漳州市2020届高中毕业班第二次教学质量检测理科数学 6页

准考证号 姓名 (在此卷上答题无效) 漳州市 ２０２０ 届高中毕业班第二次教学质量检测 理科数学试题 本试卷共 ６ 页ꎮ 满分 １５０ 分ꎮ 考生注意: １ư 答题前ꎬ 考生务必在试题卷、 答题卡规定的地方填写自己的准考证号、 姓名ꎮ 考生 要认真核对答题卡上粘贴的条形码的 “准考证号、 姓名” 与考生本人准考证号、 姓名是否 一致ꎮ ２ư 回答选择题时ꎬ 选出每小题答案后ꎬ 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑ꎮ 如需改动ꎬ 用橡皮擦干净后ꎬ 再选涂其它答案标号ꎮ 回答非选择题时ꎬ 将答案写在答题卡 上ꎮ 写在本试卷上无效ꎮ ３ư 考试结束ꎬ 考生必须将试题卷和答题卡一并交回ꎮ 一、 选择题: 本大题共 １２ 小题ꎬ 每小题 ５ 分ꎬ 共 ６０ 分ꎮ 在每小题给出的四个选项中ꎬ 只有 一项是符合题目要求的ꎮ １ư 已 知 集 合 Ａ ＝ ｘ ｜ ｙ ＝ ｘ ＋ １ { } ꎬ Ｂ ＝ ｙ ｜ ｙ ＝ ｌｇｘ{ } ꎬ 则 Ａ ∪ Ｂ ＝ Ａư － １ꎬ ＋ ¥[ ) 　 Ｂư ０ꎬ ＋ ¥[ ) 　 Ｃư ０ꎬ ＋ ¥( ) 　 Ｄư Ｒ ２ư 已知复数 ｚ 的共轭复数为 ｚ－ ꎬ 且满足 ２ｚ ＋ ｚ－ ＝ ３ ＋ ２ｉꎬ 则 ｚ ＝ Ａư ３ Ｂư ５ Ｃư ３ Ｄư ５ ３ư 执行如图所示的程序框图ꎬ 若输入的 ｎ ＝ ３ꎬ 则输出的 Ｓ ＝ Ａư １ Ｂư ５ Ｃư １４ Ｄư ３０ ４ư 已知等比数列{ａｎ } 的前 ｎ 项和为 Ｓｎ ꎬ 若 ａ ３ ＝ ３ ４ ꎬ Ｓ ３ ＝ ２１ ４ ꎬ 则{ａｎ } 的公比为 Ａư － １ ３ 或 １ ２ Ｂư １ ３ 或 － １ ２ Ｃư － ３ 或 ２ Ｄư ３ 或 － ２ ５ư １ － ２ｘ( ) ４ 的展开式中 ｘ２ 的系数为 Ａư ６ Ｂư ２４ Ｃư ３２ Ｄư ４８ 理科数学第二次教学质量检测　 第 １ 页 (共 ６ 页) ６ư 我国古代著名数学家刘徽的杰作«九章算术注» 是中国最宝贵的数学遗产之一ꎬ 书中记载 了他计算圆周率所用的方法 ư 先作一个半径为 １ 的单位圆ꎬ 然后做其内接正六边形ꎬ 在此 基础上做出内接正 ６ × ２ ｎ (ｎ ＝ １ꎬ ２ꎬ ƺ) 边形ꎬ 这样正多边形的边逐渐逼近圆周ꎬ 从而得 到圆周率ꎬ 这种方法称为“刘徽割圆术”ư 现设单位圆 Ｏ 的内接正 ｎ 边形的一边为 ＡＣꎬ 点 Ｂ 为劣弧ＡＣ ( 的中点ꎬ 则 ＢＣ 是内接正 ２ｎ 边形的一边ꎬ 现记 ＡＣ ＝ Ｓｎ ꎬ ＡＢ ＝ Ｓ ２ｎ ꎬ 则 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａư Ｓ ２ｎ ＝ ２ － ４ － Ｓｎ ２ Ｂư Ｓ ２ｎ ＝ ２ ＋ ４ － Ｓｎ ２ Ｃư Ｓ ２ｎ ＝ ２ ２ ＋ ４ － Ｓｎ ２ Ｄư Ｓ ２ｎ ＝ ４ － ３ ４ － Ｓｎ ２ (注: 刘徽的«九章算术注» 节选) ７ư 已知正三棱柱的底面边长为 ２ ３ ꎬ 侧棱长为 ２ꎬ Ａꎬ Ｂ 分别为该正三棱柱内切球和外接 球上的动点ꎬ 则 Ａꎬ Ｂ 两点间的距离最大值为 Ａư ５ － ２ Ｂư ５ － １ Ｃư ５ ＋ １ Ｄư ５ ＋ ２ ８ư 若 ａ ＝ ４ １ ４ ꎬ ｂ ＝ ｌｏｇ５１２ꎬ ｃ ＝ ｌｏｇ １ ３ １ ９ ꎬ 则 Ａư ｂ < ａ < ｃ Ｂư ａ < ｂ < ｃ Ｃư ａ < ｃ < ｂ Ｄư ｃ < ａ < ｂ ９ư 已知双曲线 Ｃ: ｘ２ ａ２ － ｙ２ ｂ２ ＝ １(ａ > ０ꎬ ｂ > ０) 的左、 右焦点分别为 Ｆ １ ꎬ Ｆ ２ ꎬ 过 Ｆ １ 的直线与 Ｃ 的左、 右支分别交于 Ｐ、 Ｑ 两点ꎬ 若ＰＱ→ ＝ ２ Ｆ １ Ｐ→ꎬ Ｆ １ Ｑ→ŰＦ ２ Ｑ→ ＝ ０ꎬ 则 Ｃ 的渐近线方程为 Ａư ｙ ＝ ± １ ２ ｘ Ｂư ｙ ＝ ± ２ ２ ｘ Ｃư ｙ ＝ ± ２ ｘ Ｄư ｙ ＝ ± ２ｘ １０ư △ＡＢＣ 的内角 Ａꎬ Ｂꎬ Ｃ 的对边分别为 ａꎬ ｂꎬ ｃꎬ 且(２ｂ － ｃ)ｃｏｓＡ ＝ ａｃｏｓＣꎬ ｂ ＝ ２ ３ ꎬ 若边 ＢＣ 的中线等于 ３ꎬ 则 △ＡＢＣ 的面积为 Ａư ９ ３ Ｂư ９ ３ ２ Ｃư ３ ３ Ｄư ３ ３ ２ 理科数学第二次教学质量检测　 第 ２ 页 (共 ６ 页) １１ư 已知函数 ｆ(ｘ) ＝ ｓｉｎ ｃｏｓｘ[ ] ＋ ｃｏｓ ｓｉｎｘ[ ] ꎬ 其中 ｘ[ ] 表示不超过实数 ｘ 的最大整数ꎬ 关于 ｆ(ｘ) 有下述四个结论: ①ｆ(ｘ) 的一个周期是 ２πꎻ ②ｆ(ｘ) 是非奇非偶函数ꎻ ③ｆ(ｘ) 在 ０ꎬ π ( ) 单调递减ꎻ ④ｆ(ｘ) 的最大值大于 ２ư 其中所有正确结论的编号是 Ａư ①②④ Ｂư ②④ Ｃư ①③ Ｄư ①② １２ư 已知抛物线 Ｃ: ｘ２ ＝ ４ｙ 的焦点为 Ｆꎬ 准线与 ｙ 轴相交于点 Ｐꎬ 过 Ｆ 的直线与 Ｃ 交于 Ａ、 Ｂ 两点ꎬ 若 ＰＡ ＝ ２ ＰＢ ꎬ 则 ＡＢ ＝ Ａư ５ Ｂư ９ ２ Ｃư ５ Ｄư ３ ２ ２ 二、 填空题: 本大题共 ４ 小题ꎬ 每小题 ５ 分ꎬ 共 ２０ 分ꎮ １３ư 若函数 ｆ(ｘ) ＝ ( １ ２ ) ｘ ꎬ ｘ < ０ꎬ ｘ２ － ４ｘ ＋ １ꎬ ｘ ⩾ ０ꎬ ì î í ïï ïï 则 ｆ(ｆ(２)) ＝ ư １４ư 若 ａ ＋ ｂ ＝ ５ ꎬ ａ ＝ １ꎬ １ ( ) ꎬ ｂ ＝ １ꎬ 则 ａ 与 ｂ 的夹角为 ư １５ư 在一个袋中放入四种不同颜色的球ꎬ 每种颜色的球各两个ꎬ 这些球除颜色外完全相同 ư 现玩一种游戏: 游戏参与者从袋中一次性随机抽取 ４ 个球ꎬ 若抽出的 ４ 个球恰含两种颜 色ꎬ 获得２ 元奖金ꎻ 若抽出的４ 个球恰含四种颜色ꎬ 获得１ 元奖金ꎻ 其他情况游戏参与者 交费 １ 元 ư 设某人参加一次这种游戏所获得奖金为 Ｘꎬ 则 Ｅ(Ｘ) ＝ ư １６ư 已知对任意 ｘ ∈ (０ꎬ ＋ ¥ )ꎬ 都有 ｋ(ｅ ｋｘ ＋ １) － (１ ＋ １ｘ )ｌｎｘ > ０ꎬ 则实数 ｋ 的取值范围为 ư 三、 解答题: 共 ７０ 分ꎮ 