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【高中高考数学压轴题预测题-浙江省1】2020年高考数学计算题大题-含详细解析答案、可编辑
学校:__________ 班级:__________ 姓名:__________ 考号:__________
一、 解答题 (本题共计 40 小题 ,每题 3 分 ,共计120分 , )
1. 已知实数a≠0,设函数f(x)=alnx+1+x,x>0.
(1)当a=-34时,求函数f(x)的单调区间;
(2)对任意x∈1e2,+∞均有f(x)≤x2a,求a的取值范围.
注:e=2.71828⋯为自然对数的底数.
2. 如图,已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点.过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线上,使得△ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F的右侧.记△AFG,△CQG的面积分别为S1,S2.
(1)求p的值及抛物线的准线方程;
(2)求S1S2的最小值及此时点G的坐标.
3. 设等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=4,a4=S3.数列{bn}满足:对每个n∈N*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)记cn=an2bn, n∈N*,证明: c1+c2+⋯+cn<2n,n∈N*.
4. 如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面A1ACC1⊥平面ABC,∠ABC=90∘,∠BAC=30∘,A1A=A1C=AC,E, F分别是AC,A1B1的中点.
(1)证明:EF⊥BC;
(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.
5. 设函数f(x)=sinx,x∈R.
(1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值;
(2)求函数y=fx+π122+fx+π42的值域.
6. 已知函数f(x)=x-lnx.
(1)若f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等,证明:f(x1)+f(x2)>8-8ln2;
(2)若a≤3-4ln2,证明:对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.
7. 如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.
(1)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;
(2)若P是半椭圆x2+y24=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围.
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8. 已知等比数列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{bn}满足b1=1,数列{(bn+1-bn)an}的前n项和为2n2+n.
(1)求q的值;
(2)求数列{bn}的通项公式.
9. 如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120∘,A1A=4,C1C=l,AB=BC=B1B=2.
(1)证明:AB1⊥平面A1B1C1;
(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.
10. 已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P-35,-45.
(1)求sin(α+π)的值;
(2)若角β满足sin(α+β)=513,求cosβ的值.
11. 设数列满足|an-an+12|≤1,n∈N*.
(1)求证:|an|≥2n-1(|a1|-2)(n∈N*)
(2)若|an|≤(32)n,n∈N*,证明:|an|≤2,n∈N*.
12. 如图,设椭圆C:x2a2+y2=1(a>1)
(I)求直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长(用a,k表示)
(II)若任意以点A(0, 1)为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点,求椭圆的离心率的取值范围.
13. 已知a≥3,函数F(x)=min{2|x-1|, x2-2ax+4a-2},其中min(p, q)=p,p≤qq,p>q .
(Ⅰ)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围;
(Ⅱ)(i)求F(x)的最小值m(a);
(ii)求F(x)在[0, 6]上的最大值M(a).
14. 如图,在三棱台ABC-DEF中,已知平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90∘,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3,
(1)求证:EF⊥平面ACFD;
(2)求二面角B-AD-F的余弦值.
15. 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.
(1)证明:A=2B;
(2)若△ABC的面积S=a24,求角A的大小.
16. 已知数列{an}满足a1=12且an+1=an-an2(n∈N*)
(1)证明:1≤anan+1≤2(n∈N*);
(2)设数列{an2}的前n项和为Sn,证明12(n+2)≤Snn≤12(n+1)(n∈N*).
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17. 已知椭圆x22+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+12对称.
(1)求实数m的取值范围;
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).
18. 已知函数f(x)=x2+ax+b(a, b∈R),记M(a, b)是|f(x)|在区间[-1, 1]上的最大值.
(1)证明:当|a|≥2时,M(a, b)≥2;
(2)当a,b满足M(a, b)≤2时,求|a|+|b|的最大值.
19. 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90∘,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的中点.
(1)证明:A1D⊥平面A1BC;
(2)求二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值.
20. 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=π4,b2-a2=12c2.
(1)求tanC的值;
(2)若△ABC的面积为3,求b的值.
21. 设函数f(x)=x3+1x+1,x∈[0, 1],证明:
(1)f(x)≥1-x+x2
(2)340)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.
求p的值;
若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M,求M的横坐标的取值范围.
23. 如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90∘,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
(1)求证:BF⊥平面ACFD;
(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.
24. 设数列{an}的前n项和为Sn,已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.
(1)求通项公式an;
(2)求数列{|an-n-2|}的前n项和.
25. 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.
(1)证明:A=2B;
(2)若cosB=23,求cosC的值.
26. 设函数f(x)=x2+ax+b(a, b∈R).
(Ⅰ)当b=a24+1时,求函数f(x)在[-1, 1]上的最小值g(a)的表达式.
(Ⅱ)已知函数f(x)在[-1, 1]上存在零点,0≤b-2a≤1,求b的取值范围.
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27. 如图,已知抛物线C1:y=14x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t, 0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.
(Ⅰ)求点A,B的坐标;
(Ⅱ)求△PAB的面积.
注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.
28. 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90∘,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的中点.
(1)证明:A1D⊥平面A1BC;
(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.
29. 已知数列{an}和{bn}满足a1=2,b1=1,an+1=2an(n∈N*),b1+12b2+13b3+⋯+1nbn=bn+1-1(n∈N*)
(Ⅰ)求an与bn;
(Ⅱ)记数列{anbn}的前n项和为Tn,求Tn.
30. 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知tan(π4+A)=2.
(1)求sin2Asin2A+cos2A的值;
(2)若B=π4,a=3,求△ABC的面积.
31. 已知函数f(x)=x3+3|x-a|(a∈R).
(1)若f(x)在[-1, 1]上的最大值和最小值分别记为M(a),m(a),求M(a)-m(a);
(2)设b∈R,若[f(x)+b]2≤4对x∈[-1, 1]恒成立,求3a+b的取值范围.
32. 如图,设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),动直线l与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第一象限.
(Ⅰ)已知直线l的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标;
(Ⅱ)若过原点O的直线l1与l垂直,证明:点P到直线l1的距离的最大值为a-b.
33. 如图,在四棱锥A-BCDE中,平面ABC⊥平面BCDE,∠CDE=∠BED=90∘,AB=CD=2,DE=BE=1,AC=2.
(Ⅰ)证明:DE⊥平面ACD;
(Ⅱ)求二面角B-AD-E的大小.
34. 已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3...an=(2)bn(n∈N*).若{an}为等比数列,且a1=2,b3=6+b2.
(1)求an与bn;
(2)设cn=1an-1bn(n∈N*).记数列{cn}的前n项和为Sn.
(i)求Sn;
(ii)求正整数k,使得对任意n∈N*,均有Sk≥Sn.
35. 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=3,cos2A-cos2B=3sinAcosA-3sinBcosB.
(1)求角C的大小;
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(2)若sinA=45,求△ABC的面积.
36. 已知△ABP的三个顶点在抛物线C:x2=4y上,F为抛物线C的焦点,点M为AB的中点,PF→=3FM→,
(1)若|PF|=3,求点M的坐标;
(2)求△ABP面积的最大值.
37. 已知函数f(x)=x3+3|x-a|(a>0),若f(x)在[-1, 1]上的最小值记为g(a).
(Ⅰ)求g(a);
(Ⅱ)证明:当x∈[-1, 1]时,恒有f(x)≤g(a)+4.
38. 如图,在四棱锥A-BCDE中,平面ABC⊥平面BCDE,∠CDE=∠BED=90∘,AB=CD=2,DE=BE=1,AC=2.
(1)证明:AC⊥平面BCDE;
(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值.
39. 已知等差数列{an}的公差d>0,设{an}的前n项和为Sn,a1=1,S2⋅S3=36.
(Ⅰ)求d及Sn;
(Ⅱ)求m,k(m, k∈N*)的值,使得am+am+1+am+2+...+am+k=65.
40. 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知4sin2A-B2+4sinAsinB=2+2.
(1)求角C的大小;
(2)已知b=4,△ABC的面积为6,求边长c的值.
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参考答案与试题解析
【高中高考数学压轴题预测题-浙江省1】2020年高考数学计算题大题-含详细解析答案、可编辑
一、 解答题 (本题共计 40 小题 ,每题 3 分 ,共计120分 )
1.【答案】
解:(1)当a=-34时,f(x)=-34lnx+1+x,x>0,
则f'(x)=-34x+121+x
=(1+x-2)(21+x+1)4x1+x,
当f'(x)>0时,解得x>3;
当f'(x)<0时,解得00,
故q(x)在1e2,17上单调递增,所以q(x)≤q17,
由①得,q17=-277p17<-277p(1)=0
所以,q(x)<0,因此,g(t)≥g1+1x=-q(x)x>0,
由①②知对任意x∈1e2,+∞,t∈[22,+∞),g(t)≥0,
即对任意x∈1e2,+∞,均有f(x)≤x2a,
综上所述,所求a的取值范围是0,24.
【解答】
解:(1)当a=-34时,f(x)=-34lnx+1+x,x>0,
则f'(x)=-34x+121+x
=(1+x-2)(21+x+1)4x1+x,
当f'(x)>0时,解得x>3;
当f'(x)<0时,解得00,
故q(x)在1e2,17上单调递增,所以q(x)≤q17,
由①得,q17=-277p17<-277p(1)=0
所以,q(x)<0,因此,g(t)≥g1+1x=-q(x)x>0,
由①②知对任意x∈1e2,+∞,t∈[22,+∞),g(t)≥0,
即对任意x∈1e2,+∞,均有f(x)≤x2a,
综上所述,所求a的取值范围是0,24.
