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- 2021-06-11 发布
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1
2 0 19 届 高 三 年 级 五 校 联 考
数学理试题(I)卷 2018.12.21
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分,把答案填写在答题卡上相应位置上..........
1.已知集合 }3,{},2,1{ aBA ,若 }1{BA ,则 BA ▲ .
2.函数 )32lg()( 2 xxxf 的定义域为 ▲ .
3.已知复数 z 满足 iiz 1 ( i 是虚数单位),则复数 z
的模为 ▲ .
4.右图是一个算法流程图,则输出的 k 的值是 ▲ .
5.已知函数
0,log
0,2)(
2 xx
xxf
x
,则 ))2(( ff ▲ .
6.若“ 1|| ax ”是“ 2x ”的充分不必要条件,则
实数 a 的取值范围为 ▲ .
7.已知函数 axy ln 的图象与直线 1 xy 相切,则实数a 的值为
▲ .
8.已知函数 )22)(2sin( xy 在
6
x 时取得最大值,则 的值是 ▲ .
9.在平面直角坐标系 xOy 中,已知角 的终边经过点 )2,1(A ,将角 的终边绕原点按逆时
针方向旋转
2
与角 的终边重合 ,则 )sin( 的值为 ▲ .
10.已知等差数列 }{ na 的前 n 项和为 nS ,若 156,31 31 Sa ,则
1
2
a
a 的取值范围
是 ▲ .
11.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 )0(12
2
2
2
bab
y
a
x 的左、右顶点分别为 A 、
B ,右焦点为 F ,上顶点为 C ,线段 BC 的中点为 M ,直线 AM 与椭圆的另一个交点为
D ,且 DF 垂直于 x 轴,则椭圆离心率 e 的值为 ▲ .
12.如图,在 ABC 中,a、b、c 分别是角 A B C、 、 所对的边, FE, 是 AB 上的两个三等
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题).本卷满分为 160 分,考
试时间为 120 分钟.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.
2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及
答题卡的规定位置.
3.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置
作答一律无效.
4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.
2
分点, HG, 是 AC 上的两个三等分点,
9
10)()( CFBHCEBG ,则 Cbcos 的最小
值为 ▲ .
13.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 1: 22 yxO ,直线 axyl : ,过直线 l 上点 P 作圆 O 的切线
PBPA, ,切点分别为 BA, ,若存在点 P 使得 POPBPA 2
3 ,则实数 a 的取值范围是 ▲ .
14.已知函数
1,22
1|,|)( 2 xaxx
xaxexf
x
( e 是自然对数的底数)恰有三个不同的零点 ,则实数 a 的取值
范围是 ▲ .
二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 14 分)
已知向量 a )1,cos2( , )sin2,1( b 且 ),0(
(1)若 ba// ,求 的值;
(2)若
5
2ba ,求 || ba 的值.
16. (本小题满分 14 分)
已知函数 xe
mexf x
x 2)( 是定义在 ]1,1[ 的奇函数(其中 e 是自然对数的底数).
(1)求实数 m 的值;
(2)若 2( 1) (2 ) 0f a f a ,求实数 a 的取值范围.
17. (本小题满分 14 分)
如图,在平面直角坐标系 中,已知椭圆 :C )0(12
2
2
2
bab
y
a
x 的右准线方程 4: xl ,离心率
2
1e ,左右顶点分别为 BA, ,右焦点为 F ,点 P 在椭圆上,且位于 x 轴上方.
3
(1)设直线 PA 的斜率为 1k ,直线 PB 的斜率为 2k ,求 21 kk 的最小值;
(2)点 Q 在右准线l 上,且 QFPF ,直线QP 交 x 负半轴于点 M ,
若 6MF ,求点 P 坐标.
18. (本小题满分 16 分)
如图,港珠澳大桥连接珠海(A 点)、澳门(B 点)、香港(C 点).线段 AB 长度为 )(10 km ,线段 BC 长
度为 )(40 km ,且 60ABC .澳门(B 点)与香港(C 点)之间有一段海底隧道,连接人工岛E 和人
工岛 F ,海底隧道是以 O 为圆心,半径 )(3
310 kmR 的一段圆弧 EF ,从珠海点 A 到人工岛 E 所在
的直线 AE 与圆 O 相切,切点为点 E ,记 )2,6[, AEB .
