ 1＋ b2 a2. (2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标 ①双曲线 x2 a2－ y2 b2＝1(a＞0， b＞0)的渐近线方程为 y＝± b ax，焦点坐标 F1(－ c,0)， F2(c,0)． ②双曲线 y2 a2－ x2 b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为 y＝± a bx，焦点坐标 F1(0，－c)，F2(0， c)． (3)拋物线的焦点坐标与准线方程 ①拋物线 y2＝2px(p＞0)的焦点 F(p 2，0 )，准线方程 x＝－ p 2. ②拋物线 x2＝2py(p＞0)的焦点 F(0， p 2 )，准线方程 y＝－ p 2. 4．弦长问题 (1)直线与圆锥曲线相交的弦长 设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入．即当斜率为 k，直线与圆锥曲线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1x2. (2)过拋物线焦点的弦长 拋物线 y2＝2px(p＞0)过焦点 F 的弦 AB，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2＝ p2 4 ，y1y2＝－ p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p. - 4 - 热点一　圆锥曲线的定义与标准方程 [例 1]　(1)(2018·天津卷)已知双曲线 x2 a2－ y2 b2＝1，(a>0，b>0)的离心率为 2，过右焦点 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点．设 A、B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别 为 d1 和 d2，且 d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　) A. x2 4 － y2 12＝1　　 　　　　 B. x2 12－ y2 4 ＝1 C. x2 3 － y2 9 ＝1 D. x2 9 － y2 3 ＝1 [解析]　C　[设双曲线的右焦点坐标为 F(c,0)(c＞0)，则 xA＝xB＝c， 由 c2 a2－ y2 b2＝1 可得：y＝± b2 a ， 不妨设：A(c， b2 a )，B(c，－ b2 a )， 双曲线的一条渐近线方程为：bx－ay＝0， 据此可得：d1＝ |bc－b2| a2＋b2＝ bc－b2 c ，d2＝ |bc＋b2| a2＋b2＝ bc＋b2 c ， 则 d1＋d2＝ 2bc c ＝2b＝6，则 b＝3，b2＝9， 双曲线的离心率：e＝ c a＝ 1＋ b2 a2＝ 1＋ 9 a2＝2， 据此可得：a2＝3，则双曲线的方程为 x2 3 － y2 9 ＝1.] (2)(2020·太原模拟)已知 F1，F2 分别是双曲线 3x2－y2＝3a2(a＞0)的左、右焦点，P 是 拋物线 y2 ＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF1|＋| PF2|＝12，则拋物线的准线方程为 ____________． [解析]　由题意得拋物线的焦点与双曲线的右焦点(2a,0)重合．联立Error!消去 y 得 3x2 －8ax－3a2＝0，解得 xP＝3a(负舍)．由点 P 在双曲线上得|PF1|－|PF2|＝2a，又因为|PF1|＋ |PF2|＝12，所以|PF2|＝6－a，又因为点 P 在拋物线上，所以|PF2|＝3a＋2a＝5a＝6－a，解 得 a＝1，所以拋物线的准线方程为 x＝－2a＝－2. [答案]　x＝－2 圆锥曲线定义及标准方程的关注点 1．圆锥曲线的定义是根本，“回归定义”是一种重要的解题策略．对于圆锥曲线的定义 不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，双曲线 的定义中要求||PF1|－|PF2||＜|F1F2|，拋物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转 - 5 - 化． 2．