2.【答案】
解:(1)由题意得p2=1,即p=2.
所以,抛物线的准线方程为x=-1.
(2)设AxA,yA,BxB,yB,CxC,yC,重心G(xG,yG).
令yA=2t,t≠0,则xA=t2.
由于直线AB过F,故直线AB方程为x=t2-12ty+1,
代入y2=4x,得
y2-2t2-1ty-4=0.
故2tyB=-4,即yB=-2t,
所以B1t2,-2t.
又由于xG=13xA+xB+xC, yG=13yA+yB+yC及重心G在x轴上,
故2t-2t+yC=0,
得C1t-t2,21t-t,G2t4-2t2+23t2,0.
所以,直线AC方程为y-2t=2tx-t2,
得Q(t2-1,0).
由于Q在焦点F的右侧,故t2>2.
从而S1S2=12|FG|⋅yA12|QG|⋅yc
=2t4-2t2+23t2-1⋅|2t|t2-1-2t4-2t2+23t2⋅2t-2t
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=2t4-t2t4-1
=2-t2-2t4-1.
令m=t2-2,则m>0,
S1S2=2-mm2+4m+3
=2-1m+3m+4
≥2-12m⋅3m+4
=1+32.
当m=3时,S1S2取得最小值1+32,此时G(2,0).
【解答】
解:(1)由题意得p2=1,即p=2.
所以,抛物线的准线方程为x=-1.
(2)设AxA,yA,BxB,yB,CxC,yC,重心G(xG,yG).
令yA=2t,t≠0,则xA=t2.
由于直线AB过F,故直线AB方程为x=t2-12ty+1,
代入y2=4x,得
y2-2t2-1ty-4=0.
故2tyB=-4,即yB=-2t,
所以B1t2,-2t.
又由于xG=13xA+xB+xC, yG=13yA+yB+yC及重心G在x轴上,
故2t-2t+yC=0,
得C1t-t2,21t-t,G2t4-2t2+23t2,0.
所以,直线AC方程为y-2t=2tx-t2,
得Q(t2-1,0).
由于Q在焦点F的右侧,故t2>2.
从而S1S2=12|FG|⋅yA12|QG|⋅yc
=2t4-2t2+23t2-1⋅|2t|t2-1-2t4-2t2+23t2⋅2t-2t
=2t4-t2t4-1
=2-t2-2t4-1.
令m=t2-2,则m>0,
S1S2=2-mm2+4m+3
=2-1m+3m+4
≥2-12m⋅3m+4
=1+32.
当m=3时,S1S2取得最小值1+32,此时G(2,0).
3.【答案】
(1)解:设数列{an}的公差为d,由题意得
a1+2d=4,a1+3d=3a1+3d,
解得a1=0,d=2.
从而an=2n-2,n∈N*.
所以Sn=n2-n,n∈N*.
由Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列得
Sn+1+bn2=Sn+bnSn+2+bn.
解得bn=1dSn+12-SnSn+2.
所以bn=n2+n,n∈N*.
(2)证明:cn=an2bn=2n-22n(n+1)=n-1n(n+1),n∈N*.
我们用数学归纳法证明.
①当n=1时,c1=0<2,不等式成立;
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②假设n=kk∈N*时不等式成立,即c1+c2+⋯+ck<2k.
那么,当n=k+1时,
c1+c2+⋯+c1+ck+1<2k+k(k+1)(k+2)<2k+1k+1
<2k+2k+1+k=2k+2(k+1-k)=2k+1,
即当n=k+1时不等式也成立.
根据①和②,不等式c1+c2+⋯+cn<2n对任意n∈N*恒成立.
【解答】
(1)解:设数列{an}的公差为d,由题意得
a1+2d=4,a1+3d=3a1+3d,
解得a1=0,d=2.
从而an=2n-2,n∈N*.
所以Sn=n2-n,n∈N*.
由Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列得
Sn+1+bn2=Sn+bnSn+2+bn.
解得bn=1dSn+12-SnSn+2.
所以bn=n2+n,n∈N*.
(2)证明:cn=an2bn=2n-22n(n+1)=n-1n(n+1),n∈N*.
我们用数学归纳法证明.
①当n=1时,c1=0<2,不等式成立;
②假设n=kk∈N*时不等式成立,即c1+c2+⋯+ck<2k.
那么,当n=k+1时,
c1+c2+⋯+c1+ck+1<2k+k(k+1)(k+2)<2k+1k+1
<2k+2k+1+k=2k+2(k+1-k)=2k+1,
即当n=k+1时不等式也成立.
根据①和②,不等式c1+c2+⋯+cn<2n对任意n∈N*恒成立.
4.【答案】
(1)证明:如图,连接A1E,
∵ A1A=A1C,E是AC的中点,
∴ A1E⊥AC,
又平面A1ACC1⊥平面ABC,A1E⊂平面A1ACC1,平面A1ACC1∩平面ABC=AC,
∴ A1E⊥平面ABC,则A1E⊥BC,
又∵ A1F//AB,∠ABC=90◦,故BC⊥A1F,
∴ BC⊥平面A1EF,
∴ EF⊥BC.
(2)解:如图,取BC中点G连接EG, GF,则EGFA1是平行四边形,
由于A1E⊥平面ABC,故A1E⊥EG,
∴ 平行四边形EGFA1为矩形,
由(1)得BC⊥平面EGFA1,则平面A1BC⊥平面EGFA1,
∴ EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上,
连接A1G交EF于O,则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角),
不妨设AC=4,则在Rt△A1EG中,A1E=23,EG=3,
由于O为A1G的中点,故EO=OG=A1G2=152,
∴ cos∠EOG=EO2+OG2-EG22EO⋅OG=35,
∴ 直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是35.
【解答】
(1)证明:如图,连接A1E,
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∵ A1A=A1C,E是AC的中点,
∴ A1E⊥AC,
又平面A1ACC1⊥平面ABC,A1E⊂平面A1ACC1,平面A1ACC1∩平面ABC=AC,
∴ A1E⊥平面ABC,则A1E⊥BC,
又∵ A1F//AB,∠ABC=90◦,故BC⊥A1F,
∴ BC⊥平面A1EF,
∴ EF⊥BC.
(2)解:如图,取BC中点G连接EG, GF,则EGFA1是平行四边形,
由于A1E⊥平面ABC,故A1E⊥EG,
∴ 平行四边形EGFA1为矩形,
由(1)得BC⊥平面EGFA1,则平面A1BC⊥平面EGFA1,
∴ EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上,
连接A1G交EF于O,则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角),
不妨设AC=4,则在Rt△A1EG中,A1E=23,EG=3,
由于O为A1G的中点,故EO=OG=A1G2=152,
∴ cos∠EOG=EO2+OG2-EG22EO⋅OG=35,
∴ 直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是35.
5.【答案】
解:(1)∵ f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,
∴ 对任意实数x都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),
即sinxcosθ+cosxsinθ
=-sinxcosθ+cosxsinθ
故2sinxcosθ=0,
∴ cosθ=0.
又θ∈[0,2π),
∴ θ=π2或3π2;
(2)y=fx+π122+fx+π42
=sin2x+π12+sin2x+π4
=1-cos2x+π62+1-cos2x+π22
=1-1232cos2x-32sin2x
=1-32cos2x+π3,
∴ 函数的值域是[1-32,1+32].
【解答】
解:(1)∵ f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,
∴ 对任意实数x都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),
即sinxcosθ+cosxsinθ
=-sinxcosθ+cosxsinθ
故2sinxcosθ=0,
∴ cosθ=0.
又θ∈[0,2π),
∴ θ=π2或3π2;
(2)y=fx+π122+fx+π42
=sin2x+π12+sin2x+π4
=1-cos2x+π62+1-cos2x+π22
=1-1232cos2x-32sin2x
=1-32cos2x+π3,
∴ 函数的值域是[1-32,1+32].
6.【答案】
证明:(1)∵ 函数f(x)=x-lnx,
∴ x>0,f'(x)=12x-1x,
∵ f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等,
∴ 12x1-1x1=12x2-1x2,
∵ x1≠x2,∴ 1x1+1x2=12,
由基本不等式得:12x1x2=x1+x2≥24x1x2,
∵ x1≠x2,∴ x1x2>256,
由题意得f(x1)+f(x2)=x1-lnx1+x2-lnx2=12x1x2-ln(x1x2),
设g(x)=12x-lnx,则g'(x)=14x(x-4)
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,
∴ 列表讨论:
x
(0, 16)
16
(16, +∞)
g'(x)
-
0
+
g(x)
↓
2-4ln2
↑
∴ g(x)在[256, +∞)上单调递增,
∴ g(x1x2)>g(256)=8-8ln2,
∴ f(x1)+f(x2)>8-8ln2.
(2)令m=e-(|a|+k),n=(|a|+1k)2+1,
则f(m)-km-a>|a|+k-k-a≥0,
f(n)-kn-a0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.
【解答】
证明:(1)∵ 函数f(x)=x-lnx,
∴ x>0,f'(x)=12x-1x,
∵ f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等,
∴ 12x1-1x1=12x2-1x2,
∵ x1≠x2,∴ 1x1+1x2=12,
由基本不等式得:12x1x2=x1+x2≥24x1x2,
∵ x1≠x2,∴ x1x2>256,
由题意得f(x1)+f(x2)=x1-lnx1+x2-lnx2=12x1x2-ln(x1x2),
设g(x)=12x-lnx,则g'(x)=14x(x-4),
∴ 列表讨论:
x
(0, 16)
16
(16, +∞)
g'(x)
-
0
+
g(x)
↓
2-4ln2
↑
∴ g(x)在[256, +∞)上单调递增,
∴ g(x1x2)>g(256)=8-8ln2,
∴ f(x1)+f(x2)>8-8ln2.
