空间中直线与直线之间的位置关系2 9页

‎ ‎ 空间中直线与直线之间的位置关系 教学设计 授课人:马远彪 霍邱二中 2008 11 25‎ 9‎ 9‎ ‎ ‎ 课题：2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 教学目标：‎ 一、 知识与技能 1、 掌握空间两条直线的位置关系，理解异面直线的概念 ，进一步培养学生的空间想象力。‎ 2、 理解并掌握公理4，并能运用它解决一些简单的几何问题。‎ 二、 过程与方法：‎ ‎ 讲授法、自主发现、探究实践 三、 情感态度与价值观：‎ ‎ 通过对空间直线间不同位置关系的理解、运用和展示，体会数学世界的美妙，培养学生的美学意识。‎ 教学重点：‎ 异面直线的概念、公理4‎ 教学难点：‎ 异面直线的概念 教具准备：‎ 1、 立体几何模型 2、 投影机 教学过程：‎ ‎（一）、创设情境，引入新课 ‎ 前面我们学习了平面的基本性质及其简单的应用——‎ 9‎ 9‎ ‎ ‎ 共面问题、点共线问题、线共点问题的证明，明确了这些问题证明的思路、方法和步骤，这些内容是立体几何的基础，应予以足够的重视，这一节课我们来学习空间直线的位置关系（板书课题）‎ ‎（二）新课 ‎1、问题探究 问题1：同一平面内两条直线有几种位置关系？‎ ① 相交直线——有且仅有一个公共点 ② 平行直线——在同一平面内，没有公共点 问题2：空间中的两条直线又有怎样的位置关系呢？‎ ‎ 观察教室内日光灯管所在直线与黑板的左右侧所在的直线;天安门广场上旗杆所在的直线与长安街所在的直线，南京万泉河立交桥的两条公路所在的直线，它们的共同特征是什么？‎ 共同特征是：既不相交，也不共面，即不在同一个平面内。‎ 思考：如下图，长方体ABCD-A′B′C′D′中，线段AB′所在直线与线段CC′所在直线的位置关系如何？‎ A B A’‎ B’‎ C’‎ D’′′′′‎ C D 通过观察思考后发现：直线AB’与直线CC’既不平行也不相交，还不共面。即不在同一平面内。‎ ‎2、归纳总结 ，形成概念 9‎ 9‎ ‎ ‎ 我们把不同在任何一个平面内两条直线叫做异面直线。‎ 空间中两条直线的位置关系有三种：‎ 共面直线 相交直线：‎ 同一平面内，有且只有 一个公共点。‎ 平行直线：‎ 同一平面内，没有公共点。‎ 异面直线：‎ 不同在任何一个平面内 ，没有公共点。‎ 为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托。‎ a b b α ‎ β a b ‎3、初步运用，示例练习 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有多少对？(答案：3对)‎ 9‎ 9‎ ‎ ‎ E H F(B)‎ D A G(C)‎ A F E G H B C D ‎4、平行直线（板书）‎ 问题3：在同一平面内,平行于同一条直线的两条直线有什么位置关系？空间中平行于同一直线的两条直线又有怎样的位置关系？‎ 在初中几何里我们已经知道：在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行 ，在空间这样的规律也是成立的，我们把这个规律作为本章的第四个公理。‎ 公理四：‎ ‎ 平行于同一条直线的两条直线互相平行。‎ 用符号语言表示如下 设a,b,c是三条直线，‎ a∥b ‎ ‎ a∥c ‎ c∥b a,b,c三条直线两两平行，可以记为a ∥ b∥ c ‎ 这个公理实质上 就是说平行具有传递性，在平面内，在空间，这个性质都是不变的。‎ 9‎ 9‎ ‎ ‎ ‎5、观察感知，例题学习 投影：‎ 例题1：‎ 如下图，空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。‎ G A E B F C D H 证明：‎ 连接BD，‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎∵EH是△ABD的中位线 ‎∴EH∥BD,且EH=－BD ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ 同理，FG ∥BD,且FG=—BD ‎∵EH∥FG,且EH=FG ‎∴四边形EFGH为平行四边形 变式练习：‎ ‎1‎ ‎3‎ CG CD C F CB 已知四边形ABCD是空间四边形，E,H,分别是边AB,AD的中点，F,G分别是边CB,CD上的点，且— = — = —,求证：四边形EFGH有一组对边平行但不相等。‎ 9‎ 9‎ ‎ ‎ l 证明：‎ ‎ 连接BD,‎ ‎∵EH分别是AB,AD的中点 ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎∴EH是△ABD的中位线 ‎∴EH∥BD,EH= —BD ‎1‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎3‎ CG CD CF CB 又在△CBD中，— = — = —‎ ‎∴FG∥BD,FG= —BD 根据公理4，EH∥FG,又FG＜EH ‎∴四边形EFGH的一组对边平行但不相等 例题2：‎ ‎1‎ ‎3‎ 如图，P是△ABC所在平面外一点，点D,E分别是△PAB和 △PBC的重心，‎ ‎ 求证：DE∥AC,DE= —AC 证明：‎ 连接PD，PE，并延长分别交AB,BC于点M,N ‎∵点D,E分别是△PAB, △PBC的重心 9‎ 9‎ ‎ ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎∴M,N分别是AB,BC的中点 连接MN,则MN∥AC，且MN= —AC ①‎ 在△PMN中，‎ ‎2‎ ‎3‎ PD PM PE PN ‎∵ — = — = — ‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎∴DE ∥MN,且DE= —MN ②‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎3‎ 由①②根据公理4，得 DE∥AC,且DE= —MN= —AC 从以上两个例子的证明中可以看出，虽然都是空间问题 ，但是我们还是设法转化为平面问题来解决的 ，这是解决空间几何问题的一般方法，同学们要切实掌握这种转化思想。‎ 变式练习：1.一条直线与两条异面直线中的一条相交，那么它与另一条之间的位置关系是（ ） (答案：D) ‎ A. 平行 B. 相交 C. 异面 ‎ D.可能相交、可能平行、可能异面 ‎ 2.已知a、b是异面直线，c∥a，那么c与b（ ） (答案：C)‎ A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C. 不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 课本P48 练习1（1）（答案：3条）‎ ‎（三）、反思小结、能力提升 ‎1、空间两条直线的三种位置关系 ‎ 相交、平行、异面 ‎ ‎ 9‎ 9‎ ‎ ‎ ‎ 相交直线：同一平面内，只有一个公共点的两条直线 ‎ ‎2、共面直线 ‎ ‎ 平行直线：同一平面内，没有公共点的两条直线。‎ 不共面直线——异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线平行。‎ ‎ 3、公理四： 平行于同一条直线的两条直线平行。‎ ‎(四)、作业 课本P51 习题2.1 A组3，5（3）（6）‎ ‎ ‎ 9‎ 9‎