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- 2021-06-11 发布
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数学学业水平复习知识点
第一章 集合与简易逻辑
1、集合
(1)、定义:某些指定的对象集在一起叫集合;集合中的每个对象叫集合的元素。
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性;表示一个集合要用{ }。
(2)、集合的表示法:列举法()、描述法()、图示法();
(3)、集合的分类:有限集、无限集和空集(记作,是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集);
(4)、元素 a和集合 A之间的关系:a∈A,或 aA;
(5)、常用数集:自然数集:N ;正整数集:N;整数集:Z ;整数:Z;有理数集:Q;实数集:R。
2、子集
(1)、定义:A中的任何元素都属于 B,则 A叫 B的子集 ;记作:AB,
注意:AB时,A有两种情况:A=φ与 A≠φ
(2)、性质:①、 AAA , ;②、若 CBBA , ,则 CA ;③、若 ABBA , 则 A=B ;
3、真子集
(1)、定义:A是 B的子集 ,且 B中至少有一个元素不属于 A;记作: BA ;
(2)、性质:①、 AA , ;②、若 CBBA , ,则 CA ;
4、补集
①、定义:记作: },|{ AxUxxACU 且 ;
②、性质: AACCUACAACA UUUU )(,, ;
5、交集与并集
(1)、交集: }|{ BxAxxBA 且
性质:①、 AAAA , ②、若 BBA ,则 AB
(2)、并集: }|{ BxAxxBA 或
性质:①、 AAAAA , ②、若 BBA ,则 BA
6、一元二次不等式的解法:(二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系)
AACU
A
B
BA
判别式:△=b2-4ac 0 0 0
二次函数
)0()( 2 acbxaxxf
的图象
一元二次方程
)0(02 acbxax 的根
有两相异实数根
)(, 2121 xxxx
有两相等实数根
a
bxx
221
没有实数根
一元二次不等式
)0(02 acbxax 的解集
},|{ 21 xxxxx
“>”取两边
}
2
|{
a
bxx R
一元二次不等式
)0(02 acbxax 的解集
}|{ 21 xxxx
“<”取中间
不等式解集的边界值是相应方程的解
含参数的不等式 ax 2
+b x+c>0恒成立问题 含参不等式 ax 2
+b x+c>0的解集是 R;
其解答分 a=0(验证 bx+c>0是否恒成立)、a≠0(a<0且△<0)两种情况。
第二章 函数
1、映射:按照某种对应法则 f ,集合 A中的任何一个元素,在 B中都有唯一确定的元素和它对应,
记作 f:A→B,若 BbAa , ,且元素 a和元素 b对应,那么 b叫 a的象,a叫 b的原象。
2、函数:(1)、定义:设 A,B是非空数集,若按某种确定的对应关系 f,对于集合 A中的任意一个数 x,
集合 B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,就称 f:A→B为集合 A到集合 B的一个函数,记作 y=f(x),
(2)、函数的三要素:定义域,值域,对应法则;自变量 x的取值范围叫函数的定义域,函数值 f(x)的
范围叫函数的值域,定义域和值域都要用集合或区间表示;
(3)、函数的表示法常用:解析法,列表法,图象法(画图象的三个步骤:列表、描点、连线);
(4)、区间:满足不等式 bxa 的实数 x的集合叫闭区间,表示为:[a ,b]
满足不等式 bxa 的实数 x的集合叫开区间,表示为:(a ,b)
满足不等式 bxa 或 bxa 的实数 x的集合叫半开半闭区间,分别表示为:[a ,b)或(a ,b];
(5)、求定义域的一般方法:①、整式:全体实数,例一次函数、二次函数的定义域为 R;
