福建省厦门外国语学校2020届高三下学期高考最后一次模拟数学（理）试题答案 9页

厦门外国语学校 2020 届高考模拟测试 数学（理）试卷 1. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1. 复数 22 (1 )1 ii   的共轭复数是 （ B ） A. 1 3i B. 1 3i C. 1 3i  D. 1 3i  2. 已知集合  2 2 0,A x x x x R    ，  2 2 4, ,B x x y x R y R     ，则 A B  （ B ） A.  2,0 B.  2,0 C.  0,2 D.  0 2， 3．“ ln lnx y ”是“ 1 1 3 2 x y          ”的 （ A ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4. 为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取 30 名 学生参加环保知识竞赛，得分（10 分制）的 频数分布表如表： 设得分的中位数为 em ，众数为 0m ，平均数为 x ，则（ D ） A. 0em m x  B. 0em m x  C. 0em m x  D. 0 em m x  【详解】由图知，众数是 0 5m  ；中位数是第 15 个数与第 16 个数的平均值， 由图知将数据从大到小排第 15 个数是 5，第 16 个数是 6，所以中位数是 5 6 5.52em   ； 平均数是  1 2 3 3 4 10 5 6 6 3 7 2 8 2 9 2 10 630x                   ；∴ 0 em m x  ． 5. 已知不等式 2 01 x ax   的解集为 ( 2, 1)  ，则二项式 6 2 1ax x     展开式的常数项是（ B ） A． 15 B．15 C． 5 D．5 6．函数   2e 2xf x x x   的图象大致为 （ B ） O x y 1 1 O x y 1 1 y 1 O 1 xO x y 1 1 A B C D 7．已知C 是以 AB 为直径的半圆弧上的动点，O 为圆心，P 为OC 中点，若 4AB  ，则 PA PB PC     A．2 B．1 C． 2 D．4 （ C ） 8．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类：可 得分 3 4 5 6 7 8 9 10 频数 2 3 10 6 3 2 2 2 回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由 9 位同学组成四个宣传小组，其中可回收物 宣传小组有 3 位同学，其余三个宣传小组各有 2 位同学．现从这 9 位同学中选派 5 人到某小区进行宣传 活动，则每个宣传小组至少选派 1 人的概率为 ( D ) A． 2 7 B． 3 7 C． 8 21 D． 10 21 9．已知函数    sin sin cosf x x x x    （ 0 ），若函数  f x 的图象与直线 1y  在 0, 上 有 3 个不同的交点，则 的取值范围是 （ C ） A． 1 3,2 4      B． 1 5,2 4      C． 5 3,4 2      D． 5 5,4 2      【解析】     1 cos2 1 2 1sin sin cos sin 2 sin 22 2 2 4 2 xf x x x x x x                ，  f x 的图象与直线 1y  在 0, 上有 3 个不同交点，即方程 2sin 2 4 2x      在 0, 上有 3 个实根，由  0,x  得 2 ,24 4 4x           ，所以 9 1124 4 4      ，解得 5 3 4 2   . 10．在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，过点 D 作直线l 与异面直线 AC 和 1BC 所成角均为 ，则  的最小值为 （ B ） A 15 B 30 C 45 D 60 11. 已知正项数列 na 中，  2 2 2 1 2 1 1 1 11, 2,2 2 ,n n n n n n a a a a a n b a a          ，记数列  nb 的 前 n 项和为 nS ，则 33S 的值是 （ D ） A． 99 B． 33 C． 4 2 D．3 12．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程 为 32 2 2 2x y x y  ．给出下列四个结论：①曲线 C 有四条对称轴；②曲线 C 上的点到原点的最大距 离为 1 4 ；③曲线 C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为 1 8 ； ④四叶草面积小于 4  ．