(2)令m=e-(|a|+k),n=(|a|+1k)2+1,
则f(m)-km-a>|a|+k-k-a≥0,
f(n)-kn-a0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.
7.【答案】
(1)证明:设Px0,y0,A(14y12,y1),B(14y22,y2).
因为PA,PB的中点在抛物线上,
所以y1,y2为方程(y+y02)2=4⋅14y2+x02
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即y2-2y0y+8x0-y02=0的两个不同的实根.
所以y1+y2=2y0,
因此,PM垂直于y轴.
(2)解:由(1)可知y1+y2=2y0,y1y2=8x0-y02,
所以|PM|=18y12+y22-x0=34y02-3x0,
y1-y2=22y02-4x0.
因此,△PAB的面积
S△PAB=12|PM|⋅y1-y2=324y02-4x032.
因为x02+y024=1x0<0,
所以y02-4x0=-4x02-4x0+4∈[4,5],
因此,△PAB面积的取值范围是[62,15104].
【解答】
(1)证明:设Px0,y0,A(14y12,y1),B(14y22,y2).
因为PA,PB的中点在抛物线上,
所以y1,y2为方程(y+y02)2=4⋅14y2+x02
即y2-2y0y+8x0-y02=0的两个不同的实根.
所以y1+y2=2y0,
因此,PM垂直于y轴.
(2)解:由(1)可知y1+y2=2y0,y1y2=8x0-y02,
所以|PM|=18y12+y22-x0=34y02-3x0,
y1-y2=22y02-4x0.
因此,△PAB的面积
S△PAB=12|PM|⋅y1-y2=324y02-4x032.
因为x02+y024=1x0<0,
所以y02-4x0=-4x02-4x0+4∈[4,5],
因此,△PAB面积的取值范围是[62,15104].
8.【答案】
解:(1)等比数列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项,
可得2a4+4=a3+a5=28-a4,
解得a4=8,
由8q+8+8q=28,可得q=2(12舍去),
则q的值为2;
(2)设cn=(bn+1-bn)an=(bn+1-bn)2n-1,
可得n=1时,c1=2+1=3,
n≥2时,可得cn=2n2+n-2(n-1)2-(n-1)=4n-1,
上式对n=1也成立,
则(bn+1-bn)an=4n-1,
即有bn+1-bn=(4n-1)⋅(12)n-1,
可得bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+...+(bn-bn-1)
=1+3⋅(12)0+7⋅(12)1+...+(4n-5)⋅(12)n-2,
12bn=12+3⋅(12)+7⋅(12)2+...+(4n-5)⋅(12)n-1,
相减可得12bn=72+4[(12)+(12)2+...+(12)n-2]-(4n-5)⋅(12)n-1
=72+4⋅12(1-12n-2)1-12-(4n-5)⋅(12)n-1,
化简可得bn=15-(4n+3)⋅(12)n-2.
【解答】
解:(1)等比数列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项,
可得2a4+4=a3+a5=28-a4,
解得a4=8,
由8q+8+8q=28,可得q=2(12舍去),
则q的值为2;
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(2)设cn=(bn+1-bn)an=(bn+1-bn)2n-1,
可得n=1时,c1=2+1=3,
n≥2时,可得cn=2n2+n-2(n-1)2-(n-1)=4n-1,
上式对n=1也成立,
则(bn+1-bn)an=4n-1,
即有bn+1-bn=(4n-1)⋅(12)n-1,
可得bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+...+(bn-bn-1)
=1+3⋅(12)0+7⋅(12)1+...+(4n-5)⋅(12)n-2,
12bn=12+3⋅(12)+7⋅(12)2+...+(4n-5)⋅(12)n-1,
相减可得12bn=72+4[(12)+(12)2+...+(12)n-2]-(4n-5)⋅(12)n-1
=72+4⋅12(1-12n-2)1-12-(4n-5)⋅(12)n-1,
化简可得bn=15-(4n+3)⋅(12)n-2.
9.【答案】
(1)证明:∵ A1A⊥平面ABC,B1B⊥平面ABC,
∴ AA1 // BB1,
∵ AA1=4,BB1=2,AB=2,
∴ A1B1=(AB)2+(AA1-BB1)2=22,
又AB1=AB2+BB12=22,∴ AA12=AB12+A1B12,
∴ AB1⊥A1B1,
同理可得:AB1⊥B1C1,
又A1B1∩B1C1=B1,
∴ AB1⊥平面A1B1C1.
(2)解:取AC中点O,过O作平面ABC的垂线OD,交A1C1于D,
∵ AB=BC,∴ OB⊥OC,
∵ AB=BC=2,∠BAC=120∘,∴ OB=1,OA=OC=3,
以O为原点,以OB,OC,OD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示:
则A(0, -3, 0),B(1, 0, 0),B1(1, 0, 2),C1(0, 3, 1),
∴ AB→=(1, 3, 0),BB1→=(0, 0, 2),AC1→=(0, 23, 1),
设平面ABB1的法向量为n→=(x, y, z),则n→⋅AB→=0,n→⋅BB1→=0,
∴ x+3y=0,2z=0,令y=1可得n→=(-3, 1, 0),
∴ cos=n→⋅AC1→|n→||AC1→|=232×13=3913.
设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ,则sinθ=|cos|=3913.
∴ 直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值为3913.
【解答】
(1)证明:∵ A1A⊥平面ABC,B1B⊥平面ABC,
∴ AA1 // BB1,
∵ AA1=4,BB1=2,AB=2,
∴ A1B1=(AB)2+(AA1-BB1)2=22,
又AB1=AB2+BB12=22,∴ AA12=AB12+A1B12,
∴ AB1⊥A1B1,
同理可得:AB1⊥B1C1,
又A1B1∩B1C1=B1,
∴ AB1⊥平面A1B1C1.
(2)解:取AC中点O,过O作平面ABC的垂线OD,交A1C1于D,
∵ AB=BC,∴ OB⊥OC,
∵ AB=BC=2,∠BAC=120∘,∴ OB=1,OA=OC=3,
以O为原点,以OB,OC,OD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示:
则A(0, -3, 0),B(1, 0, 0),B1(1, 0, 2),C1(0, 3, 1),
∴ AB→=(1, 3, 0),BB1→=(0, 0, 2),AC1→=(0, 23, 1),
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设平面ABB1的法向量为n→=(x, y, z),则n→⋅AB→=0,n→⋅BB1→=0,
∴ x+3y=0,2z=0,令y=1可得n→=(-3, 1, 0),
∴ cos=n→⋅AC1→|n→||AC1→|=232×13=3913.
设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ,则sinθ=|cos|=3913.
∴ 直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值为3913.
10.【答案】
解:(1)由角α的终边过点P-35,-45得sinα=-45,
所以sin(α+π)=-sinα=45.
(2)由角α的终边过点P-35,-45得cosα=-35,
由sin(α+β)=513,
得cos(α+β)=±1213.
由β=(α+β)-α,
得cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα,
所以cosβ=-5665或cosβ=1665.
【解答】
解:(1)由角α的终边过点P-35,-45得sinα=-45,
所以sin(α+π)=-sinα=45.
(2)由角α的终边过点P-35,-45得cosα=-35,
由sin(α+β)=513,
得cos(α+β)=±1213.
由β=(α+β)-α,
得cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα,
所以cosβ=-5665或cosβ=1665.
11.【答案】
解:(1)∵ |an-an+12|≤1,∴ |an|-12|an+1|≤1,
∴ |an|2n-|an+1|2n+1≤12n,n∈N*,
∴ |a1|2-|an|2n=(|a1|2-|a2|22)+(|a2|22-|a3|23)+...+(|an-1|2n-1-|an|2n)≤12+122+123+...+12n=12(1-12n)1-12=1-12n<1.
∴ |an|≥2n-1(|a1|-2)(n∈N*).
(2)任取n∈N*,由(1)知,对于任意m>n,
|an|2n-|am|2m=(|an|2n-|an+1|2n+1)+(|an+1|2n+1-|an+2|2n+2)+...+(|am-1|2m-1-|am|2m)
≤12n+12n+1+...+12m-1=12n(1-12m-n+1)1-12<12n-1.
∴ |an|<(12n-1+|am|2m)⋅2n≤[12n-1+12m⋅(32)m]•2n=2+(34)m⋅2n.①
由m的任意性可知|an|≤2.
否则,存在n0∈N*,使得|an0|>2,
取正整数m0>log34|an0|-22n0且m0>n0,则
2n0•(34)m0<2n0•(34)log34|an0|-22n0=|an0|-2,与①式矛盾.
综上,对于任意n∈N*,都有|an|≤2.
【解答】
解:(1)∵ |an-an+12|≤1,∴ |an|-12|an+1|≤1,
∴ |an|2n-|an+1|2n+1≤12n,n∈N*,
∴ |a1|2-|an|2n=(|a1|2-|a2|22)+(|a2|22-|a3|23)+...+(|an-1|2n-1-|an|2n)≤12+122+123+...+12n=12(1-12n)1-12=1-12n<1.
