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  • 2021-06-11 发布

2012年浙江省高考数学试卷(文科)

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‎2012年浙江省高考数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)‎ ‎1.(5分)设全集U={1,2,3,4,5,6},设集合P={1,2,3,4},Q={3,4,5},则P∩(∁UQ)=(  )‎ A.{1,2,3,4,6} B.{1,2,3,4,5} C.{1,2,5} D.{1,2}‎ ‎2.(5分)已知i是虚数单位,则=(  )‎ A.1﹣2i B.2﹣i C.2+i D.1+2i ‎3.(5分)已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积是(  )‎ A.1cm3 B.2cm3 C.3cm3 D.6cm3‎ ‎4.(5分)设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y﹣1=0与直线l2:x+2y+4=0平行的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5.(5分)设l是直线,α,β是两个不同的平面(  )‎ A.若l∥α,l∥β,则α∥β B.若l∥α,l⊥β,则α⊥β C.若α⊥β,l⊥α,则l⊥β D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β ‎6.(5分)把函数y=cos2x+‎ ‎1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.(5分)设,是两个非零向量.则下列命题为真命题的是(  )‎ A.若|+|=||﹣||,则⊥‎ B.若⊥,则|+|=||﹣||‎ C.若|+|=||﹣||,则存在实数λ,使得=λ D.若存在实数λ,使得=λ,则|+|=||﹣||‎ ‎8.(5分)如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点.若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是(  )‎ A.3 B.2 C. D.‎ ‎9.(5分)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是(  )‎ A. B. C.5 D.6‎ ‎10.(5分)设a>0,b>0,e是自然对数的底数(  )‎ A.若ea+2a=eb+3b,则a>b B.若ea+2a=eb+3b,则a<b C.若ea﹣2a=eb﹣3b,则a>b D.若ea﹣2a=eb﹣3b,则a<b ‎ ‎ 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分.‎ ‎11.(4分)某个年级有男生560人,女生420人,用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本,则此样本中男生人数为  .‎ ‎12.(4分)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为的概率是  .‎ ‎13.(4分)若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是  .‎ ‎14.(4分)设z=x+2y,其中实数x,y满足 则z的取值范围是  .‎ ‎15.(4分)在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则•=  .‎ ‎16.(4分)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则=  .‎ ‎17.(4分)定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离,已知曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,则实数a=  .‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎18.(14分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=a•cosB.‎ ‎(1)求角B的大小;‎ ‎(2)若b=3,sinC=2sinA,分别求a和c的值.‎ ‎19.