2020-2021学年北师大版数学必修2习题：第一章 立体几何初步 阶段性评估2 13页

阶段性评估(二) 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．在空间中，下列命题中正确的是( C ) A．若两直线 a，b 与直线 l 所成的角相等，那么 a∥b B．若两直线 a，b 与平面α所成的角相等，那么 a∥b C．如果直线 l 与两平面α，β所成的角都是直角，那么α∥β D．若平面γ与两平面α，β所成的二面角都是直二面角，那么α∥β 解析：A 错，两直线可平行或相交或异面；B 错，若两直线与平 面α所成角相等，两直线可平行，也可相交(如圆锥的每一条母线与圆 锥的底面所成角均相等)；C 正确，据已知直线 l⊥α，l⊥β，故必有α ∥β；D 错误，据题意得α⊥γ，β⊥γ，则α，β可平行也可相交(如墙角 或长方体从一顶点引出的三个平面，注意长方体是空间想象的一个重 要模型，考生应很好地利用它)． 2．如图为一个正方体的表面展开图，则在原正方体中，线段 AB， CD 的位置关系是( D ) A．平行 B．垂直但不相交 C．异面但不垂直 D．相交 解析：将表面展开图还原易得直线 AB 与 CD 为相交直线，故选 D. 3．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 的六个面中，与 AA1 垂直的面的 个数是( B ) A．1 B．2 C．3 D．6 解析：仅有平面 ABCD 和平面 A1B1C1D1 与直线 AA1 垂直． 4．若 m，n 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面， 则下列命题中正确的是( B ) A．若 m，n 都平行于平面α，则 m，n 一定不是相交直线 B．若 m，n 都垂直于平面α，则 m，n 一定是平行直线 C．已知α，β互相平行，m，n 互相平行，若 m∥α，则 n∥β D．若 m，n 在平面α内的射影互相平行，则 m，n 互相平行 解析：A 中，m，n 可以是相交直线；B 正确；C 中，n 可以平行 β，也可以在β内；D 中，m，n 也可能异面． 5．已知 PA⊥矩形 ABCD，下列结论中不正确的是( C ) A．PB⊥BC B．PD⊥CD C．PD⊥BD D．PA⊥BD 解析：如图所示，由 PA⊥矩形 ABCD 可得 BC⊥平面 PAB，DA ⊥平面 PAB，DC⊥平面 PAD，AB⊥平面 PAD，则有 PB⊥BC，PD⊥ CD，PA⊥BD 均正确，而 PD⊥BD 不正确，故应选 C. 6．下列命题中不正确命题的个数是( C ) ①过空间任意一点有且仅有一个平面与已知平面垂直； ②过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直； ③过空间任意一点有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平 行； ④过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直． A．1 B．2 C．3 D．4 解析： 考查正方体中互相垂直的线和平面．对于①：过空间任意一点不 是有且仅有一个平面与已知平面垂直，如图中平面 A1D 和平面 A1B 与平面 AC 都垂直，故①错；对于②：过空间任意一条直线有且仅有 一个平面与已知平面垂直，这是错误的，如图中平面 A1D 和平面 A1B 都与平面 AC 垂直，故②错；对于③：过空间任意一点不是有且仅有 一个平面与已知的两条异面直线平行，如图中过 C1 的与 A1B1 和 AD 都平行的平面就不存在，故③错；对于④：过空间任意一点有且仅有 一条直线与已知平面垂直是正确的．故选 C. 7．已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，点 H 是棱 B1C1 的中点，则 四边形 BDD1H 是( C ) A．平行四边形 B．矩形 C．空间四边形 D．菱形 解析：∵D1H 与 DB 是异面直线，∴四边形 BDD1H 是空间四边 形，故应选 C. 8．如图，正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，M，N，P，Q 分别是线 段 C1D1，A1D1，BD1，BC 的中点，给出下面四个命题： ①MN∥平面 APC；②B1Q∥平面 DMN； ③A，P，M 三点共线；④平面 MNQ∥平面 APC. 