湖南师大附中2020届高三摸底考试数学（理）答案 6页

书书书 高三摸底考试!附中版"理科数学参考答案!"!!!! 湖南师大附中#$#$届高三摸底考试 数学!理科"参考答案 一#选择题 题!号 " # % & ' ( ) * + "$ "" "# 答!案 , , - . / , . / / . , / "!,!$解析%0"1 # #"!"+& '#$ ($1&###$ 槡! %或#"槡%'(2"%$1 ###"槡& '% (故选,! #!,!$解析%设复数%1#3&4(则)#%3&4#1##3!&3&"4#1 ##3!&3&"槡 #( #%34#1##3!&3""4#1 ##3!&3""槡 #( 结合题意有)##3!&3&"#1&##3&!&3""#( 整理可得)##3
&! 即复数%对应点的轨迹是圆!故选,! %!-!$解析%因为#&!$(""(所以'$$!因为! #""(所以$$($"( 因为#&!$(""(所以"$)$%(所以'$($)(故选 -! &!.!$解析%对于")双曲线&# +!## &1"的渐近线方程应是&15% ##(故"错* 对于#)双曲线的焦点为!!#($"#!#($"( #'1# !#3#"#3!%!$"槡 #! !#!#"#3!%!$"槡 ##1#('1"(从而离心率*1#(所以#正确* 对于$)+!5)($"(,!$(5("(+, 的中点坐标 5) #(5(! "# 均不满足其渐近线方程(所以$正确!故选.! '!/ (!, )!.!$解析%由题意可知)#!!"##1!#!#"!!3"#1%!#"!!1#(解得)"!!1" #( 2678+"(!,1 "!! #"##!#1 " 槡# # 1槡# &! *!/!$解析%-1"时(.1" #(/1#3#1&(-1#( -1#时(.1" #3" &(/1&3#1((-1%( " -1"*时(.1" #3" &3"3" %((/1%(3#1%*(-1"+( 此时-1"+不满足条件! 即-'"*满足条件(-1"+不满足条件! 故条件为-$"+( 故选/! +!/!$解析%依题意有 $$#3&!"'"( #($( &($ ) * + ( 作出可行域(易求得#!&的最大值和最小值分别为#和!#(选/! "$!.!$解析%由题设可得0!""1"(0!/3""1#0!/"3"(所以0!("1(%! 高三摸底考试!附中版"理科数学参考答案!#!!!! ""!,!$解析%0函数0!#"1#678##!#($"的图象与过原点的直线恰有四个交点( 2直线与函数0!#"1#678##!#($"在区间 %! #(#! "! 内的图象相切(在区间 %! #(#! "! 上(0!#"的解析式为 0!#"1678#(故由题意切点坐标为!!(678!"( 2切线斜率11&21!849###1!1!849!( 2由点斜式得切线方程为)&!678!1!849!!#!!"( 即&1!#849!3!849!3678!( 0直线过原点(2!849!3678!1$(得!1! " :;9!( 2 #! !"3!#"849#!1 !# " :;9! "3 " :;9#! "! #849!678! 1!#:;9! #849! 678! 1!"! 故选,! "#!/!$解析%在正方体3,45!3","4"5" 中(每条棱在平面"的正投影的长度都相等,每条棱所在直线与 平面"所成的角都相等,棱3,#35#33" 所在直线与平面"所成的角都相等(易知三棱锥3!3",5 是正 三棱锥(直线3,#35#33" 与平面3",5 所成的角都相等!过顶点3 作平面"-平面3",5(则直线3,# 35#33" 与平面"所成的角都相等!同理(过顶点3 分别作平面"与平面4",5#平面,"34#平面5"34 平 行(直线3,#35#33" 与平面"所成的角都相等!所以这样的平面"可以作&个(故选/! 二#填空题 "%!&1!#3#$#$!$解析%求导函数可得02!#"1<#!#( 当#1$时(02!$"1<$!#1!"( 00!$"1<$!$3#$"+1#$#$(2切点为!$(#$#$"( 2曲线0!#"1<#!##3#$"+在点!$(0!$""处的切线方程是&!#$#$1!#( 故答案为&1!#3#$#$! "&!%(!$解析%由题意得 "$ %'"!6#1'"!63'"6% .'1'"!"!6'" "!6 ) * + 1&*& (解得61%('"1&(2'%1'"!6#1%(! "'!槡#!