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  • 2021-06-11 发布

【高中高考数学压轴题预测题-浙江省1】2020年高考数学计算题大题-含详细解析答案、可编辑

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‎【高中高考数学压轴题预测题-浙江省1】2020年高考数学计算题大题-含详细解析答案、可编辑 学校:__________ 班级:__________ 姓名:__________ 考号:__________‎ ‎ 一、 解答题 (本题共计 40 小题 ,每题 3 分 ,共计120分 , ) ‎ ‎ ‎ ‎1. 已知实数a≠0‎,设函数f(x)=alnx+‎1+x,x>0‎. ‎ ‎(1)‎当a=-‎‎3‎‎4‎时,求函数f(x)‎的单调区间;‎ ‎ ‎ ‎(2)‎对任意x∈‎‎1‎e‎2‎‎,+∞‎均有f(x)≤‎x‎2a,求a的取值范围.‎ 注:e=2.71828⋯‎为自然对数的底数.‎ ‎ ‎ ‎2. 如图,已知点F(1,0)‎为抛物线y‎2‎‎=2px(p>0)‎的焦点.过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线上,使得‎△ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F的右侧.记‎△AFG,△CQG的面积分别为S‎1‎‎,‎S‎2‎. ‎ ‎(1)‎求p的值及抛物线的准线方程;‎ ‎ ‎ ‎(2)‎求S‎1‎S‎2‎的最小值及此时点G的坐标.‎ ‎ ‎ ‎3. 设等差数列‎{an}‎的前n项和为Sn‎,a‎3‎=4,a‎4‎=S‎3‎.‎数列‎{bn}‎满足:对每个n∈N‎*‎,Sn+bn,Sn+1‎+bn,Sn+2‎+‎bn成等比数列. ‎ ‎(1)‎求数列‎{an}‎,‎{bn}‎的通项公式;‎ ‎ ‎ ‎(2)‎记cn‎=‎an‎2‎bn, n∈‎N‎*‎,证明: c‎1‎‎+c‎2‎+⋯+cn<2n,n∈‎N‎*‎.‎ ‎ ‎ ‎4. 如图,已知三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎,平面A‎1‎ACC‎1‎⊥‎平面ABC,‎∠ABC=‎‎90‎‎∘‎,‎∠BAC=‎‎30‎‎∘‎,A‎1‎A=A‎1‎C=AC,E, F分别是AC,A‎1‎B‎1‎的中点. ‎ ‎(1)‎证明:EF⊥BC;‎ ‎ ‎ ‎(2)‎求直线EF与平面A‎1‎BC所成角的余弦值.‎ ‎ ‎ ‎5. 设函数f(x)=sinx,x∈R. ‎ ‎(1)‎已知θ∈[0,2π)‎,函数f(x+θ)‎是偶函数,求θ的值; ‎ ‎ ‎ ‎(2)‎求函数y=fx+‎π‎12‎‎2‎+‎fx+‎π‎4‎‎2‎的值域.‎ ‎ ‎ ‎6. 已知函数f(x)=x-lnx. ‎ ‎(1)若f(x)‎在x=‎x‎1‎,x‎2‎‎(x‎1‎≠x‎2‎)‎处导数相等,证明:f(x‎1‎)+f(x‎2‎)>8-8ln2‎;‎ ‎ ‎ ‎(2)若a≤3-4ln2‎,证明:对于任意k>0‎,直线y=kx+a与曲线y=f(x)‎有唯一公共点.‎ ‎ ‎ ‎7. 如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y‎2‎=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上. ‎ ‎(1)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;‎ ‎ ‎ ‎(2)若P是半椭圆x‎2‎‎+y‎2‎‎4‎=1(x<0)‎上的动点,求‎△PAB面积的取值范围.‎ 第69页 共72页 ◎ 第70页 共72页 ‎ ‎ ‎8. 已知等比数列‎{an}‎的公比q>1‎,且a‎3‎‎+a‎4‎+a‎5‎=28‎,a‎4‎‎+2‎是a‎3‎,a‎5‎的等差中项.数列‎{bn}‎满足b‎1‎‎=1‎,数列‎{(bn+1‎-bn)an}‎的前n项和为‎2n‎2‎+n. ‎ ‎(1)求q的值;‎ ‎ ‎ ‎(2)求数列‎{bn}‎的通项公式.‎ ‎ ‎ ‎9. 如图,已知多面体ABCA‎1‎B‎1‎C‎1‎,A‎1‎A,B‎1‎B,C‎1‎C均垂直于平面ABC,‎∠ABC=‎‎120‎‎∘‎,A‎1‎A=4‎,C‎1‎C=l,AB=BC=B‎1‎B=2‎. ‎ ‎(1)‎证明:AB‎1‎⊥‎平面A‎1‎B‎1‎C‎1‎;‎ ‎ ‎ ‎(2)‎求直线AC‎1‎与平面ABB‎1‎所成的角的正弦值.‎ ‎ ‎ ‎10. 已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P‎-‎3‎‎5‎,-‎‎4‎‎5‎. ‎ ‎(1)‎求sin(α+π)‎的值;‎ ‎ ‎ ‎(2)‎若角β满足sin(α+β)=‎‎5‎‎13‎,求cosβ的值.‎ ‎ ‎ ‎11. 设数列满足‎|an-an+1‎‎2‎|≤1‎,n∈‎N‎*‎. ‎ ‎(1)求证:‎‎|an|≥‎2‎n-1‎(|a‎1‎|-2)(n∈N‎*‎)‎ ‎ ‎ ‎(2)若‎|an|≤(‎‎3‎‎2‎‎)‎n,n∈‎N‎*‎,证明:‎|an|≤2‎,n∈‎N‎*‎.‎ ‎ ‎ ‎12. 