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2012年浙江省高考数学试卷(文科)
一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)
1.(5分)设全集U={1,2,3,4,5,6},设集合P={1,2,3,4},Q={3,4,5},则P∩(∁UQ)=( )
A.{1,2,3,4,6} B.{1,2,3,4,5} C.{1,2,5} D.{1,2}
2.(5分)已知i是虚数单位,则=( )
A.1﹣2i B.2﹣i C.2+i D.1+2i
3.(5分)已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积是( )
A.1cm3 B.2cm3 C.3cm3 D.6cm3
4.(5分)设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y﹣1=0与直线l2:x+2y+4=0平行的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.(5分)设l是直线,α,β是两个不同的平面( )
A.若l∥α,l∥β,则α∥β B.若l∥α,l⊥β,则α⊥β
C.若α⊥β,l⊥α,则l⊥β D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β
6.(5分)把函数y=cos2x+
1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是( )
A. B. C. D.
7.(5分)设,是两个非零向量.则下列命题为真命题的是( )
A.若|+|=||﹣||,则⊥
B.若⊥,则|+|=||﹣||
C.若|+|=||﹣||,则存在实数λ,使得=λ
D.若存在实数λ,使得=λ,则|+|=||﹣||
8.(5分)如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点.若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )
A.3 B.2 C. D.
9.(5分)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是( )
A. B. C.5 D.6
10.(5分)设a>0,b>0,e是自然对数的底数( )
A.若ea+2a=eb+3b,则a>b B.若ea+2a=eb+3b,则a<b
C.若ea﹣2a=eb﹣3b,则a>b D.若ea﹣2a=eb﹣3b,则a<b
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分.
11.(4分)某个年级有男生560人,女生420人,用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本,则此样本中男生人数为 .
12.(4分)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为的概率是 .
13.(4分)若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 .
14.(4分)设z=x+2y,其中实数x,y满足 则z的取值范围是 .
15.(4分)在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则•= .
16.(4分)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则= .
17.(4分)定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离,已知曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,则实数a= .
三、解答题:本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(14分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=a•cosB.
(1)求角B的大小;
(2)若b=3,sinC=2sinA,分别求a和c的值.
19.(14分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,n∈N*,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N*.
(1)求an,bn;
(2)求数列{an•bn}的前n项和Tn.
20.(15分)如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=.AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中点,F是平面B1C1E与直线AA1的交点.
(1)证明:
(i)EF∥A1D1;
(ii)BA1⊥平面B1C1EF;
(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值.
21.(15分)已知a∈R,函数f(x)=4x3﹣2ax+a.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)证明:当0≤x≤1时,f(x)+|2﹣a|>0.
22.(14分)如图,在直角坐标系xOy中,点P(1,)到抛物线C:y2=2px(P>0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB被直线OM平分.
(1)求p,t的值.
(2)求△ABP面积的最大值.
2012年浙江省高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)
1.(5分)(2012•浙江)设全集U={1,2,3,4,5,6},设集合P={1,2,3,4},Q={3,4,5},则P∩(∁UQ)=( )
A.{1,2,3,4,6} B.{1,2,3,4,5} C.{1,2,5} D.{1,2}
【分析】由题意,可先由已知条件求出CUQ,然后由交集的定义求出P∩(CUQ)即可得到正确选项.
【解答】解:∵U={1,2,3,4,5,6},Q={3,4,5},
∴∁UQ={1,2,6},又P={1,2,3,4},
∴P∩(CUQ)={1,2}
故选D.
2.(5分)(2012•浙江)已知i是虚数单位,则=( )
A.1﹣2i B.2﹣i C.2+i D.1+2i
【分析】由题意,可对复数代数式分子与分母都乘以1+i,再由进行计算即可得到答案.
【解答】解:
故选D
3.(5分)(2012•浙江)已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积是( )
A.1cm3 B.2cm3 C.3cm3 D.6cm3
【分析】由三视图知,几何体是一个三棱锥,底面是直角边长为1和2的直角三角形,三棱锥的一条侧棱与底面垂直,且长度是3,这是三棱锥的高,根据三棱锥的体积公式得到结果.