当焦点位置无法确定时，拋物线常设为 y2＝2ax 或 x2＝2ay(a≠0)，椭圆常设为 mx2＋ ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，双曲线常设为 mx2－ny2＝1(mn＞0)． 3．注意数形结合，提倡画出合理草图． (1)(2019·全国Ⅰ卷)已知椭圆 C 的焦点为 F1(－1,0)，F2(1，0)，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则 C 的方程为(　　) A. x2 2 ＋y2＝1 B. x2 3 ＋ y2 2 ＝1 C. x2 4 ＋ y2 3 ＝1 D. x2 5 ＋ y2 4 ＝1 解析：B　[由已知|AF1|＋|AF2|＝2a， |BF1|＋|BF2|＝2a. 又|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|， ∴|BF2|＝ 1 2a，|AF2|＝|AF1|＝a， |BF1|＝ 3 2a. 又|F1F2|＝2. ∴ a2＋4－a2 2·2a ＝－ 1 4a2＋4－ 9 4a2 2 × 2· 1 2a 解得 a2＝3，∴b2＝2. ∴椭圆 C 的方程为 x2 3 ＋ y2 2 ＝1.选 B.] (2)(2020·龙岩质检)已知以圆 C：(x－1)2＋y2＝4 的圆心为焦点的拋物线 C1 与圆 C 在第 一象限交于 A 点，B 点是拋物线 C2：x2＝8y 上任意一点，BM 与直线 y＝－2 垂直，垂足为 M， 则|BM|－|AB|的最大值为(　　) A．1 B．2 C．－1 D．8 解析：A　[因为圆 C：(x－1)2＋y2＝4 的圆心为 C(1,0)， 所以可得以 C(1,0)为焦点的拋物线方程为 y2＝4x， 由Error!解得 A(1,2)． 拋物线 C2：x2＝8y 的焦点为 F(0,2)， 准线方程为 y＝－2， 即有|BM|－|AB|＝|BF|－|AB|≤|AF|＝1， - 6 - 当且仅当 A，B，F(A 在 B，F 之间)三点共线时，可得最大值 1.] 热点二　圆锥曲线的几何性质 数学 运算 素养 数学运算——圆锥曲线的性质与不等式综合中的核心素养 以学习过的圆锥曲线和不等式相关知识为基础，通过将已知条件代数化，并 进行一系列的数学运算，从而解决问题. [例 2]　(1)(2019·长沙二模)设 F1，F2 分别是椭圆 x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点， 若在直线 x＝ a2 c 上存在点 P，使线段 PF1 的中垂线过点 F2，则椭圆的离心率的取值范围是(　　) A.(0， 2 2 ]　　　　　　　 B.(0， 3 3 ] C.[ 2 2 ，1) D.[ 3 3 ，1) [解析]　D　[设 P(a2 c ，y)，线段 F1P 的中点 Q 的坐标为(b2 2c， y 2)， y2＝ a2＋c2·2c2－b2 c2 ，y2≥0. 但注意到 b2－2c2≠0，即 2c2－b2＞0， 即 3c2－a2＞0，即 e2＞ 1 3，故 3 3 ＜e＜1. 当 不存在时，b2－2c2＝0，y＝0， 此时 F2 为中点，即 a2 c －c＝2c，得 e＝ 3 3 ， 综上，得 3 3 ≤e＜1， 即所求的椭圆离心率的取值范围是[ 3 3 ，1).故选 D.] (2)(2020·石家庄模拟)已知双曲线 C： x2 a2－ y2 b2＝1(a＞0，b＞0)的焦距为 2c，直线 l 过点 (2 3a，0)且与双曲线 C 的一条渐近线垂直，以双曲线 C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与 - 7 - 直线 l 交于 M，N 两点，若|MN|＝ 4 2 3 c，则双曲线 C 的渐近线方程为(　　) A．y＝± 2x B．y＝± 3x C．y＝±2x D．y＝±4x [解析]　B　[由题意可设渐近线方程为 y＝ b ax，则直线 l 的斜率 kl＝－ a b，直线方程为 y＝ － a b(x－ 2 3a)， 整理可得 ax＋by－ 2 3a2＝0. 焦点(c,0)到直线的距离 d＝ |ac－ 2 3a2| a2＋b2 ＝ |ac－ 2 3a2| c ， 则弦长为 2 c2－d2＝2 c2－ (ac－ 2 3a2)2 c2 ＝ 4 2 3 c， 整理可得 c4－9a2c2＋12a3c－4a4＝0， 即 e4－9e2＋12e－4＝0， 分解因式得(e－1)(e－2)(e2＋3e－2)＝0. 