如图,设椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎=1(a>1)‎ ‎ ‎(I)求直线y=kx+1‎被椭圆截得到的弦长(用a,k表示)‎ ‎ ‎ ‎(II)若任意以点A(0, 1)‎为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点,求椭圆的离心率的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎13. 已知a≥3‎,函数F(x)‎=min{2|x-1|, x‎2‎-2ax+4a-2}‎,其中min(p, q)=p,p≤qq,p>q ‎. ‎(‎Ⅰ‎)‎求使得等式F(x)‎=x‎2‎‎-2ax+4a-2‎成立的x的取值范围; ‎(‎Ⅱ‎)(i)‎求F(x)‎的最小值m(a)‎; ‎(ii)‎求F(x)‎在‎[0, 6]‎上的最大值M(a)‎. ‎ ‎ ‎ ‎14. 如图,在三棱台ABC-DEF中,已知平面BCFE⊥‎平面ABC,‎∠ACB=‎‎90‎‎∘‎,BE=EF=FC=1‎,BC=2‎,AC=3‎, ‎ ‎(1)求证:EF⊥‎平面ACFD;‎ ‎ ‎ ‎(2)求二面角B-AD-F的余弦值.‎ ‎ ‎ ‎15. 在‎△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB. ‎ ‎(1)‎证明:A=2B;‎ ‎ ‎ ‎(2)‎若‎△ABC的面积S=‎a‎2‎‎4‎,求角A的大小.‎ ‎ ‎ ‎16. 已知数列‎{an}‎满足a‎1‎‎=‎‎1‎‎2‎且an+1‎=an‎-an‎2‎(n∈N‎*‎)‎ ‎ ‎(1)证明:‎1≤anan+1‎≤2(n∈N‎*‎)‎;‎ ‎ ‎ ‎(2)设数列‎{an‎2‎}‎的前n项和为Sn,证明‎1‎‎2(n+2)‎‎≤Snn≤‎1‎‎2(n+1)‎(n∈N‎*‎)‎.‎ 第69页 共72页 ◎ 第70页 共72页 ‎ ‎ ‎17. 已知椭圆x‎2‎‎2‎‎+y‎2‎=1‎上两个不同的点A,B关于直线y=mx+‎‎1‎‎2‎对称. ‎ ‎(1)‎求实数m的取值范围;‎ ‎ ‎ ‎(2)‎求‎△AOB面积的最大值(O为坐标原点).‎ ‎ ‎ ‎18. 已知函数f(x)=x‎2‎+ax+b(a, b∈R)‎,记M(a, b)‎是‎|f(x)|‎在区间‎[-1, 1]‎上的最大值. ‎ ‎(1)证明:当‎|a|≥2‎时,M(a, b)≥2‎;‎ ‎ ‎ ‎(2)当a,b满足M(a, b)≤2‎时,求‎|a|+|b|‎的最大值.‎ ‎ ‎ ‎19. 如图,在三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中,‎∠BAC=‎‎90‎‎∘‎,AB=AC=2‎,A‎1‎A=4‎,A‎1‎在底面ABC的射影为BC的中点,D是B‎1‎C‎1‎的中点. ‎ ‎(1)证明:A‎1‎D⊥‎平面A‎1‎BC;‎ ‎ ‎ ‎(2)求二面角A‎1‎‎-BD-‎B‎1‎的平面角的余弦值.‎ ‎ ‎ ‎20. 在‎△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=‎π‎4‎,b‎2‎‎-a‎2‎=‎‎1‎‎2‎c‎2‎. ‎ ‎(1)求tanC的值;‎ ‎ ‎ ‎(2)若‎△ABC的面积为‎3‎,求b的值.‎ ‎ ‎ ‎21. 设函数f(x)=x‎3‎+‎‎1‎x+1‎,x∈[0, 1]‎,证明: ‎ ‎(1)‎f(x)≥1-x+‎x‎2‎ ‎ ‎ ‎(2)‎3‎‎4‎‎0)‎的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于‎|AF|-1‎. ‎ 求p的值;‎ ‎ ‎ 若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M,求M的横坐标的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎23. 如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥‎平面ABC,‎∠ACB=‎‎90‎‎∘‎,BE=EF=FC=1‎,BC=2‎,AC=3‎. ‎ ‎(1)求证:BF⊥‎平面ACFD;‎ ‎ ‎ ‎(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.‎ ‎ ‎ ‎24. 设数列‎{an}‎的前n项和为Sn,已知S‎2‎‎=4‎,an+1‎‎=2Sn+1‎,n∈‎N‎*‎. ‎ ‎(1)‎求通项公式an;‎ ‎ ‎ ‎(2)‎求数列‎{|an-n-2|}‎的前n项和.‎ ‎ ‎ ‎25. 在‎△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB. ‎ ‎(1)‎证明:A=2B;‎ ‎ ‎ ‎(2)‎若cosB=‎‎2‎‎3‎,求cosC的值.‎ ‎ ‎ ‎26. 设函数f(x)‎=x‎2‎‎+ax+b(a, b∈R)‎. ‎(‎Ⅰ‎)‎当b=a‎2‎‎4‎+1‎时,求函数f(x)‎在‎[-1, 1]‎上的最小值g(a)‎的表达式. ‎(‎Ⅱ‎)‎已知函数f(x)‎在‎[-1, 1]‎上存在零点,‎0≤b-2a≤1‎,求b的取值范围. ‎ ‎ ‎ 第69页 共72页 ◎ 第70页 共72页 ‎27. 如图,已知抛物线C‎1‎‎:y=‎‎1‎‎4‎x‎2‎,圆C‎2‎‎:x‎2‎+(y-1‎‎)‎‎2‎=‎1‎,过点P(t, 0)(t>0)‎作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C‎1‎和圆C‎2‎相切,A,B为切点. ‎(‎Ⅰ‎)‎求点A,B的坐标; ‎(‎Ⅱ‎)‎求‎△PAB的面积. 