∴ |an|≥2n-1(|a1|-2)(n∈N*).
(2)任取n∈N*,由(1)知,对于任意m>n,
|an|2n-|am|2m=(|an|2n-|an+1|2n+1)+(|an+1|2n+1-|an+2|2n+2)+...+(|am-1|2m-1-|am|2m)
≤12n+12n+1+...+12m-1=12n(1-12m-n+1)1-12<12n-1.
∴
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|an|<(12n-1+|am|2m)⋅2n≤[12n-1+12m⋅(32)m]•2n=2+(34)m⋅2n.①
由m的任意性可知|an|≤2.
否则,存在n0∈N*,使得|an0|>2,
取正整数m0>log34|an0|-22n0且m0>n0,则
2n0•(34)m0<2n0•(34)log34|an0|-22n0=|an0|-2,与①式矛盾.
综上,对于任意n∈N*,都有|an|≤2.
12.【答案】
解:(I)由题意可得:y=kx+1x2a2+y2=1,可得:(1+a2k2)x2+2ka2x=0,
得x1=0或x2=-2ka21+k2a2,
直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长为:1+k2|x1-x2|=2a2|k|1+a2k21+k2.
(II)假设圆A与椭圆由4个公共点,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|=|AQ|,
记直线AP,AQ的斜率分别为:k1,k2;且k1,k2>0,k1≠k2,由(1)可知|AP|=2a2|k1|1+k121+a2k12,|AQ|=2a2|k2|1+k221+a2k22,
故:2a2|k1|1+k121+a2k12=2a2|k2|1+k221+a2k22,所以,(k12-k22)[1+k12+k22+a2(2-a2)k12k22]=0,由k1≠k2,
k1,k2>0,可得:1+k12+k22+a2(2-a2)k12k22=0,
因此(1k12+1)(1k22+1)=1+a2(a2-2)①,
因为①式关于k1,k2;的方程有解的充要条件是:1+a2(a2-2)>1,
所以a>2.
因此,任意点A(0, 1)为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点的充要条件为:10,k1≠k2,由(1)可知|AP|=2a2|k1|1+k121+a2k12,|AQ|=2a2|k2|1+k221+a2k22,
故:2a2|k1|1+k121+a2k12=2a2|k2|1+k221+a2k22,所以,(k12-k22)[1+k12+k22+a2(2-a2)k12k22]=0,由k1≠k2,
k1,k2>0,可得:1+k12+k22+a2(2-a2)k12k22=0,
因此(1k12+1)(1k22+1)=1+a2(a2-2)①,
因为①式关于k1,k2;的方程有解的充要条件是:1+a2(a2-2)>1,
所以a>2.
因此,任意点A(0, 1)为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点的充要条件为:10;
当x>1时,x2-2ax+4a-2-2|x-1|=x2-(2+2a)x+4a=(x-2)(x-2a),
则等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围是(2, 2a);
(2)(i)设f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,
则f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2.
由-a2+4a-2=0,解得a1=2+2,a2=2-2(负的舍去),
由F(x)的定义可得m(a)=min{f(1), g(a)},
即m(a)=0,3≤a≤2+2-a2+4a-2,a>2+2 ;
(ii)当0≤x≤2时,F(x)≤f(x)≤max{f(0), f(2)}=2=F(2);
当24 .
【解答】
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(1)由a≥3,故x≤1时,
x2-2ax+4a-2-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)>0;
当x>1时,x2-2ax+4a-2-2|x-1|=x2-(2+2a)x+4a=(x-2)(x-2a),
则等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围是(2, 2a);
(2)(i)设f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,
则f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2.
由-a2+4a-2=0,解得a1=2+2,a2=2-2(负的舍去),
由F(x)的定义可得m(a)=min{f(1), g(a)},
即m(a)=0,3≤a≤2+2-a2+4a-2,a>2+2 ;
(ii)当0≤x≤2时,F(x)≤f(x)≤max{f(0), f(2)}=2=F(2);
当24 .
14.【答案】
(1)证明:延长AD,BE,CF相交于点K,如图所示,∵ 平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90∘,
∴ AC⊥平面BCK,∴ BF⊥AC.
又EF // BC,BE=EF=FC=1,BC=2,∴ △BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BF⊥CK,
∴ BF⊥平面ACFD.
(2)方法一:过点F作FQ⊥AK,连接BQ,∵ BF⊥平面ACFD.∴ BF⊥AK,则AK⊥平面BQF,
∴ BQ⊥AK.∴ ∠BQF是二面角B-AD-F的平面角.
在Rt△ACK中,AC=3,CK=2,可得FQ=31313.
在Rt△BQF中,BF=3,FQ=31313.可得:cos∠BQF=34.
∴ 二面角B-AD-F的平面角的余弦值为34.
方法二:如图,延长AD,BE,CF相交于点K,则△BCK为等边三角形,
取BC的中点,则KO⊥BC,又平面BCFE⊥平面ABC,∴ KO⊥平面BAC,
以点O为原点,分别以OB,OK的方向为x,z的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz.
可得:B(1, 0, 0),C(-1, 0, 0),K(0, 0, 3),A(-1, -3, 0),E(12,0,32),F(-12,0,32).
AC→=(0, 3, 0),AK→=(1,3,3),AB→(2, 3, 0).
设平面ACK的法向量为m→=(x1, y1, z1),平面ABK的法向量为n→=(x2, y2, z2),由AK→⋅m→=0˙,可得3y1=0x1+3y1+3z1=0,
取m→=(3,0,-1).
由AK→⋅n→=0˙,可得2x2+3y2=0x2+3y2+3z2=0,取n→=(3,-2,3).
∴ cos=|m→||n→|˙=34.
∴ 二面角B-AD-F的余弦值为34.
【解答】
(1)证明:延长AD,BE,CF相交于点K,如图所示,∵ 平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90∘,
∴ AC⊥平面BCK,∴ BF⊥AC.
又EF // BC,BE=EF=FC=1,BC=2,∴ △BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BF⊥CK,
∴ BF⊥平面ACFD.
(2)方法一:过点F作FQ⊥AK,连接BQ,∵ BF⊥平面ACFD.∴ BF⊥AK,则AK⊥平面BQF,
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∴ BQ⊥AK.∴ ∠BQF是二面角B-AD-F的平面角.
在Rt△ACK中,AC=3,CK=2,可得FQ=31313.
在Rt△BQF中,BF=3,FQ=31313.可得:cos∠BQF=34.
∴ 二面角B-AD-F的平面角的余弦值为34.
方法二:如图,延长AD,BE,CF相交于点K,则△BCK为等边三角形,
取BC的中点,则KO⊥BC,又平面BCFE⊥平面ABC,∴ KO⊥平面BAC,
以点O为原点,分别以OB,OK的方向为x,z的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz.
可得:B(1, 0, 0),C(-1, 0, 0),K(0, 0, 3),A(-1, -3, 0),E(12,0,32),F(-12,0,32).
AC→=(0, 3, 0),AK→=(1,3,3),AB→(2, 3, 0).
设平面ACK的法向量为m→=(x1, y1, z1),平面ABK的法向量为n→=(x2, y2, z2),由AK→⋅m→=0˙,可得3y1=0x1+3y1+3z1=0,
取m→=(3,0,-1).
由AK→⋅n→=0˙,可得2x2+3y2=0x2+3y2+3z2=0,取n→=(3,-2,3).
∴ cos=|m→||n→|˙=34.
∴ 二面角B-AD-F的余弦值为34.
15.【答案】
(1)证明:∵ b+c=2acosB,
∴ 由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,
∴ sinB+sin(A+B)=2sinAcosB,
∴ sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB,
∴ sinB=sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B).
∵ A,B是三角形中的角,
∴ B=A-B,
∴ A=2B;
(2)∵ △ABC的面积S=a24,
∴ 12bcsinA=a24,
∴ 2bcsinA=a2,
∴ 2sinBsinC=sinA=sin2B,
∴ sinC=cosB,
∴ B+C=90∘,或C=B+90∘,
∴ A=90∘或A=45∘.
【解答】
(1)证明:∵ b+c=2acosB,
∴ 由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,
∴ sinB+sin(A+B)=2sinAcosB,
∴ sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB,
∴ sinB=sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B).
∵ A,B是三角形中的角,
∴ B=A-B,
∴ A=2B;
(2)∵ △ABC的面积S=a24,
∴ 12bcsinA=a24,
∴ 2bcsinA=a2,
∴ 2sinBsinC=sinA=sin2B,
∴ sinC=cosB,
∴ B+C=90∘,或C=B+90∘,
∴ A=90∘或A=45∘.
16.【答案】
由题意可知:an+1-an=-an2≤0,即an+1≤an,
故an≤12,1≤anan+1.
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由an=(1-an-1)an-1得an=(1-an-1)(1-an-2)…(1-a1)a1>0.
所以0an+1,∴ anan+1>1,
∴ anan+1=anan-an2=11-an≤2,
∴ 1≤anan+1≤2(n∈N*),
综上所述,10.
所以0an+1,∴ anan+1>1,
∴ anan+1=anan-an2=11-an≤2,
∴ 1≤anan+1≤2(n∈N*),
综上所述,10,①
将AB中点M2mbm2+2,m2bm2+2
代入直线方程y=mx+12,
解得b=-m2+22m2.②
由①②得m<-63或m>63.