【解答】解:由三视图知,几何体是一个三棱锥,底面是直角边长为1cm和2cm的直角三角形,面积是×1×2=1cm2,
三棱锥的一条侧棱与底面垂直,且长度是3cm,这是三棱锥的高,
∴三棱锥的体积是×1×3=1cm3,
故选A.
4.(5分)(2012•浙江)设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y﹣1=0与直线l2:x+2y+4=0平行的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【分析】利用充分、必要条件进行推导,结合两直线直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0平行的充要条件是A1B2=A2B1≠A2C1可得答案.
【解答】解:(1)充分性:
当a=1时,直线l1:x+2y﹣1=0与直线l2:x+2y+4=0平行;
(2)必要性:
当直线l1:ax+2y﹣1=0与直线l2:x+2y+4=0平行时有:
a•2=2•1,即:a=1.
∴“a=1”是“直线l1:ax+2y﹣1=0与直线l2:x+2y+4=0平行”充分必要条件.
故选C.
5.(5分)(2012•浙江)设l是直线,α,β是两个不同的平面( )
A.若l∥α,l∥β,则α∥β B.若l∥α,l⊥β,则α⊥β
C.若α⊥β,l⊥α,则l⊥β D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β
【分析】利用面面垂直的判定定理可证明B是正确的,对于其它选项,可利用举反例法证明其是错误命题
【解答】解:A,若l∥α,l∥β,则满足题意的两平面可能相交,排除A;
B,若l∥α,l⊥β,则在平面α内存在一条直线垂直于平面β,从而两平面垂直,故B正确;
C,若α⊥β,l⊥α,则l可能在平面β内,排除C;
D,若α⊥β,l∥α,则l可能与β平行,相交,排除D
故选 B
6.(5分)(2012•浙江)把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是( )
A. B. C. D.
【分析】首先根据函数图象变换的公式,可得最终得到的图象对应的解析式为:y=cos(x+1),然后将曲线y=cos(x+
1)的图象和余弦曲线y=cosx进行对照,可得正确答案.
【解答】解:将函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),
得到的图象对应的解析式为:y=cosx+1,
再将y=cosx+1图象向左平移1个单位长度,再向下平移 1个单位长度,
得到的图象对应的解析式为:y=cos(x+1),
∵曲线y=cos(x+1)由余弦曲线y=cosx左移一个单位而得,
∴曲线y=cos(x+1)经过点(,0)和(,0),且在区间(,)上函数值小于0
由此可得,A选项符合题意.
故选A
7.(5分)(2012•浙江)设,是两个非零向量.则下列命题为真命题的是( )
A.若|+|=||﹣||,则⊥
B.若⊥,则|+|=||﹣||
C.若|+|=||﹣||,则存在实数λ,使得=λ
D.若存在实数λ,使得=λ,则|+|=||﹣||
【分析】通过向量和向量的模相关性质进行判断即可.
【解答】解:对于A,若|+|=||﹣||,则||2+||2+2•=||2+||2﹣2||||,得•=﹣||||≠0,与不垂直,所以A不正确;
对于B,由A解析可知,|+|≠||﹣||,所以B不正确;
对于C,若|+|=||﹣||,则||2+||2+2•=||2+||2﹣2||||,得•=﹣||||,则cosθ=﹣1,则与反向,因此存在实数λ,使得=λ,所以C正确.
对于D,若存在实数λ,则•=λ||2,﹣||||=λ||2,由于λ不能等于0,因此•≠﹣||||,则|+|≠||﹣||,所以D不正确.
故选C.
8.(5分)(2012•浙江)如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点.若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )
A.3 B.2 C. D.
【分析】根据M,N是双曲线的两顶点,M,O,N将椭圆长轴四等分,可得椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍,利用双曲线与椭圆有公共焦点,即可求得双曲线与椭圆的离心率的比值.
【解答】解:∵M,N是双曲线的两顶点,M,O,N将椭圆长轴四等分
∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍
∵双曲线与椭圆有公共焦点,
∴双曲线与椭圆的离心率的比值是2
故选B.