(14分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,n∈N*,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N*.‎ ‎(1)求an,bn;‎ ‎(2)求数列{an•bn}的前n项和Tn.‎ ‎20.(15分)如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=.AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中点,F是平面B1C1E与直线AA1的交点.‎ ‎(1)证明:‎ ‎(i)EF∥A1D1;‎ ‎(ii)BA1⊥平面B1C1EF;‎ ‎(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值.‎ ‎21.(15分)已知a∈R,函数f(x)=4x3﹣2ax+a.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间;‎ ‎(2)证明:当0≤x≤1时,f(x)+|2﹣a|>0.‎ ‎22.(14分)如图,在直角坐标系xOy中,点P(1,)到抛物线C:y2=2px(P>0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB被直线OM平分.‎ ‎(1)求p,t的值.‎ ‎(2)求△ABP面积的最大值.‎ ‎ ‎ ‎2012年浙江省高考数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)‎ ‎1.(5分)(2012•浙江)设全集U={1,2,3,4,5,6},设集合P={1,2,3,4},Q={3,4,5},则P∩(∁UQ)=(  )‎ A.{1,2,3,4,6} B.{1,2,3,4,5} C.{1,2,5} D.{1,2}‎ ‎【分析】由题意,可先由已知条件求出CUQ,然后由交集的定义求出P∩(CUQ)即可得到正确选项.‎ ‎【解答】解:∵U={1,2,3,4,5,6},Q={3,4,5},‎ ‎∴∁UQ={1,2,6},又P={1,2,3,4},‎ ‎∴P∩(CUQ)={1,2}‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2012•浙江)已知i是虚数单位,则=(  )‎ A.1﹣2i B.2﹣i C.2+i D.1+2i ‎【分析】由题意,可对复数代数式分子与分母都乘以1+i,再由进行计算即可得到答案.‎ ‎【解答】解:‎ 故选D ‎ ‎ ‎3.(5分)(2012•浙江)已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积是(  )‎ A.1cm3 B.2cm3 C.3cm3 D.6cm3‎ ‎【分析】由三视图知,几何体是一个三棱锥,底面是直角边长为1和2的直角三角形,三棱锥的一条侧棱与底面垂直,且长度是3,这是三棱锥的高,根据三棱锥的体积公式得到结果.‎ ‎【解答】解:由三视图知,几何体是一个三棱锥,底面是直角边长为1cm和2cm的直角三角形,面积是×1×2=1cm2,‎ 三棱锥的一条侧棱与底面垂直,且长度是3cm,这是三棱锥的高,‎ ‎∴三棱锥的体积是×1×3=1cm3,‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2012•浙江)设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y﹣1=0与直线l2:x+2y+4=0平行的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【分析】利用充分、必要条件进行推导,结合两直线直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0平行的充要条件是A1B2=A2B1≠A2C1可得答案.‎ ‎【解答】解:(1)充分性:‎ 当a=1时,直线l1:x+2y﹣1=0与直线l2:x+2y+4=0平行;‎ ‎(2)必要性:‎ 当直线l1:ax+2y﹣1=0与直线l2:x+2y+4=0平行时有:‎ a•2=2•1,即:a=1.‎ ‎∴“a=1”是“直线l1:ax+2y﹣1=0与直线l2:x+2y+4=0平行”充分必要条件.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2012•浙江)设l是直线,α,β是两个不同的平面(  )‎ A.若l∥α,l∥β,则α∥β B.若l∥α,l⊥β,则α⊥β C.