又双曲线的离心率 e＞1，则 e＝ c a＝2， 又 b a＝ e2－1＝ 3， ∴双曲线的渐近线方程为 y＝± 3x.故选 B.] (1)求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定 a，b，c 的等量关系，然后把 b 用 a，c 代换，求 c a的值；在双曲线中由于 e2＝1＋(b a )2，故双曲线的渐近线与离心率密切 相关． (2)圆锥曲线的几何性质常涉及一些不等关系，例如对椭圆 x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0)，有－ a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1 等，在求与圆锥曲线有关的一些量的范围，或者求这些量的最 大值或最小值时，经常用到这些不等关系． (1)(2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线 C： x2 a2－ y2 b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 2，则点(4,0) 到 C 的渐近线的距离为(　　) - 8 - A. 2 B．2 C. 3 2 2 D．2 2 解析：D　[∵e＝ c a＝ 1＋ b2 a2＝ 2. ∴ b a＝±1. ∴双曲线 C 的渐近线方程为 x±y＝0， ∴点(4,0)到 C 的渐近线的距离 d＝ 4 1＋1＝2 2. 故答案选 D.] (2)(2018·北京卷改编)已知椭圆 M： x2 a2＋ y2 b2＝1(a>b>0)，双曲线 N： x2 m2－ y2 n2＝1.若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为________． 解析： 设椭圆的右焦点为 F(c，0)，双曲线 N 的渐近线与椭圆 M 在第一象限内的交点为 A， 由题意可知 A(c 2， 3c 2 )， 由点 A 在椭圆 M 上得， c2 4a2＋ 3c2 4b2＝1，∴b2c2＋3a2c2＝4a2b2，∵b2＝a2－c2， ∴(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，则 4a4－8a2c2＋c4＝0，e4－8e2＋4＝0，∴e2＝4＋2 3 (舍)，e2＝4－2 3.由 0＜e＜1，得 e＝ 3－1. 答案： 3－1 (3)(2019·临沂三模)已知双曲线 x2 a2－ y2 b2＝1(a＞0， b＞0)的两条渐近线与拋物线 y2＝ 2px(p＞0)的准线分别交于 A，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为 2，△AOB 的面积 为 3，则 p＝________. 解析： - 9 - 由 e＝ c a＝2，得 c＝2a，b＝ 3a，所以双曲线的渐近线为 y＝± 3x.又拋物线的准线方 程为 x＝－ p 2，联立双曲线的渐近线和拋物线的准线方程得 A(－ p 2， 3p 2 )，B(－ p 2，－ 3p 2 )， 在△AOB 中，|AB|＝ 3p，O 到 AB 的距离为 p 2， 因为 S△AOB＝ 3，所以 1 2· 3p· p 2＝ 3，p＝2. 答案：2 热点三　直线与圆锥曲线 [例 3]　(2019·江苏卷)如图， 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0)的焦点为 F1(－1,0)，F2(1,0)．过 F2 作 x 轴的垂线 l，在 x 轴的上方，l 与圆 F2：(x－1)2＋y2＝4a2 交于点 A，与椭圆 C 交于点 D.连接 AF1 并延长交圆 F2 于点 B，连接 BF2 交椭圆 C 于点 E，连接 DF1.已知 DF1＝ 5 2. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)求点 E 的坐标． [审题指导]　(1)直接根据条件运用椭圆的定义求解． (2)思路 1：结合(1)中结论求出点 A 的坐标，写出直线 AF1 的方程，并与圆的方程联立得 点 B 的坐标，从而写出直线 BF2 的方程，将其与椭圆方程联立求得点 E 的坐标． 思路 2：连接 EF1，注意到∠A＝∠B＝∠BF1E，所以 EF1∥F2A，可得 EF1⊥x 轴，从而可得 点 E 的横坐标为－1，将 x＝－1 与椭圆方程联立可得点 E 的坐标． [解]　(1)设椭圆 C 的焦距为 2c. 