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- 2021-06-11 发布
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课时分层作业(三十六) 正弦、余弦函数的图象
(建议用时:40分钟)
一、选择题
1.函数y=cos x·|tan x|的大致图象是( )
C [y=cos x·|tan x|=]
2.若cos x=1-2m,且x∈R,则m的取值范围是( )
A.[0,1] B.(0,1]
C. D.[-1,0]
A [∵cos x∈[-1,1],∴-1≤1-2m≤1,
解得0≤m≤1.]
3.关于三角函数的图象,有下列说法:
①y=sin|x|与y=sin x的图象关于y轴对称;
②y=cos(-x)与y=cos|x|的图象相同;
③y=|sin x|与y=sin(-x)的图象关于x轴对称;
④y=cos x与y=cos(-x)的图象关于y轴对称.
其中正确的序号是( )
A.①③ B.②④
C.②③ D.①④
B [对②,y=cos(-x)=cos x,y=cos|x|=cos x,故其图象相同;对④,y=cos(-x)=cos x,故其图象关于y轴对称,由作图可知①③均不正确.]
4.方程x2-cos x=0的实数解的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
C [作函数y=cos x与y=x2的图象,如图所示,由图象可知原方程有两个实数解.]
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5.下列函数中:①y=sin x-1;②y=|sin x|;③y=-cos x;④y=;⑤y=.与函数y=sin x形状完全相同的有( )
A.②④ B.①③ C.①④ D.②③
B [y=sin x-1是将y=sin x向下平移1个单位,没改变形状;y=-cos x=sin,故y=-cos x是将y=sin x向右平移个单位,没有改变形状,与y=sin x形状相同,∴①③完全相同,而②y=|sin x|,④y==|cos x|和⑤y==|sin x|与y=sin x的形状不相同.]
二、填空题
6.函数y=的定义域是________.
{x|2kπ<x<(2k+1)π,k∈Z} [由题意可得,
即∴0<sin x≤1,
由正弦函数图象可得{x|2kπ<x<(2k+1)π,k∈Z}.]
7.函数y=sin x的图象与函数y=cos x的图象在[0,2π]内的交点坐标为________.
和 [在同一坐标系内画出两函数的图象(图略),
易知,交点坐标为和.]
8.设0≤x≤2π,且|cos x-sin x|=sin x-cos x,则x的取值范围为________.
[由|cos x-sin x|=sin x-cos x得
sin x-cos x≥0,即sin x≥cos x.
又x∈[0,2π],结合图象(图略)可知,≤x≤,
所以x∈.]
三、解答题
9.利用图象变换作出函数y=sin|x|,x∈[-2π,2π]的简图.
[解] ∵y=sin|x|=为偶函数,∴首先用五点法作出函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象;再将x∈[0,2π]的图象关于y轴对称.如图所示.
10.作出函数y=-sin x,x∈[-π,π]的简图,并回答下列问题:
- 5 -
(1)观察函数图象,写出满足下列条件的x的区间:
①sin x>0;②sin x<0;
(2)直线y=与y=-sin x,x∈[-π,π]的图象有几个交点?
[解] 利用“五点法”作图,如图.
(1)根据图象可知在x轴上方的部分-sin x>0,在x轴下方的部分-sin x<0,所以当x∈(-π,0)时,sin x<0;
当x∈(0,π)时,sin x>0.
(2)画出直线y=,由图象知有两个交点.
1.函数y=的奇偶性为( )
A.奇函数
B.既是奇函数也是偶函数
C.偶函数
D.非奇非偶函数
D [由题意知,当1-sin x≠0,即sin x≠1时,
y==|sin x|,所以函数的定义域为,
由于定义域不关于原点对称,所以该函数是非奇非偶函数.]
2.已知y=cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y=1围成一个封闭的平面图形,该图形的面积是( )
A.π B.2π C.3π D.4π
B [由题意画出图形(图略),由于余弦函数图象关于点和点成中心对称,可得
- 5 -
y=cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y=1围成的封闭图形的面积为2π×1=2π.]
3.在[0,2π]内,不等式sin x<-的解集是________.
[画出y=sin x,x∈[0,2π]的草图如下.
因为sin =,所以sin=-,sin=-.即在[0,2π]内,满足sin x=-的x=或.可知不等式sin x<-的解集是.]
4.已知函数f(x)=则不等式f(x)>的解集是________.
[在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和函数y=的图象,如图所示.
当f(x)>时,函数f(x)的图象位于函数y=的图象上方,此时有-<x<0或+2kπ<x<+2kπ(k∈N).]
5.已知函数f(x)=sin x,x∈R.现有如下两种图象变换方案:
方案1:将函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的一半,纵坐标不变,再将所得图象向左平移个单位长度;
方案2:将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的一半,纵坐标不变.
请你从中选择一种方案,确定在此方案下所得函数g(x)的解析式,并解决如下问题:
(1)画出函数g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象;
(2)请你研究函数g(x)的定义域,值域,周期性,奇偶性以及单调性,并写出你的结论.
[解] 方案1:将函数f(x)=sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的一半,纵坐标不变,得到y=sin 2x,再将y=sin 2x图象向左平移个单位长度得到y=sin 2=sin
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,即g(x)=sin.
方案2:将函数f(x)=sin x的图象向左平移个单位长度,得到y=sin,再将y=sin图象上所有点的横坐标变为原来的一半,纵坐标不变,得到y=sin,即g(x)=sin.所以,无论在何种方案下所得的函数都是g(x)=sin.
(1)如图,是函数g(x)=sin在[0,π]这一周期上的图象:
(2)函数g(x)=sin
定义域:R;值域:[-1,1];周期:T==π;
奇偶性:因为g(0)=sin=≠0,±1,所以g(x)不具有奇偶性.
单调性:令-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),
解得-+kπ≤x≤+kπ,(k∈Z),即函数在(k∈Z)上单调递增;同理可得函数的单调递减区间为:(k∈Z).
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