若α⊥β,l⊥α,则l⊥β D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β ‎【分析】利用面面垂直的判定定理可证明B是正确的,对于其它选项,可利用举反例法证明其是错误命题 ‎【解答】解:A,若l∥α,l∥β,则满足题意的两平面可能相交,排除A;‎ B,若l∥α,l⊥β,则在平面α内存在一条直线垂直于平面β,从而两平面垂直,故B正确;‎ C,若α⊥β,l⊥α,则l可能在平面β内,排除C;‎ D,若α⊥β,l∥α,则l可能与β平行,相交,排除D 故选 B ‎ ‎ ‎6.(5分)(2012•浙江)把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】首先根据函数图象变换的公式,可得最终得到的图象对应的解析式为:y=cos(x+1),然后将曲线y=cos(x+‎ ‎1)的图象和余弦曲线y=cosx进行对照,可得正确答案.‎ ‎【解答】解:将函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),‎ 得到的图象对应的解析式为:y=cosx+1,‎ 再将y=cosx+1图象向左平移1个单位长度,再向下平移 1个单位长度,‎ 得到的图象对应的解析式为:y=cos(x+1),‎ ‎∵曲线y=cos(x+1)由余弦曲线y=cosx左移一个单位而得,‎ ‎∴曲线y=cos(x+1)经过点(,0)和(,0),且在区间(,)上函数值小于0‎ 由此可得,A选项符合题意.‎ 故选A ‎ ‎ ‎7.(5分)(2012•浙江)设,是两个非零向量.则下列命题为真命题的是(  )‎ A.若|+|=||﹣||,则⊥‎ B.若⊥,则|+|=||﹣||‎ C.若|+|=||﹣||,则存在实数λ,使得=λ D.若存在实数λ,使得=λ,则|+|=||﹣||‎ ‎【分析】通过向量和向量的模相关性质进行判断即可.‎ ‎【解答】解:对于A,若|+|=||﹣||,则||2+||2+2•=||2+||2﹣2||||,得•=﹣||||≠0,与不垂直,所以A不正确;‎ 对于B,由A解析可知,|+|≠||﹣||,所以B不正确;‎ 对于C,若|+|=||﹣||,则||2+||2+2•=||2+||2﹣2||||,得•=﹣||||,则cosθ=﹣1,则与反向,因此存在实数λ,使得=λ,所以C正确.‎ 对于D,若存在实数λ,则•=λ||2,﹣||||=λ||2,由于λ不能等于0,因此•≠﹣||||,则|+|≠||﹣||,所以D不正确.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2012•浙江)如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点.若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是(  )‎ A.3 B.2 C. D.‎ ‎【分析】根据M,N是双曲线的两顶点,M,O,N将椭圆长轴四等分,可得椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍,利用双曲线与椭圆有公共焦点,即可求得双曲线与椭圆的离心率的比值.‎ ‎【解答】解:∵M,N是双曲线的两顶点,M,O,N将椭圆长轴四等分 ‎∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍 ‎∵双曲线与椭圆有公共焦点,‎ ‎∴双曲线与椭圆的离心率的比值是2‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)(2012•浙江)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是(  )‎ A. B. C.5 D.6‎ ‎【分析】将x+3y=5xy转化成=1,然后根据3x+4y=()(3x+4y),展开后利用基本不等式可求出3x+4y的最小值.‎ ‎【解答】解:∵正数x,y满足x+3y=5xy,‎ ‎∴=1‎ ‎∴3x+4y=()(3x+4y)=+++≥+2=5‎ 当且仅当=时取等号 ‎∴3x+4y≥5‎ 即3x+4y的最小值是5‎ 故选:C ‎ ‎ ‎10.(5分)(2012•浙江)设a>0,b>0,e是自然对数的底数(  )‎ A.若ea+2a=eb+3b,则a>b B.若ea+2a=eb+3b,则a<b C.若ea﹣2a=eb﹣3b,则a>b D.若ea﹣2a=eb﹣3b,则a<b ‎【分析】对于ea+2a=eb+3b,若a≤b成立,经分析可排除B;对于ea﹣2a=eb﹣3b,若a≥b成立,经分析可排除C,D,从而可得答案.‎ ‎【解答】解:对于ea+2a=eb+3b,若a≤b成立,则必有ea≤eb,故必有2a≥3b,即有a≥b这与a≤b矛盾,故a≤b成立不可能成立,故B不对;‎ 对于ea﹣2a=eb﹣3b,若a≥b成立,则必有ea≥eb,故必有2a≥3b,即有a≥b,故排除C,D.