(2)令t=1m∈-62,0∪0,62,
则|AB|=1+(-1m)2⋅(x2+x2)2-4x1x2
=t2+1⋅-2t4+2t2+32t2+12,
且O到直线AB的距离为d=t2+12t2+1.
设△AOB的面积为S(t),
所以S(t)=12|AB|⋅d
=12-2t2-122+2≤22,
当且仅当t2=12时,等号成立.
故△AOB面积的最大值为22.
【解答】
解:(1)
由题意知m≠0,
可设直线AB的方程为y=-1mx+b,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由x22+y2=1,y=-1mx+b,消去y,
得12+1m2x2-2bmx+b2-1=0.
则x1+x2=4mb2+m2,x1x2=2m2(b2-1)m2+2,
所以y1+y2=2m2b2+m2,
所以AB中点M2mbm2+2,m2bm2+2,
因为直线y=-1mx+b与椭圆x22+y2=1
有两个不同的交点,
所以Δ=-2b2+2+4m2>0,①
将AB中点M2mbm2+2,m2bm2+2
代入直线方程y=mx+12,
解得b=-m2+22m2.②
由①②得m<-63或m>63.
(2)令t=1m∈-62,0∪0,62,
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则|AB|=1+(-1m)2⋅(x2+x2)2-4x1x2
=t2+1⋅-2t4+2t2+32t2+12,
且O到直线AB的距离为d=t2+12t2+1.
设△AOB的面积为S(t),
所以S(t)=12|AB|⋅d
=12-2t2-122+2≤22,
当且仅当t2=12时,等号成立.
故△AOB面积的最大值为22.
18.【答案】
解:(1)由已知可得f(1)=1+a+b,f(-1)=1-a+b,对称轴为x=-a2,
因为|a|≥2,所以-a2≤-1或-a2≥1,
所以函数f(x)在[-1, 1]上单调,
所以M(a, b)=max{|f(1), |f(-1)|}=max{|1+a+b|, |1-a+b|},
所以M(a, b)≥12(|1+a+b|+|1-a+b|)≥12|(1+a+b)-(1-a+b)|≥12|2a|=|a|≥2;
(2)当a=b=0时,|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0,所以0为最小值,符合题意;
又对任意x∈[-1, 1].有-2≤x2+ax+b≤2得到-3≤a+b≤1且-3≤b-a≤1,易知|a|+|b|=max{|a-b|, |a+b|}=3,在b=-1,a=2时符合题意,
所以|a|+|b|的最大值为3.
【解答】
解:(1)由已知可得f(1)=1+a+b,f(-1)=1-a+b,对称轴为x=-a2,
因为|a|≥2,所以-a2≤-1或-a2≥1,
所以函数f(x)在[-1, 1]上单调,
所以M(a, b)=max{|f(1), |f(-1)|}=max{|1+a+b|, |1-a+b|},
所以M(a, b)≥12(|1+a+b|+|1-a+b|)≥12|(1+a+b)-(1-a+b)|≥12|2a|=|a|≥2;
(2)当a=b=0时,|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0,所以0为最小值,符合题意;
又对任意x∈[-1, 1].有-2≤x2+ax+b≤2得到-3≤a+b≤1且-3≤b-a≤1,易知|a|+|b|=max{|a-b|, |a+b|}=3,在b=-1,a=2时符合题意,
所以|a|+|b|的最大值为3.
19.【答案】
(1)证明:如图,以BC中点O为坐标原点,以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系.
则BC=2AC=22,A1O=AA12-AO2=14,
易知A1(0, 0, 14),B(2, 0, 0),C(-2, 0, 0),
A(0, 2, 0),D(0, -2, 14),B1(2, -2, 14),
A1D→=(0, -2, 0),BD→=(-2, -2, 14),
B1D→=(-2, 0, 0),BC→=(-22, 0, 0),OA1→=(0, 0, 14),
∵ A1D→⋅OA1→=0,∴ A1D⊥OA1,
又∵ A1D→⋅BC→=0,∴ A1D⊥BC,
又∵ OA1∩BC=O,∴ A1D⊥平面A1BC;
(2)解:设平面A1BD的法向量为m→=(x, y, z),
由m→⋅BD→=0˙,得-2y=0-2x-2y+14z=0,
取z=1,得m→=(7, 0, 1),
设平面B1BD的法向量为n→=(x, y, z),
由n→⋅BD→=0˙,得-2x-2y+14z=0-2x=0,
取z=1,得n→=(0, 7, 1),
∴ cos<m→,n→>=|m→||n→|˙=122×22=18,
又∵ 该二面角为钝角,
∴
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二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值为-18.
【解答】
(1)证明:如图,以BC中点O为坐标原点,以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系.
则BC=2AC=22,A1O=AA12-AO2=14,
易知A1(0, 0, 14),B(2, 0, 0),C(-2, 0, 0),
A(0, 2, 0),D(0, -2, 14),B1(2, -2, 14),
A1D→=(0, -2, 0),BD→=(-2, -2, 14),
B1D→=(-2, 0, 0),BC→=(-22, 0, 0),OA1→=(0, 0, 14),
∵ A1D→⋅OA1→=0,∴ A1D⊥OA1,
又∵ A1D→⋅BC→=0,∴ A1D⊥BC,
又∵ OA1∩BC=O,∴ A1D⊥平面A1BC;
(2)解:设平面A1BD的法向量为m→=(x, y, z),
由m→⋅BD→=0˙,得-2y=0-2x-2y+14z=0,
取z=1,得m→=(7, 0, 1),
设平面B1BD的法向量为n→=(x, y, z),
由n→⋅BD→=0˙,得-2x-2y+14z=0-2x=0,
取z=1,得n→=(0, 7, 1),
∴ cos<m→,n→>=|m→||n→|˙=122×22=18,
又∵ 该二面角为钝角,
∴ 二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值为-18.
20.【答案】
∵ A=π4,∴ 由余弦定理可得:a2=b2+c2-2bccosπ4,∴ b2-a2=2bc-c2,
又b2-a2=12c2.∴ 2bc-c2=12c2.∴ 2b=32c.可得b=32c4,
∴ a2=b2-12c2=58c2,即a=104c.
∴ cosC=a2+b2-c22ab=58c2+98c2-c22×104c×324c=55.
∵ C∈(0, π),
∴ sinC=1-cos2C=255.
∴ tanC=sinCcosC=2.
或由A=π4,b2-a2=12c2.
可得:sin2B-sin2A=12sin2C,
∴ sin2B-12=12sin2C,
∴ -12cos2B=12sin2C,
∴ -sin(2B+π2)=sin2C,
∴ -sin[2(3π4-C)+π2]=sin2C,
∴ sin2C=sin2C,sinC≠0,cosC≠0.
∴ tanC=2.
∵ S△ABC=12absinC=12×104c×324c×255=3,
解得c=22.
∴ b=32c4=3.
【解答】
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∵ A=π4,∴ 由余弦定理可得:a2=b2+c2-2bccosπ4,∴ b2-a2=2bc-c2,
又b2-a2=12c2.∴ 2bc-c2=12c2.∴ 2b=32c.可得b=32c4,
∴ a2=b2-12c2=58c2,即a=104c.
∴ cosC=a2+b2-c22ab=58c2+98c2-c22×104c×324c=55.
∵ C∈(0, π),
∴ sinC=1-cos2C=255.
∴ tanC=sinCcosC=2.
或由A=π4,b2-a2=12c2.
可得:sin2B-sin2A=12sin2C,
∴ sin2B-12=12sin2C,
∴ -12cos2B=12sin2C,
∴ -sin(2B+π2)=sin2C,
∴ -sin[2(3π4-C)+π2]=sin2C,
∴ sin2C=sin2C,sinC≠0,cosC≠0.
∴ tanC=2.
∵ S△ABC=12absinC=12×104c×324c×255=3,
解得c=22.
∴ b=32c4=3.
21.【答案】
解:(1)证明:因为f(x)=x3+1x+1,x∈[0, 1],
且1-x+x2-x3=1-(-x)41-(-x)=1-x41+x,
所以1-x41+x≤11+x,
所以1-x+x2-x3≤1x+1,
即f(x)≥1-x+x2;
(2)证明:因为0≤x≤1,所以x3≤x,
所以f(x)=x3+1x+1≤x+1x+1=x+1x+1-32+32=(x-1)(2x+1)2(x+1)+32≤32;
由(1)得,f(x)≥1-x+x2=(x-12)2+34≥34,
且f(12)=(12)3+11+12=1924>34,
所以f(x)>34;
综上,3434,
所以f(x)>34;
综上,342.
经检验,m<0或m>2满足题意.
综上,点M的横坐标的取值范围为(-∞, 0)∪(2, +∞).
【名师指导】本题考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法.
设点A,M的坐标,对直线AF是否与x轴垂直进行分类讨论.直线AF的方程与抛物线方程联立,求出点B的坐标,再求出点N的坐标,利用点A,M,N三点共线,求解点M的横坐标的取值范围.
23.【答案】
解:(1)证明:延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示:
∵ 平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥BC;
∴ AC⊥平面BCK,BF⊂平面BCK;
∴ BF⊥AC;
又EF // BC,BE=EF=FC=1,BC=2;
∴ △BCK为等边三角形,且F为CK的中点;
∴ BF⊥CK,且AC∩CK=C;
∴ BF⊥平面ACFD;
(2)∵ BF⊥平面ACFD;
∴ ∠BDF是直线BD和平面ACFD所成的角;
∵ F为CK中点,且DF // AC;
∴ DF为△ACK的中位线,且AC=3;
∴ DF=32;
又BF=3;
∴ 在Rt△BFD中,BD=3+94=212,cos∠BDF=DFBD=32212=217;
即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为217.
