高中数学第二章2-1-2演绎推理练习新人教B版选修2-2 6页

湖南省新田县第一中学高中数学 第二章 2.1.2 演绎推理练习 新人 教 B 版选修 2-2 班级___________ 姓名___________学号___________ 1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )． A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B＝180° B．某校高三 1 班有 55 人，2 班有 54 人，3 班有 52 人，由此得高三所有班人数超过 50 人 C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 D．在数列{an}中，a1＝1，an＝1 2 an－1＋ 1 an－1 (n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式 2．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的， ③这艘船是准时起航的”中的“小前提”是( )． A．① B．② C．①② D．③ 3．“因对数函数 y＝logax 是增函数(大前提)，而 y＝ x 3 1log 是对数函数(小前提)，所以 y ＝ x 3 1log 是增函数(结论)．”上面推理错误的是( )． A．大前提错导致结论错 B．小前提错导致结论错 C．推理形式错导致结论错 D．大前提和小前提都错导致结论错 4．已知三条不重合的直线 m、n、l，两个不重合的平面α、β，有下列命题： ①若 m∥n，n⊂α，则 m∥α； ②若 l⊥α，m⊥β且 l∥m，则α∥β； ③若 m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β； ④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则 n⊥α. 其中正确的命题个数是( )． A．1 B．2 C．3 D．4 5．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边 a，b，c 应满足的条 件是 a2________b2＋c2(填“>”“<”或“＝”)． 6．在推理“因为 y＝sin x 是 0，π 2 上的增函数，所以 sin3 7 π>sin2π 5 ”中，大前提为 _____________________________________________________； 小前提为_________________________________________________； 结论为________________________________________________________． 7．“如图，在△ABC 中，AC >BC，CD 是 AB 边上的高，求证：∠ACD>BCD”． 证明：在△ABC 中 ， 因为 CD⊥AB，AC>BC，① 所以 AD>BD，② 于是∠ACD>∠BCD.③ 则在上面证明的过程中错误的是________．(只填序号) 8．用三段论证明：直角三角形两锐角之和为 90°. 1．下面几种推理过程是演绎推理的是 ( )． A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B＝180° B．某校高三 1 班有 55 人，2 班有 54 人，3 班有 52 人，由此得高三所有班人数超过 50 人 C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 D．在数列{an}中，a1＝1，an＝1 2 an－1＋ 1 an－1 (n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式 解析 C 是类比推理，B 与 D 均为归纳推理． 答案 A 2．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的， ③这艘船是准时起航的”中的“小前提”是 ( )． A．① B．② C．①② D．③ 解析 大前提为①，小前提为③，结论为②. 答案 D 3．“因对数函数 y＝logax 是增函数(大前提)，而 y＝ x 是对数函数(小前提)，所以 y ＝ x 是增函数(结论)．”上面推理错误的是 ( )． A．大前提错导致结论错 B．小前提错导致结论错 C．推理形式错导致结论错 D．大前提和小前提都错导致结论错 解析 y＝logax，当 a>1 时，函数是增函数；当 0”“<”或“＝”)． 解析 由 cos A＝b2＋c2－a2 2bc <0 知 b2＋c2－a2<0， 故 a2>b2＋c2. 答案 > 5．在推理“因为 y＝sin x 是 0，π 2 上的增函数，所以 sin3 7 π>sin2π 5 ”中，大前提为 _____________________________________________________； 小前提为_________________________________________________； 结论为________________________________________________________． 答案 y＝sin x 是 0，π 2 上的增函数 3 7 π、2π 5 ∈ 0，π 2 且3π 7 >2π 5 sin3π 7 >sin2π 5 6．用三段论证明：直角三角形两锐角之和为 90°. 证明 因为任意三角形内角之和为 180°(大前提)，而直角三角形是三角形(小前提)， 所以直角三角形内角之和为 180°(结论)． 设直角三角形两个锐角分别为∠A、∠B，则有∠A＋∠B＋90°＝180°，因为等量减等 量差相等(大前提)，(∠A＋∠B＋90°)－90°＝180°－90°(小前提)，所以∠A＋∠B ＝90°(结论)． 综合提高 限时 25 分钟 7．“所有 9 的倍数(M)都是 3 的倍数(P)，某奇数(S)是 9 的倍数(M)，故某奇数(S)是 3 的倍 数(P)．”上述推理是 ( )． A．小前提错 B．结论错 C．正确的 D．大前提错 解析 由三段论推理概念知推理正确． 答案 C 8．已知三条不重合的直线 m、n、l，两个不重合的平面α、β，有下列命题： ①若 m∥n，n⊂α，则 m∥α； ②若 l⊥α，m⊥β且 l∥m，则α∥β； ③若 m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β； ④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则 n⊥α. 其中正确的命题个数是 ( )． A．1 B．2 C．3 D．4 解析 ①中，m 还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m 与 n 相交时才成立，③ 错误；④正确．故选 B. 答案 B 9．函数 y＝2x＋5 的图象是一条直线，用三段论表示为： 大前提 __________________________________________________； 小前提 _______________________________________________________； 结论 _______________________________________________________. 答案 一次函数的图象是一条直线 函数 y＝2x＋5 是一次函数 函数 y＝2x＋5 的图象 是一条直线 10．“如图，在△ABC 中，AC >BC，CD 是 AB 边上的高，求证：∠ACD>BCD”． 证明：在△ABC 中 ， 因为 CD⊥AB，AC>BC，① 所以 AD>BD，② 于是∠ACD>∠BCD.③ 则在上面证明的过程中错误的是________．(只填序号) 解析 由 AD>BD，得到∠ACD>∠BCD 的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大 角”，小前提是“AD>BD”，而 AD 与 BD 不在同一三角形中，故③错误． 答案 ③ 11．已知函数 f(x)，对任意 x，y∈R 都有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且 x>0 时，f(x)<0，f(1) ＝－2. (1)求证：f(x)为奇函数； (2)求 f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值． (1)证明 ∵x，y∈R 时，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)， ∴令 x＝y＝0 得，f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0. 令 y＝－x，则 f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0， ∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数． (2)解 设 x1，x2∈R 且 x10 时，f(x)<0，∴f(x2－x1)<0， 即 f(x2)－f(x1)<0，∴f(x)为减函数． ∴f(x)在[－3,3]上的最大值为 f(－3)，最小值为 f(3)． ∵f(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6， f(－3)＝－f(3)＝6， ∴函数 f(x)在[－3,3]上的最大值为 6，最小值为－6. 12．(创新拓展)设 F1、F2 分别为椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，已知椭圆 具有性质：若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点，点 P 是椭圆上任意一点，当直线 PM，PN 的斜率都存在，并记为 kPM，kPN 时，那么 kPM 与 kPN 之积是与点 P 位置无关的定值．试 对双曲线x2 a2－y2 b2＝1 写出具有类似特征的性质，并加以证明． 解 类似的性质为：若 M、N 是双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a＞0，b＞0)关于原点对称的两个点， 点 P 是双曲线上任意一点，当直线 PM，PN 的斜率都存在，并记为 kPM，kPN 时，那么 kPM 与 kPN 之积是与点 P 位置无关的定值．证明如下： 可设点 M(m，n)，则点 N 的坐标为(－m，－n)， 有m2 a2－n2 b2＝1. 又设点 P(x，y)，则由 kPM＝y－n x－m ，kPN＝y＋n x＋m ， 得 kPM·kPN＝y－n x－m ·y＋n x＋m ＝y2－n2 x2－m2. 把 y2＝b2x2 a2 －b2，n2＝b2m2 a2 －b2 代入上式， 得 kPM·kPN＝b2 a2.