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分.‎ ‎11.(4分)(2012•浙江)某个年级有男生560人,女生420人,用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本,则此样本中男生人数为 160 .‎ ‎【分析】先根据男生和女生的人数做出年纪大总人数,用要抽取得人数除以总人数得到每个个体被抽到的概率,用男生人数乘以概率,得到结果.‎ ‎【解答】解:∵有男生560人,女生420人,‎ ‎∴年级共有560+420=980‎ ‎∵用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本,‎ ‎∴每个个体被抽到的概率是=,‎ ‎∴要从男生中抽取560×=160,‎ 故答案为:160‎ ‎ ‎ ‎12.(4分)(2012•浙江)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为的概率是  .‎ ‎【分析】先求出随机(等可能)取两点的总数,然后求出满足该两点间的距离为的种数,最后根据古典概型的概率公式求之即可.‎ ‎【解答】解:从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点共有=10种 其中两点间的距离为的必选中心,共有4种可能 故该两点间的距离为的概率是=‎ 故答案为:‎ ‎ ‎ ‎13.(4分)(2012•浙江)若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是  .‎ ‎【分析】通过循环框图,计算循环变量的值,当i=6时结束循环,输出结果即可.‎ ‎【解答】解:循环前,T=1,i=2,不满足判断框的条件,第1次循环,T=,i=3,‎ 不满足判断框的条件,第2次循环,T=,i=4,‎ 不满足判断框的条件,第3次循环,T=,i=5,‎ 不满足判断框的条件,第4次循环,T=,i=6,‎ 满足判断框的条件,退出循环,输出结果.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎14.(4分)(2012•浙江)设z=x+2y,其中实数x,y满足 则z的取值范围是 [0,] .‎ ‎【分析】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域,结合z在目标函数中的几何意义,求出目标函数的最大值、及最小值,进一步线出目标函数z的范围.‎ ‎【解答】解:约束条件 对应的平面区域如图示:‎ 由图易得目标函数z=2y+x在O(0,0)处取得最小值,此时z=0‎ 在B处取最大值,由可得B(),此时z=‎ 故Z=x+2y的取值范围为:[0,]‎ 故答案为:[0,]‎ ‎ ‎ ‎15.(4分)(2012•浙江)在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则•= ﹣16 .‎ ‎【分析】设∠AMB=θ,则∠AMC=π﹣θ,再由 =( ﹣)•( ﹣)以及两个向量的数量积的定义求出结果.‎ ‎【解答】解:设∠AMB=θ,则∠AMC=π﹣θ.又=﹣,=﹣,‎ ‎∴=( ﹣)•( ﹣)=•﹣•﹣•+,‎ ‎=﹣25﹣5×3cosθ﹣3×5cos(π﹣θ)+9=﹣16,‎ 故答案为﹣16.‎ ‎ ‎ ‎16.(4分)(2012•浙江)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则=  .‎ ‎【分析】利用函数的周期性先把转化成f(),再利用函数f(x)是定义在R上的偶函数转化成f(),代入已知求解即可.‎ ‎【解答】解:∵函数f(x)是定义在R上的周期为2的函数,‎ ‎∴=f(+2)=f(),‎ 又∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,‎ ‎∴f()=f(),‎ 又∵当x∈[0,1]时,f(x)=x+1,‎ ‎∴f()=+1=,‎ 则=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎17.(4分)(2012•浙江)定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离,已知曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,则实数a=  .‎ ‎【分析】先根据定义求出曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,然后根据曲线C1:y=x2+a的切线与直线y=x平行时,该切点到直线的距离最近建立等式关系,解之即可.