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤ꎮ 第 １７ ~ ２１ 题为必考 题ꎬ 每个试题考生都必须作答ꎮ 第 ２２ 题、 第 ２３ 题为选考题ꎬ 考生根据要求作答ꎮ (一) 必考题: 共 ６０ 分ꎮ １７ư (１２ 分) 已知数列 ａｎ{ } 满足 ａ １ ＝ １ꎬ ａｎ ≠０ꎬ (１ ＋ ａ １ )(１ ＋ ａ ２ )(１ ＋ ａ ３ )ƺ(１ ＋ ａｎ＋１ ) ＝ ａｎ＋１ ꎬ ｎ ∈ Ｎ ∗ ư (１) 证明数列 １ａｎ＋１ { } 是等差数列ꎻ (２) 求数列 ａｎ＋１ ａｎ＋２ { } 的前 ｎ 项和 Ｔｎư 理科数学第二次教学质量检测　 第 ３ 页 (共 ６ 页) １８ư (１２ 分) 如图ꎬ 三棱台 ＡＢＣ － Ａ １ Ｂ １ Ｃ １ 中ꎬ ＡＡ １ ＝ ＡＢ ＝ ＣＣ １ ꎬ ∠ＡＡ １ Ｃ ＝ ∠ＡＢＣ ＝ ９０°ư (１) 证明: ＡＣ ⊥ Ａ １ Ｂꎻ (２) 若 ＡＢ ＝ ２ꎬ Ａ １ Ｂ ＝ ６ ꎬ ∠ＡＣＢ ＝ ３０°ꎬ 求二面角 Ａ － ＣＣ １ － Ｂ 的余弦值 ư A A B C 1 C1 B1 １９ư (１２ 分) 在平面直角坐标系 ｘＯｙ 中ꎬ Ｆ １ ꎬ Ｆ ２ 是 ｘ 轴上关于原点 Ｏ 对称的两定点ꎬ 点 Ｈ 满足 ＨＦ １ ＋ ＨＦ ２ ＝ ２ Ｆ １ Ｆ ２ ＝ ４ꎬ 点 Ｈ 的轨迹为曲线 Ｅư (１) 求 Ｅ 的方程ꎻ (２) 过 Ｆ ２ 的直线与 Ｅ 交于点 Ｐꎬ Ｑꎬ 线段 ＰＱ 的中点为 Ｇꎬ ＰＱ 的中垂线分别与 ｘ 轴、 ｙ 轴 交于点 Ｍꎬ Ｎꎬ 问 △ＯＭＮ ≌ △ＧＭＦ ２ 是否成立? 若成立ꎬ 求出直线 ＰＱ 的方程ꎻ 若不 成立ꎬ 请说明理由 ư ２０ư (１２ 分) 某同学使用某品牌暖水瓶ꎬ 其内胆规格如图所示 ư 若水瓶内胆壁厚不计ꎬ 且内胆如图分 为 ①②③④ 四个部分ꎬ 它们分别为一个半球、 一个大圆柱、 一个圆台和一个小圆柱体 ư 若其中圆台部分的体积为 ５２πｃｍ ３ ꎬ 且水瓶灌满水后盖上瓶塞时水溢出１０π ３ ｃｍ ３ ư 10cm 20cm 4cm 2cm ① ② ③ ④ 记盖上瓶塞后ꎬ 水瓶的最大盛水量为 Ｖꎬ (１) 求 Ｖꎻ (２) 该同学发现: 该品牌暖水瓶盛不同体 积的热水时ꎬ 保温效果不同 ư 为了研 究保温效果最好时暖水瓶的盛水体积ꎬ 做以下实验: 把盛有最大盛水量 Ｖ 的水的暖 水瓶倒出不同体积的水ꎬ 并记录水瓶内不同体积水在不同时刻的水温ꎬ 发现水温 ｙ(单位: ℃) 与时刻 ｔ 满足线性回归方程 ｙ ＝ ｃｔ ＋ ｄꎬ 通过计算得到下表: 理科数学第二次教学质量检测　 第 ４ 页 (共 ６ 页) 倒出体积 ｘｃｍ ３ ０ ３０ ６０ ９０ １２０ 拟合结果 ｙ ＝ ｃ １ ｔ ＋ ｄ ｙ ＝ ｃ ２ ｔ ＋ ｄ ｙ ＝ ｃ ３ ｔ ＋ ｄ ｙ ＝ ｃ ４ ｔ ＋ ｄ ｙ ＝ ｃ ５ ｔ ＋ ｄ 倒出体积 ｘｃｍ ３ １５０ １８０ ２１０ ƺ ４５０ 拟合结果 ｙ ＝ ｃ ６ ｔ ＋ ｄ ｙ ＝ ｃ ７ ｔ ＋ ｄ ｙ ＝ ｃ ８ ｔ ＋ ｄ ƺ ｙ ＝ ｃ １６ ｔ ＋ ｄ 注: 表中倒出体积 ｘ(单位: ｃｍ ３ ) 是指从最大盛水量中倒出的那部分水的体积 ư 其 中: ｃ １ ｃ ２ ｃ ３ ｃ ４ ｃ ５ ｃ ６ ｃ ７ － １ư ４ － １ư ３ － １ư ２ － １ － １ư １ － ０ư ９ － ０ư ８ 令 ｗ ＝｜ ｃ ｜ ꎬ ｗｉ ＝ ｃｉ ꎬ ｘｉ ＝ ３０(ｉ － １)ꎬ ｉ ＝ １ꎬ ２ꎬ ƺꎬ １６ư 对于数据(ｘｉ ꎬ ｗｉ )(ｉ ＝ １ꎬ ２ꎬ ƺꎬ ７)ꎬ 可求得回归直线为 Ｌ １ : ｗ ＝ βｘ ＋ αꎬ 对于数据(ｘｉ ꎬ ｗｉ )(ｉ ＝ ８ꎬ ９ꎬ ƺꎬ １６)ꎬ 可求得回归直线为 Ｌ ２ : ｗ ＝ ０ư ０００９ｘ ＋ ０ư ７ư (ｉ) 指出 ｃ 的实际意义ꎬ 并求出回归直线 Ｌ １ 的方程(参考数据: ９ ２８００ ≈ ０ư ００３２)ꎻ (ｉｉ) 若 Ｌ １ 与 Ｌ ２ 的交点横坐标即为最佳倒出体积ꎬ 请问保温瓶约盛多少体积水时(盛水体 积保留整数ꎬ 且 π 取 ３ư １４) 保温效果最佳? 附: 对于一组数据(ｕ １ ꎬ ｖ １ )ꎬ (ｕ ２ ꎬ ｖ ２ )ꎬ ƺꎬ (ｕｎ ꎬ ｖｎ )ꎬ 其回归直线 ｖ ＝ βｕ ＋ α 中的 斜率和 截距的最小二乘估计分别为 β＾ ＝ ∑ ｎ ｉ ＝ １ (ｕｉ － ｕ－ )(ｖｉ － ｖ－ ) ∑ ｎ ｉ ＝ １ (ｕｉ － ｕ－ ) ２ ꎬ α＾ ＝ ｖ－ － β＾ Űｕ－ ư ２１ư (１２ 分) 已知函数 ｆ(ｘ) ＝ ｅ ｘ ꎬ ｇ(ｘ) ＝ ｘ ＋ ａｌｎｘư (１) 讨论 ｇ(ｘ) 的单调性ꎻ (２) 若 ａ ＝ １ꎬ 直线 ｌ 与曲线 ｙ ＝ ｆ(ｘ) 和曲线 ｙ ＝ ｇ(ｘ) 都相切ꎬ 切点分别为 Ｐ(ｘ １ ꎬ ｙ １ )ꎬ Ｑ(ｘ ２ ꎬ ｙ ２ )ꎬ 求证: ｘ ２ > １ ｅ ２ － １ ư 理科数学第二次教学质量检测　 第 ５ 页 (共 ６ 页) (二) 选考题: 共 １０ 分 ư 请考生在第 ２２、 ２３ 两题中任选一题作答 ư 如果多做ꎬ 则按所做第一 个题目计分 ư ２２ư [选修 ４ － ４: 坐标系与参数方程](１０ 分) 已知曲线 Ｃ 的参数方程为 ｘ ＝ ２ ｃｏｓθꎬ ｙ ＝ ｔａｎθꎬ ì î í ïï ïï (θ 为参数)ꎬ 直线 ｌ 过点 Ｐ(１ꎬ ２) 且倾斜角为 π ６ ư (１) 求曲线 Ｃ 的普通方程和直线 ｌ 的参数方程ꎻ (２) 设 ｌ 与 Ｃ 的两个交点为 Ａꎬ Ｂꎬ 求 ｜ ＰＡ ｜ ＋｜ ＰＢ ｜ ư ２３ư [选修 ４ － ５: 不等式选讲](１０ 分) 已知函数 ｆ(ｘ) ＝ ｘ ＋ ２ － ２ｘ － ２ 的最大值为 ｍư (１) 求 ｍ 的值ꎻ (２) 已知正实数 ａꎬ ｂ 满足 ４ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ２ ａｂư 是否存在 ａꎬ ｂꎬ 使得 ２ａ ＋ ４ｂ ＝ ｍư 理科数学第二次教学质量检测　 第 ６ 页 (共 ６ 页)