2020高中数学 第一章组合与组合数公式 7页

第1课时　组合与组合数公式 学习目标：1.理解组合与组合数的概念．(重点)2.会推导组合数公式，并会应用公式求值．(重点)3.理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明．(难点、易混点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．组合的概念 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．‎ 思考：怎样理解组合，它与排列有何区别？‎ ‎[提示]　(1)组合要求n个元素是不同的，被取的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出．‎ ‎(2)取出的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有位置的要求，无序性是组合的特点．‎ ‎(3)辨别一个问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则就是组合问题．‎ ‎2．组合数的概念 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．‎ 思考：如何理解组合与组合数这两个概念？‎ ‎[提示]　同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组合”与“组合数”也是两个不同的概念，“组合”是指“从n个不同元素中取m(m≤n)个元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数．例如，从3个不同元素a，b，c中每次取出两个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫一个组合，这些组合共有3个，则组合数为3.‎ ‎3．组合数公式及其性质 ‎(1)公式：C＝＝.‎ ‎(2)性质：C＝C_，C＋C＝C.‎ ‎(3)规定：C＝1.‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同． (　　)‎ ‎(2)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C. (　　)‎ ‎(3)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题． (　　)‎ 7‎ ‎(4)从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法． (　　)‎ ‎(5)现有4枚2015年抗战胜利70周年纪念币送给10人中的4人留念，有多少种送法是排列问题． (　　)‎ ‎[解析]　(1)√　因为只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．‎ ‎(2)√　由组合数的定义可知正确．‎ ‎(3)×　因为选出2名同学还要分到不同的两个乡镇，这是排列问题．‎ ‎(4)√　因为从甲、乙、丙3人中选两名有：甲乙，甲丙，乙丙，共3个组合，即有3种不同选法．‎ ‎(5)×　因为将4枚纪念币送与4人并无顺序，故该问题是组合问题．‎ ‎[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×‎ ‎2．若C＝28，则n＝(　　) ‎ ‎【导学号：95032046】‎ A．9　　　　　　　　 B．8‎ C．7 D．6‎ B　[C＝＝28，解得n＝8.]‎ ‎3．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是________．‎ ‎3　[甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为C＝＝3.]‎ ‎4．C＝________，C＝________. ‎ ‎【导学号：95032047】‎ ‎15　18　[C＝＝15，C＝C＝18.]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 组合的概念 ‎　(1)判断下列问题是组合问题还是排列问题：‎ ‎①设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？‎ ‎②某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？‎ ‎③2018年元旦期间，某班10名同学互送贺年卡，表示新年的祝福，贺年卡共有多少张？‎ ‎(2)已知A，B，C，D，E五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合. ‎ ‎【导学号：95032048】‎ 7‎ ‎[思路点拨]　要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关．‎ ‎[解]　(1)①因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．‎ ‎②因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．‎ ‎③甲写给乙贺卡，与乙写给甲贺卡是不同的，所以与顺序有关，是排列问题．‎ ‎(2)可按AB→AC→AD→BC→BD→CD顺序写出，即 所以所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.‎ ‎[规律方法]‎ ‎1．区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无“顺序”，有顺序就是排列问题，而无顺序就是组合问题．而要判定它是否有顺序的方法是：先将元素取出来，看交换元素的顺序对结果有无影响，有影响就是“有序”，也就是排列问题；没有影响就是“无序”，也就是组合问题．‎ ‎2．写组合时，一般先将元素按一定的顺序排好，然后按照顺序用图示的方法逐个地将各个组合表示出来，如本题的作法，这样做直观、明了、清楚，以防重复和遗漏．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．(1)判断下列问题是排列问题还是组合问题：‎ ‎①把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？‎ ‎②从2,3,5,7,11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？‎ ‎③从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？‎ ‎(2)已知a，b，c，d这四个元素，写出每次取出2个元素的所有组合．‎ ‎[解]　(1)①是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．‎ ‎②是排列问题，选出的2个数作分子或分母，结果是不同的．‎ ‎③是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序．‎ ‎(2)可按a→b→c→d顺序写出，即 所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd.‎ 7‎ 组合数公式的应用 ‎　(1)计算C－C·A；‎ ‎(2)计算C＋C. ‎ ‎【导学号：95032049】‎ ‎[思路探究]　解答此类问题要恰当选择组合数公式，并注意使用组合数公式的隐含条件．‎ ‎[解]　(1)原式＝－·(3×2×1)＝210－210＝0.‎ 当n＝4时，原式＝C＋C＝5，‎ 当n＝5时，原式＝C＋C＝16.‎ ‎[规律方法]‎ ‎1．在具体选择公式时，要根据原题的特点，一般地，公式C＝常用于n为具体数的数目，偏向于组合数的计算，公式C＝常用于n为字母的题目，偏向于解不等式或证明恒等式．‎ ‎2．解题时，一定不要忘记组合数的意义．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．求值：C＋C.‎ ‎[解]　由组合数的公式的性质，‎ 解得n＝6.‎ 所以，原式＝C＋C ‎＝C＋C ‎＝12＋19＝31.‎ 组合数的性质应用 ‎[探究问题]‎ 7‎ ‎1．试用两种方法求：从a，b，c，d，e 5人中选出3人参加数学竞赛，2人参加英语竞赛，共有多少种选法？你有什么发现？你能得到一般结论吗？‎ ‎[提示]　法一：从5人中选出3人参加数学竞赛，剩余2人参加英语竞赛，共C＝＝10(种)选法．‎ 法二：从5人中选出2人参加英语竞赛，剩余3人参加数学竞赛，共C＝＝10(种)不同选法．‎ 经求解发现C＝C.推广到一般结论有C＝C.‎ ‎2．从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛，共有多少种选法？‎ ‎[提示]　共有C＝＝210(种)选法．‎ ‎3．在探究2中，若队长必须参加，有多少种选法？若队长不能参加有多少种选法？由探究2、3，你发现什么结论？你能推广到一般结论吗？‎ ‎[提示]　若队长必须参加，共C＝126(种)选法．若队长不能参加，共C＝84(种)选法．‎ 由探究2、3发现从10名队员中选出6人可分为队长参赛与队长不参赛两类，由分类加法计数原理可得：C＝C＋C.‎ 一般地：C＝C＋C.‎ ‎　(1)计算：C＋C＋C＝________；‎ ‎(2)若C>C，则n的取值集合是________. ‎ ‎【导学号：95032050】‎ ‎[思路探究]　恰当选择组合数的性质进行求值、解方程与解不等式．‎ ‎(1)5 050　(2){6,7,8,9}　[(1)C＋C＋C＝C＋C＝C＝C＝＝5 050.‎ ‎(2)由C>C，得>，所以n2－9n－10<0，得－1