9.(5分)(2012•浙江)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是( )
A. B. C.5 D.6
【分析】将x+3y=5xy转化成=1,然后根据3x+4y=()(3x+4y),展开后利用基本不等式可求出3x+4y的最小值.
【解答】解:∵正数x,y满足x+3y=5xy,
∴=1
∴3x+4y=()(3x+4y)=+++≥+2=5
当且仅当=时取等号
∴3x+4y≥5
即3x+4y的最小值是5
故选:C
10.(5分)(2012•浙江)设a>0,b>0,e是自然对数的底数( )
A.若ea+2a=eb+3b,则a>b B.若ea+2a=eb+3b,则a<b
C.若ea﹣2a=eb﹣3b,则a>b D.若ea﹣2a=eb﹣3b,则a<b
【分析】对于ea+2a=eb+3b,若a≤b成立,经分析可排除B;对于ea﹣2a=eb﹣3b,若a≥b成立,经分析可排除C,D,从而可得答案.
【解答】解:对于ea+2a=eb+3b,若a≤b成立,则必有ea≤eb,故必有2a≥3b,即有a≥b这与a≤b矛盾,故a≤b成立不可能成立,故B不对;
对于ea﹣2a=eb﹣3b,若a≥b成立,则必有ea≥eb,故必有2a≥3b,即有a≥b,故排除C,D.
故选A.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分.
11.(4分)(2012•浙江)某个年级有男生560人,女生420人,用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本,则此样本中男生人数为 160 .
【分析】先根据男生和女生的人数做出年纪大总人数,用要抽取得人数除以总人数得到每个个体被抽到的概率,用男生人数乘以概率,得到结果.
【解答】解:∵有男生560人,女生420人,
∴年级共有560+420=980
∵用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本,
∴每个个体被抽到的概率是=,
∴要从男生中抽取560×=160,
故答案为:160
12.(4分)(2012•浙江)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为的概率是 .
【分析】先求出随机(等可能)取两点的总数,然后求出满足该两点间的距离为的种数,最后根据古典概型的概率公式求之即可.
【解答】解:从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点共有=10种
其中两点间的距离为的必选中心,共有4种可能
故该两点间的距离为的概率是=
故答案为:
13.(4分)(2012•浙江)若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 .
【分析】通过循环框图,计算循环变量的值,当i=6时结束循环,输出结果即可.
【解答】解:循环前,T=1,i=2,不满足判断框的条件,第1次循环,T=,i=3,
不满足判断框的条件,第2次循环,T=,i=4,
不满足判断框的条件,第3次循环,T=,i=5,
不满足判断框的条件,第4次循环,T=,i=6,
满足判断框的条件,退出循环,输出结果.
故答案为:.
14.(4分)(2012•浙江)设z=x+2y,其中实数x,y满足 则z的取值范围是 [0,] .
【分析】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域,结合z在目标函数中的几何意义,求出目标函数的最大值、及最小值,进一步线出目标函数z的范围.
【解答】解:约束条件 对应的平面区域如图示:
由图易得目标函数z=2y+x在O(0,0)处取得最小值,此时z=0
在B处取最大值,由可得B(),此时z=
故Z=x+2y的取值范围为:[0,]
故答案为:[0,]
15.(4分)(2012•浙江)在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则•= ﹣16 .
【分析】设∠AMB=θ,则∠AMC=π﹣θ,再由 =( ﹣)•( ﹣)以及两个向量的数量积的定义求出结果.
【解答】解:设∠AMB=θ,则∠AMC=π﹣θ.又=﹣,=﹣,
∴=( ﹣)•( ﹣)=•﹣•﹣•+,
=﹣25﹣5×3cosθ﹣3×5cos(π﹣θ)+9=﹣16,
故答案为﹣16.
16.(4分)(2012•浙江)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则= .
【分析】利用函数的周期性先把转化成f(),再利用函数f(x)是定义在R上的偶函数转化成f(),代入已知求解即可.
【解答】解:∵函数f(x)是定义在R上的周期为2的函数,
∴=f(+2)=f(),
又∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,
∴f()=f(),
又∵当x∈[0,1]时,f(x)=x+1,
∴f()=+1=,
则=.
故答案为:.
