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  • 2021-06-11 发布

2017年天津市高考数学试卷(理科)

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‎2017年天津市高考数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|﹣1≤x≤5},则(A∪B)∩C=(  )‎ A.{2} B.{1,2,4} C.{1,2,4,5} D.{x∈R|﹣1≤x≤5}‎ ‎2.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+y的最大值为(  )‎ A. B.1 C. D.3‎ ‎3.(5分)阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为24,则输出N的值为(  )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎4.(5分)设θ∈R,则“|θ﹣|<”是“sinθ<”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为(  )‎ A.=1 B.=1 C.=1 D.=1‎ ‎6.(5分)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(﹣log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为(  )‎ A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a ‎7.(5分)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f()=2,f()=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则(  )‎ A.ω=,φ= B.ω=,φ=﹣‎ C.ω=,φ=﹣ D.ω=,φ=‎ ‎8.(5分)已知函数f(x)=,设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥|+a|在R上恒成立,则a的取值范围是(  )‎ A.[﹣,2] B.[﹣,] C.[﹣2,2] D.[﹣2,]‎ ‎ ‎ 二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎9.(5分)已知a∈R,i为虚数单位,若为实数,则a的值为   .‎ ‎10.(5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为   .‎ ‎11.(5分)在极坐标系中,直线4ρcos(θ﹣)+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为   .‎ ‎12.(5分)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为   .‎ ‎13.(5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ﹣(λ∈R),且=﹣4,则λ的值为   .‎ ‎14.(5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有   个.(用数字作答)‎ ‎ ‎ 三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎15.(13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB=.‎ ‎(Ⅰ)求b和sinA的值;‎ ‎(Ⅱ)求sin(2A+)的值.‎ ‎16.(13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,,.‎ ‎(Ⅰ)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;‎ ‎(Ⅱ)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.‎ ‎17.(13分)如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.‎ ‎(Ⅰ)求证:MN∥平面BDE;‎ ‎(Ⅱ)求二面角C﹣EM﹣N的正弦值;‎ ‎(Ⅲ)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为,求线段AH的长.‎ ‎18.(13分)已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N+),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4﹣2a1,S11=11b4.‎ ‎(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求数列{a2nb2n﹣1}的前n项和(n∈N+).‎ ‎19.(14分)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为.已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为.‎ ‎(I)求椭圆的方程和抛物线的方程;‎ ‎(II)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于A),直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为,求直线AP的方程.‎ ‎20.(14分)设a∈Z,已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间(1,2)内有一个零点x0,g(x)为f(x)的导函数.