【解答】
解:(1)证明:延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示:
∵ 平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥BC;
∴ AC⊥平面BCK,BF⊂平面BCK;
∴ BF⊥AC;
又EF // BC,BE=EF=FC=1,BC=2;
∴ △BCK为等边三角形,且F为CK的中点;
∴ BF⊥CK,且AC∩CK=C;
∴ BF⊥平面ACFD;
(2)∵ BF⊥平面ACFD;
∴ ∠BDF是直线BD和平面ACFD所成的角;
∵ F为CK中点,且DF // AC;
∴ DF为△ACK的中位线,且AC=3;
∴ DF=32;
又BF=3;
∴ 在Rt△BFD中,BD=3+94=212,cos∠BDF=DFBD=32212=217
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;
即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为217.
24.【答案】
解:(1)∵ S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.
∴ a1+a2=4,a2=2S1+1=2a1+1,
解得a1=1,a2=3,
当n≥2时,an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1,
两式相减得an+1-an=2(Sn-Sn-1)=2an,
即an+1=3an,当n=1时,a1=1,a2=3,
满足an+1=3an,
∴ an+1an=3,则数列{an}是公比q=3的等比数列,
则通项公式an=3n-1.
(2)an-n-2=3n-1-n-2,
设bn=|an-n-2|=|3n-1-n-2|,
则b1=|30-1-2|=2,b2=|3-2-2|=1,
当n≥3时,3n-1-n-2>0,
则bn=|an-n-2|=3n-1-n-2,
此时数列{|an-n-2|}的前n项和Tn=3+9(1-3n-2)1-3-(5+n+2)(n-2)2=3n-n2-5n+112,
则Tn=2,n=13,n=23n-n2-5n+112,n≥3=2,n=13n-n2-5n+112,n≥2.
【解答】
解:(1)∵ S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.
∴ a1+a2=4,a2=2S1+1=2a1+1,
解得a1=1,a2=3,
当n≥2时,an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1,
两式相减得an+1-an=2(Sn-Sn-1)=2an,
即an+1=3an,当n=1时,a1=1,a2=3,
满足an+1=3an,
∴ an+1an=3,则数列{an}是公比q=3的等比数列,
则通项公式an=3n-1.
(2)an-n-2=3n-1-n-2,
设bn=|an-n-2|=|3n-1-n-2|,
则b1=|30-1-2|=2,b2=|3-2-2|=1,
当n≥3时,3n-1-n-2>0,
则bn=|an-n-2|=3n-1-n-2,
此时数列{|an-n-2|}的前n项和Tn=3+9(1-3n-2)1-3-(5+n+2)(n-2)2=3n-n2-5n+112,
则Tn=2,n=13,n=23n-n2-5n+112,n≥3=2,n=13n-n2-5n+112,n≥2.
25.【答案】
(1)证明:∵ b+c=2acosB,
∴ sinB+sinC=2sinAcosB,
∵ sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,
∴ sinB=sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B),由A,B∈(0, π),
∴ 02时,函数f(x)在[-1, 1]上递增,则g(a)=f(-1)=a24-a+(2)
综上可得,g(a)=a24+a+2,a≤-21,-22 ;
(2)设s,t是方程f(x)=0的解,且-1≤t≤1,
则s+t=-ast=b ,
由于0≤b-2a≤1,
由此-2t2+t≤s≤1-2t2+t(-1≤t≤1),
当0≤t≤1时,-2t2t+2≤st≤t-2t2t+2,
由-23≤-2t2t+2≤0,由t-2t2t+2=9-[(2(t+2)+10t+2]≤9-220,
得-13≤t-2t2t+2≤9-45,
所以-23≤b≤9-45;
当-1≤t<0时,t-2t2t+2≤st≤-2t2t+2,
由于-2≤-2t2t+2<0和-3≤t-2t2t+2<0,所以-3≤b<0,
故b的取值范围是[-3, 9-45].
【解答】
(1)当b=a24+1时,f(x)=(x+a2)2+1,对称轴为x=-a2,
当a≤-2时,函数f(x)在[-1, 1]上递减,则g(a)=f(1)=a24+a+2;
当-22时,函数f(x)在[-1, 1]上递增,则g(a)=f(-1)=a24-a+(2)
综上可得,g(a)=a24+a+2,a≤-21,-22 ;
(2)设s,t是方程f(x)=0的解,且-1≤t≤1,
则s+t=-ast=b ,
由于0≤b-2a≤1,
由此-2t2+t≤s≤1-2t2+t(-1≤t≤1),
当0≤t≤1时,-2t2t+2≤st≤t-2t2t+2,
由-23≤-2t2t+2≤0,由t-2t2t+2=9-[(2(t+2)+10t+2]≤9-220,
得-13≤t-2t2t+2≤9-45,
所以-23≤b≤9-45;
当-1≤t<0时,t-2t2t+2≤st≤-2t2t+2,
由于-2≤-2t2t+2<0和-3≤t-2t2t+2<0,所以-3≤b<0,
故b的取值范围是[-3, 9-45].
27.【答案】
(I)由直线PA的斜率存在,设切线PA的方程为:y=k(x-t)(k≠0),联立y=14x2y=k(x-t) ,
化为x2-4kx+4kt=0,
∵ △=16k2-16kt=0,解得k=t,
∴ x=2t,∴ A(2t, t2).
圆C2的圆心D(0, 1),设B(x0, y0),由题意可知:点B与O关于直线PD对称,
∴ y02=-x02t+1x0t-y0=0 ,解得x0=2t1+t2y0=2t21+t2 .
∴ B(2t1+t2,2t21+t2).
(II)由(I)可得:kAB=2t21+t2-t22t1+t2-2t=t2-12t,直线AB的方程为:y-t2=t2-12t(x-2t),化为(t2-1)x-2ty+2t=0,
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∴ 点P到直线AB的距离d=|(t2-1)t+2t|(t2-1)2+(-2t)2=t3+tt2+1=t,
又|AB|=(2t1+t2-2t)2+(2t21+t2-t2)2=t2.
∴ S△PAB=12|AB|⋅d=12t3.
【解答】
(I)由直线PA的斜率存在,设切线PA的方程为:y=k(x-t)(k≠0),联立y=14x2y=k(x-t) ,
化为x2-4kx+4kt=0,
∵ △=16k2-16kt=0,解得k=t,
∴ x=2t,∴ A(2t, t2).
圆C2的圆心D(0, 1),设B(x0, y0),由题意可知:点B与O关于直线PD对称,
∴ y02=-x02t+1x0t-y0=0 ,解得x0=2t1+t2y0=2t21+t2 .
∴ B(2t1+t2,2t21+t2).
(II)由(I)可得:kAB=2t21+t2-t22t1+t2-2t=t2-12t,直线AB的方程为:y-t2=t2-12t(x-2t),化为(t2-1)x-2ty+2t=0,
∴ 点P到直线AB的距离d=|(t2-1)t+2t|(t2-1)2+(-2t)2=t3+tt2+1=t,
又|AB|=(2t1+t2-2t)2+(2t21+t2-t2)2=t2.
∴ S△PAB=12|AB|⋅d=12t3.
28.【答案】
(1)证明:如图,
取BC中点O,连接A1O,AO,
∵ AB=AC=2,O是BC的中点,
∴ AO⊥BC,
∵ A1在底面ABC的射影为BC的中点,
∴ A1O⊥面ABC,
∴ A1O⊥AO,A1O⊥BC,
∵ BC∩A1O=O,AO⊥BC,A1O⊥AO,
BC,A1O在面A1BC内,
∴ AO⊥平面A1BC.
∵ A1在底面ABC的射影为BC的中点,O是BC的中点,
∴ AO=//A1D,
∴ 四边形AODA1是平行四边形,
∴ A1D // AO,
∴ A1D⊥平面A1BC.
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(2)建立坐标系如图,
∵ 在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90∘,
AB=AC=2,A1A=4,
∴ O(0, 0, 0),B(0, 2, 0),
B1(-2, 2, 14),A1(0, 0, 14),
即A1B→=(0, 2, -14),OB→=(0, 2, 0),BB1→=(-2, 0, 14),
设平面BB1C1C的法向量为n→=(x, y, z),
n→⋅OB→=0,n→⋅BB1→=0,
即得出y=0,-2x+14z=0,
得出n→=(7, 0, 1),|BA1→|=4,|n→|=22,
∵ n→⋅BA1→=14,
∴ cos<n→,BA1→>=144×22=78,
可得出直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值为78.
【解答】
(1)证明:如图,
取BC中点O,连接A1O,AO,
∵ AB=AC=2,O是BC的中点,
∴ AO⊥BC,
∵ A1在底面ABC的射影为BC的中点,
∴ A1O⊥面ABC,
∴ A1O⊥AO,A1O⊥BC,
∵ BC∩A1O=O,AO⊥BC,A1O⊥AO,
BC,A1O在面A1BC内,
∴ AO⊥平面A1BC.
∵ A1在底面ABC的射影为BC的中点,O是BC的中点,
∴ AO=//A1D,
∴ 四边形AODA1是平行四边形,
∴ A1D // AO,
∴ A1D⊥平面A1BC.