注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点. ‎ ‎ ‎ ‎28. 如图,在三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中,‎∠BAC=‎‎90‎‎∘‎,AB=AC=2‎,A‎1‎A=4‎,A‎1‎在底面ABC的射影为BC的中点,D是B‎1‎C‎1‎的中点. ‎ ‎(1)‎证明:A‎1‎D⊥‎平面A‎1‎BC;‎ ‎ ‎ ‎(2)‎求直线A‎1‎B和平面BB‎1‎C‎1‎C所成的角的正弦值.‎ ‎ ‎ ‎29. 已知数列‎{an}‎和‎{bn}‎满足a‎1‎=‎2‎,b‎1‎=‎1‎,an+1‎=‎2an(n∈N‎*‎)‎,b‎1‎‎+‎1‎‎2‎b‎2‎+‎1‎‎3‎b‎3‎+⋯+‎‎1‎nbn=bn+1‎‎-1(n∈N‎*‎)‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎求an与bn; ‎(‎Ⅱ‎)‎记数列‎{anbn}‎的前n项和为Tn,求Tn. ‎ ‎ ‎ ‎30. 在‎△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知tan(π‎4‎+A)=2‎. ‎ ‎(1)‎求sin2Asin2A+cos‎2‎A的值;‎ ‎ ‎ ‎(2)‎若B=‎π‎4‎,a=3‎,求‎△ABC的面积.‎ ‎ ‎ ‎31. 已知函数f(x)=x‎3‎+3|x-a|(a∈R)‎. ‎ ‎(1)‎若f(x)‎在‎[-1, 1]‎上的最大值和最小值分别记为M(a)‎,m(a)‎,求M(a)-m(a)‎;‎ ‎ ‎ ‎(2)‎设b∈R,若‎[f(x)+b‎]‎‎2‎≤4‎对x∈[-1, 1]‎恒成立,求‎3a+b的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎32. 如图,设椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎,动直线l与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第一象限. ‎(‎Ⅰ‎)‎已知直线l的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标; ‎(‎Ⅱ‎)‎若过原点O的直线l‎1‎与l垂直,证明:点P到直线l‎1‎的距离的最大值为a-b. ‎ ‎ ‎ ‎33. 如图,在四棱锥A-BCDE中,平面ABC⊥‎平面BCDE,‎∠CDE=‎∠BED=‎90‎‎∘‎,AB=CD=‎2‎,DE=BE=‎1‎,AC=‎‎2‎. ‎(‎Ⅰ‎)‎证明:DE⊥‎平面ACD; ‎(‎Ⅱ‎)‎求二面角B-AD-E的大小. ‎ ‎ ‎ ‎34. 已知数列‎{an}‎和‎{bn}‎满足a‎1‎a‎2‎a‎3‎‎...an=(‎2‎‎)‎bn(n∈N‎*‎)‎.若‎{an}‎为等比数列,且a‎1‎‎=2‎,b‎3‎‎=6+‎b‎2‎. ‎ ‎(1)‎求an与bn;‎ ‎ ‎ ‎(2)‎设cn‎=‎1‎an-‎1‎bn(n∈N‎*‎)‎.记数列‎{cn}‎的前n项和为Sn. ‎(i)‎求Sn; ‎(ii)‎求正整数k,使得对任意n∈‎N‎*‎,均有Sk‎≥‎Sn.‎ ‎ ‎ ‎35. 在‎△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=‎‎3‎,cos‎2‎A-cos‎2‎B=‎3‎sinAcosA-‎3‎sinBcosB. ‎ ‎(1)‎求角C的大小;‎ ‎ ‎ 第69页 共72页 ◎ 第70页 共72页 ‎(2)‎若sinA=‎‎4‎‎5‎,求‎△ABC的面积.‎ ‎ ‎ ‎36. 已知‎△ABP的三个顶点在抛物线C:x‎2‎=4y上,F为抛物线C的焦点,点M为AB的中点,PF‎→‎‎=3‎FM‎→‎, ‎ ‎(1)若‎|PF|=3‎,求点M的坐标;‎ ‎ ‎ ‎(2)求‎△ABP面积的最大值.‎ ‎ ‎ ‎37. 已知函数f(x)‎=x‎3‎‎+3|x-a|(a>0)‎,若f(x)‎在‎[-1, 1]‎上的最小值记为g(a)‎. ‎(‎Ⅰ‎)‎求g(a)‎; ‎(‎Ⅱ‎)‎证明:当x∈[-1, 1]‎时,恒有f(x)≤g(a)+4‎. ‎ ‎ ‎ ‎38. 如图,在四棱锥A-BCDE中,平面ABC⊥‎平面BCDE,‎∠CDE=∠BED=‎‎90‎‎∘‎,AB=CD=2‎,DE=BE=1‎,AC=‎‎2‎. ‎ ‎(1)‎证明:AC⊥‎平面BCDE;‎ ‎ ‎ ‎(2)‎求直线AE与平面ABC所成的角的正切值.‎ ‎ ‎ ‎39. 已知等差数列‎{an}‎的公差d>0‎,设‎{an}‎的前n项和为Sn,a‎1‎=‎1‎,S‎2‎‎⋅‎S‎3‎=‎36‎. ‎(‎Ⅰ‎)‎求d及Sn; ‎(‎Ⅱ‎)‎求m,k(m, k∈N‎*‎)‎的值,使得am‎+am+1‎+am+2‎+...+‎am+k=‎65‎. ‎ ‎ ‎ ‎40. 在‎△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知‎4sin‎2‎A-B‎2‎+4sinAsinB=2+‎‎2‎. ‎ ‎(1)‎求角C的大小;‎ ‎ ‎ ‎(2)‎已知b=4‎,‎△ABC的面积为‎6‎,求边长c的值.