‎ ‎(Ⅰ)求g(x)的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)设m∈[1,x0)∪(x0,2],函数h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m),求证:h(m)h(x0)<0;‎ ‎(Ⅲ)求证:存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p,q,且∈[1,x0)∪(x0,2],满足|﹣x0|≥.‎ ‎ ‎ ‎2017年天津市高考数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|﹣1≤x≤5},则(A∪B)∩C=(  )‎ A.{2} B.{1,2,4} C.{1,2,4,5} D.{x∈R|﹣1≤x≤5}‎ ‎【分析】由并集概念求得A∪B,再由交集概念得答案.‎ ‎【解答】解:∵A={1,2,6},B={2,4},∴A∪B={1,2,4,6},‎ 又C={x∈R|﹣1≤x≤5},∴(A∪B)∩C={1,2,4}.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查交、并、补集的混合运算,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+y的最大值为(  )‎ A. B.1 C. D.3‎ ‎【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的最优解求解即可.‎ ‎【解答】解:变量x,y满足约束条件的可行域如图:‎ 目标函数z=x+y结果可行域的A点时,目标函数取得最大值,‎ 由可得A(0,3),目标函数z=x+y的最大值为:3.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查线性规划的简单应用,考查计算能力以及数形结合思想的应用.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为24,则输出N的值为(  )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎【分析】根据程序框图,进行模拟计算即可.‎ ‎【解答】解:第一次N=24,能被3整除,N=≤3不成立,‎ 第二次N=8,8不能被3整除,N=8﹣1=7,N=7≤3不成立,‎ 第三次N=7,不能被3整除,N=7﹣1=6,N==2≤3成立,‎ 输出N=2,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用,根据条件进行模拟计算是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)设θ∈R,则“|θ﹣|<”是“sinθ<”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【分析】运用绝对值不等式的解法和正弦函数的图象和性质,化简两已知不等式,结合充分必要条件的定义,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:|θ﹣|<⇔﹣<θ﹣<⇔0<θ<,‎ sinθ<⇔﹣+2kπ<θ<+2kπ,k∈Z,‎ 则(0,)⊊(﹣+2kπ,+2kπ),k∈Z,‎ 可得“|θ﹣|<”是“sinθ<”的充分不必要条件.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查充分必要条件的判断,同时考查正弦函数的图象和性质,运用定义法和正确解不等式是解题的关键,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为(  )‎ A.=1 B.=1 C.=1 D.=1‎ ‎【分析】由双曲线的离心率为,则双曲线为等轴双曲线,即渐近线方程为y=±x,根据直线的斜率公式,即可求得c的值,求得a和b的值,即可求得双曲线方程.‎ ‎【解答】解:设双曲线的左焦点F(﹣c,0),离心率e==,c=a,‎ 则双曲线为等轴双曲线,即a=b,‎ 双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,‎ 则经过F和P(0,4)两点的直线的斜率k==,‎ 则=1,c=4,则a=b=2,‎ ‎∴双曲线的标准方程:;‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查双曲线的简单几何性质,等轴双曲线的应用,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(﹣log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为(  )‎ A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a ‎【分析】由奇函数f(x)在R上是增函数,则g(x)=xf(x)偶函数,且在(0,+∞)单调递增,则a=g(﹣log25.1)=g(log25.1),则2<log25.1<3,1<20.8<2,即可求得b<a<c ‎【解答】解:奇函数f(x)在R上是增函数,当x>0,f(x)>f(0)=0,且f′(x)>0,‎ ‎∴g(x)=xf(x),则g′(x)=f(x)+xf′(x)>0,‎ ‎∴g(x)在(0,+∞)单调递增,且g(x)=xf(x)偶函数,‎ ‎∴a=g(﹣log25.1)=g(log25.1),‎ 则2<log25.1<3,1<20.8<2,‎ 由g(x)在(0,+∞)单调递增,则g(20.8)<g(log25.1)<g(3),‎ ‎∴b<a<c,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查函数奇偶性,考查函数单调性的应用,考查转化思想,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f()=2,f()=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则(  )‎ A.