其中，所有正确结论的序号是 （ C ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④ 【解析】当 x 变为 x 时， 32 2 2 2x y x y  不变，∴四叶草图象关于 y 轴对称； 当 y 变为 y 时， 32 2 2 2x y x y  不变，∴四叶草图象关于 x 轴对称；当 y 变为 x 时， 32 2 2 2x y x y  不变，∴四叶草图象关于 y x 轴对称；当 y 变为 x 时，  32 2 2 2x y x y  不变，∴四叶草图象关于 y x  轴对称；综上可知：有四条对称轴，故①正确；∵ 32 2 2 2x y x y  ，∴   22 232 2 2 2 2 x yx y x y        ，∴ 2 2 1 4x y  ，∴ 2 2 1 2x y  ，取等号时 2 2 1 8x y  ， ∴最大距离为 1 2 ，故②错误；设任意一点  ,P x y ，∴围成的矩形面积为 xy ，∵ 32 2 2 2x y x y  ， ∴    3 32 2 2 2 2x y x y xy   ，∴ 1 8xy  ，取等号时 2 4x y  ，∴围成矩形面积的最大值为 1 8 ， 故③正确；由②可知 2 2 1 4x y  ，∴四叶草包含在圆 2 2 1 4x y  的内部，∵圆的面积为： 1 4 4S    ， ∴四叶草的面积小于 4  ，故④正确，故选 C． 第Ⅱ卷 （非选择题 共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13—21 题为必考题，每个试题考生都必须作答；第 22—23 题为 选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13.已知 nS 是等差数列 na 的前 n 项和，若 5 45 10S a  ，则数列 na 的公差为 ．2 14. 已知双曲线 2 2 2 2 1x y a b   ( 0, 0)a b  的左右顶点分别为 A ， B ，点 P 是双曲线上一点，若 PAB△ 为 等腰三角形， 120PAB   ，则双曲线的离心率为_____. 2 15. 中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相 补原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成 另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不变.利用这个原理，解决下面问题：已知函数 ( )f x 满 足 (4 ) ( )f x f x  ，且当 [0,2]x 时的解析式为 2 2 log (2 ),0 1,( ) log ,1 2 x xf x x x        ，则函数 (y f x ） 在 [0,4]x 时的图像与直线 1y   围成封闭图形的面积是_____ 4 16.已知长方体 1 1 1 1ABCD A B C D ， 3 2AB  ， 2AD  ， 1 2 3AA  ，已知 P 是矩形 ABCD 内一动点， 1PA 与平面 ABCD 所成角为 3  ，设 P 点形成的轨迹长度为 ，则 tan  _________；当 1C P 的长度最 短时，三棱锥 1D DPC 的外接球的表面积为_____________. (1). 3 7 (2). 29 2  【详解】因为长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中 1AA  平面 ABCD ， 所以 1PA 与平面 ABCD 所成角为 1APA , 因为 1PA 与平面 ABCD 所成角为 3  ，所以 1 3APA   因为 1 2 3AA  ，所以 2AP  从而 P 点形成 的轨迹为以 A 为圆心，2 为半径的圆在矩形 ABCD 内一段圆弧 DM ，设其圆心角为 ，则 3 3 32sin tan2 4 7      因此 2 322tan 7tan tan 2 3 791 tan 1 7           因为 2 2 1 1C P CC CP  ,所以CP 最小时， 1C P 长度最短，此时P为AC与上面圆弧 DM 的交点,设 DPC△ 外接圆圆心为 1O ，半径为 r ， 2 2 2 2 2 4cos 532 ( )2 AD ADCAD AC AD DC        则 3 3 2 22 sin sin( ) cos2 2 2 CDr CAD CADCPD      2 2 9 9 9 54 4 4 1 cos 4 8cos 12 2 5 2 r CAD CAD       设三棱锥 1D DPC 的外接球的球心为O，半径为 R , 从而 22 2 2 1 1 5 293 8 8R OO O C     因此球的表面积为 2 294 2R  三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 在 ABC 中，角 A， B ，C 所对的边分别是 a ，b ， c，且 2 2 cosa c b C  . （1）求证：三内角 A ， B ，C 成等差数列； （2）若 3b  ，求 ABC 的周长的最大值. 