(2)建立坐标系如图,
∵ 在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90∘,
AB=AC=2,A1A=4,
∴ O(0, 0, 0),B(0, 2, 0),
B1(-2, 2, 14),A1(0, 0, 14),
即A1B→=(0, 2, -14),OB→=(0, 2, 0),BB1→=(-2, 0, 14),
设平面BB1C1C的法向量为n→=(x, y, z),
n→⋅OB→=0,n→⋅BB1→=0,
即得出y=0,-2x+14z=0,
得出n→=(7, 0, 1),|BA1→|=4,|n→|=22,
∵ n→⋅BA1→=14,
∴ cos<n→,BA1→>=144×22=78,
可得出直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值为78.
29.【答案】
(1)由a1=2,an+1=2an,得an=2n(n∈N*).
由题意知,当n=1时,b1=b2-1,故b2=2,
当n≥2时,b1+12b2+13b3+⋯+1n-1bn-1=bn-1,和原递推式作差得,
1nbn=bn+1-bn,整理得:bn+1n+1=bnn,
∴ bn=n(n∈N*);
(2)由(Ⅰ)知,anbn=n⋅2n,
因此Tn=2+2⋅22+3⋅23+⋯+n⋅2n
2Tn=22+2⋅23+3⋅24+⋯+n⋅2n+1,
两式作差得:-Tn=2+22+⋯+2n-n⋅2n+1=2(1-2n)1-2-n⋅2n+1,
Tn=(n-1)⋅2n+1+2(n∈N*).
【解答】
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(1)由a1=2,an+1=2an,得an=2n(n∈N*).
由题意知,当n=1时,b1=b2-1,故b2=2,
当n≥2时,b1+12b2+13b3+⋯+1n-1bn-1=bn-1,和原递推式作差得,
1nbn=bn+1-bn,整理得:bn+1n+1=bnn,
∴ bn=n(n∈N*);
(2)由(Ⅰ)知,anbn=n⋅2n,
因此Tn=2+2⋅22+3⋅23+⋯+n⋅2n
2Tn=22+2⋅23+3⋅24+⋯+n⋅2n+1,
两式作差得:-Tn=2+22+⋯+2n-n⋅2n+1=2(1-2n)1-2-n⋅2n+1,
Tn=(n-1)⋅2n+1+2(n∈N*).
30.【答案】
解:(1)由tan(π4+A)=tanπ4+tanA1-tanπ4tanA=2,tanπ4=1,
解得tanA=13.
∴ sin2Asin2A+cos2A=2sinAcosA2sinAcosA+cos2A
=2tanA2tanA+1
=2×132×13+1
=25;
(2)由tanA=13,A∈(0, π),
可得sinA=1010,cosA=31010.
又∵ a=3,B=π4,
由正弦定理asinA=bsinB,
可得31010=bsinπ4,
解得b=35.
∴ sinC=sin(A+B)
=sin(A+π4)
=1010×22+31010×22
=255.
设△ABC的面积为S,
则S=12ab⋅sinC=9.
【解答】
解:(1)由tan(π4+A)=tanπ4+tanA1-tanπ4tanA=2,tanπ4=1,
解得tanA=13.
∴ sin2Asin2A+cos2A=2sinAcosA2sinAcosA+cos2A
=2tanA2tanA+1
=2×132×13+1
=25;
(2)由tanA=13,A∈(0, π),
可得sinA=1010,cosA=31010.
又∵ a=3,B=π4,
由正弦定理asinA=bsinB,
可得31010=bsinπ4,
解得b=35.
∴ sinC=sin(A+B)
=sin(A+π4)
=1010×22+31010×22
=255.
设△ABC的面积为S,
则S=12ab⋅sinC=9.
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31.【答案】
解:(1)∵ f(x)=x3+3|x-a|=x3+3x-3a,x≥a;x3-3x+3a,x0,t(a)在(0, 13)上是增函数,∴ t(a)>t(0)=-2,
∴ -2≤3a+b≤0;
③130,t(a)在(0, 13)上是增函数,∴ t(a)>t(0)=-2,
∴ -2≤3a+b≤0;
③130,
故m=b2+a2k2,
故点P的坐标为P(-a2kb2+a2k2, b2b2+a2k2).
(2)由于直线l1过原点O且与直线l垂直,故直线l1的方程为x+ky=0,所以点P到直线l1的距离
d=|-a2kb2+a2k2+b2kb2+a2k2|1+k2,
整理得:d=a2-b2b2+a2+a2k2+b2k2,
因为a2k2+b2k2≥2ab,所以a2-b2b2+a2+a2k2+b2k2≤a2-b2b2+a2+2ab=a-b,当且仅当k2=ba时等号成立.
所以,点P到直线l1的距离的最大值为a-b.
【解答】
(1)设直线l的方程为y=kx+m(k<0),由y=kx+mx2a2+y2b2=1 ,消去y得
(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0.
由于直线l与椭圆C只有一个公共点P,故△=0,即b2-m2+a2k2=0,
此时点P的横坐标为-a2kmb2+a2k2,代入y=kx+m得
点P的纵坐标为-k⋅a2kmb2+a2k2+m=b2mb2+a2k2,
∴ 点P的坐标为(-a2kmb2+a2k2, b2mb2+a2k2),
又点P在第一象限,故m>0,
故m=b2+a2k2,
故点P的坐标为P(-a2kb2+a2k2, b2b2+a2k2).
(2)由于直线l1过原点O且与直线l垂直,故直线l1的方程为x+ky=0,所以点P到直线l1的距离
d=|-a2kb2+a2k2+b2kb2+a2k2|1+k2,
整理得:d=a2-b2b2+a2+a2k2+b2k2,
因为a2k2+b2k2≥2ab,所以a2-b2b2+a2+a2k2+b2k2≤a2-b2b2+a2+2ab=a-b,当且仅当k2=ba时等号成立.
所以,点P到直线l1的距离的最大值为a-b.
33.【答案】
证明:(Ⅰ)在直角梯形BCDE中,由DE=BE=1,CD=2,得BD=BC=2,
由AC=2,AB=2得AB2=AC2+BC2,即AC⊥BC,
又平面ABC⊥平面BCDE,从而AC⊥平面BCDE,
所以AC⊥DE,又DE⊥DC,从而DE⊥平面ACD;
(2)作BF⊥AD,与AD交于点F,过点F作FG // DE
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,与AE交于点G,连接BG,由(Ⅰ)知DE⊥AD,则FG⊥AD,所以∠BFG就是二面角B-AD-E的平面角,在直角梯形BCDE中,由CD2=BC2+BD2,得BD⊥BC,
又平面ABC⊥平面BCDE,得BD⊥平面ABC,从而BD⊥AB,
由于AC⊥平面BCDE,得AC⊥CD.
在Rt△ACD中,由DC=2,AC=2,得AD=6;
在Rt△AED中,由ED=1,AD=6得AE=7;
在Rt△ABD中,由BD=2,AB=2,AD=6得BF=233,AF=23AD,从而GF=23,
在△ABE,△ABG中,利用余弦定理分别可得cos∠BAE=5714,BG=23.
在△BFG中,cos∠BFG=GF2+BF2-BG22BF⋅GF=32,
所以,∠BFG=π6,二面角B-AD-E的大小为π6.
【解答】
证明:(Ⅰ)在直角梯形BCDE中,由DE=BE=1,CD=2,得BD=BC=2,
由AC=2,AB=2得AB2=AC2+BC2,即AC⊥BC,
又平面ABC⊥平面BCDE,从而AC⊥平面BCDE,
所以AC⊥DE,又DE⊥DC,从而DE⊥平面ACD;
(2)作BF⊥AD,与AD交于点F,过点F作FG // DE,与AE交于点G,连接BG,由(Ⅰ)知DE⊥AD,则FG⊥AD,所以∠BFG就是二面角B-AD-E的平面角,在直角梯形BCDE中,由CD2=BC2+BD2,得BD⊥BC,
又平面ABC⊥平面BCDE,得BD⊥平面ABC,从而BD⊥AB,
由于AC⊥平面BCDE,得AC⊥CD.
在Rt△ACD中,由DC=2,AC=2,得AD=6;
在Rt△AED中,由ED=1,AD=6得AE=7;
在Rt△ABD中,由BD=2,AB=2,AD=6得BF=233,AF=23AD,从而GF=23,
在△ABE,△ABG中,利用余弦定理分别可得cos∠BAE=5714,BG=23.
在△BFG中,cos∠BFG=GF2+BF2-BG22BF⋅GF=32,
所以,∠BFG=π6,二面角B-AD-E的大小为π6.
34.【答案】
(1)∵ a1a2a3...an=(2)bn(n∈N*) ①,
当n≥2,n∈N*时,a1a2a3⋯an-1=(2)bn-1②,
由①②知:an=(2)bn-bn-1,
令n=3,则有a3=(2)b3-b2.
∵ b3=6+b2,
∴ a3=8.
∵ {an}为等比数列,且a1=2,
∴ {an}的公比为q,则q2=a3a1=4,
由题意知an>0,
∴ q>0,
∴ q=2.
∴ an=2n(n∈N*).
又由a1a2a3...an=(2)bn(n∈N*)得:
21×22×23⋯×2n=(2)bn,
2n(n+1)2=(2)bn,
∴ bn=n(n+1)(n∈N*).
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(2)(i)∵ cn=1an-1bn=12n-1n(n+1)=12n-(1n-1n+1).