因为 F1(－1,0)，F2(1,0)，所以 F1F2＝2，c＝1. 又因为 DF1＝ 5 2，AF2⊥x 轴， - 10 - 所以 DF2＝ DF21－F1F22＝ (5 2 )2－22＝ 3 2. 因此 2a＝DF1＋DF2＝4，从而 a＝2. 由 b2＝a2－c2，得 b2＝3. 因此椭圆 C 的标准方程为 x2 4 ＋ y2 3 ＝1. (2)方法 1：由(1)知，椭圆 C： x2 4 ＋ y2 3 ＝1，a＝2. 因为 AF2⊥x 轴，所以点 A 的横坐标为 1. 将 x＝1 代入圆 F2 的方程(x－1)2＋y2＝16，解得 y＝±4. 因为点 A 在 x 轴上方，所以 A(1,4)． 又 F1(－1,0)，所以直线 AF1：y＝2x＋2. 由Error!得 5x2＋6x－11＝0， 解得 x＝1 或 x＝－ 11 5 . 将 x＝－ 11 5 代入 y＝2x＋2，解得 y＝－ 12 5 . 因此 B(－ 11 5 ，－ 12 5 ). 又 F2(1,0)，所以直线 BF2：y＝ 3 4(x－1)． 由Error!得 7x2－6x－13＝0， 解得 x＝－1 或 x＝ 13 7 . 又因为 E 是线段 BF2 与椭圆的交点，所以 x＝－1. 将 x＝－1 代入 y＝ 3 4(x－1)，得 y＝－ 3 2. 因此 E(－1，－ 3 2). 方法 2：由(1)知，椭圆 C： x2 4 ＋ y2 3 ＝1. 如图，连接 EF1. - 11 - 因为 BF2＝2a， EF1＋EF2＝2a， 所以 EF1＝EB， 从而∠BF1E＝∠B. 因为 F2A＝F2B，所以∠A＝∠B. 所以∠A＝∠BF1E， 从而 EF1∥F2A. 因为 AF2⊥x 轴，所以 EF1⊥x 轴． 因为 F1(－1,0)，由Error!得 y＝± 3 2. 又因为 E 是线段 BF2 与椭圆的交点，所以 y＝－ 3 2. 因此 E(－1，－ 3 2). 1．在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系与弦长公式|AB|＝ 1＋k2|x2－ x1|，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解，以简化运 算． 2．对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关 系时，要注意使用条件 Δ＞0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交． (1)(2019·日照三模)中心为原点，一个焦点为 F(0,5 2)的椭圆，截直线 y＝3x－2 所得 弦中点的横坐标为 1 2，则该椭圆方程为(　　) A. 2x2 75 ＋ 2y2 25 ＝1　　　　　 B. x2 75＋ y2 25＝1 C. x2 25＋ y2 75＝1 D. 2x2 25 ＋ 2y2 75 ＝1 解析：C　[由已知知 c＝5 2，设椭圆的方程为 x2 a2－50＋ y2 a2＝1，联立得Error!消去 y 得 (10a2－450)x2－12(a2－50)x＋4(a2－50)－a2(a2－50)＝0，设直线 y＝3x－2 与椭圆的交点坐 标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由根与系数关系得 x1＋x2＝ 12a2－50 10a2－450 ，由题意知 x1＋x2＝ 1，即 12a2－50 10a2－450 ＝1，解得 a2＝75，所以该椭圆方程为 y2 75＋ x2 25＝1，故选 C.] (2)(2018·全国Ⅰ卷)设抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，过点(－2,0)且斜率为 2 3的直线与 C - 12 - 交于 M，N 两点，则FM→ ·FN→ ＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：D　[如图焦点 F(1,0)， 直线的方程为 y＝ 2 3(x＋2)， 将其代入 y2＝4x 得：x2－5x＋4＝0， 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1＋x2＝5，x1x2＝4， ∴FM→ ·FN→ ＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2 ＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋ 2 3(x1＋2)· 2 3(x2＋2) ＝ 13 9 x1x2－ 1 9(x1＋x2)＋ 25 9 ＝ 13 9 ×4－ 1 9×5＋ 25 9 ＝8.