【解析】（1）由正弦定理得： 2sin sin 2sin cosA C B C   2sin sin 2sin cosB C C B C    即 2cos sin sinB C C  0,C  1cos 2B   0,B  3B   又 A B C    即： 3 3 A B C    2B A C  ，也即 A ， B ，C 成等差数列 （2）由 3b  ， 3B  及余弦定理得 2 2 2 2 cosab c ac B   ， 即      22 2 22 2 2 3 3 2 4 a ca cb a c ac a c ac a c               ，  2 24 12a c b    ， 2 3a c   ，当且仅当 3a c  时，等号成立， 因此， ABC 的周长的最大值为3 3. 18. 已知椭圆C 的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆C 与直线 3 2 4x y  相切于点 1( 3, )2A . （1）求椭圆方程； （2）已知点 ,M N 是椭圆C 上关于原点对称的两点，记 AP AQ    ，求  的取值范围. 【解析】（1） 2 2 14 x y  （2）设  0 0,P x y ，则  0 0,Q x y  ，有 2 20 0 14 x y  ，即 2 2 0 04 4x y  ， 则 0 0 0 0 1 13, 3,2 2AP AQ x y x y                      2 2 2 0 0 0 1 33 34 4x y y      ， 又因为  2 0 0,1y  ， 所以 2 0 3 3 93 ,4 4 4y        . 19：四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，侧面 PAD  底面 ABCD ， 60BCD   ， 2PA PD  ， E 是 BC 中点，点Q 在侧棱 PC 上． （1）若Q 是 PC 中点,求二面角 E DQ C  的余弦值； （2）是否存在 Q ,使 / /PA 平面 DEQ ？若存在，求出 PQ PC 的值； 若不存在，说明理由． 【解析】（1）取 AD 中点 O ，连结 , ,OP OB BD ，因为 PA PD ,所以 PO AD ， 因为菱形 ABCD 中， 60BCD   ，所以 AB BD ，所以 BO AD ． 因为 BO PO O ,且 ,BO PO  平面 POB ,所以 AD  平面 POB ，所以 AD PB ． 因为平面 PAD  平面 ABCD ，且平面 PAD  平面 ABCD AD ,所以 PO  平面 ABCD ． 以 O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系O xyz ． 则  1,0,0D  ,      1, 3,0 , 0,0,1 , 2, 3,0E P C  因为 Q 为 PC 中点，所以 3 11, ,2 2Q      ． 所以  0, 3,0DE  , 3 10, ,2 2DQ        ,所以平面 DEQ 的法向量为  1 1,0,0n ． 因为  1, 3,0DC   , 3 10, ,2 2DQ        ,设平面 DQC 的法向量为  2 , ,x y zn ， 则 2 2 0 0 DC DQ      n n   ,即 3 0 3 1 02 2 x y y z      令 3x  ，则 1, 3y z   ，即  2 3,1, 3 n ， 所以 1 2 1 2 1 2 21cos , 7    n nn n n n ．由图可知，二面角 E DQ C  为锐角，所以余弦值为 21 7 ． （2）设  2 , 3 ,PQ PC        ,所以 2 3 1 x y z            ，即  2 , 3 , 1Q      ． 所以在平面 DEQ 中，    0, 3,0 , 1 2 , 3 ,1DE DQ        , 所以平面 DEQ 的法向量为  1 1 ,0,2 1  n   ， 又因为 PA∥平面 DEQ ,所以 1 0PA n  ， 即     1 1 2 1 0      ，解得 2 3  ．所以当 2 3  时， PA∥平面 DEQ ． 