x1 x2 x
y
O
x1=x2
x
y
O
x
y
O
②、分式:分母 0 ,0次幂:底数 0 ,例:
|3|2
1
x
y
③、偶次根式:被开方式 0 ,例:
225 xy
④、对数:真数 0 ,例: )11(log
x
y a
(6)、求值域的一般方法:①、图象观察法:
||2.0 xy
②、单调函数:代入求值法: ]3,
3
1[),13(log 2 xxy
③、二次函数:配方法: )5,1[,42 xxxy , 222 xxy
④、“一次”分式:反函数法:
12
x
xy
⑤、“对称”分式:分离常数法:
x
xy
sin2
sin2
⑥、换元法: xxy 21
(7)、求 f(x)的一般方法:
①、待定系数法:一次函数 f(x),且满足 172)1(2)1(3 xxfxf ,求 f(x)
②、配凑法: ,1)1( 2
2
x
x
x
xf 求 f(x)
③、换元法: xxxf 2)1( ,求 f(x)
④、解方程(方程组):定义在(-1,0)∪(0,1)的函数 f(x)满足
x
xfxf 1)()(2 ,求 f(x)
3、函数的单调性:
(1)、定义:区间 D上任意两个值 21 , xx ,若 21 xx 时有 )()( 21 xfxf ,称 )(xf 为 D上增函数;
若 21 xx 时有 )()( 21 xfxf ,称 )(xf 为 D上减函数。(一致为增,不同为减)
(2)、区间 D叫函数 )(xf 的单调区间,单调区间定义域;
(3)、判断单调性的一般步骤:①、设,②、作差,③、变形,④、下结论
(4)、复合函数 )]([ xhfy 的单调性:内外一致为增,内外不同为减;
4、反函数:函数 )(xfy 的反函数为 )(1 xfy ;函数 )(xfy 和 )(1 xfy 互为反函数;
反函数的求法:①、由 )(xfy ,解出 )(1 yfx ,②、 yx, 互换,写成 )(1 xfy ,③、写出 )(1 xfy
的定义域(即原函数的值域);
反函数的性质:函数 )(xfy 的定义域、值域分别是其反函数 )(1 xfy 的值域、定义域;
函数 )(xfy 的图象和它的反函数 )(1 xfy 的图象关于直线 xy 对称;
点(a,b)关于直线 xy 的对称点为(b,a);
5、指数及其运算性质:(1)、如果一个数的 n次方根等于 a( *,1 Nnn ),那么这个数叫 a的 n次方根;
n a叫根式,当 n为奇数时, aan n ;当 n为偶数时,
)0(
)0(
||
aa
aa
aan n
(2)、分数指数幂:正分数指数幂:
n mn
m
aa ;负分数指数幂:
n
m
n
m
a
a 1
0的正分数指数幂等于 1,0的负分数指数幂没有意义(0的负数指数幂没有意义);
(3)、运算性质:当 Qsrba ,,0,0 时:
rrrrssrsrsr baabaaaaa )(,)(, , rr aa
1
;
6、对数及其运算性质:(1)、定义:如果 )1,0( aaNa b ,数 b叫以 a为底 N的对数,记作 bNa log ,
其中 a叫底数,N叫真数,以 10为底叫常用对数:记为 lgN,以 e=2.7182828…为底叫自然对数:记为 lnN
(2)、性质:①:负数和零没有对数,②、1的对数等于 0: 01log a ,③、底的对数等于 1: 1log aa ,
④、积的对数: NMMN aaa loglog)(log , 商的对数: NM
N
M
aaa logloglog ,
幂的对数: MnM a
n
a loglog , 方根的对数: M
n
M a
n
a log1log ,
7、指数函数和对数函数的图象性质
函数 指数函数 对数函数
定义 xay ( 10 aa 且 ) xy alog ( 10 aa 且 )
图象
(非奇非偶)
a>1 01 0”取两边,“<”取中间
绝对值不等式:含一个绝对值符号的:“>”取两边,“<”取中间
含两个绝对值符号的: 零点分段讨论法(注意取“交”,还是取“并”)
高次不等式的解法:根轴法 (重根:奇穿偶不穿)
分式不等式的解法:移项、通分、根轴法
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