‎ 第69页 共72页 ◎ 第70页 共72页 参考答案与试题解析 ‎【高中高考数学压轴题预测题-浙江省1】2020年高考数学计算题大题-含详细解析答案、可编辑 一、 解答题 (本题共计 40 小题 ,每题 3 分 ,共计120分 ) ‎ ‎1.【答案】‎ 解:‎(1)‎当a=-‎‎3‎‎4‎时,f(x)=-‎3‎‎4‎lnx+‎1+x,x>0‎,‎ 则f‎'‎‎(x)=-‎3‎‎4x+‎‎1‎‎2‎‎1+x ‎=‎‎(‎1+x-2)(2‎1+x+1)‎‎4x‎1+x‎,‎ 当f‎'‎‎(x)>0‎时,解得x>3‎;‎ 当f‎'‎‎(x)<0‎时,解得‎00‎‎,‎ 故q(x)‎在‎1‎e‎2‎‎,‎‎1‎‎7‎上单调递增,所以q(x)≤q‎1‎‎7‎,‎ 由①得,‎q‎1‎‎7‎=-‎2‎‎7‎‎7‎p‎1‎‎7‎<-‎2‎‎7‎‎7‎p(1)=0‎ 所以,q(x)<0‎,因此,g(t)≥g‎1+‎‎1‎x=-q(x)‎x>0‎,‎ 由①②知对任意x∈‎‎1‎e‎2‎‎,+∞‎,t∈[2‎2‎,+∞)‎,g(t)≥0‎,‎ 即对任意x∈‎‎1‎e‎2‎‎,+∞‎,均有f(x)≤‎x‎2a,‎ 综上所述,所求a的取值范围是‎0,‎‎2‎‎4‎.‎ ‎【解答】‎ 解:‎(1)‎当a=-‎‎3‎‎4‎时,f(x)=-‎3‎‎4‎lnx+‎1+x,x>0‎,‎ 则f‎'‎‎(x)=-‎3‎‎4x+‎‎1‎‎2‎‎1+x ‎=‎‎(‎1+x-2)(2‎1+x+1)‎‎4x‎1+x‎,‎ 当f‎'‎‎(x)>0‎时,解得x>3‎;‎ 当f‎'‎‎(x)<0‎时,解得‎00‎‎,‎ 故q(x)‎在‎1‎e‎2‎‎,‎‎1‎‎7‎上单调递增,所以q(x)≤q‎1‎‎7‎,‎ 由①得,‎q‎1‎‎7‎=-‎2‎‎7‎‎7‎p‎1‎‎7‎<-‎2‎‎7‎‎7‎p(1)=0‎ 所以,q(x)<0‎,因此,g(t)≥g‎1+‎‎1‎x=-q(x)‎x>0‎,‎ 由①②知对任意x∈‎‎1‎e‎2‎‎,+∞‎,t∈[2‎2‎,+∞)‎,g(t)≥0‎,‎ 即对任意x∈‎‎1‎e‎2‎‎,+∞‎,均有f(x)≤‎x‎2a,‎ 综上所述,所求a的取值范围是‎0,‎‎2‎‎4‎.‎ ‎2.【答案】‎ 解:‎(1)‎由题意得p‎2‎‎=1‎,即p=2‎.‎ 所以,抛物线的准线方程为x=-1‎.‎ ‎(2)‎设AxA‎,‎yA,BxB‎,‎yB,CxC‎,‎yC,重心G(xG,yG)‎.‎ 令yA‎=2t,t≠0‎,则xA‎=‎t‎2‎.‎ 由于直线AB过F,故直线AB方程为x=t‎2‎‎-1‎‎2ty+1‎,‎ 代入y‎2‎‎=4x,得 y‎2‎‎-‎2‎t‎2‎‎-1‎ty-4=0‎‎.‎ 故‎2tyB=-4‎,即yB‎=-‎‎2‎t,‎ 所以B‎1‎t‎2‎‎,-‎‎2‎t.‎ 又由于xG‎=‎‎1‎‎3‎xA‎+xB+‎xC, yG‎=‎‎1‎‎3‎yA‎+yB+‎yC及重心G在x轴上,‎ 故‎2t-‎2‎t+yC=0‎,‎ 得C‎1‎t‎-t‎2‎‎,2‎‎1‎t‎-t,G‎2t‎4‎-2t‎2‎+2‎‎3‎t‎2‎‎,0‎.‎ 所以,直线AC方程为y-2t=2tx-‎t‎2‎,‎ 得Q(t‎2‎-1,0)‎.‎ 由于Q在焦点F的右侧,故t‎2‎‎>2‎.‎ 从而S‎1‎S‎2‎‎=‎‎1‎‎2‎‎|FG|⋅‎yA‎1‎‎2‎‎|QG|⋅‎yc ‎=‎‎2t‎4‎-2t‎2‎+2‎‎3‎t‎2‎‎-1‎‎⋅|2t|‎t‎2‎‎-1-‎‎2t‎4‎-2t‎2‎+2‎‎3‎t‎2‎‎⋅‎‎2‎t‎-2t 第69页 共72页 ◎ 第70页 共72页 ‎=‎‎2t‎4‎-‎t‎2‎t‎4‎‎-1‎ ‎=2-‎t‎2‎‎-2‎t‎4‎‎-1‎‎.‎ 令m=t‎2‎-2‎,则m>0‎,‎ S‎1‎S‎2‎‎=2-‎mm‎2‎‎+4m+3‎ ‎=2-‎‎1‎m+‎3‎m+4‎ ‎≥2-‎‎1‎‎2m⋅‎‎3‎m+4‎ ‎=1+‎‎3‎‎2‎‎.‎ 当m=‎‎3‎时,S‎1‎S‎2‎取得最小值‎1+‎‎3‎‎2‎,此时G(2,0)‎.‎ ‎【解答】‎ 解:‎(1)‎由题意得p‎2‎‎=1‎,即p=2‎.‎ 所以,抛物线的准线方程为x=-1‎.‎ ‎(2)‎设AxA‎,‎yA,BxB‎,‎yB,CxC‎,‎yC,重心G(xG,yG)‎.‎ 令yA‎=2t,t≠0‎,则xA‎=‎t‎2‎.‎ 由于直线AB过F,故直线AB方程为x=t‎2‎‎-1‎‎2ty+1‎,‎ 代入y‎2‎‎=4x,得 y‎2‎‎-‎2‎t‎2‎‎-1‎ty-4=0‎‎.‎ 故‎2tyB=-4‎,即yB‎=-‎‎2‎t,‎ 所以B‎1‎t‎2‎‎,-‎‎2‎t.‎ 又由于xG‎=‎‎1‎‎3‎xA‎+xB+‎xC, yG‎=‎‎1‎‎3‎yA‎+yB+‎yC及重心G在x轴上,‎ 故‎2t-‎2‎t+yC=0‎,‎ 得C‎1‎t‎-t‎2‎‎,2‎‎1‎t‎-t,G‎2t‎4‎-2t‎2‎+2‎‎3‎t‎2‎‎,0‎.‎ 所以,直线AC方程为y-2t=2tx-‎t‎2‎,‎ 得Q(t‎2‎-1,0)‎.‎ 由于Q在焦点F的右侧,故t‎2‎‎>2‎.‎ 从而S‎1‎S‎2‎‎=‎‎1‎‎2‎‎|FG|⋅‎yA‎1‎‎2‎‎|QG|⋅‎yc ‎=‎‎2t‎4‎-2t‎2‎+2‎‎3‎t‎2‎‎-1‎‎⋅|2t|‎t‎2‎‎-1-‎‎2t‎4‎-2t‎2‎+2‎‎3‎t‎2‎‎⋅‎‎2‎t‎-2t ‎=‎‎2t‎4‎-‎t‎2‎t‎4‎‎-1‎ ‎=2-‎t‎2‎‎-2‎t‎4‎‎-1‎‎.‎ 令m=t‎2‎-2‎,则m>0‎,‎ S‎1‎S‎2‎‎=2-‎mm‎2‎‎+4m+3‎ ‎=2-‎‎1‎m+‎3‎m+4‎ ‎≥2-‎‎1‎‎2m⋅‎‎3‎m+4‎ ‎=1+‎‎3‎‎2‎‎.