20. 当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.高中联招对初三毕业 学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生 健康成长的有效措施.某地区 2019 年初中毕业生升学体育考试规定，考生必 须参加立定跳远、掷实心球、1 分钟跳绳三项测试，三项考试满分为 50 分， 其中立定跳远 15 分，掷实心球 15 分，1 分钟跳绳 20 分.某学校在初三上期 开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了 100 名学生进行测试，得到如下频率分布直方 图，且规定计分规则如下表： 每分钟跳 绳个数  165,175  175,185  185,195  195,205  205,215 得分 16 17 18 19 20 （Ⅰ）现从样本的 100 名学生中，任意选取 2 人，求两人得分之和不大于 33 分的概率； （Ⅱ）若该校初三年级所有学生的跳绳个数 X 服从正态分布  2,N   ，用样本数据的平均值和方差估计 总体的期望和方差（结果四舍五入到整数），已知样本方差 2 77.8S  （各组数据用中点值代替）.根据 往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设 明年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加 10 个，利用现所得正态分布模型： （ⅰ）预估全年级恰好有 1000 名学生，正式测试时每分钟跳 193 个以上的人数.（结果四舍五入到整数） （ⅱ）若在该地区 2020 年所有初三毕业生中任意选取 3 人，记正式测试时每分钟跳 202 个以上的人数为 ， 求随机变量 的分布列和期望. 附：若随机变量 X 服从正态分布  2,N   ， 77.8 9   ，则   0.6826P X        ，  2 2 0.9544P X        ，  3 3 0.9974P X        解：（Ⅰ）由题意可知，得 16 分的人数为 5 人，得 17 分的人数为 9 人，两人得分之和不大于 33 分，即 两人得分均为 16 分，或两人中 1 人 16 分，1 人 17 分. 所以，两人得分之和不大于 33 分的概率为： 2 1 1 5 5 9 2 100 1 90 C C CP C   . （Ⅱ） 170 0.05 180 0.09 190 0.5 200 0.3 210 0.06 192.3 192X             （个）又 2 77.8  ， 9  ，所以正式测试时， 202  ， 9  .∴ 193   ， 211   . （ⅰ）∴   1 0.6826193 1 0.84132P      ，∴ 0.8413 1000 841.3 841   （人）. （ⅱ）由正态分布模型，在该地区 2020 年初三毕业生中任取 1 人，每分钟跳绳个数 202 以上的概率为 1 2 ， 即 1~ 3, 2B     .∴   0 3 0 3 1 1 10 12 2 8P C              ，   2 1 3 1 1 31 12 2 8P C        ，   2 2 3 1 1 32 12 2 8P C              ，   3 0 3 3 1 1 13 12 2 8P C              ， ∴ 的分布列为  0 1 2 3 P 1 8 3 8 3 8 1 8   1 33 2 2   E  . 21. 已知函数   1xf x e ax   ． （1）讨论  f x 的单调性； （2）设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，  3 3,C x y ， 1 2 3x x x  是曲线  y f x 上任意三点， 求证：        2 1 3 1 2 1 3 1 f x f x f x f x x x x x    【详解】（1）函数  f x 的导函数为   xf x e a   ， 当 0a  时，   0f x  恒成立，  f x 在 R 上单调递增； 当 0a  时，由   0f x  知 lnx a ，所以  f x 在 ,ln a 上单调递减，在 ln ,a  上单调递增． （2） 由题可知：要证        2 1 3 1 2 1 3 1 f x f x f x f x x x x x    ， 需证 32 1 1 2 1 3 1 xx x xe e e e x x x x    ，即需证    3 111 2 1 2 1 3 1 11 x xxx x x e ee e x x x x     设 2 1 1x x t  ， 3 1 2x x t  ， 则需证：当 1 20 t t  时， 1 2 1 2 1 1t te e t t   ， 设    1 0 teg t tt   ，则     2 1 1te tg t t    ， 设    1 1th t e t   ，则   0th t te   ，所以  h t 在 0,  单调递增， 所以    0 0h t h  ，于是   0g t  ，  g t 在其定义域内单调递增， 所以，当 1 2t t 时， 1 2 1 2 1 1t te t t t   ． 