ω=,φ= B.ω=,φ=﹣‎ C.ω=,φ=﹣ D.ω=,φ=‎ ‎【分析】由题意求得,再由周期公式求得ω,最后由若f()=2求得φ值.‎ ‎【解答】解:由f(x)的最小正周期大于2π,得,‎ 又f()=2,f()=0,得,‎ ‎∴T=3π,则,即.‎ ‎∴f(x)=2sin(ωx+φ)=2sin(x+φ),‎ 由f()=,得sin(φ+)=1.‎ ‎∴φ+=,k∈Z.‎ 取k=0,得φ=<π.‎ ‎∴,φ=.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式,考查y=Asin(ωx+φ)型函数的性质,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)已知函数f(x)=,设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥|+a|在R上恒成立,则a的取值范围是(  )‎ A.[﹣,2] B.[﹣,] C.[﹣2,2] D.[﹣2,]‎ ‎【分析】讨论当x≤1时,运用绝对值不等式的解法和分离参数,可得﹣x2+x﹣3‎ ‎≤a≤x2﹣x+3,再由二次函数的最值求法,可得a的范围;讨论当x>1时,同样可得﹣(x+)≤a≤+,再由基本不等式可得最值,可得a的范围,求交集即可得到所求范围.‎ ‎【解答】解:当x≤1时,关于x的不等式f(x)≥|+a|在R上恒成立,‎ 即为﹣x2+x﹣3≤+a≤x2﹣x+3,‎ 即有﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3,‎ 由y=﹣x2+x﹣3的对称轴为x=<1,可得x=处取得最大值﹣;‎ 由y=x2﹣x+3的对称轴为x=<1,可得x=处取得最小值,‎ 则﹣≤a≤①‎ 当x>1时,关于x的不等式f(x)≥|+a|在R上恒成立,‎ 即为﹣(x+)≤+a≤x+,‎ 即有﹣(x+)≤a≤+,‎ 由y=﹣(x+)≤﹣2=﹣2(当且仅当x=>1)取得最大值﹣2;‎ 由y=x+≥2=2(当且仅当x=2>1)取得最小值2.‎ 则﹣2≤a≤2②‎ 由①②可得,﹣≤a≤2.‎ 另解:作出f(x)的图象和折线y=|+a|‎ 当x≤1时,y=x2﹣x+3的导数为y′=2x﹣1,‎ 由2x﹣1=﹣,可得x=,‎ 切点为(,)代入y=﹣﹣a,解得a=﹣;‎ 当x>1时,y=x+的导数为y′=1﹣,‎ 由1﹣=,可得x=2(﹣2舍去),‎ 切点为(2,3),代入y=+a,解得a=2.‎ 由图象平移可得,﹣≤a≤2.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查分段函数的运用,不等式恒成立问题的解法,注意运用分类讨论和分离参数法,以及转化思想的运用,分别求出二次函数和基本不等式求最值是解题的关键,属于中档题.‎ ‎ ‎ 二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎9.(5分)已知a∈R,i为虚数单位,若为实数,则a的值为 ﹣2 .‎ ‎【分析】运用复数的除法法则,结合共轭复数,化简,再由复数为实数的条件:虚部为0,解方程即可得到所求值.‎ ‎【解答】解:a∈R,i为虚数单位,‎ ‎===﹣i 由为实数,‎ 可得﹣=0,‎ 解得a=﹣2.‎ 故答案为:﹣2.‎ ‎【点评】本题考查复数的乘除运算,注意运用共轭复数,同时考查复数为实数的条件:虚部为0,考查运算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为  .‎ ‎【分析】根据正方体和球的关系,得到正方体的体对角线等于直径,结合球的体积公式进行计算即可.‎ ‎【解答】解:设正方体的棱长为a,‎ ‎∵这个正方体的表面积为18,‎ ‎∴6a2=18,‎ 则a2=3,即a=,‎ ‎∵一个正方体的所有顶点在一个球面上,‎ ‎∴正方体的体对角线等于球的直径,‎ 即a=2R,‎ 即R=,‎ 则球的体积V=π•()3=;‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系,利用正方体的体对角线等于直径,结合球的体积公式是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)在极坐标系中,直线4ρcos(θ﹣)+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为 2 .‎ ‎【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程,求出圆心到直线的距离d,与半径比较即可得出位置关系.‎ ‎【解答】解:直线4ρcos(θ﹣)+1=0展开为:4ρ+1=0,化为:2x+2y+1=0.‎ 圆ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ,化为直角坐标方程:x2+y2=2y,配方为:x2+(y﹣1)2=1.‎ ‎∴圆心C(0,1)到直线的距离d==<1=R.‎ ‎∴直线4ρcos(θ﹣)+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为2.‎ 故答案为:2.‎ ‎【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为 4 .‎ ‎【分析】【方法一】两次利用基本不等式,即可求出最小值,需要注意不等式等号成立的条件是什么.‎ ‎【方法二】将拆成+,利用柯西不等式求出最小值.‎ ‎【解答】解:【解法一】a,b∈R,ab>0,‎ ‎∴≥‎ ‎=‎ ‎=4ab+≥2=4,‎ 当且仅当,‎ 即,‎ 即a=,b=或a=﹣,b=﹣时取“=”;‎ ‎∴上式的最小值为4.