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  • 2021-06-11 发布

人教版高中数学选修4-4练习:第二讲一第1课时参数方程的概念、参数方程与普通方程的互化word版含解析

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第二讲 参数方程 一、曲线的参数方程 第 1 课时 参数方程的概念、参数方程 与普通方程的互化 A 级 基础巩固 一、选择题 1.方程 x=1+sin θ, y=sin 2θ (θ为参数)所表示曲线经过下列点中的 ( ) A.(1,1) B. 3 2 ,1 2 C. 3 2 , 3 2 D. 2+ 3 2 ,-1 2 解 析 : 当 θ = π 6 时 , x = 3 2 , y = 3 2 , 所 以 点 3 2 , 3 2 在 方 程 x=1+sin θ, y=sin θ (θ为参数)所表示的曲线上. 答案:C[来源:学,科,网] 2.下列方程可以作为 x 轴的参数方程的是( ) A. x=t2+1, y=0 B. x=0, y=3t+1 C. x=1+sin θ, y=0 D. x=4t+1, y=0 解析: 选项 A 表示 x 轴上以(1,0)为端点向右的射线;选项 B 表示的是 y 轴;选项 C 表示 x 轴上以(0,0)和(2,0)为端点的线段; 只有选项 D 可以作为 x 轴的参数方程. 答案:D 3.由方程 x2+y2-4tx-2ty+3t2-4=0(t 为参数)所表示的一族 圆的圆心的轨迹方程为( ) A. x=2t, y=t (t 为参数) B. x=-2t, y=t (t 为参数) C. x=2t, y=-t (t 为参数) D. x=-2t, y=-t (t 为参数) 解析:设(x,y)为所求轨迹上任一点. 由 x2+y2-4tx-2ty+3t2-4=0 得: (x-2t)2+(y-t)2=4+2t2.所以 x=2t, y=t (t 为参数) 答案:A 4.参数方程 x=2+sin2θ, y=-1+cos 2θ(θ为参数)化为普通方程是( )[来源:学科网 ZXXK] A.2x-y+4=0 B.2x+y-4=0 C.2x-y+4=0,x∈[2,3] D.2x+y-4=0,x∈[2,3] 解析:由 x=2+sin2θ,则 x∈[2,3],sin2θ=x-2,y=-1+1 -2sin2θ=-2sin2θ=-2x+4,即 2x+y-4=0. 故化为普通方程为 2x+y-4=0,x∈[2,3]. 答案:D 5.参数方程 x=|cos θ 2 +sin θ 2|, y=1 2 (1+sin θ) (0≤θ<2π)表示的是( ) A.双曲线的一支,这支过点 1,1 2 B.抛物线的一部分,这部分过点 1,1 2 C.双曲线的一支,这支过点 1,-1 2 D.抛物线的一部分,这部分过点 1,-1 2 解析:因为 x=| 2sin θ 2 +π 4 |,故 x∈[0, 2], 又 y=1 2(1+sin θ),故 y∈[0,1]. 因为 x2=1+sin θ,所以 sin θ=x2-1, 代入 y=1 2(1+sin θ)中得 y=1 2x2, 即 x2=2y,(0≤x≤ 2,0≤y≤1)表示抛物线的一部分, 又 2×1 2 =1,故过点 1,1 2 . 答案:B 二、填空题 6.若 x=cos θ,θ为参数,则曲线 x2+(y+1)2=1 的参数方程为 ______________. 解析:把 x=cos θ代入曲线 x2+(y+1)2=1, 得 cos2θ+(y+1)2=1, 于是(y+1)2=1-cos2θ=sin2θ,即 y=-1±sin θ. 由于参数θ的任意性, 可取 y=-1+sin θ, 因此,曲线 x2+(y+1)2=1 的参数方程为[来源:学+科+网 Z+X+X+K] x=cos θ, y=-1+sin θ(θ为参数). 答案: x=cos θ y=-1+sin θ(θ为参数) 7.在平面直角坐标系中,曲线 C: x=2+ 2 2 t, y=1+ 2 2 t (t 为参数)的普 通方程为________________. 解析:因为 x=2+ 2 2 t,所以 2 2 t=x-2,代入 y=1+ 2 2 t, 得 y=x-1,即 x-y-1=0. 答案:x-y-1=0 8.已知某条曲线 C 的参数方程为 x=1+2t, y=at2 (其中 t 为参数,a ∈R).点 M(5,4)在该曲线上,则常数 a=________. 解析:因为点 M(5,4)在曲线 C 上, 所以 5=1+2t, 4=at2, 解得 t=2, a=1. 所以 a 的值为 1. 答案:1 三、解答题 9.指出下列参数方程表示什么曲线: (1) x=3cos θ, y=3sin θ (θ为参数,0<θ<π 2); (2) x=2cos t, y=2sin t (t 为参数,π≤t≤2π); (3) x=3+15cos θ, y=2+15sin θ (θ为参数,0≤θ<2π). 解:(1)由 x=3cos θ, y=3sin θ (θ为参数)得 x2+y2=9. 又由 0<θ<π 2 ,得 0