故选 D.] - 13 - 限时 50 分钟　满分 76 分 一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分) 1．(2019·天津卷)已知拋物线y2＝4x 的焦点为 F，准线为 l.若 l 与双曲线 x2 a2－ y2 b2＝1(a＞ 0，b＞0)的两条渐近线分别交于点 A 和点 B，且|AB|＝4|OF|(O 为原点)，则双曲线的离心率 为(　　) A. 2　　　　　　 　　　　 B. 3 C．2 D. 5 解析：D　[双曲线 x2 a2－ y2 b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率 e＝ c a＝ 1＋(b a )2. l 的方程为 x＝－1，双曲线的渐近线方程为 y＝± b ax， 故得 A(－1， b a)，B(－1，－ b a)， 所以|AB|＝ 2b a ， 2b a ＝4，b＝2a， 所以 e＝ c a＝ a2＋b2 a ＝ 5.故选 D.] 2．(2020·贵阳监测)已知拋物线x2＝2py(p＞0)的焦点 F 是椭圆 y2 a2＋ x2 b2＝1(a＞b＞0)的一 个焦点，且该拋物线的准线与椭圆相交于 A，B 两点，若△FAB 是正三角形，则椭圆的离心率 为(　　) A. 1 2 B. 2 2 C. 3 3 D. 3 2 解析：C　[ 如图，由|AB|＝ 2b2 a ，△FAB 是正三角形，得 3 2 × 2b2 a ＝2c，化简可得(2a2－3b2)(2a2＋b2)＝ 0，所以 2a2－3b2＝0，所以 b2 a2＝ 2 3，所以椭圆的离心率 e＝ c a＝ 1－ b2 a2＝ 3 3 ，故选 C.] - 14 - 3．(2020·福州模拟)过椭圆C： x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0)的右焦点作 x 轴的垂线，交 C 于 A，B 两点，直线 l 过 C 的左焦点和上顶点．若以 AB 为直径的圆与 l 存在公共点，则 C 的离心率 的取值范围是(　　) A.(0， 5 5 ] B.[ 5 5 ，1) C.(0， 2 2 ] D.[ 2 2 ，1) 解析：A　[由题设知，直线 l： x －c＋ y b＝1，即 bx－cy＋bc＝0，以 AB 为直径的圆的圆心 为(c,0)，根据题意，将 x＝c 代入椭圆 C 的方程，得 y＝± b2 a ，即圆的半径 r＝ b2 a .又圆与直线 l 有公共点，所以 2bc b2＋c2≤ b2 a ，化简得 2c≤b，平方整理得 a2≥5c2，所以 e＝ c a≤ 5 5 .又 0＜e ＜1，所以 0＜e≤ 5 5 .故选 A.] 4．(2019·全国Ⅲ卷)双曲线 C： x2 4 － y2 2 ＝1 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO|＝|PF|，则△PFO 的面积为(　　) A. 3 2 4 B. 3 2 2 C．2 2 D．3 2 解析：A　[忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组 的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．由 a＝2，b＝ 2，c＝ a2＋b2＝ 6. ∵|PO|＝|PF|，∴xP＝ 6 2 ， 又 P 在 C 的一条渐近线上，不妨设为在 y＝ b ax 上， ∴S△PFO＝ 1 2|OF|·|yP|＝ 1 2× 6× 3 2 ＝ 3 2 4 ，故选 A.] 5．(2019·烟台三模)过拋物线 E：x2＝2py(p＞0)的焦点，且与其对称轴垂直的直线与 E 交于 A，B 两点，若 E 在 A，B 两点处的切线与 E 的对称轴交于点 C，则△ABC 外接圆的半径是 (　　) A．( 2－1)p B．p C. 2p D．