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- 2021-06-11 发布
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黄山市2019-2020学年度第二学期期末质量检测
高二(理科)数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题60分)和第Ⅱ卷(非选择题90分)两部分,满分150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 满分60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1. 在复平面内,复数(其中为虚数单位),则的共轭复数对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知函数的导函数为,若,则的大小关系不可能为
A. B. C. D.
3. 下列说法正确的是
①在残差图中,残差点比较均匀地落在水平带状区域中,说明选用的模型比较合适,带状区域越窄,说明回归方程的预报精度越高;
②在独立性检验时,两个变量的列联表中,对角线上数据的乘积相差越大,说明“这两个变量没有关系”成立的可能性就越大;
③在回归直线方程中,当解释变量每增加一个单位时,预报变量就增加0.2个单位;
④越大,意味着残差平方和越小,即模型的拟合效果越好。
A. ①②③ B. ②③ C. ①④ D. ①③④
4. 利用反证法证明命题“若,则”,以下假设正确的是
A. 都不为0 B. 不都为0
C. 都不为0,且 D. 至少有一个为0
5. 正弦函数在上的图像与轴所围成曲边梯形的面积为
A. B. C. D.
6. 袋中装有4个红球、3个白球,甲、乙两人按先后次序无放回地各摸取一球,在甲摸到了白球的条件下,乙摸到白球的概率是
A. B. C. D.
7. 若展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是
- 8 -
A. 180 B. 120 C. 90 D. 45
8. 在某班进行的演讲比赛中,共有5位选手参加,其中3位女生,2位男生.如果2位男生不能连着出场,且女生甲不能排在第一个,那么出场顺序的排法种数为
A.72 B.60 C.36 D.30
9. 求的值时,可采用如下方法:令,则,两边同时平方,得, 解得(负值已舍去),类比以上方法,可求得的值等于
A. B. C. D.
10.设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X,且X~N(800,502).记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为,则的值为
(参考数据:若X~N(μ,σ2),有P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974)
A. 0.9544 B. 0.6826 C. 0.9974 D. 0.9772
11.已知是函数的导函数,且对任意的实数都有,,则不等式的解集为
A. B. C. D.
12.已知数列满足,则当时,下列判断一定正确的是
A. B.
C. D.
第II卷(非选择题 满分90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分. )
13.某盏吊灯上并联着3个灯泡,如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是,则
在这段时间内吊灯能照明的概率是 .
14.已知随机变量,则当时, = .
15.已知关于某设备的使用年限(单位:年)和所支出的维修费用(单位:万元)有如下的统计资料:
2
3
4
5
6
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
由上表可得线性回归方程,若规定当维修费用时,该设备必须报废,据此模型预报该设备最多可使用 年(取整数).
16.已知函数,若函数的图象与
- 8 -
轴有且只有两个不同的交点,则实数的取值范围为 .
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分10分)
某同学在研究相邻三个整数的算术平方根之间的关系时,发现以下三个式子均是正确的:①;②;③.
(1)已知∈(1.41,1.42), ∈(1.73,1.74), ∈(2.23,2.24),请从以上三个式子中任选一个,结合此范围验证其正确性(注意不能近似计算);
(2)请将此规律推广至一般情形,并加以证明.
18.(本小题满分分)
某单位组织开展“学习强国”的学习活动,活动第一周甲、乙两个部门员工的学习情况统计如下:
学习活跃的员工人数
学习不活跃的员工人数
甲
18
12
乙
32
8
(1)根据表中数据判断能否有95%的把握认为员工学习是否活跃与部门有关;
(2)活动第二周,单位为检查学习情况,从乙部门随机抽取2人,发现这两人学习都不活跃,能否认为乙部门第二周学习的活跃率比第一周降低了?说明理由。
参考公式:,其中.
参考数据:,,.
19. (本小题满分分)
已知函数在处取得极值.
(1)求和的值以及函数的极大值和极小值;
(2)过点作曲线的切线,求此切线的方程.
20.(本小题满分12分)
为虚数单位,是虚数, 是实数,且,.
(1)求及的取值范围;
(2)求的最小值.
21.(本小题满分分)
2019年10月,工信部颁发了国内首个无线电通信设备进网许可证,标志着基站设备将正式接入公用电信商用网络.某手机生产商拟升级设备生产手机,有两种方案可供选择,方案1:直接引进手机生产设备;方案2:对已有的手机生产设备进行技术改造,升级到手机生产设备.该生产商对未来手机销售市场行情及回报率进行大数据模拟,得到如下统计表:
- 8 -
市场销售状态
畅销
平销
滞销
市场销售状态概率
预期年利润数值(单位:亿元)
方案1
70
40
-40
方案2
60
30
-10
(1)以预期年利润的期望值为依据,就的取值范围,讨论该生产商应该选择哪种方案进行设备升级?