17.(4分)(2012•浙江)定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离,已知曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,则实数a= .
【分析】先根据定义求出曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,然后根据曲线C1:y=x2+a的切线与直线y=x平行时,该切点到直线的距离最近建立等式关系,解之即可.
【解答】解:圆x2+(y+4)2=2的圆心为(0,﹣4),半径为,
圆心到直线y=x的距离为=2,
∴曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离为2﹣=.
则曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离等于,
令y′=2x=1解得x=,故切点为(,+a),
切线方程为y﹣(+a)=x﹣即x﹣y﹣+a=0,
由题意可知x﹣y﹣+a=0与直线y=x的距离为,
即解得a=或﹣.
当a=﹣时直线y=x与曲线C1:y=x2+a相交,故不符合题意,舍去.
故答案为:.
三、解答题:本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(14分)(2012•浙江)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=a•cosB.
(1)求角B的大小;
(2)若b=3,sinC=2sinA,分别求a和c的值.
【分析】(1)由bsinA=a•cosB,由正弦定理可得:sinBsinA=sinAcosB,化简整理即可得出.
(2)由sinC=2sinA,可得c=2a,由余弦定理可得:b2=a2+c2﹣2accosB,代入计算即可得出.
【解答】解:(1)∵bsinA=a•cosB,由正弦定理可得:sinBsinA=sinAcosB,
∵sinA≠0,∴sinB=cosB,
B∈(0,π),
可知:cosB≠0,否则矛盾.
∴tanB=,∴B=.
(2)∵sinC=2sinA,∴c=2a,
由余弦定理可得:b2=a2+c2﹣2accosB,
∴9=a2+c2﹣ac,
把c=2a代入上式化为:a2=3,解得a=,
∴.
19.(14分)(2012•浙江)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,n∈N*,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N*.
(1)求an,bn;
(2)求数列{an•bn}的前n项和Tn.
【分析】(Ⅰ)由Sn=2n2+n可得,当n=1时,可求a1=3,当n≥2时,由an=sn﹣sn﹣1可求通项,进而可求bn
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,利用错位相减可求数列的和
【解答】解:(Ⅰ)由Sn=2n2+n可得,当n=1时,a1=s1=3
当n≥2时,an=sn﹣sn﹣1=2n2+n﹣2(n﹣1)2﹣(n﹣1)=4n﹣1
而n=1,a1=4﹣1=3适合上式,
故an=4n﹣1,
又∵an=4log2bn+3=4n﹣1
∴
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
2Tn=3×2+7×22+…+(4n﹣5)•2n﹣1+(4n﹣1)•2n
∴
=(4n﹣1)•2n
=(4n﹣1)•2n﹣[3+4(2n﹣2)]=(4n﹣5)•2n+5
20.(15分)(2012•浙江)如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=.AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中点,F是平面B1C1E与直线AA1的交点.
(1)证明:
(i)EF∥A1D1;
(ii)BA1⊥平面B1C1EF;
(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值.
【分析】(1)
(i)先由C1B1∥A1D1证明C1B1∥平面ADD1A1,再由线面平行的性质定理得出C1B1∥EF,证出EF∥A1D1.
(ii)易通过证明B1C1⊥平面ABB1A1得出B1C1⊥BA1,再由tan∠A1B1F=tan∠AA1B=,即∠A1B1F=∠AA1B,得出BA1⊥B1F.所以BA1⊥平面B1C1EF;
(2)设BA1与B1F交点为H,连接C1H,由(1)知BA1⊥平面B1C1EF,所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角.在RT△BHC1中求解即可.
【解答】(1)证明(i)∵C1B1∥A1D1,C1B1⊄平面ADD1A1,∴C1B1∥平面ADD1A1,
又C1B1⊂平面B1C1EF,平面B1C1EF∩平面ADD1A1=EF,
∴C1B1∥EF,∴EF∥A1D1;
(ii)∵BB1⊥平面A1B1C1D1,∴BB1⊥B1C1,
又∵B1C1⊥B1A1,
∴B1C1⊥平面ABB1A1,
∴B1C1⊥BA1,
在矩形ABB1A1中,F是AA1的中点,tan∠A1B1F=tan∠AA1B=,即∠A1B1F=∠AA1B,故BA1⊥B1F.