正确的序号为( A ) A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 解析：逐一判断．因为 MN∥AC，MN⃘平面 APC，AC 平面 APC， 所以 MN∥平面 APC，故①正确；又因为 B1Q∥ND，B1Q⃘平面 DMN， ND 平面 DMN，所以 B1Q∥平面 DMN，故②正确；因为 A，P，C1 三点共线，所以③错误；平面 MNQ 与平面 APC 相交，故④错误． 9．如图，在三棱柱 ABC—A′B′C′中，点 E，F，H，K 分别 为 AC′，CB′，A′B，B′C′的中点，G 为△ABC 的重心．从 K， H，G，B′中取一点作为 P，使得该棱柱恰有 2 条棱与平面 PEF 平 行，则 P 为( C ) A．K B．H C．G D．B′ 解析：当点 P 与 K 重合时，平面 PEF 即为平面 KEF，因为 KF 与三棱柱三条侧棱都平行，不满足题设条件．当 P 点与 H 重合时， 平面 PEF 即为平面 HEF，当平面 HEF 与三棱柱两底平面均平行时， 有六条棱平行于平面 HEF 不合题意．当 P 点与 B′点重合时，平面 PEF 即为平面 B′EF，此时三棱柱棱中只有一条棱 AB 与它平行不合 题意．当 P 点与 G 点重合时，平面 PEF 即为平面 GEF，此时恰有三 棱柱的两条棱 AB，A′B′与平面平行满足题意．故应选 C. 10．如图，已知六棱锥 P－ABCDEF 的底面是正六边形，PA⊥平 面 ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是( D ) A．PB⊥AD B．平面 PAB⊥平面 PBC C．直线 BC∥平面 PAE D．直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45° 解析：∵PA⊥平面 ABC，∴∠ADP 是直线 PD 与平面 ABC 所成 的角．∵六边形 ABCDEF 是正六边形，∴AD＝2AB，∴tan∠ADP＝PA AD ＝2AB 2AB ＝1，∴直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45°. 11．如图，边长为 a 的等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 交于点 G，已知△A′DE 是△ADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形(A′ 不与 A，F 重合)，则下列命题中真命题为( C ) ①动点 A′在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上； ②BC∥平面 A′DE； ③三棱锥 A′－FED 的体积有最大值． A．① B．①② C．①②③ D．②③ 解析：折叠前 DE⊥AF，折叠后其位置关系没有改变． ①中由已知可得平面 A′FG⊥平面 ABC，∴点 A′在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上． ②∵BC∥DE，BC 平面 A′DE，DE 平面 A′DE，∴BC∥ 平面 A′DE. ③当平面 A′DE⊥平面 ABC 时，三棱锥 A′－FED 的体积达到 最大． 12．如图，矩形 ABCD 中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面 ABCD， 若在 BC 上只有一个点 Q 满足 PQ⊥DQ，则 a 的取值情况是( A ) A．有且仅有一个 B．至少有一个 C．至多有一个 D．有无数个 解析：因为 PA⊥平面 ABCD，所以 PA⊥DQ， 又 PQ⊥DQ，所以 DQ⊥平面 PAQ， 所以 DQ⊥AQ. 因为 BC 边上只有一个点 Q 满足 PQ⊥DQ， 所以在矩形 ABCD 中，只有一个点 Q 满足 AQ⊥QD. 所以以 AD 为直径的圆与 BC 相切，所以 BC＝AD＝2AB＝2，即 a＝2 只有一个值．选 A. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把答案 填写在题中横线上) 13．如图，在正方体 AC1 中，AA1 与 B1D 所成角的余弦值是 3 3 . 解析：如图，因为 B1B∥A1A，所以∠BB1D 就是异面直线 AA1 与 B1D 所成的角，连接 BD. 