‎ 当m=‎‎3‎时,S‎1‎S‎2‎取得最小值‎1+‎‎3‎‎2‎,此时G(2,0)‎.‎ ‎3.【答案】‎ ‎(1)‎解:设数列‎{an}‎的公差为d,由题意得 a‎1‎‎+2d=4,a‎1‎+3d=3a‎1‎+3d‎,‎ 解得a‎1‎‎=0,d=2‎.‎ 从而an‎=2n-2,n∈‎N‎*‎.‎ 所以Sn‎=n‎2‎-n,n∈‎N‎*‎.‎ 由Sn‎+bn,Sn+1‎+bn,Sn+2‎+‎bn成等比数列得 Sn+1‎‎+‎bn‎2‎‎=‎Sn‎+‎bnSn+2‎‎+‎bn‎.‎ 解得bn‎=‎‎1‎dSn+1‎‎2‎‎-‎SnSn+2‎.‎ 所以bn‎=n‎2‎+n,n∈‎N‎*‎.‎ ‎(2)‎证明:cn‎=an‎2‎bn=‎2n-2‎‎2n(n+1)‎=n-1‎n(n+1)‎,n∈‎N‎*‎.‎ 我们用数学归纳法证明.‎ ‎①当n=1‎时,c‎1‎‎=0<2‎,不等式成立;‎ 第69页 共72页 ◎ 第70页 共72页 ‎②假设n=kk∈‎N‎*‎时不等式成立,即c‎1‎‎+c‎2‎+⋯+ck<2‎k.‎ 那么,当n=k+1‎时,‎ c‎1‎‎+c‎2‎+⋯+c‎1‎+ck+1‎<2k+k‎(k+1)(k+2)‎<2k+‎‎1‎k+1‎ ‎<2k+‎2‎k+1‎‎+‎k=2k+2(k+1‎-k)=2‎k+1‎‎,‎ 即当n=k+1‎时不等式也成立.‎ 根据①和②,不等式c‎1‎‎+c‎2‎+⋯+cn<2‎n对任意n∈‎N‎*‎恒成立.‎ ‎【解答】‎ ‎(1)‎解:设数列‎{an}‎的公差为d,由题意得 a‎1‎‎+2d=4,a‎1‎+3d=3a‎1‎+3d‎,‎ 解得a‎1‎‎=0,d=2‎.‎ 从而an‎=2n-2,n∈‎N‎*‎.‎ 所以Sn‎=n‎2‎-n,n∈‎N‎*‎.‎ 由Sn‎+bn,Sn+1‎+bn,Sn+2‎+‎bn成等比数列得 Sn+1‎‎+‎bn‎2‎‎=‎Sn‎+‎bnSn+2‎‎+‎bn‎.‎ 解得bn‎=‎‎1‎dSn+1‎‎2‎‎-‎SnSn+2‎.‎ 所以bn‎=n‎2‎+n,n∈‎N‎*‎.‎ ‎(2)‎证明:cn‎=an‎2‎bn=‎2n-2‎‎2n(n+1)‎=n-1‎n(n+1)‎,n∈‎N‎*‎.‎ 我们用数学归纳法证明.‎ ‎①当n=1‎时,c‎1‎‎=0<2‎,不等式成立;‎ ‎②假设n=kk∈‎N‎*‎时不等式成立,即c‎1‎‎+c‎2‎+⋯+ck<2‎k.‎ 那么,当n=k+1‎时,‎ c‎1‎‎+c‎2‎+⋯+c‎1‎+ck+1‎<2k+k‎(k+1)(k+2)‎<2k+‎‎1‎k+1‎ ‎<2k+‎2‎k+1‎‎+‎k=2k+2(k+1‎-k)=2‎k+1‎‎,‎ 即当n=k+1‎时不等式也成立.‎ 根据①和②,不等式c‎1‎‎+c‎2‎+⋯+cn<2‎n对任意n∈‎N‎*‎恒成立.‎ ‎4.【答案】‎ ‎(1)‎证明:如图,连接A‎1‎E, ∵ A‎1‎A=A‎1‎C,E是AC的中点, ∴ A‎1‎E⊥AC, 又平面A‎1‎ACC‎1‎⊥‎平面ABC,A‎1‎E⊂‎平面A‎1‎ACC‎1‎,平面A‎1‎ACC‎1‎∩‎平面ABC=AC, ∴ A‎1‎E⊥‎平面ABC,则A‎1‎E⊥BC, 又∵ A‎1‎F//AB,‎∠ABC=‎‎90‎‎◦‎,故BC⊥A‎1‎F, ∴ BC⊥‎平面A‎1‎EF, ∴ EF⊥BC.‎ ‎(2)‎解:如图,取BC中点G连接EG, GF,则EGFA‎1‎是平行四边形, 由于A‎1‎E⊥‎平面ABC,故A‎1‎E⊥EG, ∴ 平行四边形EGFA‎1‎为矩形, 由‎(1)‎得BC⊥‎平面EGFA‎1‎,则平面A‎1‎BC⊥‎平面EGFA‎1‎, ∴ EF在平面A‎1‎BC上的射影在直线A‎1‎G上, 连接A‎1‎G交EF于O,则‎∠EOG是直线EF与平面A‎1‎BC所成的角(或其补角), 不妨设AC=4‎,则在Rt△A‎1‎EG中,A‎1‎E=2‎‎3‎,EG=‎‎3‎, 由于O为A‎1‎G的中点,故EO=OG=A‎1‎G‎2‎=‎‎15‎‎2‎, ∴ cos∠EOG=EO‎2‎+OG‎2‎-EG‎2‎‎2EO⋅OG=‎‎3‎‎5‎, ∴ 直线EF与平面A‎1‎BC所成角的余弦值是‎3‎‎5‎.‎ ‎【解答】‎ ‎(1)‎证明:如图,连接A‎1‎E, ‎ 第69页 共72页 ◎ 第70页 共72页 ‎ ∵ A‎1‎A=A‎1‎C,E是AC的中点, ∴ A‎1‎E⊥AC, 又平面A‎1‎ACC‎1‎⊥‎平面ABC,A‎1‎E⊂‎平面A‎1‎ACC‎1‎,平面A‎1‎ACC‎1‎∩‎平面ABC=AC, ∴ A‎1‎E⊥‎平面ABC,则A‎1‎E⊥BC, 又∵ A‎1‎F//AB,‎∠ABC=‎‎90‎‎◦‎,故BC⊥A‎1‎F, ∴ BC⊥‎平面A‎1‎EF, ∴ EF⊥BC.‎ ‎(2)‎解:如图,取BC中点G连接EG, GF,则EGFA‎1‎是平行四边形, 由于A‎1‎E⊥‎平面ABC,故A‎1‎E⊥EG, ∴ 平行四边形EGFA‎1‎为矩形, 由‎(1)‎得BC⊥‎平面EGFA‎1‎,则平面A‎1‎BC⊥‎平面EGFA‎1‎, ∴ EF在平面A‎1‎BC上的射影在直线A‎1‎G上, 连接A‎1‎G交EF于O,则‎∠EOG是直线EF与平面A‎1‎BC所成的角(或其补角), 不妨设AC=4‎,则在Rt△A‎1‎EG中,A‎1‎E=2‎‎3‎,EG=‎‎3‎, 由于O为A‎1‎G的中点,故EO=OG=A‎1‎G‎2‎=‎‎15‎‎2‎, ∴ cos∠EOG=EO‎2‎+OG‎2‎-EG‎2‎‎2EO⋅OG=‎‎3‎‎5‎, ∴ 直线EF与平面A‎1‎BC所成角的余弦值是‎3‎‎5‎.