2p 解析：B　[因为直线过拋物线 E：x2 ＝2py(p＞0)的焦点，且与其对称轴垂直，∴ A(p， p 2 )，B(－p， p 2)，由 y′＝ x p可知 E 在 A，B 两点处的切线斜率为 k1＝1，k2＝－1， - 15 - ∴k1·k2＝－1，∴AC⊥BC， 即△ABC 为直角三角形，又|AB|＝2p，所以△ABC 外接圆的半径是 p.] 6．以拋物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点．已知|AB| ＝4 2，|DE|＝2 5，则 C 的焦点到准线的距离为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：B　[设出拋物线和圆的方程，将点的坐标代入，联立方程组求解． 设拋物线的方程为 y2＝2px(p＞0)， 圆的方程为 x2＋y2＝r2. ∵|AB|＝4 2，|DE|＝2 5， 拋物线的准线方程为 x＝－ p 2， ∴不妨设 A(4 p，2 2)，D(－ p 2， 5). ∵点 A(4 p，2 2)，D (－ p 2， 5)在圆 x2＋y2＝r2 上， ∴Error!∴ 16 p2＋8＝ p2 4 ＋5，∴p＝4(负值舍去)． ∴C 的焦点到准线的距离为 4.] 二、填空题(本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分) 7．(2020·深圳模拟)已知圆 C1：x2＋(y－2)2＝4，拋物线 C2：y2＝2px(p＞0)，C1 与 C2 相 交于 A，B 两点，|AB|＝ 8 5 5 ，则拋物线 C2 的方程为____________． 解析：由题意，知圆C1 与拋物线 C2 的其中一个交点为原点，不妨记为 B，设 A(m，n)．∵ |AB|＝ 8 5 5 ， ∴Error!∴Error!即 A(8 5， 16 5 ).将 A 的坐标代入拋物线方程得 (16 5 )2＝2p× 8 5，∴p＝ 16 5 ， ∴拋物线 C2 的方程为 y2＝ 32 5 x. 答案：y2＝ 32 5 x 8．(2019·全国Ⅰ卷)已知双曲线 C： x2 a2－ y2 b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2， 过 F1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点．若F1A→ ＝AB→ ，F1B→ ·F2B→ ＝0，则 C 的离心率 为____________． 解析：设直线方程为 y＝k(x＋c)， - 16 - 由Error!得 A 点坐标为 A(－ akc b＋ak， bkc b＋ak)， 由Error!得 B 点坐标为 B( akc b－ak， bkc b－ak) ∵F1A→ ＝AB→ ， ∴A 为 F1B 的中点， ∴Error! 整理得 b＝3ak.① ∵F1B→ ＝( akc b－ak＋c， bkc b－ak)， F2B→ ＝( akc b－ak－c， bkc b－ak)， F1B→ ·F2B→ ＝0. ∴( akc b－ak)2－c2＋( bkc b－ak)2＝0 整理得 c2k2＝(b－ak)2② 由①②得 c a＝2 ∴C 的离心率 e＝2. 答案：2 三、解答题(本大题共 3 小题，每小题 12 分，共 36 分) 9．(2019·全国Ⅰ卷)已知拋物线 C：y2＝3x 的焦点为 F，斜率为 3 2的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P. (1)若|AF|＋|BF|＝4，求 l 的方程； (2)若AP→ ＝3PB→ ，求|AB→ |. 解： (1)设直线 l 的方程为 y＝ 3 2x＋b， A(x1，y1)，B(x2，y2) - 17 - 由Error!得 9 4x2＋(3b－3)x＋b2＝0. ∴x1＋x2＝ 3－3b 9 4 ＝ 4－4b 3 ， 又|AF|＋|BF|＝x1＋ p 2＋x2＋ p 2＝ 4－4b 3 ＋ 3 2＝4. 解得 b＝－ 7 8，∴直线 l 的方程为 y＝ 3 2x－ 7 8. (2)设直线 l 的方程为 y＝ 3 2(x－a)，则 P(a,0)． 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由Error!消去 x，得 y2－2y－3a＝0. ∵AP→ ＝3PB→ ，∴y1＝－3y2. 又Error!