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- 2021-06-11 发布
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§11.3
条件概率、二项分布及正态分布
高考数学
考点一 条件概率、相互独立事件及二项分布
1.条件概率及其性质
(1)对于任何两个事件
A
和
B
,在已知事件
A
发生的条件下,事件
B
发生的概率
叫做条件概率,用符号
P
(
B
|
A
)来表示,其公式为
P
(
B
|
A
)=①
.
考点
清单
(2)条件概率具有的性质
(i)0
≤
P
(
B
|
A
)
≤
1;
(ii)如果
B
和
C
是两个互斥事件,则
P
(
B
∪
C
|
A
)=
P
(
B
|
A
)+
P
(
C
|
A
).
2.相互独立事件
(1)对于事件
A
、
B
,若
A
的发生与
B
的发生互不影响,则称
A
、
B
是相互独立事件.
(2)若
A
与
B
相互独立,则
P
(
B
|
A
)=
P
(
B
),
P
(
AB
)=
P
(
B
|
A
)·
P
(
A
)=
P
(
A
)·
P
(
B
).
(3)若
A
与
B
相互独立,则
A
与
,
与
B
,
与
也都相互独立.
(4)若
P
(
AB
)=
P
(
A
)
P
(
B
),则
A
与
B
相互独立.
3.独立重复试验与二项分布
4.二项分布的均值与方差
若
X
~
B
(
n
,
p
),则
EX
=②
np
,
DX
=③
np
(1-
p
)
.
独立重复试验
二项分布
定义
一般地,在相同条件下重复做的
n
次试验称为
n
次独立重复试验
一般地,在
n
次独立重复试验中,设事件
A
发生的次数为
X
,在每次试验中事件
A
发生的概率为
p
,此时称随机变量
X
服从二项分布,记作
X
~
B
(
n
,
p
)
计算
公式
用
A
i
(
i
=1,2,
…
,
n
)表示第
i
次试验结果,则
P
(
A
1
A
2
…
A
n
)=
P
(
A
1
)·
P
(
A
2
)
…
P
(
A
n
)
在
n
次独立重复试验中,事件
A
恰好发生
k
次的概率为
P
(
X
=
k
)=
p
k
(1-
p
)
n
-
k
(
k
=0,1,2,
…
,
n
)
考点二 正态分布
1.正态曲线及其特点
(1)正态曲线的定义
函数
φ
μ
,
σ
(
x
)=
·
,
x
∈(-
∞
,+
∞
)(其中实数
μ
和
σ
(
σ
>0)为参数)的图象为
正态分布密度曲线,简称正态曲线.
(2)正态曲线的特点
(i)曲线位于
x
轴上方且与
x
轴不相交;
(ii)曲线是单峰的,它关于直线④
x
=
μ
对称;
(iii)曲线在
x
=
μ
处达到峰值
;
(iv)曲线与
x
轴之间的面积为1;
(v)当
σ
一定时,曲线随着
μ
的变化而沿
x
轴移动;
(vi)当
μ
一定时,曲线的形状由
σ
确定,
σ
越小,曲线越“瘦高”;
σ
越大,曲线越
“矮胖”.
2.正态分布
(1)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数
a
,
b
(
a
<
b
),随机变量
X
满足
P
(
a
<
X
≤
b
)=
φ
μ
,
σ
(
x
)d
x
,则称
X
的
分布为正态分布,记作⑤
X
~
N
(
μ
,
σ
2
)
.
(2)正态分布的三个常用数据
(i)
P
(
μ
-
σ
<
X
≤
μ
+
σ
)
≈
0.682 7;
(ii)
P
(
μ
-2
σ
<
X
≤
μ
+2
σ
)
≈
0.954 5;
(iii)
P
(
μ
-3
σ
<
X
≤
μ
+3
σ
)
≈
0.997 3.
考法一
独立重复试验及二项分布问题的求解方法
知能拓展
例1
(2018广东顺德一模,19)某市市民用水拟实行阶梯水价,每人月用水
量不超过
w
立方米的部分按4元/立方米收费,超出
w
立方米的部分按10元/
立方米收费,从该市随机调查了100位市民,获得了他们某月的用水量数据,
整理得到如下频率分布直方图,并且前四组频数成等差数列.
(1)求
a
,
b
,
c
的值及居民月用水量在2~2.5内的频数;
(2)根据此次调查,为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米,应将
w
定为
多少?(精确到小数点后2位)
(3)若将频率视为概率,现从该市随机调查3名居民的月用水量,将月用水量
不超过2.5立方米的人数记为
X
,求其分布列及均值.
解题导引
(2)利用频率分布直方图估计
w
.