(1)用 表示 AE 、 EF 及弧长 EF ;
(2)记路程 AE 、弧长 EF 及 、BE FC 四段长总和为 l ,当 取何值时, l 取得最小值?
19. (本小题满分 16 分)
已知函数 xaxexgxxaxxf x )22()2()(,ln)( 2 ( e 是自然对数的底数).
(1)若 1a ,求函数 )(xf 的单调增区间;
(2)若关于 x 的不等式 0)( xf 恒成立,求实数 a 的取值范围;
(3)若函数 )()()( xgxfxh 在 1x 处取得极大值,求实数 的取值范围.
)(3
310 kmR )(10 km
(第 18 题)
4
20. (本小题满分 16 分)
已知数列 }{ na 、 }{ nb 、 }{ nc ,对于给定的正整数 k ,记 knnn aab , knnn aac ( Nn ).若
对任意的正整数 n 满足: 1 nn bb ,且 }{ nc 是等差数列,则称数列 为“ )(kH ” 数列.
(1)若数列 }{ na 的前 n 项和为 2nSn ,证明: }{ na 为 )(kH 数列;
(2)若数列 为 )1(H 数列,且 5,1,1 211 cba ,求数列 的通项公式;
(3)若数列 为 )2(H 数列,证明: }{ na 是等差数列.
5
数学试题(II)卷 2018.12.21
21.(本小题满分 10 分)
已知矩 阵
37
2aA 的逆矩 阵
a
bA 7
21 ,设曲线 F 在矩 阵 A 对应的 变换作 用下 得到 曲线
xy 2 ,求曲线 F 的方程.
22.(本小题满分 10 分)
已知直线l 的参数方程为
aty
tx (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,
圆 C 的极坐标方程为 )0(02)4sin(222 ,直线l 与圆C 相交于 A 、 B 两点.若弦长
AB 22 ,求实数 a 的值.
23. (本小题满分 10 分)
已知点 P 是抛物线 xy 2 上的一点,过点 P 作两条直线 1l 与 2l ,分别与抛物线相交于 A 、 B 两点.
(1)已知点 )0,0(P 且 21 ll ,求证:直线 AB 恒过定点;
(2)已知点 )1,1(P ,直线 AB 所在直线方程为 bxy ,且 PAB 的垂心 H 在 x 轴上,求实数b 的值.
6
24. (本小题满分 10 分)
已知数列 }{ na 满足 12
1 nnn naaa .
(1) 21 a ,求 32 ,aa ,并猜想数列 }{ na 通项公式;
(2)若 31 a ,用数学归纳法证明
2 nan
42 2
21 naaa n
n .
7
数学试卷(I)答案 2018.12.21
一、填空题:
1、{1,2,3} 2、 ),3()1,( 3、 2 4、 5 5、-2 6、 1a
7、2 8、
6
9、
5
3 10、 ]5,3
2[ 11、
5
4 12、1
13、 ]22,22[ 14、 32( , )22
二、解答题:
15、解(1)因为 ba // ,所以 1cossin4 ,所以 2
12sin …………………………3 分
又因为 ),0( ,所以 )2,0(2 ,所以
62 或
6
5 ,所以
12
或
12
5 …………7 分
(漏 1 解扣 2 分)
(2)因为
5
2ba ,所以
5
2sin2cos2 ,所以
5
1sincos ………… …10 分
所以
5
170)1sin2()1cos2(|| 22 ba …………………………14 分
(忘记开根号扣 2 分)
16、解(1)因为 xe
mexf x
x 2)( 是定义在 ]1,1[ 的奇函数,所以 0)0( f ,所以 m=1…4 分
当 m=1 时, xeexf x
x 21)( ,所以 )(21)( xfxeexf x
x ………………6 分
(2) 21)( x
x
eexf
21 x
x
ee ,所以 0)( xf ,当且仅当 x=0 时 0)( xf ,所以 )(xf 在 ]1,1[ 单调递增…10 分
所以
2
2
21
121
111
aa
a
a
,所以
2
10 a ………………14 分
(忘记定义域扣 2 分)
17、解(1) 134
22
yx ………………2 分
设点 P ),( 00 yx ,则 21 kk
0
2
0
0
0
0
0
0 3
4
4
22 yx
y
x
y
x
y
………………6 分
因为 ]3,0(0 y ,所以,当 30 y 时 的最小值为 3 ………………7 分
(用结论 2
2
21 a
bkk 不证明扣 2 分)
(2)设点 P ,则 QF: )1(1
0
0 xy
xy ,所以点 Q ))1(3,4(