‎ ‎5.【答案】‎ 解:‎(1)‎∵ f(x+θ)=sin(x+θ)‎是偶函数, ∴ 对任意实数x都有sin(x+θ)=sin(-x+θ)‎, 即sinxcosθ+cosxsinθ ‎=-sinxcosθ+cosxsinθ ‎故‎2sinxcosθ=0‎, ∴ cosθ=0‎. 又θ∈[0,2π)‎, ∴ θ=‎π‎2‎或‎3π‎2‎;‎ ‎(2)y=fx+‎π‎12‎‎2‎+fx+‎π‎4‎‎2‎ ‎‎=sin‎2‎x+‎π‎12‎+sin‎2‎x+‎π‎4‎ ‎‎=‎1-cos‎2x+‎π‎6‎‎2‎+‎1-cos‎2x+‎π‎2‎‎2‎ ‎‎=1-‎1‎‎2‎‎3‎‎2‎cos2x-‎3‎‎2‎sin2x =1-‎3‎‎2‎cos‎2x+‎π‎3‎‎, ∴ 函数的值域是‎[1-‎3‎‎2‎,1+‎3‎‎2‎]‎.‎ ‎【解答】‎ 解:‎(1)‎∵ f(x+θ)=sin(x+θ)‎是偶函数, ∴ 对任意实数x都有sin(x+θ)=sin(-x+θ)‎, 即sinxcosθ+cosxsinθ ‎=-sinxcosθ+cosxsinθ ‎故‎2sinxcosθ=0‎, ∴ cosθ=0‎. 又θ∈[0,2π)‎, ∴ θ=‎π‎2‎或‎3π‎2‎;‎ ‎(2)y=fx+‎π‎12‎‎2‎+fx+‎π‎4‎‎2‎ ‎‎=sin‎2‎x+‎π‎12‎+sin‎2‎x+‎π‎4‎ ‎‎=‎1-cos‎2x+‎π‎6‎‎2‎+‎1-cos‎2x+‎π‎2‎‎2‎ ‎‎=1-‎1‎‎2‎‎3‎‎2‎cos2x-‎3‎‎2‎sin2x =1-‎3‎‎2‎cos‎2x+‎π‎3‎‎, ∴ 函数的值域是‎[1-‎3‎‎2‎,1+‎3‎‎2‎]‎.‎ ‎6.【答案】‎ 证明:(1)∵ 函数f(x)=x-lnx, ∴ x>0‎,f'(x)=‎1‎‎2‎x-‎‎1‎x, ∵ f(x)‎在x=‎x‎1‎,x‎2‎‎(x‎1‎≠x‎2‎)‎处导数相等, ∴ ‎1‎‎2‎x‎1‎‎-‎1‎x‎1‎=‎1‎‎2‎x‎2‎-‎‎1‎x‎2‎, ∵ x‎1‎‎≠‎x‎2‎,∴ ‎1‎x‎1‎‎+‎1‎x‎2‎=‎‎1‎‎2‎, 由基本不等式得:‎1‎‎2‎x‎1‎x‎2‎‎=x‎1‎+x‎2‎≥2‎‎4‎x‎1‎x‎2‎, ∵ x‎1‎‎≠‎x‎2‎,∴ x‎1‎x‎2‎‎>256‎, 由题意得f(x‎1‎)+f(x‎2‎)=x‎1‎-lnx‎1‎+x‎2‎-lnx‎2‎=‎1‎‎2‎x‎1‎x‎2‎-ln(x‎1‎x‎2‎)‎, 设g(x)=‎1‎‎2‎x-lnx,则g‎'‎‎(x)=‎1‎‎4x(x-4)‎ 第69页 共72页 ◎ 第70页 共72页 ‎, ∴ 列表讨论:‎ ‎ ‎x ‎ ‎‎(0, 16)‎ ‎ ‎‎16‎ ‎ ‎‎(16, +∞)‎ ‎ ‎g'(x)‎ ‎-‎ ‎ ‎‎0‎ ‎+‎ ‎ ‎g(x)‎ ‎↓‎ ‎ ‎‎2-4ln2‎ ‎↑‎ ‎∴ g(x)‎在‎[256, +∞)‎上单调递增, ∴ g(x‎1‎x‎2‎)>g(256)=8-8ln2‎, ∴ f(x‎1‎)+f(x‎2‎)>8-8ln2‎.‎ ‎(2)令m=‎e‎-(|a|+k)‎,n=(‎|a|+1‎k‎)‎‎2‎+1‎, 则f(m)-km-a>|a|+k-k-a≥0‎, f(n)-kn-a0‎,直线y=kx+a与曲线y=f(x)‎有唯一公共点.‎ ‎【解答】‎ 证明:(1)∵ 函数f(x)=x-lnx, ∴ x>0‎,f'(x)=‎1‎‎2‎x-‎‎1‎x, ∵ f(x)‎在x=‎x‎1‎,x‎2‎‎(x‎1‎≠x‎2‎)‎处导数相等, ∴ ‎1‎‎2‎x‎1‎‎-‎1‎x‎1‎=‎1‎‎2‎x‎2‎-‎‎1‎x‎2‎, ∵ x‎1‎‎≠‎x‎2‎,∴ ‎1‎x‎1‎‎+‎1‎x‎2‎=‎‎1‎‎2‎, 由基本不等式得:‎1‎‎2‎x‎1‎x‎2‎‎=x‎1‎+x‎2‎≥2‎‎4‎x‎1‎x‎2‎, ∵ x‎1‎‎≠‎x‎2‎,∴ x‎1‎x‎2‎‎>256‎, 由题意得f(x‎1‎)+f(x‎2‎)=x‎1‎-lnx‎1‎+x‎2‎-lnx‎2‎=‎1‎‎2‎x‎1‎x‎2‎-ln(x‎1‎x‎2‎)‎, 设g(x)=‎1‎‎2‎x-lnx,则g‎'‎‎(x)=‎1‎‎4x(x-4)‎, ∴ 列表讨论:‎ ‎ ‎x ‎ ‎‎(0, 16)‎ ‎ ‎‎16‎ ‎ ‎‎(16, +∞)‎ ‎ ‎g'(x)‎ ‎-‎ ‎ ‎‎0‎ ‎+‎ ‎ ‎g(x)‎ ‎↓‎ ‎ ‎‎2-4ln2‎ ‎↑‎ ‎∴ g(x)‎在‎[256, +∞)‎上单调递增, ∴ g(x‎1‎x‎2‎)>g(256)=8-8ln2‎, ∴ f(x‎1‎)+f(x‎2‎)>8-8ln2‎.‎ ‎(2)令m=‎e‎-(|a|+k)‎,n=(‎|a|+1‎k‎)‎‎2‎+1‎, 则f(m)-km-a>|a|+k-k-a≥0‎, f(n)-kn-a0‎,直线y=kx+a与曲线y=f(x)‎有唯一公共点.‎ ‎7.【答案】‎ ‎(1)证明:设Px‎0‎‎,‎y‎0‎,A(‎1‎‎4‎y‎1‎‎2‎,y‎1‎)‎,B(‎1‎‎4‎y‎2‎‎2‎,y‎2‎)‎.‎ 因为PA,PB的中点在抛物线上,‎ 所以y‎1‎,y‎2‎为方程‎(y+‎y‎0‎‎2‎‎)‎‎2‎=4⋅‎‎1‎‎4‎y‎2‎‎+‎x‎0‎‎2‎ 第69页 共72页 ◎ 第70页 共72页 即y‎2‎‎-2y‎0‎y+8x‎0‎-y‎0‎‎2‎=0‎的两个不同的实根.‎ 所以y‎1‎‎+y‎2‎=2‎y‎0‎,‎ 因此,PM垂直于y轴.