解析
(1)∵前四组频数成等差数列,
∴所对应的
也成等差数列,
设
a
=0.2+
d
,
b
=0.2+2
d
,
c
=0.2+3
d
,
∴0.5
×
(0.2+0.2+
d
+0.2+2
d
+0.2+3
d
+0.2+
d
+0.1+0.1+0.1)=1,
解得
d
=0.1,∴
a
=0.3,
b
=0.4,
c
=0.5.
居民月用水量在2~2.5内的频率为0.5
×
0.5=0.25.
居民月用水量在2~2.5内的频数为0.25
×
100=25.
(2)由题图及(1)可知,居民月用水量小于2.5的频率为0.7<0.8,∴为使80%以
上居民月用水价格为4元/立方米,应规定
w
=2.5+
×
0.5
≈
2.83.
(3)将频率视为概率,设
A
(单位:立方米)代表居民月用水量,可知
P
(
A
≤
2.5)=
0.7,
由题意,
X
~
B
(3,0.7),
P
(
X
=0)=
×
0.3
3
=0.027,
P
(
X
=1)=
×
0.3
2
×
0.7=0.189,
P
(
X
=2)=
×
0.3
×
0.7
2
=0.441,
P
(
X
=3)=
×
0.7
3
=0.343.
∴
X
的分布列为
∵
X
~
B
(3,0.7),∴
E
(
X
)=
np
=2.1.
X
0
1
2
3
P
0.027
0.189
0.441
0.343
方法总结
1.
n
次独立重复试验中事件
A
恰好发生
k
次的概率求法:
n
次独立重复试验中事件
A
恰好发生
k
次可看作
个互斥事件的和,其中每
一个事件都可看作
k
个
A
事件与(
n
-
k
)个
事件同时发生,只是发生的次序不
同,其发生的概率都是
p
k
(1-
p
)
n
-
k
(其中
p
为在一次试验中事件
A
发生的概率).
因此,
n
次独立重复试验中事件
A
恰好发生
k
次的概率为
p
k
(1-
p
)
n
-
k
.
2.写二项分布时,首先确定随机变量
X
的取值,然后用公式
P
(
X
=
k
)=
p
k
(1-
p
)
n
-
k
计算概率即可.
3.若离散型随机变量
X
~
B
(
n
,
p
),则
E
(
X
)=
np
,
D
(
X
)=
np
(1-
p
),即其均值和方差的
求解既可以利用定义,也可以直接代入上述公式.
考法二
正态分布问题的解题方法
例2
(2018河北石家庄新华模拟,19)“过大年,吃水饺”是我国不少地方
过春节的一大习俗.2018年春节前夕,
A
市某质检部门随机抽取了100包某
种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标值,所得频率分布直方图如下:
(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数
(同一组中
的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值
Z
服从正态分布
N
(
μ
,
σ
2
),
利用该正态分布,求
Z
落在(14.55,38.45)内的概率;
②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4
包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为
X
,求
X
的分布列和数
学期望.
附:计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差为
σ
=
≈
11.95;
若
ξ
~
N
(
μ
,
σ
2
),则
P
(
μ
-
σ
<
ξ
≤
μ
+
σ
)=0.682 6,
P
(
μ
-2
σ
<
ξ
≤
μ
+2
σ
)=0.954 4.
解题导引
解析
(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的平均数
=5
×
0.1+15
×
0.2+25
×
0.3+35
×
0.25+45
×
0.15=26.5.
(2)①∵
Z
服从正态分布
N
(
μ
,
σ
2
),且
μ
=26.5,
σ
≈
11.95,∴
P
(14.55<
Z
<38.45)=
P
(26.5-11.95<
Z
<26.5+11.95)=0.682 6,∴
Z
落在(14.55,38.45)内的概率是0.682 6.
②根据题意得
X
~
B
,
P
(
X
=0)=
=
;
P
(
X
=1)=
=
;
P
(
X
=2)=
=
;
P
(
X
=3)=
=
;
P
(
X
=4)=
=
.∴
X
的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
∴
E
(
X
)=4
×
=2.
方法总结
1.对于正态分布
N
(
μ
,
σ
2
),由
x
=
μ
是正态曲线的对称轴知
(1)
P
(
X
≥
μ
)=
P
(
X
≤
μ
)=0.5;
(2)对任意的
a
有
P
(
X
<
μ
-
a
)=
P
(
X
>
μ
+
a
);
(3)
P
(
X
<
x
0
)=1-
P
(
X
≥
x
0
);
(4)
P
(
a
<
X
<
b
)=
P
(
X
<
b
)-
P
(
X
≤
a
).
2.服从
N
(
μ
,
σ
2
)的随机变量
X
在某个区间内取值的概率的求法:
(1)利用
P
(
μ
-
σ
<
X
≤
μ
+
σ
),
P
(
μ
-2
σ
<
X
≤
μ
+2
σ
),
P
(
μ
-3
σ
<
X
≤
μ
+3
σ
)的值直接求;
(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与
x
轴之间的面积为1这些特殊性质
求解.
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