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- 2021-06-11 发布
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上饶市2019—2020学年度第二学期期末教学质量测试
高二数学(理科)试题卷
命题人:
注意事项:
1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效.
3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,答在本试卷上无效.
4. 本试卷共22题,总分150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知是虚数单位,复数的虚部为(▲ )
A.-1 B. C. D.
2.已知命题,则为( ▲ )
A. B.
C. D.
3.已知向量.若,则x的值为( ▲ )
A. B.2 C.3 D.
4.函数的图象如图所示,则阴影部分的面积是( ▲ )
A. B.
C. D.
5.双曲线的右顶点到该双曲线一条渐近线的距离为( ▲ )
A. B. C. D.1
6.在极坐标系中,点到圆的圆心的距离为( ▲ )
A. B. C. D.
7.下列点在曲线上的是( ▲ )
A. B. C. D.
8.已知平面,,直线l满足,则“”是“”的( ▲ )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9.已知P与Q分别为函数与函数 的图象上一点,则线段的最小值为( ▲ )
A. B. C. D.6
10.魏晋时期数学家刘徽首创割圆术,他在《九章算术》中指出:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣.”这是一种无限与有限的转化过程,比如在正数中的“…”代表无限次重复,设,则可利用方程求得,类似地可得到正数(▲ )
A. B. C.2 D.
11.在正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)中,,,分别为和的中点,当和所成角的余弦值为时,与平面所成角的正弦值为( ▲ )
A. B. C. D.
12.函数 (,e是自然对数的底数,)存在唯一的零点,则实数a的取值范围为( ▲ )
A. B. C D.
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把答案填在答题卡上.
13.已知,,,,类比这些等式,若(,均为正整数),则___▲ ___.
14.__▲ __
15.命题:,使得成立;命题,不等式恒成立.若命题为假,为真,则实数的取值范围为___▲ ___.
16.已知是双曲线右支上一点,分别是双曲线的左、右焦点,为坐标原点,点满足,若.则以为圆心,为半径的圆的面积为___▲ ___.
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的普通方程为,曲线C2参数方程为为参数),以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.
(1)求C1的参数方程和的直角坐标方程;
(2)已知P是C2上参数对应的点,Q为C1上的点,求PQ中点M到直线的距离的最大值.
18.(本小题满分12分)已知抛物线上的点到焦点F的距离为3.
(1)求的值;
(2)过点作直线交抛物线于两点,且点是线段的中点,求直线的方程.
19.(本小题满分12分)已知函数在处有极值1.
(1)求的值;
(2)求函数在上的最大值与最小值().
20.(本小题满分12分)如图,已知多面体的底面是边长为2的菱形,底面, ED∥PA,且,.
(1)证明:平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
21.(本小题满分12分)设椭圆,右顶点是,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设与轴的正半轴交于点,直线与交于两点(不经过点),且,证明:直线经过定点,并写出该定点的坐标.
22.(本小题满分12分)已知函数.
(1)当求的单调区间;
(2)若函数有两个极值点且恒成立,求实数的取值范围.
上饶市2019—2020学年度下学期期末教学质量测试
高二数学(理科)参考答案
一、选择题:共12小题,每小题5分,满分60分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A、C
B
A
C
A
A
D
B
C
D
B、C
D
二、填空题
13、71 14、 15、 16、
三、解答题
17.【解析】(1)的参数方程为(为参数);……………………3分
的直角坐标方程为.……………………5分
(2) 由题设可知,……………………6分
(3) 由(1)可设,于是.………………7分
到直线距离,……………………8分
当时,取最大值.……………………10分
18.【解析】(1)由抛物线焦半径公式知:,解得:,………………2分
,,解得:.……………………5分
(2)设,,
则,两式作差得:,……………………6分
,……………………8分
为的中点,,,……………………10分
直线的方程为:,即.……………………12分
19【解析】(1)由题可知,,的定义域为,
, ……………………1分
由于在处有极值,
则,即,……………………3分
解得:,.……………………5分
(2) 由(1)可知,其定义域是,
……………………6分
令,而,解得,……………………7分
由,得;由,得,……………………8分
则在区间上,,,的变化情况表如下:
1
2
0
单调递减
单调递增
可得, ……………………10分
,,
由于,则,
所以,……………………11分
函数在区间上的最大值为,最小值为1.……………………12分
20.【解析】(1)证明:连接,交于点,设中点为,连接,.……1分
因为,分别为,的中点,
所以,且,
因为,且,
所以,且.
所以四边形为平行四边形,所以,即.……2分
因为平面,平面,所以.……………………3分
因为是菱形,所以.
因为,所以平面.
因为,所以平面. ……………………5分
因为平面,所以平面平面.……………………6分
(向量法证明亦可)
(2)因为.
所以,故△为等边三角形.
设的中点为,连接,则.
以为原点,,,分别为
轴,建立空间直角坐标系(如图).
则,,,,
,,.……………………7分
设平面的法向量为,
则即
则所以. ……………………9分
平面的一个法向量为,……………………10分
设二面角的大小为,由于为锐角,
所以.……………………11分
所以二面角的余弦值为.……………………12分
21.【解析】
(1)右顶点是,离心率为,
所以,……………………2分
∴,则,……………………3分
∴椭圆的标准方程为.……………………4分
(2)由已知得,由得,……………5分
当时,设,,则,,……………6分
,,……………7分
由得,…………………8分
即,…………10分
所以,解得或,……………………11分
①当时,直线经过点,不符合题意,舍去.
②当时,显然有,直线经过定点.……………………12分
22.【解析】(1)的定义域为,求导得,…1分
令,得,解得,……………………2分
当时,,故在上单调递减。……………………3分
当时,,故在上单调递增。……………………4分
综上,的单调递减区间为;的单调递增区间为.………………5分
(2)的定义域为,求导得,……………6分
有两个极值点时,等价于方程的有两个不等正根
,,,,……………………7分
此时不等式恒成立,等价于对恒成立,
可化为恒成立,………………8分
令,
则,
,,,
在恒成立,在上单调递减,
,
. 故实数的取值范围是.……………………12分
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