在 Rt△B1BD 中，设棱长为 1，则 B1D＝ 3. cos∠BB1D＝BB1 B1D ＝ 1 3 ＝ 3 3 . 所以 AA1 与 B1D 所成的角的余弦值为 3 3 . 14．过正方体 ABCD—A1B1C1D1 的三个顶点 A1，C1，B 的平面与 底面 ABCD 所在平面的交线为 l，则 l 与 A1C1 的位置关系是平行． 解析：因为过 A1，C1，B 三点的平面与底面 A1B1C1D1 的交线为 A1C1，与底面 ABCD 的交线为 l，由于正方体的两底面互相平行，则 由面面平行的性质定理知 l∥A1C1. 15．如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，D 是 BC 的中点，E 是 A1C1 上一点，且 A1B∥平面 B1DE，则A1E EC1 的值为1 2. 解析：连接 BC1 交 B1D 于点 F，连接 EF.因为平面 A1BC1∩平面 B1DE＝EF，A1B∥平面 B1DE，所以 A1B∥EF，所以A1E EC1 ＝ BF FC1 .因为 BC∥B1C1，所以△BDF∽△C1B1F，所以 BF FC1 ＝ BD B1C1 .因为 D 是 BC 的 中点，所以 BD B1C1 ＝1 2 ，所以A1E EC1 ＝1 2. 16．如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 是棱 CC1 的中点，F 是侧面 BCC1B1 内的动点，且 A1F∥平面 D1AE，若正方体 ABCD－ A1B1C1D1 的棱长是 2，则点 F 的轨迹被正方形 BCC1B1 截得的线段长 是 2. 解析： 如图所示，设平面 AD1E 与直线 BC 交于点 G，连接 AG，EG， 则 G 为 BC 的中点，分别取 B1B，B1C1 的中点 M，N，连接 A1M，MN， A1N，因为 A1M∥D1E，所以 A1M∥平面 D1AE，同理可得 MN∥平面 D1AE，所以平面 A1MN∥平面 D1AE.因为 A1F∥平面 D1AE，所以 A1F 平面 A1MN，所以点 F 的轨迹被正方形截得的线段是 MN，其长度是 2. 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤) 17．(10 分)已知：空间四边形 ABCD 中，如图，E，H 分别是 AB， AD 的中点，F，G 分别是 BC，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝2 3. 求证：(1)E，F，G，H 四点共面； (2)三条直线 EF，GH，AC 交于一点． 证明：(1)在△ABD 和△CBD 中， ∵E，H 分别是 AB 和 AD 的中点，∴EH 綊 1 2BD. 又∵CF CB ＝CG CD ＝2 3 ，∴FG 綊 2 3BD.∴EH∥FG. 所以，E，F，G，H 四点共面． (2)由(1)可知，EH∥FG，且 EH≠FG，即 EF，GH 是梯形的两腰， 所以它们的延长线必相交于一点，设这个交点为 P. ∵E，F∈平面 ABC，∴EF 平面 ABC. ∵P∈EF，∴P∈平面 ABC，同理 P∈平面 ADC， ∵平面 ABC∩平面 ADC＝AC，∴P∈AC， 所以 EF，GH，AC 交于一点． 18．(12 分)如图，已知矩形 ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，M，N， R 分别是 AB，PC，CD 的中点． 求证：(1)直线 AR∥平面 PMC； (2)直线 MN⊥直线 AB. 证明：(1)∵四边形 ABCD 为矩形，M，R 分别为 AB，CD 的中点．∴ AM∥CR 且 AM＝CR. ∴四边形 AMCR 是平行四边形，∴CM∥AR. 又∵AR⃘平面 PCM，CM 平面 PCM， ∴AR∥平面 PMC. (2)连接 MR，NR，如图，在矩形 ABCD 中，AB⊥AD，PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥AB，∴AB⊥平面 PAD. MR∥AD NR∥PD ⇒平面 PAD∥平面 NMR， ∴AB⊥平面 MNR，∴AB⊥MN. 19．(12 分)如图，在三棱锥 P－ABC 中，已知平面 PBC⊥平面 ABC. (1)若 AB⊥BC，CP⊥PB，求证：CP⊥PA； (2)若过点 A 作直线 l⊥平面 ABC，求证：直线 l∥平面 PBC. 