2013届人教A版理科数学课时试题及解析（12）变化率与导数、导数的运算 5页

课时作业(十二)　[第12讲　变化率与导数、导数的运算]‎ ‎[时间：45分钟　　分值：100分]‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1． 若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　　)‎ A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0‎ C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0‎ ‎2． 曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)‎ A．e2 B．2e‎2 C．4e2 D. ‎3．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为(　　)‎ A．－ B．‎0 C. D．5‎ ‎4． 若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为(　　)‎ A．1 B. C. D. ‎5．有一机器人的运动方程为s(t)＝t2＋(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为(　　)‎ A. B. C. D. ‎6．y＝的导数是(　　)‎ A. B. C. D. ‎7． 函数f(x)＝excosx的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角的度数为________．‎ ‎8． 已知定义域为D的函数f(x)，如果对任意x1，x2∈D，存在正数K，都有∣f(x1)－f(x2)∣≤K∣x1－x2∣成立，那么称函数f(x)是D上的“倍约束函数”，已知下列函数：①f(x)＝2x；②f(x)＝2sin；③f(x)＝；④f(x)＝lg(2x2＋1)，其中是“倍约束函数”的个数是(　　)‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ ‎9．曲线y＝在点P(1,1)处的切线方程为(　　)‎ A．3x－5y＋2＝0 B．y－x＝0‎ C．5y－3x＝0 D．3x＋5y－8＝0‎ ‎10．一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后t s内列车前进的距离为s＝27t－0.45t2(单位：m)，则列车刹车后________ s车停下来，期间列车前进了________ m.‎ ‎11．如图K12－1所示，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.‎ 图K12－1‎ ‎12．一质点在x轴上运动，其运动规律为x＝e－2tsin(ωt＋φ)(ω，φ为常数)，则t＝时质点运动的速度v＝________.‎ ‎13．下列命题：‎ ‎①若f(x)存在导函数，则f′(2x)＝[f(2x)]′；‎ ‎②若函数h(x)＝cos4x－sin4x，则h′＝0；‎ ‎③若函数g(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)…(x－2 010)(x－2 011)，则g′(2 011)＝2 010！；‎ ‎④若三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，则“a＋b＋c＝‎0”‎是“f(x)有极值点”的充要条件．‎ 其中假命题为________．‎ ‎14．(10分)设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)证明：函数y＝f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；‎ ‎(3)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．‎ ‎15．(13分) 设函数f(x)＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2－3x＋2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.‎ ‎(1)求a、b的值，并写出切线l的方程；‎ ‎(2)若方程f(x)＋g(x)＝mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x10即可，a＋b＋c＝0是b2－‎3ac>0的充分不必要条件，④错．‎ ‎14．[解答] (1)f′(x)＝a－，‎ 于是解得或 因a，b∈Z，故f(x)＝x＋.‎ ‎(2)证明：已知函数y1＝x，y2＝都是奇函数．‎ 所以函数g(x)＝x＋也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．而f(x)＝x－1＋＋1.可知，函数g(x)的图象按向量a＝(1,1)平移，即得到函数f(x)的图象，故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形．‎ ‎(3)证明：在曲线上任取一点.‎ 由f′(x0)＝1－知，过此点的切线方程为 y－＝(x－x0)．‎ 令x＝1得y＝，切线与直线x＝1交点为.‎ 令y＝x得y＝2x0－1，切线与直线y＝x交点为(2x0－1,2x0－1)．‎ 直线x＝1与直线y＝x的交点为(1,1)．‎ 从而所围三角形的面积为|2x0－1－1|＝|2x0－2|＝2.‎ 所以，所围三角形的面积为定值2.‎ ‎15．[解答] (1)f′(x)＝3x2＋4ax＋b，g′(x)＝2x－3，由于曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线，故有f(2)＝g(2)＝0，f′(2)＝g′(2)＝1，由此解得a＝－2，b＝5；‎ 切线l的方程为：x－y－2＝0.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＋g(x)＝x3－3x2＋2x，依题意得：方程x(x2－3x＋2－m)＝0有三个互不相等的根0，x1，x2，故x1，x2是方程x2－3x＋2－m＝0的两个相异实根，所以Δ＝9－4(2－m)>0⇒m>－；‎ 又对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)0，x1x2＝2－m>0，故00，则f(x)＋g(x)－mx＝x(x－x1)(x－x2)≤0；‎ 又f(x1)＋g(x1)－mx1＝0，‎ 所以函数在x∈[x1，x2]上的最大值为0，于是当m<0时对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)0，则x0＝－2±，从而y0＝x＋4x0＋＝，‎ 将上式代入①，化简得x＋2y＋2－‎2a＝0或者x－2y＋2＋‎2a＝0.‎ 若a＝0，则x0＝－2，与x0≠－2矛盾．‎ 若a<0，则②式无解．‎ 综上，当a>0时，在C上有三个点，，，在这三点的法线过点P(－2，a)，其方程分别是x＋2y＋2－‎2a＝0、x－2y＋2＋‎2a＝0、x＝－2；‎ 当a≤0时，在C上有一个点，在这点的法线过点P(－2，a)，其方程为x＝－2.‎ ‎ ‎