0
0
y
x ……………9 分
因为点 P、Q、M 三点共线,所以 QMPM kk ,所以 )1)(5(3 00
2
0 xxy ……………11 分
又因为 134
2
0
2
0 yx ,所以 40 x 或
5
4 ,因为 )2,2(0 x ,所以 P )5
73,5
4( ………14 分
8
18.解(1)在 ABE 中,由正弦定理可知:
sin
35
sin
10
60sin AEAE
……………2 分
在 OEF 中, sin3
320sin2 REF ……………4 分
EF 3
3202 R ……………6 分
(2) 26,sin3
320403
320
sin
35 l ……………8 分
2
23
2
22
'
sin3
)4cos7cos4cos4(35
sin3
)sincos4sin4cos3(35 l
………………10 分
即
2
2
'
sin3
)4coscos2)(1cos2(35 l ……………12 分
由 ]2
3,0(cos t ,则 0424coscos2 22 tt ……………14 分
当 36
时, 0' l ;当 23
时, 0' l
l 在 )3,6( 上单调递减,在 )2,3(
上单调递增
答:当
3
时, l 取得最小值.……………16 分
19. 解(1)当 1a 时,
x
xx
xxxfxxxxf )1)(12(112)(ln)( '2
因为 0x ,所有 10 x 时, 0)(' xf ; 1x 时, 0)(' xf
则 )(xf 在 ),1( 上单调递增。 ……………3 分
(2)(法 1:不分参,分类讨论)
)0(12112)(
2
' xx
xax
xaxxf
若 0a 时, ,则 )(xf 在 ),0( 上单调递减,
由 01)1( af 与 0)( xf 恒成立矛盾,所以 0a 不合题意;……………5 分
(不举反例扣 1 分)
若 0a 时,令 0)(' xf ,则
a
ax 4
811
0
所以 当 00 xx 时, 0)(' xf ;当 0xx 时, 0)(' xf
则 )(xf 在 ),0( 0x 单调递减,在 ),( 0 x 单调递增 ……………7 分
所以 )(xf 的最小值为 00
2
00 ln)( xxaxxf (*),
9
又 )1(2
1012 0
2
00
2
0 xaxxax 带入(*)得: 000 2
1ln2
1)( xxxf ,
由 0)( xf 恒成立,所以 02
1ln2
1)( 000 xxxf ,记 000 2
1ln2
1)( xxxm
又 02
11)(
0
0
' xxm ,则 000 2
1ln2
1)( xxxm 在 ),0( 单调递减,
又 0)1( m ,所以 10 0 x
)11(2
1
0
2
0 xxa
),1[1
0
x
……………10 分
所以实数 a 的取值范围是 ),1[
附:(法 2:分参)
0ln2 xxax 对 0x 恒成立, 2
ln
x
xxa
令 )0(ln)( 2 xx
xxxm
3
' ln21)( x
xxxm ……………5 分
设 xxxF ln21)( , 012)( ' xxF , xxxF ln21)( 在 ),0( 单调递减,
又 0)1( F ……………7 分
当 10 x 时, 0)( xF ,即 0)(' xm ;当 1x 时, 0)( xF ,即 0)(' xm
)(xm 在 )1,0( 上递增,在 ),1( 上递减 1)1()( max mxm
综上,实数 的取值范围是 ……………10 分
(3) )12)(1()(' xexaxxh , 0)1( h
设 0,12)( xexaxG x 01)( 2
' xexxG ,
则 )(xG 在 ),0( 上单调递减,
当 0)1( G 时,即
2
1 ea
10 x , 0)( xG ,则 0)(' xh
)(xh 在 )1,0( 单调递减与“ )(xh 在 1x 处取得极大值”矛盾
2
1 ea 不合题意;……………12 分
当 0)1( G 时,即
2
1 ea
10
则 0)2(2)2
1( 2
1
2
1
aeae eeeaeaaeG
由 0)1( G , 0)2
1( aeG )1,2
1(0 aex ,使得 0)( 0 xG ……………14 分
当 10 xx 时, 0)( xG ,则 0)12)(1()(' xexaxxh
当 1x 时, ,则 0)12)(1()(' xexaxxh
)(xh 在 )1,( 0x 单调递增,在 ),1( 单调递减,则 )(xh 在 1x 处取得极大值
综上
2
1 ea 符合题意。 ……………16 分
20. 解(1)当 2n 时, 12)1( 22