$解析%过7 点作准线的垂线(垂足为,(则由抛物线的定义可得#7+#1 #7,#(由849.7+"1#849.7"+(在 /7+" 中由正弦定理可知)#7"#1 ##7+#( 所以#7"#1##7,#(所以" # 1#7,# #7"#( 设7" 的倾斜角为"(则849"1" # ( 当#取得最大值时(849"最小(此时直线7" 与抛物线相切( 设直线7" 的方程为&11#!8 #(则 ##1#8& &11#!8) * + # ( 即##!#81#38#1$( 所以$1&8#1#!&8#1$( 所以115"(即:;9"15"( 则849"1槡# #( 高三摸底考试!附中版"理科数学参考答案!%!!!! 则#的最大值为 " 849" 槡1 #! "(!!!=((-0."#(3="!$解析%由题意可知(进行两次操作后(可得如下情况) 当'%1#!#'"!("!(1&'"!"*(其出现的概率为! "" # # 1" &( 当'%1" #!#'"!("3(1'"3%(其出现的概率为! "" # # 1" &( 当'%1# '" #! "3( !(1'"3((其出现的概率为! "" # # 1" &( 当'%1" # '" #! "3( 3(1'" &3+(其出现的概率为! "" # # 1" &( 0甲获胜的概率为% &(即'%"'" 的概率为% &( 则满足 &'"!"*''" '" &3+"') * + " 或 &'"!"*"'" '" &3+'') * + " (整理得'"'(或'"("#! 三#解答题 ")!$解析%!""由正弦定理得)!#8494!849,"678318493678,( 即)#8494678318493678,36783849,1849!33,"( 033,341!(2849!33,"184941$( !%分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 267831" #( 03&!$(!"(231! %! !(分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !#"由!""知)./3,4 1" #()84931槡% &()( 由余弦定理得)67831" #1(#3)#!'# #() (#()!"( #() !当且仅当(1)时等号成立"( !+分"!!!!!!!! 2$$()'"(!当且仅当(1)时等号成立"( 2./3,4 的最大值为)槡% & 槡>"(1& %! !"#分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! "*!$解析%!""如图(由题意(得341,4 槡1 #(且3,1#(2,4234! 0742底面3,45(274234( 又074%,414(2342平面7,4( 0343平面934(2平面9342平面7,4! !'分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !#"如图(以4为原点(取3, 中点"(以4"(45(47 所在直线为#(&(%轴建立空 间直角坐标系( 则,!"(!"($"(7!$($(&"(3!"("($"(设9!#(&(%"(且 455,91" % 455,7(得 !#!"(&3"(%"1" %!!"("(&"(即9 # %(!# %(! "& % ( 455431!"("($"(455491 # %(!# %(! "& % ( 设平面934的法向量为#1!#"(&"(%""( 由 45549!#1$( 45543!#& 1$ 即 # %#"!# %&"3& %%"1$ #"3&" ) * + 1$ (令#"1"(得#1 "(!"(! "!" ! 高三摸底考试!附中版"理科数学参考答案!&!!!! 又,4234(且,4274(所以,42平面734( 故平面734的法向量为$1 455,41!!"("($"( 设二面角7!34!9 的平面角为!(则 678!1#678+$(#,#1 #$!## #$#!###1槡( %! !"#分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! "+!$解析%!""这&$名学生测试成绩的平均分#!1)$>#&3*$>"( &$ 1)&! 将:#1" / 6 / -1" !#-!#!"# 变形为:#1" / 6 / -1" !#-!#!"#1" /.!## "3## #3"3## /"!/#!#-! 设第一组学生的测试成绩分别为#"(##(#%("(##&(第二组学生的测试成绩分别为##'(##((##)("(#&$(则 第一组的方差为 :# "1" #&.!## "3## #3"3## #&"!#&>)$#-1&#( 解得## "3## #3"3## #&1#&>!"(3)$#"! 