‎ ‎(2)解:由(1)可知y‎1‎‎+y‎2‎=2y‎0‎,‎y‎1‎y‎2‎‎=8x‎0‎-y‎0‎‎2‎,‎ 所以‎|PM|=‎1‎‎8‎y‎1‎‎2‎‎+‎y‎2‎‎2‎-x‎0‎=‎3‎‎4‎y‎0‎‎2‎-3‎x‎0‎,‎ y‎1‎‎-‎y‎2‎‎=2‎‎2‎y‎0‎‎2‎‎-4‎x‎0‎‎.‎ 因此,‎△PAB的面积 S‎△PAB‎=‎1‎‎2‎|PM|⋅y‎1‎‎-‎y‎2‎=‎‎3‎‎2‎‎4‎y‎0‎‎2‎‎-4‎x‎0‎‎3‎‎2‎‎.‎ 因为x‎0‎‎2‎‎+y‎0‎‎2‎‎4‎=1‎x‎0‎‎<0‎,‎ 所以y‎0‎‎2‎‎-4x‎0‎=-4x‎0‎‎2‎-4x‎0‎+4∈[4,5]‎,‎ 因此,‎△PAB面积的取值范围是‎[6‎2‎,‎15‎‎10‎‎4‎]‎.‎ ‎【解答】‎ ‎(1)证明:设Px‎0‎‎,‎y‎0‎,A(‎1‎‎4‎y‎1‎‎2‎,y‎1‎)‎,B(‎1‎‎4‎y‎2‎‎2‎,y‎2‎)‎.‎ 因为PA,PB的中点在抛物线上,‎ 所以y‎1‎,y‎2‎为方程‎(y+‎y‎0‎‎2‎‎)‎‎2‎=4⋅‎‎1‎‎4‎y‎2‎‎+‎x‎0‎‎2‎ 即y‎2‎‎-2y‎0‎y+8x‎0‎-y‎0‎‎2‎=0‎的两个不同的实根.‎ 所以y‎1‎‎+y‎2‎=2‎y‎0‎,‎ 因此,PM垂直于y轴.‎ ‎(2)解:由(1)可知y‎1‎‎+y‎2‎=2y‎0‎,‎y‎1‎y‎2‎‎=8x‎0‎-y‎0‎‎2‎,‎ 所以‎|PM|=‎1‎‎8‎y‎1‎‎2‎‎+‎y‎2‎‎2‎-x‎0‎=‎3‎‎4‎y‎0‎‎2‎-3‎x‎0‎,‎ y‎1‎‎-‎y‎2‎‎=2‎‎2‎y‎0‎‎2‎‎-4‎x‎0‎‎.‎ 因此,‎△PAB的面积 S‎△PAB‎=‎1‎‎2‎|PM|⋅y‎1‎‎-‎y‎2‎=‎‎3‎‎2‎‎4‎y‎0‎‎2‎‎-4‎x‎0‎‎3‎‎2‎‎.‎ 因为x‎0‎‎2‎‎+y‎0‎‎2‎‎4‎=1‎x‎0‎‎<0‎,‎ 所以y‎0‎‎2‎‎-4x‎0‎=-4x‎0‎‎2‎-4x‎0‎+4∈[4,5]‎,‎ 因此,‎△PAB面积的取值范围是‎[6‎2‎,‎15‎‎10‎‎4‎]‎.‎ ‎8.【答案】‎ 解:(1)等比数列‎{an}‎的公比q>1‎,且a‎3‎‎+a‎4‎+a‎5‎=28‎,a‎4‎‎+2‎是a‎3‎,a‎5‎的等差中项, 可得‎2a‎4‎+4=a‎3‎+a‎5‎=28-‎a‎4‎, 解得a‎4‎‎=8‎, 由‎8‎q‎+8+8q=28‎,可得q=2‎(‎1‎‎2‎舍去), 则q的值为‎2‎;‎ ‎(2)设cn‎=(bn+1‎-bn)an=(bn+1‎-bn)‎‎2‎n-1‎, 可得n=1‎时,c‎1‎‎=2+1=3‎, n≥2‎时,可得cn‎=2n‎2‎+n-2(n-1‎)‎‎2‎-(n-1)=4n-1‎, 上式对n=1‎也成立, 则‎(bn+1‎-bn)an=4n-1‎, 即有bn+1‎‎-bn=(4n-1)⋅(‎‎1‎‎2‎‎)‎n-1‎, 可得bn‎=b‎1‎+(b‎2‎-b‎1‎)+(b‎3‎-b‎2‎)+...+(bn-bn-1‎)‎ ‎=1+3⋅(‎1‎‎2‎‎)‎‎0‎+7⋅(‎1‎‎2‎‎)‎‎1‎+...+(4n-5)⋅(‎‎1‎‎2‎‎)‎n-2‎, ‎1‎‎2‎bn‎=‎1‎‎2‎+3⋅(‎1‎‎2‎)+7⋅(‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎+...+(4n-5)⋅(‎‎1‎‎2‎‎)‎n-1‎, 相减可得‎1‎‎2‎bn‎=‎7‎‎2‎+4[(‎1‎‎2‎)+(‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎+...+(‎1‎‎2‎‎)‎n-2‎]-(4n-5)⋅(‎‎1‎‎2‎‎)‎n-1‎ ‎=‎7‎‎2‎+4⋅‎1‎‎2‎‎(1-‎1‎‎2‎n-2‎)‎‎1-‎‎1‎‎2‎-(4n-5)⋅(‎‎1‎‎2‎‎)‎n-1‎, 化简可得bn‎=15-(4n+3)⋅(‎‎1‎‎2‎‎)‎n-2‎.‎ ‎【解答】‎ 解:(1)等比数列‎{an}‎的公比q>1‎,且a‎3‎‎+a‎4‎+a‎5‎=28‎,a‎4‎‎+2‎是a‎3‎,a‎5‎的等差中项, 可得‎2a‎4‎+4=a‎3‎+a‎5‎=28-‎a‎4‎, 解得a‎4‎‎=8‎, 由‎8‎q‎+8+8q=28‎,可得q=2‎(‎1‎‎2‎舍去), 则q的值为‎2‎;‎ 第69页 共72页 ◎ 第70页 共72页 ‎(2)设cn‎=(bn+1‎-bn)an=(bn+1‎-bn)‎‎2‎n-1‎, 可得n=1‎时,c‎1‎‎=2+1=3‎, n≥2‎时,可得cn‎=2n‎2‎+n-2(n-1‎)‎‎2‎-(n-1)=4n-1‎, 上式对n=1‎也成立, 则‎(bn+1‎-bn)an=4n-1‎, 即有bn+1‎‎-bn=(4n-1)⋅(‎‎1‎‎2‎‎)‎n-1‎, 可得bn‎=b‎1‎+(b‎2‎-b‎1‎)+(b‎3‎-b‎2‎)+...+(bn-bn-1‎)‎ ‎=1+3⋅(‎1‎‎2‎‎)‎‎0‎+7⋅(‎1‎‎2‎‎)‎‎1‎+...+(4n-5)⋅(‎‎1‎‎2‎‎)‎n-2‎, ‎1‎‎2‎bn‎=‎1‎‎2‎+3⋅(‎1‎‎2‎)+7⋅(‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎+...+(4n-5)⋅(‎‎1‎‎2‎‎)‎n-1‎, 相减可得‎1‎‎2‎bn‎=‎7‎‎2‎+4[(‎1‎‎2‎)+(‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎+...