，解得 a＝1. ∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－3， ∴|AB|＝ 1＋ 1 k2· y1＋y22－4y1y2 ＝ 1＋ 4 9· 4＋12＝ 4 13 3 . 10．(2019·天津卷)设椭圆 x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为 F，上顶点为 B.已知椭圆的短 轴长为 4，离心率为 5 5 . (1)求椭圆的方程； (2)设点 P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 M 为直线 PB 与 x 轴的交点，点 N 在 y 轴的负半轴上．若|ON|＝|OF|(O 为原点)，且 OP⊥MN，求直线 PB 的斜率． 解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b＝4， c a＝ 5 5 ，又 a2＝b2＋c2，可得 a＝ 5，b＝ 2，c＝1. 所以，椭圆的方程为 x2 5 ＋ y2 4 ＝1. (2)由题意，设 P(xp，yp)(xp≠0)，M(xM,0)．设直线 PB 的斜率为 k(k≠0)，又 B(0,2)，则 直线 PB 的方程为 y＝kx＋2，与椭圆方程联立得Error!整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0，可得 xp＝ － 20k 4＋5k2，代入 y＝kx＋2 得 yp＝ 8－10k2 4＋5k2 ，进而直线 OP 的斜率 yp xp＝ 4－5k2 －10k .在 y＝kx＋2 中， 令 y＝0，得 xM ＝－ 2 k.由题意得 N(0，－1)，所以直线 MN 的斜率为－ k 2.由 OP⊥MN，得 - 18 - 4－5k2 －10k ·(－ k 2 )＝－1，化简得 k2＝ 24 5 ，从而 k＝± 2 30 5 . 所以，直线 PB 的斜率为 2 30 5 或－ 2 30 5 . 11．(2018·北京卷)已知椭圆 M： x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0)的离心率为 6 3 ，焦距为 2 2.斜率 为 k 的直线 l 与椭圆 M 有两个不同的交点 A，B. (1)求椭圆 M 的方程； (2)若 k＝1，求|AB|的最大值； (3)设 P(－2,0)，直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为 C，直线 PB 与椭圆 M 的另一个交点为 D.若 C、D 和点 Q (－ 7 4， 1 4)共线，求 k. 解：(1)由题意得 2c＝2 2，∴c＝ 2 又∵e＝ c a＝ 6 3 ，∴a＝ 3 ∴b2＝a2－c2＝1，∴椭圆标准方程为 x2 3 ＋y2＝1 (2)设直线 AB 的方程为：y＝x＋m， A(x1，y1)，B(x2，y2) 联立Error!，得：4x2＋6mx＋3m2－3＝0 又∵Δ＝36m2－4×4(3m2－3)＝48－12m2＞0， ∴m2＜4， Error! |AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k2× x1＋x22－4x1x2＝ 6 × 4－m2 2 ∴m2＝0 时，|AB|max＝ 6 (3)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4) x21＋3y21＝3① x22＋3y22＝3② 又∵P(－2,0)，故设 k1＝kPA＝ y1 x1＋2， ∴直线 PA 的方程为：y＝k1(x＋2) 联立Error!，消 y 得(1＋3k1)x2＋12k21x＋12k21－3＝0 x1＋x3＝－ 12k21 1＋3k21，∴x3＝－ 12k21 1＋3k21－x1 又 k1＝ y1 x1＋2，代入①式得 - 19 - ∴x3＝ －7x1－12 4x1＋7 ，∴y3＝ y1 4x1＋7 ∴C(－7x1－12 4x1＋7 ， y1 4x1＋7)，同理可得 D(－7x2－12 4x2＋7 ， y2 4x2＋7) 易知：QC→ ＝(x3＋ 7 4，y3－ 1 4)，QD→ ＝(x4＋ 7 4，y4－ 1 4) ∵Q，C，D 三点共线，∴(x3＋ 7 4)(y4－ 1 4)－(x4＋ 7 4)(y3－ 1 4)＝0 代入 C，D 坐标化简得： y1－y2 x1－x2＝1，∴k＝1