‎ ‎【解法二】a,b∈R,ab>0,‎ ‎∴=+++≥4=4,‎ 当且仅当,‎ 即,‎ 即a=,b=或a=﹣,b=﹣时取“=”;‎ ‎∴上式的最小值为4.‎ 故答案为:4.‎ ‎【点评】本题考查了基本不等式的应用问题,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ﹣(λ∈R),且=﹣4,则λ的值为  .‎ ‎【分析】根据题意画出图形,结合图形,利用、表示出,‎ 再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值.‎ ‎【解答】解:如图所示,‎ ‎△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2,‎ ‎=2,‎ ‎∴=+‎ ‎=+‎ ‎=+(﹣)‎ ‎=+,‎ 又=λ﹣(λ∈R),‎ ‎∴=(+)•(λ﹣)‎ ‎=(λ﹣)•﹣+λ ‎=(λ﹣)×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4,‎ ‎∴λ=1,‎ 解得λ=.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有 1080 个.(用数字作答)‎ ‎【分析】根据题意,要求四位数中至多有一个数字是偶数,分2种情况讨论:①、四位数中没有一个偶数数字,②、四位数中只有一个偶数数字,分别求出每种情况下四位数的数目,由分类计数原理计算可得答案.‎ ‎【解答】解:根据题意,分2种情况讨论:‎ ‎①、四位数中没有一个偶数数字,即在1、3、5、7、9种任选4个,组成一共四位数即可,‎ 有A54=120种情况,即有120个没有一个偶数数字四位数;‎ ‎②、四位数中只有一个偶数数字,‎ 在1、3、5、7、9种选出3个,在2、4、6、8中选出1个,有C53•C41=40种取法,‎ 将取出的4个数字全排列,有A44=24种顺序,‎ 则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数;‎ 则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个;‎ 故答案为:1080.‎ ‎【点评】本题考查排列、组合的综合应用,注意要分类讨论.‎ ‎ ‎ 三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎15.(13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB=.‎ ‎(Ⅰ)求b和sinA的值;‎ ‎(Ⅱ)求sin(2A+)的值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB,再由余弦定理求得b,利用正弦定理求得sinA;‎ ‎(Ⅱ)由同角三角函数基本关系式求得cosA,再由倍角公式求得sin2A,cos2A,展开两角和的正弦得答案.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)在△ABC中,∵a>b,‎ 故由sinB=,可得cosB=.‎ 由已知及余弦定理,有=13,‎ ‎∴b=.‎ 由正弦定理,得sinA=.‎ ‎∴b=,sinA=;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)及a<c,得cosA=,∴sin2A=2sinAcosA=,‎ cos2A=1﹣2sin2A=﹣.‎ 故sin(2A+)==.‎ ‎【点评】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用,考查倍角公式的应用,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎16.(13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,,.‎ ‎(Ⅰ)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;‎ ‎(Ⅱ)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.‎ ‎【分析】(Ⅰ)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,求出对应的概率值,‎ 写出它的分布列,计算数学期望值;‎ ‎(Ⅱ)利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3;‎ 则P(X=0)=(1﹣)×(1﹣)(1﹣)=,‎ P(X=1)=×(1﹣)×(1﹣)+(1﹣)××(1﹣)+(1﹣)×(1﹣)×=,‎ P(X=2)=(1﹣)××+×(1﹣)×+××(1﹣)=,‎ P(X=3)=××=;‎ 所以,随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 随机变量X的数学期望为E(X)=0×+1×+2×+3×=;‎ ‎(Ⅱ)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,‎ 则所求事件的概率为 P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)‎ ‎=P(Y=0)•P(Z=1)+P(Y=1)•P(Z=0)‎ ‎=×+×‎ ‎=;‎ 所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为.‎ ‎【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎17.(13分)如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.