(2)设该生产商升级设备后生产的手机年产量为万部,通过大数据模拟核算,选择方案1所生产的手机年度总成本(亿元),选择方案2所生产的手机年度总成本为(亿元).已知,当所生产的手机市场行情为畅销、平销和滞销时,每部手机销售单价分别为0.8万元,(万元),(万元),根据(1)的决策,假设生产的手机全部售尽,求该生产商所生产的手机年利润期望的最大值?并判断这个最大值能否超过预期年利润的数值.
22.(本小题满分12分)
已知函数,其中.
(1)若,讨论的单调性;
(2)若,当时,恒成立,求实数的取值范围.
- 8 -
黄山市2019-2020学年度第二学期期末质量检测
高二(理科)数学参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
D
B
A
B
A
B
B
D
A
C
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分. )
13. 14. 15. 9 16.
三、解答题(本大题共小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分10分)
解:(1)验证①式成立:∵<1.74,∴<2.74.
∵>1.41,∴>2.82,∴. ……………………………………4分
说明:若用分析法证明(不用近似计算),也认为是对的。
(2)一般结论为:若n∈N*,则. ………………………………6分
证明如下:
要证,只需证,
即证 ,即证,
只需证,即证0<1,显然成立,
故. ……………………………………………………………10分
18.(本小题满分12分)
解:(1), …………………………………………3分
因为,所以没有95%的把握认为员工学习是否活跃与部门有关; …………6分
(2)设事件为“第二周从乙部门随机抽取2人,这两人学习都不活跃”,若第二周保持第一周的活跃情况,则, ………………………………9分
因为很小,所以事件一般不容易发生,现在发生了,则说明学习不活跃的人数增加了,即活跃率降低了. ………………………………………………………………………12分
19.(本小题满分12分)
解:(1),由题意可知是方程的两根,可得, ………………………………………… ……………………………3分
所以,时,,时,,时,,在处取得极大值2,在
- 8 -
处取得极小值-2; ………………………………………… ……………………………6分
(2)易知点不在曲线上,设切点坐标为,则有
,解得, ………………………………………9分
所以切线的斜率为9,切线的方程为 ………………………………12分
20.(本小题满分12分)
解:(1),因为是实数,
所以,又,所以,所以. …………………4分
因为,且,所以. ……………………………6分
(2)由题意知, …………………………………………8分
所以
,当且仅当时,等号成立,
所以的最小值为1 ……………………………………………………12分
21.(本小题满分12分)
(1)由,可得的取值范围为. …………………………2分
方案1的预期年利润期望值为
.
方案2的预期年利润期望值为
. ………………………………4分
当时,,该手机生产商应该选择方案1;
当时,,该手机生产商可以选择方案1,也可以以选择方案2;
当时,,该手机生产商应该选择方案2; ……………………6分
(2)因为,该手机生产商将选择方案1,此时生产的
- 8 -
手机的年度总成本为(亿元). …………………………………………7分
市场行情为畅销、平销和滞销时的年销售额分别为,,(亿元),因为,所以手机生产商年销售额的分布列为
0.4
0.4
0.2
所以
. ………………………………………………………………………9分
年利润期望值(亿元).
当时,年利润期望取得最大值40亿元. ……………………………11分
又方案1的预期年利润期望值为(亿元).
因为,因此这个年利润期望的最大值超过了预期年利润的数值. …………12分
22.(本小题满分12分)
解:(1)因为,所以.
所以. ………………………………2分
当时,由得;由得.故在上单调递减,在上单调递增.
当时,由得;由得.故在上单调递减,在上单调递增
综上可知,当时在上单调递减,在上单调递增;当时在上单调递减,在上单调递增. ……………………………………5分
(2)若,不等式转化为当时,恒成立.
令,则.
- 8 -
令,则.
①当时,对任意,恒有,所以在上单调递增,所以,所以不合题意.……………………………7分
②当时,因为,所以,所以,即,
所以在上单调递减,所以,即,
所以在上单调递减,所以,所以符合题意 …9分
③当时,令,解得,令,解得.所以在上单调递增.所以,即,所以在上单调递增,所以当时,,
故不合题意. ………………………………………………………………11分
综合①②③可知,实数的取值范围是. ……………………………12分
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