1 nnnSSa nnn ……………2 分
当 1n 时, 111 Sa 符合上式, 则 )1(12 nnan
224,2 knckb nn
则 4, 11 nnnn ccbb
对任意的正整数 n 满足 1 nn bb ,且 }{ nc 是公差为 4 的等差数列, }{ na 为 )(kH 数列.………4 分
(3) 21,1 211 aba
由数列 }{ na 为 )1(H 数列,则 }{ nc 是等差数列,且 5,3 21 cc 12 ncn
即 121 naa nn ……………6 分
nana nn )1(1
则 }{ nan 是常数列 naa n 011 ……………9 分
验证: 11 nnn aab , 1 nn bb 对任意正整数 n 都成立 nan ……………10 分
附: 3221 naa nn
-得: 22 nn aa
kkaakkaa kk 2)1(2,12)1(2 22112 nan
(3)由数列 为 )2(H 数列可知: 是等差数列,记公差为 d
dbbaaaacc nnnnnnnn 2)()( 22422 dbb nn 231
则 022)()( 321 ddbbbb nnnn
11
又 1 nn bb 1 nn bb ……………13 分
数列 }{ nb 为常数列,则 12 baab nnn
12 2 baaac nnnn
由
2)(2 111
daadaacc nnnnnn ……………16 分
}{ na 是等差数列.
注意:请在答卷卡指定区域内........作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
21.(本小题满分 10 分)
解:
10
01
7
2
37
2
a
ba
1314
0217
114
a
b
ab
…………………………3 分
3,5 ba ,则
37
25A …………………………5 分
设曲线 F 上任一点 ),,( yxP 变换为 ),','( yxP 则
yxy
yxx
37'
25' ,…………………………7 分
代入曲线 xy 2 得曲线 F 的方程 xy 3 …………………………10 分
(不设任意点 变换为 扣 1 分)
22.(本小题满分 10 分)
解:解:直线 axyl : ,圆 4)1()1(: 22 yxC ,…………………4 分
由弦长 AB 22 22 22 ddrAB …………………6 分
所以圆心 C(1,-1)到直线l 的距离
2
112 ad , 40或a ……………10 分
(漏解扣 2 分)
25. (本小题满分 10 分)
解(1)由题可知直线 1l 、 2l 的斜率都存在,设 kxyl :1 , xkyl 1:2
kxy
xy2
)1,1( 2 kkA …………………2 分
12
同理可得 ),( 2 kkB
则直线 AB 所在的直线方程为 1),1(1 2 kxk
ky
当 1k 时,直线 所在的直线方程为 1x
综上,直线 AB 恒过定点 )0,1( …………………5 分
(不讨论 k 值扣 1 分)
(2)由 ABPH 可知垂心 )0,2(H
设点 ),(),,( 2211 yxByxA
由
xy
bxy
2 得: 0)12( 22 bxbx
041
21
2
21
21
b
bxx
bxx
由 0)1()1)(2( 2111 yyxxPBHA
即 02))(2(2 2
2121 bbxxbxx ………………7 分
将带入得: 042 bb ,又
4
1b
4b ………………10 分
(忘记 0 扣 1 分)
26. (本小题满分 10 分)
解(1) 4,3,2 321 aaa ,猜得 1 nan ………………1 分
(3)证明:( i)当 1n 时, 31 a ,命题成立;
(ii)假设 ),1( Nkkkn 命题成立,即 2 kak
则 1 kn 时, 31)2(21)(1 kkkaaa kkk
1 kn 时,命题也成立
综合(i)( ii)可知 2 nan 对一切正整数 Nn 都成立。………………4 分
(忘记 ),1( Nkk 扣 1 分)
先用数学归纳法证明 12 1 n
na
(i)当 时, ,命题成立;
(ii)假设 命题成立,即 12 1 k
ka
则 时, 121)12(2121)( 21
1
kk
kkkk akaaa
13
1 kn 时,命题也成立
综合(i)( ii)可知 12 1 n
na 对一切正整数 Nn 都成立。…………8 分
42)12()12()12( 2132
21 naaa nk
n ………10 分
(不用数学归纳法,用放缩扣 3 分)
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