所以BA1⊥平面B1C1EF;
(2)解:设BA1与B1F交点为H,
连接C1H,由(1)知BA1⊥平面B1C1EF,所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角.
在矩形AA1B1B中,AB=,AA1=2,得BH=,
在RT△BHC1中,BC1=2,sin∠BC1H==,
所以BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值是.
21.(15分)(2012•浙江)已知a∈R,函数f(x)=4x3﹣2ax+a.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)证明:当0≤x≤1时,f(x)+|2﹣a|>0.
【分析】(1)求导函数,再分类讨论:a≤0时,f′(x)≥0恒成立;a>0时,f′(x)=12x2﹣2a=12(x﹣)(x+),由此可确定f(x)的单调区间;
(2)由于0≤x≤1,故当a≤2时,f(x)+|2﹣a|=4x3﹣2ax+2≥4x3﹣4x+2;当a>2时,f(x)+|2﹣a|=4x3+2a(1﹣x)﹣2≥4x3+4(1﹣x)﹣2=4x3﹣4x+
2,构造函数g(x)=2x3﹣2x+1,0≤x≤1,确定g(x)min=g()=1﹣>0,即可证得结论.
【解答】(1)解:求导函数可得f′(x)=12x2﹣2a
a≤0时,f′(x)≥0恒成立,此时f(x)的单调递增区间为(﹣∞,+∞)
a>0时,f′(x)=12x2﹣2a=12(x﹣)(x+)
∴f(x)的单调递增区间为(﹣∞,﹣),(,+∞);单调递减区间为(﹣,);
(2)证明:由于0≤x≤1,故
当a≤2时,f(x)+|2﹣a|=4x3﹣2ax+2≥4x3﹣4x+2
当a>2时,f(x)+|2﹣a|=4x3+2a(1﹣x)﹣2≥4x3+4(1﹣x)﹣2=4x3﹣4x+2
设g(x)=2x3﹣2x+1,0≤x≤1,∴g′(x)=6(x﹣)(x+)
x
0
(0,)
(,1)
g′(x)
﹣
+
g(x)
极小值
∴函数g(x)在(0,)上单调减,在(,1)上单调增
∴g(x)min=g()=1﹣>0
∴当0≤x≤1时,2x3﹣2x+1>0
∴当0≤x≤1时,f(x)+|2﹣a|>0.
22.(14分)(2012•浙江)如图,在直角坐标系xOy中,点P(1,)到抛物线C:y2=2px(P>0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB被直线OM平分.
(1)求p,t的值.
(2)求△ABP面积的最大值.
【分析】(1)通过点P(1,)到抛物线C:y2=2px(P>0)的准线的距离为.列出方程,求出p,t的值即可.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为Q(m,m),设直线AB的斜率为k,(k≠0),利用推出AB的方程y﹣m=.利用弦长公式求出|AB|,设点P到直线AB的距离为d,利用点到直线的距离公式求出d,设△ABP的面积为S,求出S==|1﹣2(m﹣m2)|.利用函数的导数求出△ABP面积的最大值.
【解答】解:(1)由题意可知得,.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为Q(m,m),
由题意可知,设直线AB的斜率为k,(k≠0),
由得,(y1﹣y2)(y1+y2)=x1﹣x2,
故k•2m=1,
所以直线AB方程为y﹣m=.
即△=4m﹣4m2>0,y1+y2=2m,y1y2=2m2﹣m.
从而|AB|==,
设点P到直线AB的距离为d,则
d=,
设△ABP的面积为S,则
S==|1﹣2(m﹣m2)|.
由△=>0,得0<m<1,
令u=,,则S=u(1﹣2u2),,
则S′(u)=1﹣6u2,S′(u)=0,得u=,
所以S最大值=S()=.
故△ABP面积的最大值为.
参与本试卷答题和审题的老师有:xintrl;涨停;石玉台;xize;ywg2058;qiss;刘长柏;minqi5;wfy814;邢新丽;caoqz;沂蒙松;吕静;zwx097(排名不分先后)
2017年2月3日
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