∴ Sn=c1+c2+c3+⋯+cn
=12-(11-12)+122-(12-13)+⋯+12n-(1n-1n+1)
=12+122+⋯+12n-(1-1n+1)
=1-12n-1+1n+1
=1n+1-12n;
(ii)因为c1=0,c2>0,c3>0,c4>0,
当n≥5时,
cn=1n(n+1)[n(n+1)2n-1],
而n(n+1)2n-(n+1)(n+2)2n+1=(n+1)(n-2)2n+1>0,
得n(n+1)2n≤5⋅(5+1)25<1,
所以,当n≥5时,cn<0,
综上,对任意n∈N*恒有S4≥Sn,故k=4.
【解答】
(1)∵ a1a2a3...an=(2)bn(n∈N*) ①,
当n≥2,n∈N*时,a1a2a3⋯an-1=(2)bn-1②,
由①②知:an=(2)bn-bn-1,
令n=3,则有a3=(2)b3-b2.
∵ b3=6+b2,
∴ a3=8.
∵ {an}为等比数列,且a1=2,
∴ {an}的公比为q,则q2=a3a1=4,
由题意知an>0,
∴ q>0,
∴ q=2.
∴ an=2n(n∈N*).
又由a1a2a3...an=(2)bn(n∈N*)得:
21×22×23⋯×2n=(2)bn,
2n(n+1)2=(2)bn,
∴ bn=n(n+1)(n∈N*).
(2)(i)∵ cn=1an-1bn=12n-1n(n+1)=12n-(1n-1n+1).
∴ Sn=c1+c2+c3+⋯+cn
=12-(11-12)+122-(12-13)+⋯+12n-(1n-1n+1)
=12+122+⋯+12n-(1-1n+1)
=1-12n-1+1n+1
=1n+1-12n;
(ii)因为c1=0,c2>0,c3>0,c4>0,
当n≥5时,
cn=1n(n+1)[n(n+1)2n-1],
而n(n+1)2n-(n+1)(n+2)2n+1=(n+1)(n-2)2n+1>0,
得n(n+1)2n≤5⋅(5+1)25<1,
所以,当n≥5时,cn<0,
综上,对任意n∈N*恒有S4≥Sn,故k=4.
35.【答案】
解:(1)∵ △ABC中,a≠b,c=3,
cos2A-cos2B=3sinAcosA-3sinBcosB,
∴ 1+cos2A2-1+cos2B2=32sin2A-32sin2B,
即 cos2A-cos2B=3sin2A-3sin2B,
即-2sin(A+B)sin(A-B)=23⋅cos(A+B)sin(A-B).
∵ a≠b,∴ A≠B,sin(A-B)≠0,
∴ tan(A+B)=-3,
∴ A+B=2π3,
∴ C=π3.
(2)∵ sinA=45<32,C=π3,
∴ A<π3,或A>2π3(舍去),
∴ cosA=1-sin2A=35.
由正弦定理可得,asinA=csinC,
即 a45=332,
∴ a=85.
∴ sinB=sin[(A+B)-A]
=sin(A+B)cosA-cos(A+B)sinA
=32×35-(-12)×45=4+3310,
∴ △ABC的面积为 12⋅ac⋅sinB
=12×85×3×4+3310
=18+8325.
【解答】
解:(1)∵ △ABC中,a≠b,c=3,
cos2A-cos2B=3sinAcosA-3sinBcosB,
∴ 1+cos2A2-1+cos2B2=32sin2A-32sin2B,
即 cos2A-cos2B=3sin2A-3sin2B,
即-2sin(A+B)sin(A-B)=23⋅cos(A+B)sin(A-B).
∵ a≠b
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,∴ A≠B,sin(A-B)≠0,
∴ tan(A+B)=-3,
∴ A+B=2π3,
∴ C=π3.
(2)∵ sinA=45<32,C=π3,
∴ A<π3,或A>2π3(舍去),
∴ cosA=1-sin2A=35.
由正弦定理可得,asinA=csinC,
即 a45=332,
∴ a=85.
∴ sinB=sin[(A+B)-A]
=sin(A+B)cosA-cos(A+B)sinA
=32×35-(-12)×45=4+3310,
∴ △ABC的面积为 12⋅ac⋅sinB
=12×85×3×4+3310
=18+8325.
36.【答案】
解:(1)由题意知焦点F(0, 1),准线方程为y=-1,
设P(x0, y0),由抛物线的定义可知|PF|=y0+1,解得y0=2,
∴ x0=±22,即P(22, 2)或P(-22, 2),
由PF→=3FM→,得M(-223, 23)或M(223, 23).
(2)设直线AB的方程为y=kx+m,A(x1, y1),B(x2, y2),
由y=kx+mx2=4y得x2-4kx-4m=0,
于是△=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,
即AB的中点M的坐标为(2k, 2k2+m)
由PF→=3FM→,得(-x0, 1-y0)=3(2k, 2k2+m-1),
解得x0=-6ky0=4-6k2-3m,由x02=4y0,得k2=-15m+415,
由△>0,k>0得-13f(43),
∴ 当m=19时,f(m)取得最大值256243,此时k=±5515,
∴ △ABP面积的最大值为2565135.
【解答】
解:(1)由题意知焦点F(0, 1),准线方程为y=-1,
设P(x0, y0),由抛物线的定义可知|PF|=y0+1,解得y0=2,
∴ x0=±22,即P(22, 2)或P(-22, 2),
由PF→=3FM→,得M(-223, 23)或M(223, 23).
(2)设直线AB的方程为y=kx+m,A(x1, y1),B(x2, y2),
由y=kx+mx2=4y得x2-4kx-4m=0,
于是△=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,
即AB的中点M的坐标为(2k, 2k2+m)
由PF→=3FM→,得(-x0, 1-y0)=3(2k, 2k2+m-1),
解得x0=-6ky0=4-6k2-3m,由x02=4y0,得k2=-15m+415,
由△>0,k>0得-13f(43),
∴ 当m=19时,f(m)取得最大值256243,此时k=±5515,
∴ △ABP面积的最大值为2565135.
37.【答案】
(1)∵ a>0,-1≤x≤1,
①当00,故此时函数在(a, 1)上是增函数,
∴ g(a)=f(a)=a3.
②当a≥1,f(x)=x3+3|x-a|=x3-3x+3a,f'(x)=3x2-3<0,故此时函数在[-1, 1]上是减函数,
则g(a)=f(1)=-2+3a.
综上:g(a)=a3,00,-1≤x≤1,
①当00,故此时函数在(a, 1)上是增函数,
∴ g(a)=f(a)=a3.
②当a≥1,f(x)=x3+3|x-a|=x3-3x+3a,f'(x)=3x2-3<0,故此时函数在[-1, 1]上是减函数,
则g(a)=f(1)=-2+3a.
综上:g(a)=a3,00,则d=2,
所以Sn=na1+n(n-1)2⋅d=n2(n∈N*).
(2)由(Ⅰ)得,an=1+2(n-1)=2n-1,
由am+am+1+am+2+...+am+k=65得,(k+1)(am+am+k)2=65,
即(k+1)(2m+k-1)=65,
又m,k∈N*,则(k+1)(2m+k-1)=5×13,或(k+1)(2m+k-1)=1×65,
下面分类求当k+1=5时,2m+k-1=13,解得k=4,m=5;
当k+1=13时,2m+k-1=5,解得k=12,m=-3,故舍去;
当k+1=1时,2m+k-1=65,解得k=0,故舍去;
当k+1=65时,2m+k-1=1,解得k=64,m=-31,故舍去;
综上得,k=4,m=5.
【解答】
(1)由a1=1,S2⋅S3=36得,
(a1+a2)(a1+a2+a3)=36,
即(2+d)(3+3d)=36,化为d2+3d-10=0,
解得d=2或-5,
又公差d>0,则d=2,
所以Sn=na1+n(n-1)2⋅d=n2(n∈N*).
(2)由(Ⅰ)得,an=1+2(n-1)=2n-1,
由am+am+1+am+2+...+am+k=65得,(k+1)(am+am+k)2=65,
即(k+1)(2m+k-1)=65,
又m,k∈N*,则(k+1)(2m+k-1)=5×13,或(k+1)(2m+k-1)=1×65,
下面分类求当k+1=5时,2m+k-1=13,解得k=4,m=5;
当k+1=13时,2m+k-1=5,解得k=12,m=-3,故舍去;
当k+1=1时,2m+k-1=65,解得k=0,故舍去;
当k+1=65时,2m+k-1=1,解得k=64,m=-31,故舍去;
综上得,k=4,m=5.
40.【答案】
解:(1)△ABC中,
∵ 4sin2A-B2+4sinAsinB=2+2,
∴ 4×1-cos(A-B)2+4sinAsinB=2+2,
∴ -2cosAcosB+2sinAsinB=2,
即 cos(A+B)=-22,
∴ cosC=22,∴ C=π4.
(2)已知b=4,△ABC的面积为
6=12ab⋅sinC=12a×4×22,
∴ a=32,
c=a2+b2-2ab⋅cosC
=18+16-2×32×4×22
=10.
【解答】
解:(1)△ABC中,
∵ 4sin2A-B2+4sinAsinB=2+2,
∴ 4×1-cos(A-B)2+4sinAsinB=2+2,
∴ -2cosAcosB+2sinAsinB=2,
即 cos(A+B)=-22,
∴ cosC=22,∴ C=π4.
(2)已知b=4,△ABC的面积为
6=12ab⋅sinC=12a×4×22,
∴ a=32,
c=a2+b2-2ab⋅cosC
=18+16-2×32×4×22
=10.
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