所以不等式        2 1 3 1 2 1 3 1 f x f x f x f x x x x x    成立. 请从下面所给的 22、23 两题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑， 按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分。 22．以平面直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为  sin4 ，将曲线 C1 绕极点逆时针旋转 3 2 后得到曲线 C2． （Ⅰ）求曲线 C2 的极坐标方程； 24sin( )3    （Ⅱ）若直线 )(: Rl   与 C1，C2 分别相交于异于极点的 A，B 两点，求 AB 的最大值. 4 3 23.已知函数   1f x x  . （1）求不等式   4 2 3f x x   的解集；  0 2x x  （2）若正数 m 、 n满足 2m n mn  ，求证：    2 8f m f n   . 备用： 11．已知函数  f x 满足    2 2 1 lnx f x xf x x    ，   1f e e  ，当 0x  时，下列说法正确的是 ①  f x 只有一个零点； ②  f x 有两个零点； ③  f x 有一个极小值点； ④  f x 有一个极大值点． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 21．已知 xxxf sin3 1)( 3  . （1）求证： )(xf 的恰有 3 个零点； （2）若 2cos axxax e 在 ]2,0[  上恒成立，求实数 a 的取值范围. 解：（1）∵ )(xf 为 R ， )()( xfxf --  ，则 )(xf 为奇函数，且 0)0( f ， ∴ 0x 时， xxxf cos)( 2'  ，令 )()( ' xfxg  ，则 xxxg sin2)('  ， 当 ),0( x 时， 0)(' xg ； 当 ),[  x 时， 22 x ， ]1,1[sin x ，即 012)('  xg ； ∴ xxxf cos)( 2'  在 ),0(  上单调递增. 又∵ 01)0(' f ， 04)2( 2 '  f ∴ )2,0(0 x ，使得 0)( 0 ' xf ，且 ),0( 0xx 时， 0)(' xf ; )( 0  ，xx 时， 0)(' xf ， 即 )(xf 在 ),0( 0x 上单调递减，在 )( 0 ，x 上单调递增， 又∵ 02 1 6 6 3 1 2 1 63 1)6( 3 3 3 3  f ， 03 1)( 3  f ， ∴ ),6(0 t ，使得 0)( 0 tf ，且 ),0( 0tx 时， 0)( xf ， )( 0  ，tx 时， 0)( xf ， ∴ )(xf 有 3 个零点，分别为 00 0 tt ，， . （2） ]2,0[ x ， 1)cos(cos 2 2  x x xxaaxxa ee ， 令 x xxxh e )cos()( 2  ， ]2,0[ x ， x xxxxxh e cossin2)( 2 '  ， 再令 xxxxx cossin2)( 2  ， xxxx sincos22)('  ， 则 0cossin2)]([ ''  xxx ，即 )(' x 在 ]2,0[  上单调递减. 又∵ 03)0('  ， 01)2('   - ， 故 )2,0(0 x ，使得 0)( 0 ' x ，且 ),0( 0xx 时， 0)(' x ; )2( 0 ，xx 时， 0)(' x ， ∴ )(x 在在 ),0( 0x 上单调递增，在 )2( 0 ，x 上单调递减， ∴ 0)}2(),0(min{)(   x ，即 0)(' xh ， )(xh 在 ]2,0[  上单调递增. 当 0a 时， x xxay e )cos( 2  在 ]2,0[  上单调递增，则 1 2 2   4e a ，即 2 2 0   4e a ， 当 0a 时， 10)cos( 2  x xxa e 恒成立， 当 0a 时， x xxay e )cos( 2  在 ]2,0[  上单调递减，则 1a- ，即 01  a ， 综上， a 的取值范围为 ],1[ 2 2   4e .