第二组的方差为 :# #1" "(.!## #'3## #(3"3## &$"!"(>*$#-1(#( 解得## #'3## #(3"3## &$1"(>!%(3*$#"! 这&$名学生的方差为 :#1" &$.!## "3## #3"3## #&"3!## #'3## #(3"3## &$"!&$>#!#- 1" &$.#&>!"(3)$#"3"(>!%(3*$#"!&$>)&#-1&*( 所以: 槡 槡1 &*1& %7)! 综上(这&$名学生测试成绩的平均分为)&(标准差为)! !(分"!!!!!!!!!!!!!!!!!! !#"由#!1)&(:7)(得%的估计值为;%1)&(&的估计值;&1)! 由7!%!#&$<$%3#&"1$!+'&&(得7!)&!#>)$<$)&3#>)"1$!+'&&( 即7!($$<$**"1$!+'&&!所以 7!<$($"17!<(**"1" #."!7!($$<$**"-1" #!"!$!+'&&"1$!$##*( 从而(在全校"$$$名学生中(/不合格0的有"$$$>$?$##*1##?*7#%!人"( 而 #% "$$$$ '$ "$$$1'@( 故该校学生/体能达标0预测合格! !"#分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! #$!$解析%!""因为4" 离心率为槡% #(所以'#1&(#( 从而4" 的方程为)## &(#3&# (# 1"!代入7 !!#(""解得)(#1#(因此'#1*! 所以椭圆4" 的方程为)## *3&# #1"! !&分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !#"由题设知3#, 的坐标分别为!!#(!""(!#(""!因此直线=的斜率为" #! 设直线=的方程为)&1" ##3>! 高三摸底考试!附中版"理科数学参考答案!'!!!! 由 &1" ##3> ## *3&# # ) * + 1" 得)##3#>#3#>#!&1$( 当$"$时(不妨设4!#"(&""(5!##(&#"(于是#"3##1!#>(#"##1#>#!&( 设直线75#79 的斜率分别为1"(1#(则要证直线75#79 与& 轴围成的三角形是等腰三角形(只需证1"3 1#1$( !*分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 又1"31#1&#!" ##3#3!&"!" !#"3#1!&#!""!#!#""!!#3##"!&"3"" !#3##"!#!#"" ( 则只需证!&#!""!#!#""!!#3##"!&"3""1$( 而!&#!""!#!#""!!#3##"!&"3""1#!&#!&""!!#"##&""3#"!##!& 1##!#"!#"##!>!#"3##"3#"!##!&1!#"##!>!#"3##"!& 1!#>#3&3#>#!&1$( 所以直线75#79 与& 轴围成的三角形是等腰三角形! !"#分"!!!!!!!!!!!!!!!!!! #"!$解析%!""0!#"的定义域为!!=(3="( 02!#"1!2( &1' "% ) * + >2 !>2为参数"( 代入曲线4的普通方程(得>2#!&* "%>23%1$( 由于$1 !&*! ""% # !"#1#)( "(+"$( 故可设点3(, 对应的参数为>2"(>2#( 则 73 !#7,#1#>2"#!#>2##1#>2">2##1%! !"$分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! #%!$解析%证明)!""" ' 3" (3" ) 1'3(3) ' 3'3(3) ( 3'3(3) ) 1( ' 3) ' 3"3' ( 3) ( 3"3' ) 3( ) 3" 1( ' 3' ( 3( ) 3) ( 3' ) 3) ' 3%(+( 当'1(1)时等号成立! !'分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !#"因为" ' 3" (3" ) 1" # " ' 3" (3" ' 3" ) 3" (3"! ") (" #> # "槡'(3# "槡')3# "槡! "() ( 又因为'()1"(所以" '(1)(" ')1((" ()1'(2" ' 3" (3" ) (槡)3槡(3槡'! 当'1(1)时等号成立(即原不等式成立! !"$分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!