‎ ‎(Ⅰ)求证:MN∥平面BDE;‎ ‎(Ⅱ)求二面角C﹣EM﹣N的正弦值;‎ ‎(Ⅲ)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为,求线段AH的长.‎ ‎【分析】(Ⅰ)取AB中点F,连接MF、NF,由已知可证MF∥平面BDE,NF∥平面BDE.得到平面MFN∥平面BDE,则MN∥平面BDE;‎ ‎(Ⅱ)由PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.可以A为原点,分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.求出平面MEN与平面CME的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值得二面角C﹣EM﹣N的余弦值,进一步求得正弦值;‎ ‎(Ⅲ)设AH=t,则H(0,0,t),求出的坐标,结合直线NH与直线BE所成角的余弦值为列式求得线段AH的长.‎ ‎【解答】(Ⅰ)证明:取AB中点F,连接MF、NF,‎ ‎∵M为AD中点,∴MF∥BD,‎ ‎∵BD⊂平面BDE,MF⊄平面BDE,∴MF∥平面BDE.‎ ‎∵N为BC中点,∴NF∥AC,‎ 又D、E分别为AP、PC的中点,∴DE∥AC,则NF∥DE.‎ ‎∵DE⊂平面BDE,NF⊄平面BDE,∴NF∥平面BDE.‎ 又MF∩NF=F.‎ ‎∴平面MFN∥平面BDE,则MN∥平面BDE;‎ ‎(Ⅱ)解:∵PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.‎ ‎∴以A为原点,分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.‎ ‎∵PA=AC=4,AB=2,‎ ‎∴A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),M(0,0,1),N(1,2,0),E(0,2,2),‎ 则,,‎ 设平面MEN的一个法向量为,‎ 由,得,取z=2,得.‎ 由图可得平面CME的一个法向量为.‎ ‎∴cos<>=.‎ ‎∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值为,则正弦值为;‎ ‎(Ⅲ)解:设AH=t,则H(0,0,t),,.‎ ‎∵直线NH与直线BE所成角的余弦值为,‎ ‎∴|cos<>|=||=||=.‎ 解得:t=或t=.‎ ‎∴线段AH的长为或.‎ ‎【点评】本题考查直线与平面平行的判定,考查了利用空间向量求解空间角,考查计算能力,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎18.(13分)已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N+),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4﹣2a1,S11=11b4.‎ ‎(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求数列{a2nb2n﹣1}的前n项和(n∈N+).‎ ‎【分析】(Ⅰ)设出公差与公比,利用已知条件求出公差与公比,然后求解{an}和{bn}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)化简数列的通项公式,利用错位相减法求解数列的和即可.‎ ‎【解答】解:(I)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.‎ 由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q+q2﹣6=0.‎ 又因为q>0,解得q=2.所以,bn=2n.‎ 由b3=a4﹣2a1,可得3d﹣a1=8①.‎ 由S11=11b4,可得a1+5d=16②,‎ 联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n﹣2.‎ 所以,数列{an}的通项公式为an=3n﹣2,数列{bn}的通项公式为bn=2n.‎ ‎(II)设数列{a2nb2n﹣1}的前n项和为Tn,‎ 由a2n=6n﹣2,b2n﹣1=4n,有a2nb2n﹣1=(3n﹣1)4n,‎ 故Tn=2×4+5×42+8×43+…+(3n﹣1)4n,‎ ‎4Tn=2×42+5×43+8×44+…+(3n﹣1)4n+1,‎ 上述两式相减,得﹣3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣(3n﹣1)4n+1‎ ‎==﹣(3n﹣2)4n+1﹣8‎ 得Tn=.‎ 所以,数列{a2nb2n﹣1}的前n项和为.‎ ‎【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用,数列求和的方法,考查计算能力.‎ ‎ ‎ ‎19.(14分)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为.已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为.‎ ‎(I)求椭圆的方程和抛物线的方程;‎ ‎(II)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于A),直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为,求直线AP的方程.‎ ‎【分析】(I)根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a,b,p即可得出方程;‎ ‎(II)设AP方程为x=my+1,联立方程组得出B,P,Q三点坐标,从而得出直线BQ的方程,解出D点坐标,根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案.