证明：(1)因为平面 PBC⊥平面 ABC，平面 PBC∩平面 ABC＝BC， AB 平面 ABC，AB⊥BC，所以 AB⊥平面 PBC.因为 CP 平面 PBC， 所以 CP⊥AB. 又 CP⊥PB，且 PB∩AB＝B，所以 CP⊥平面 PAB. 又 PA 平面 PAB，所以 CP⊥PA. (2)在平面 PBC 内过点 P 作 PD⊥BC，垂足为 D. 因为平面 PBC⊥平面 ABC，且平面 PBC∩平面 ABC＝BC，PD 平面 PBC，所以 PD⊥平面 ABC. 又 l⊥平面 ABC，所以 l∥PD. 又 l⃘平面 PBC，PD 平面 PBC，所以 l∥平面 PBC. 20．(12 分)如图 1，在等腰梯形 CDEF 中，CB，DA 是梯形的高， AE＝BF＝2，AB＝2 2.现将梯形沿 CB，DA 折起，使 EF∥AB，且 EF＝2AB，得一简单组合体 ABCDEF，如图 2 所示，已知 M，N，P 分别为 AF，BD，EF 的中点． (1)求证：MN∥平面 BCF； (2)求证：AP⊥平面 DAE. 证明：(1)在题图 2 中，连接 AC. ∵四边形 ABCD 是矩形，N 为 BD 的中点，∴N 为 AC 的中点． 在△ACF 中，M 为 AF 的中点，∴MN∥CF. ∵CF 平面 BCF，MN 平面 BCF，∴MN∥平面 BCF. (2)依题意，知 DA⊥AB，DA⊥AE，且 AB∩AE＝A，∴AD⊥平面 ABFE. 又 AP 平面 ABFE，∴AP⊥AD. ∵P 为 EF 的中点，∴FP＝AB＝2 2. 又 AB∥EF，∴四边形 ABFP 是平行四边形， ∴AP∥BF，且 AP＝BF＝2. 又 AE＝2，PE＝2 2，∴AP2＋AE2＝PE2， ∴∠EAP＝90°，即 AP⊥AE. 又 AD∩AE＝A，∴AP⊥平面 ADE. 21．(12 分)四棱锥 P－ABCD 的底面与四个侧面的形状和大小如 图所示． (1)写出四棱锥 P－ABCD 中四对线面垂直关系(不要求证明)； (2)在四棱锥 P－ABCD 中，若 E 为 PA 的中点，求证：BE∥平面 PCD. 解： (1)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，AD⊥平面 PAB，BC⊥平面 PAB，AB⊥平面 PAD. (2)证法一：取 PD 的中点 F，连接 EF，CF，如图， ∵E，F 分别是 PA，PD 的中点， ∴EF∥AD，EF＝1 2AD. 在直角梯形 ABCD 中，BC∥AD， 且 BC＝1 2AD，∴EF∥BC，且 EF＝BC. ∴四边形 BEFC 是平行四边形，∴BE∥CF. 又∵CF 平面 PCD，BE⃘平面 PCD， ∴BE∥平面 PCD. 证法二：取 AD 的中点 N，连接 EN，BN，如图， ∵E，N 分别是 PA，AD 的中点， ∴EN∥PD. 又∵EN⃘平面 PCD，∴EN∥平面 PCD. 在直角梯形 ABCD 中，BC∥AD，且 BC＝1 2AD＝DN， ∴四边形 BCDN 是平行四边形，BN∥CD. 又∵BN⃘平面 PCD，∴BN∥平面 PCD. ∵BN∩EN＝N，∴平面 BEN∥平面 PCD. 又 BE 平面 BEN，∴BE∥平面 PCD. 22．(12 分)如图，在三棱锥 A－BCD 中，∠BCD＝90°，BC＝CD ＝1，AB⊥平面 BCD，∠ADB＝60°，E，F 分别是 AC，AD 上的动点， 且AE AC ＝AF AD ＝λ(0<λ<1)． (1)求证：不论λ为何值，恒有平面 BEF⊥平面 ABC； (2)当λ为何值时，平面 BEF⊥平面 ACD? 解：(1)证明：∵AB⊥平面 BCD，∴AB⊥CD. ∵CD⊥BC，且 AB∩BC＝B，∴CD⊥平面 ABC. 又AE AC ＝AF AD ＝λ(0<λ<1)， ∴不论λ为何值，恒有 EF∥CD，∴EF⊥平面 ABC. 又 EF 平面 BEF，∴平面 BEF⊥平面 ABC. ∴不论λ为何值，恒有平面 BEF⊥平面 ABC. (2)由(1)，知 BE⊥EF. 若平面 BEF⊥平面 ACD，又平面 BEF∩平面 ACD＝EF，则 BE ⊥平面 ACD，∴BE⊥AC. ∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，∴BD＝ 2，AB＝ 2tan60°＝ 6，∴AC＝ AB2＋BC2＝ 7. 由 AB2＝AE·AC，得 AE＝ 6 7 ，∴λ＝AE AC ＝6 7 ， 故当λ＝6 7 时，平面 BEF⊥平面 ACD.