‎ ‎【解答】解:圆x2+(y+4)2=2的圆心为(0,﹣4),半径为,‎ 圆心到直线y=x的距离为=2,‎ ‎∴曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离为2﹣=.‎ 则曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离等于,‎ 令y′=2x=1解得x=,故切点为(,+a),‎ 切线方程为y﹣(+a)=x﹣即x﹣y﹣+a=0,‎ 由题意可知x﹣y﹣+a=0与直线y=x的距离为,‎ 即解得a=或﹣.‎ 当a=﹣时直线y=x与曲线C1:y=x2+a相交,故不符合题意,舍去.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎18.(14分)(2012•浙江)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=a•cosB.‎ ‎(1)求角B的大小;‎ ‎(2)若b=3,sinC=2sinA,分别求a和c的值.‎ ‎【分析】(1)由bsinA=a•cosB,由正弦定理可得:sinBsinA=sinAcosB,化简整理即可得出.‎ ‎(2)由sinC=2sinA,可得c=2a,由余弦定理可得:b2=a2+c2﹣2accosB,代入计算即可得出.‎ ‎【解答】解:(1)∵bsinA=a•cosB,由正弦定理可得:sinBsinA=sinAcosB,‎ ‎∵sinA≠0,∴sinB=cosB,‎ B∈(0,π),‎ 可知:cosB≠0,否则矛盾.‎ ‎∴tanB=,∴B=.‎ ‎(2)∵sinC=2sinA,∴c=2a,‎ 由余弦定理可得:b2=a2+c2﹣2accosB,‎ ‎∴9=a2+c2﹣ac,‎ 把c=2a代入上式化为:a2=3,解得a=,‎ ‎∴.‎ ‎ ‎ ‎19.(14分)(2012•浙江)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,n∈N*,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N*.‎ ‎(1)求an,bn;‎ ‎(2)求数列{an•bn}的前n项和Tn.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由Sn=2n2+n可得,当n=1时,可求a1=3,当n≥2时,由an=sn﹣sn﹣1可求通项,进而可求bn ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,利用错位相减可求数列的和 ‎【解答】解:(Ⅰ)由Sn=2n2+n可得,当n=1时,a1=s1=3‎ 当n≥2时,an=sn﹣sn﹣1=2n2+n﹣2(n﹣1)2﹣(n﹣1)=4n﹣1‎ 而n=1,a1=4﹣1=3适合上式,‎ 故an=4n﹣1,‎ 又∵an=4log2bn+3=4n﹣1‎ ‎∴‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,‎ ‎2Tn=3×2+7×22+…+(4n﹣5)•2n﹣1+(4n﹣1)•2n ‎∴‎ ‎=(4n﹣1)•2n ‎=(4n﹣1)•2n﹣[3+4(2n﹣2)]=(4n﹣5)•2n+5‎ ‎ ‎ ‎20.(15分)(2012•浙江)如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=.AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中点,F是平面B1C1E与直线AA1的交点.‎ ‎(1)证明:‎ ‎(i)EF∥A1D1;‎ ‎(ii)BA1⊥平面B1C1EF;‎ ‎(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值.‎ ‎【分析】(1)‎ ‎(i)先由C1B1∥A1D1证明C1B1∥平面ADD1A1,再由线面平行的性质定理得出C1B1∥EF,证出EF∥A1D1.‎ ‎(ii)易通过证明B1C1⊥平面ABB1A1得出B1C1⊥BA1,再由tan∠A1B1F=tan∠AA1B=,即∠A1B1F=∠AA1B,得出BA1⊥B1F.所以BA1⊥平面B1C1EF;‎ ‎(2)设BA1与B1F交点为H,连接C1H,由(1)知BA1⊥平面B1C1EF,所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角.在RT△BHC1中求解即可.