‎ ‎【解答】(Ⅰ)解:设F的坐标为(﹣c,0).‎ 依题意可得,‎ 解得a=1,c=,p=2,于是b2=a2﹣c2=.‎ 所以,椭圆的方程为x2+=1,抛物线的方程为y2=4x.‎ ‎(Ⅱ)解:直线l的方程为x=﹣1,设直线AP的方程为x=my+1(m≠0),‎ 联立方程组,解得点P(﹣1,﹣),故Q(﹣1,).‎ 联立方程组,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0,或y=﹣.‎ ‎∴B(,).‎ ‎∴直线BQ的方程为(﹣)(x+1)﹣()(y﹣)=0,‎ 令y=0,解得x=,故D(,0).‎ ‎∴|AD|=1﹣=.‎ 又∵△APD的面积为,∴×=,‎ 整理得3m2﹣2|m|+2=0,解得|m|=,∴m=±.‎ ‎∴直线AP的方程为3x+y﹣3=0,或3x﹣y﹣3=0.‎ ‎【点评】本题考查了椭圆与抛物线的定义与性质,直线与椭圆的位置关系,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎20.(14分)设a∈Z,已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间(1,2)内有一个零点x0,g(x)为f(x)的导函数.‎ ‎(Ⅰ)求g(x)的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)设m∈[1,x0)∪(x0,2],函数h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m),求证:h(m)h(x0)<0;‎ ‎(Ⅲ)求证:存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p,q,且∈[1,x0)∪(x0,2],满足|﹣x0|≥.‎ ‎【分析】(Ⅰ)求出函数的导函数g(x)=f′(x)=8x3+9x2﹣6x﹣6,求出极值点,通过列表判断函数的单调性求出单调区间即可.‎ ‎(Ⅱ)由h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m),推出h(m)=g(m)(m﹣x0)﹣f(m),‎ 令函数H1(x)=g(x)(x﹣x0)﹣f(x),求出导函数H′1(x)利用(Ⅰ)知,推出h(m)h(x0)<0.‎ ‎(Ⅲ)对于任意的正整数p,q,且,令m=‎ ‎,函数h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m).‎ 由(Ⅱ)知,当m∈[1,x0)时,当m∈(x0,2]时,通过h(x)的零点.转化推出|﹣x0|=≥=.推出|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1.然后推出结果.‎ ‎【解答】(Ⅰ)解:由f(x)=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a,可得g(x)=f′(x)=8x3+9x2﹣6x﹣6,‎ 进而可得g′(x)=24x2+18x﹣6.令g′(x)=0,解得x=﹣1,或x=.‎ 当x变化时,g′(x),g(x)的变化情况如下表:‎ x ‎(﹣∞,﹣1)‎ ‎(﹣1,)‎ ‎(,+∞)‎ g′(x)‎ ‎+‎ ‎﹣‎ ‎+‎ g(x)‎ ‎↗‎ ‎↘‎ ‎↗‎ 所以,g(x)的单调递增区间是(﹣∞,﹣1),(,+∞),单调递减区间是(﹣1,).‎ ‎(Ⅱ)证明:由h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m),得h(m)=g(m)(m﹣x0)﹣f(m),‎ h(x0)=g(x0)(m﹣x0)﹣f(m).‎ 令函数H1(x)=g(x)(x﹣x0)﹣f(x),则H′1(x)=g′(x)(x﹣x0).‎ 由(Ⅰ)知,当x∈[1,2]时,g′(x)>0,‎ 故当x∈[1,x0)时,H′1(x)<0,H1(x)单调递减;‎ 当x∈(x0,2]时,H′1(x)>0,H1(x)单调递增.‎ 因此,当x∈[1,x0)∪(x0,2]时,H1(x)>H1(x0)=﹣f(x0)=0,可得H1(m)>0即h(m)>0,‎ 令函数H2(x)=g(x0)(x﹣x0)﹣f(x),则H′2(x)=g(x0)﹣g(x).由(Ⅰ)知,g(x)在[1,2]上单调递增,故当x∈[1,x0)时,H′2(x)>0,H2‎ ‎(x)单调递增;当x∈(x0,2]时,H′2(x)<0,H2(x)单调递减.因此,当x∈[1,x0)∪(x0,2]时,H2(x)>H2(x0)=0,可得得H2(m)<0即h(x0)<0,.‎ 所以,h(m)h(x0)<0.‎ ‎(Ⅲ)对于任意的正整数p,q,且,‎ 令m=,函数h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m).‎ 由(Ⅱ)知,当m∈[1,x0)时,h(x)在区间(m,x0)内有零点;‎ 当m∈(x0,2]时,h(x)在区间(x0,m)内有零点.‎ 所以h(x)在(1,2)内至少有一个零点,不妨设为x1,则h(x1)=g(x1)(﹣x0)﹣f()=0.‎ 由(Ⅰ)知g(x)在[1,2]上单调递增,故0<g(1)<g(x1)<g(2),‎ 于是|﹣x0|=≥=.‎ 因为当x∈[1,2]时,g(x)>0,故f(x)在[1,2]上单调递增,‎ 所以f(x)在区间[1,2]上除x0外没有其他的零点,而≠x0,故f()≠0.‎ 又因为p,q,a均为整数,所以|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|是正整数,‎ 从而|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1.‎ 所以|﹣x0|≥.所以,只要取A=g(2),就有|﹣x0|≥.‎ ‎【点评】本题考查函数的导数的综合应用,函数的单调性以及函数的最值的求法,考查分类讨论思想以及转化思想的应用,是难度比较大的题目.‎ ‎ ‎