‎ ‎【解答】(1)证明(i)∵C1B1∥A1D1,C1B1⊄平面ADD1A1,∴C1B1∥平面ADD1A1,‎ 又C1B1⊂平面B1C1EF,平面B1C1EF∩平面ADD1A1=EF,‎ ‎∴C1B1∥EF,∴EF∥A1D1;‎ ‎(ii)∵BB1⊥平面A1B1C1D1,∴BB1⊥B1C1,‎ 又∵B1C1⊥B1A1,‎ ‎∴B1C1⊥平面ABB1A1,‎ ‎∴B1C1⊥BA1,‎ 在矩形ABB1A1中,F是AA1的中点,tan∠A1B1F=tan∠AA1B=,即∠A1B1F=∠AA1B,故BA1⊥B1F.‎ 所以BA1⊥平面B1C1EF;‎ ‎(2)解:设BA1与B1F交点为H,‎ 连接C1H,由(1)知BA1⊥平面B1C1EF,所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角.‎ 在矩形AA1B1B中,AB=,AA1=2,得BH=,‎ 在RT△BHC1中,BC1=2,sin∠BC1H==,‎ 所以BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值是.‎ ‎ ‎ ‎21.(15分)(2012•浙江)已知a∈R,函数f(x)=4x3﹣2ax+a.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间;‎ ‎(2)证明:当0≤x≤1时,f(x)+|2﹣a|>0.‎ ‎【分析】(1)求导函数,再分类讨论:a≤0时,f′(x)≥0恒成立;a>0时,f′(x)=12x2﹣2a=12(x﹣)(x+),由此可确定f(x)的单调区间;‎ ‎(2)由于0≤x≤1,故当a≤2时,f(x)+|2﹣a|=4x3﹣2ax+2≥4x3﹣4x+2;当a>2时,f(x)+|2﹣a|=4x3+2a(1﹣x)﹣2≥4x3+4(1﹣x)﹣2=4x3﹣4x+‎ ‎2,构造函数g(x)=2x3﹣2x+1,0≤x≤1,确定g(x)min=g()=1﹣>0,即可证得结论.‎ ‎【解答】(1)解:求导函数可得f′(x)=12x2﹣2a a≤0时,f′(x)≥0恒成立,此时f(x)的单调递增区间为(﹣∞,+∞)‎ a>0时,f′(x)=12x2﹣2a=12(x﹣)(x+)‎ ‎∴f(x)的单调递增区间为(﹣∞,﹣),(,+∞);单调递减区间为(﹣,);‎ ‎(2)证明:由于0≤x≤1,故 当a≤2时,f(x)+|2﹣a|=4x3﹣2ax+2≥4x3﹣4x+2‎ 当a>2时,f(x)+|2﹣a|=4x3+2a(1﹣x)﹣2≥4x3+4(1﹣x)﹣2=4x3﹣4x+2‎ 设g(x)=2x3﹣2x+1,0≤x≤1,∴g′(x)=6(x﹣)(x+)‎ ‎ x ‎ 0‎ ‎ (0,)‎ ‎ (,1)‎ ‎ g′(x)‎ ‎﹣‎ ‎+‎ ‎ g(x)‎ ‎ 极小值 ‎∴函数g(x)在(0,)上单调减,在(,1)上单调增 ‎∴g(x)min=g()=1﹣>0‎ ‎∴当0≤x≤1时,2x3﹣2x+1>0‎ ‎∴当0≤x≤1时,f(x)+|2﹣a|>0.‎ ‎ ‎ ‎22.(14分)(2012•浙江)如图,在直角坐标系xOy中,点P(1,)到抛物线C:y2=2px(P>0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB被直线OM平分.‎ ‎(1)求p,t的值.‎ ‎(2)求△ABP面积的最大值.‎ ‎【分析】(1)通过点P(1,)到抛物线C:y2=2px(P>0)的准线的距离为.列出方程,求出p,t的值即可.‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为Q(m,m),设直线AB的斜率为k,(k≠0),利用推出AB的方程y﹣m=.利用弦长公式求出|AB|,设点P到直线AB的距离为d,利用点到直线的距离公式求出d,设△ABP的面积为S,求出S==|1﹣2(m﹣m2)|.利用函数的导数求出△ABP面积的最大值.‎ ‎【解答】解:(1)由题意可知得,.‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为Q(m,m),‎ 由题意可知,设直线AB的斜率为k,(k≠0),‎ 由得,(y1﹣y2)(y1+y2)=x1﹣x2,‎ 故k•2m=1,‎ 所以直线AB方程为y﹣m=.‎ 即△=4m﹣4m2>0,y1+y2=2m,y1y2=2m2﹣m.‎ 从而|AB|==,‎ 设点P到直线AB的距离为d,则 d=,‎ 设△ABP的面积为S,则 S==|1﹣2(m﹣m2)|.‎ 由△=>0,得0<m<1,‎ 令u=,,则S=u(1﹣2u2),,‎ 则S′(u)=1﹣6u2,S′(u)=0,得u=,‎ 所以S最大值=S()=.‎ 故△ABP面积的最大值为.‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:xintrl;涨停;石玉台;xize;ywg2058;qiss;刘长柏;minqi5;wfy814;邢新丽;caoqz;沂蒙松;吕静;zwx097(排名不分先后)‎ ‎2017年2月3日