+(‎1‎‎2‎‎)‎n-2‎]-(4n-5)⋅(‎‎1‎‎2‎‎)‎n-1‎ ‎=‎7‎‎2‎+4⋅‎1‎‎2‎‎(1-‎1‎‎2‎n-2‎)‎‎1-‎‎1‎‎2‎-(4n-5)⋅(‎‎1‎‎2‎‎)‎n-1‎, 化简可得bn‎=15-(4n+3)⋅(‎‎1‎‎2‎‎)‎n-2‎.‎ ‎9.【答案】‎ ‎(1)‎证明:∵ A‎1‎A⊥‎平面ABC,B‎1‎B⊥‎平面ABC, ∴ AA‎1‎ // BB‎1‎, ∵ AA‎1‎=4‎,BB‎1‎=2‎,AB=2‎, ∴ A‎1‎B‎1‎‎=‎(AB‎)‎‎2‎+(AA‎1‎-BB‎1‎‎)‎‎2‎=2‎‎2‎, 又AB‎1‎=AB‎2‎+BB‎1‎‎2‎=2‎‎2‎,∴ AA‎1‎‎2‎=AB‎1‎‎2‎+‎A‎1‎B‎1‎‎2‎, ∴ AB‎1‎⊥‎A‎1‎B‎1‎, 同理可得:AB‎1‎⊥‎B‎1‎C‎1‎, 又A‎1‎B‎1‎‎∩B‎1‎C‎1‎=‎B‎1‎, ∴ AB‎1‎⊥‎平面A‎1‎B‎1‎C‎1‎.‎ ‎(2)‎解:取AC中点O,过O作平面ABC的垂线OD,交A‎1‎C‎1‎于D, ∵ AB=BC,∴ OB⊥OC, ∵ AB=BC=2‎,‎∠BAC=‎‎120‎‎∘‎,∴ OB=1‎,OA=OC=‎‎3‎, 以O为原点,以OB,OC,OD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示:    则A(0, -‎3‎, 0)‎,B(1, 0, 0)‎,B‎1‎‎(1, 0, 2)‎,C‎1‎‎(0, ‎3‎, 1)‎, ∴ AB‎→‎‎=(1, ‎3‎, 0)‎,BB‎1‎‎→‎‎=(0, 0, 2)‎,AC‎1‎‎→‎‎=(0, 2‎3‎, 1)‎, 设平面ABB‎1‎的法向量为n‎→‎‎=(x, y, z)‎,则n‎→‎‎⋅AB‎→‎=0,‎n‎→‎‎⋅BB‎1‎‎→‎=0,‎ ∴ x+‎3‎y=0,‎‎2z=0,‎令y=1‎可得n‎→‎‎=(-‎3‎, 1, 0)‎, ∴ cos=n‎→‎‎⋅‎AC‎1‎‎→‎‎|n‎→‎||AC‎1‎‎→‎|‎=‎2‎‎3‎‎2×‎‎13‎=‎‎39‎‎13‎. 设直线AC‎1‎与平面ABB‎1‎所成的角为θ,则sinθ=|cos|=‎‎39‎‎13‎. ∴ 直线AC‎1‎与平面ABB‎1‎所成的角的正弦值为‎39‎‎13‎.‎ ‎【解答】‎ ‎(1)‎证明:∵ A‎1‎A⊥‎平面ABC,B‎1‎B⊥‎平面ABC, ‎ ‎∴ AA‎1‎ // BB‎1‎,‎ ‎∵ AA‎1‎=4‎,BB‎1‎=2‎,AB=2‎,‎ ‎∴ A‎1‎B‎1‎‎=‎(AB‎)‎‎2‎+(AA‎1‎-BB‎1‎‎)‎‎2‎=2‎‎2‎,‎ 又AB‎1‎=AB‎2‎+BB‎1‎‎2‎=2‎‎2‎,∴ AA‎1‎‎2‎=AB‎1‎‎2‎+‎A‎1‎B‎1‎‎2‎,‎ ‎∴ AB‎1‎⊥‎A‎1‎B‎1‎,‎ 同理可得:AB‎1‎⊥‎B‎1‎C‎1‎,‎ 又A‎1‎B‎1‎‎∩B‎1‎C‎1‎=‎B‎1‎,‎ ‎∴ AB‎1‎⊥‎平面A‎1‎B‎1‎C‎1‎.‎ ‎(2)‎解:取AC中点O,过O作平面ABC的垂线OD,交A‎1‎C‎1‎于D, ‎ ‎∵ AB=BC,∴ OB⊥OC,‎ ‎∵ AB=BC=2‎,‎∠BAC=‎‎120‎‎∘‎,∴ OB=1‎,OA=OC=‎‎3‎,‎ 以O为原点,以OB,OC,OD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示:‎ ‎  ‎ 则A(0, -‎3‎, 0)‎,B(1, 0, 0)‎,B‎1‎‎(1, 0, 2)‎,C‎1‎‎(0, ‎3‎, 1)‎,‎ ‎∴ AB‎→‎‎=(1, ‎3‎, 0)‎,BB‎1‎‎→‎‎=(0, 0, 2)‎,AC‎1‎‎→‎‎=(0, 2‎3‎, 1)‎,‎ 第69页 共72页 ◎ 第70页 共72页 设平面ABB‎1‎的法向量为n‎→‎‎=(x, y, z)‎,则n‎→‎‎⋅AB‎→‎=0,‎n‎→‎‎⋅BB‎1‎‎→‎=0,‎ ‎∴ x+‎3‎y=0,‎‎2z=0,‎令y=1‎可得n‎→‎‎=(-‎3‎, 1, 0)‎,‎ ‎∴ cos=n‎→‎‎⋅‎AC‎1‎‎→‎‎|n‎→‎||AC‎1‎‎→‎|‎=‎2‎‎3‎‎2×‎‎13‎=‎‎39‎‎13‎.‎ 设直线AC‎1‎与平面ABB‎1‎所成的角为θ,则sinθ=|cos|=‎‎39‎‎13‎.‎ ‎∴ 直线AC‎1‎与平面ABB‎1‎所成的角的正弦值为‎39‎‎13‎.‎ ‎10.【答案】‎ 解:‎(1)‎由角α的终边过点P‎-‎3‎‎5‎,-‎‎4‎‎5‎得sinα=-‎‎4‎‎5‎, 所以sin(α+π)=-sinα=‎‎4‎‎5‎.‎ ‎(2)‎由角α的终边过点P‎-‎3‎‎5‎,-‎‎4‎‎5‎得cosα=-‎‎3‎‎5‎, 由sin(α+β)=‎‎5‎‎13‎, 得cos(α+β)=±‎‎12‎‎13‎. 由β=(α+β)-α, 得cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα, 所以cosβ=-‎‎56‎‎65‎或cosβ=‎‎16‎‎65‎.‎ ‎【解答】‎ 解:‎(1)‎由角α的终边过点P‎-‎3‎‎5‎,-‎‎4‎‎5‎得sinα=-‎‎4‎‎5‎, 所以sin(α+π)=-sinα=‎‎4‎‎5‎.‎ ‎(2)‎由角α的终边过点P‎-‎3‎‎5‎,-‎‎4‎‎5‎得cosα=-‎‎3‎‎5‎, 由sin(α+β)=‎‎5‎‎13‎, 得cos(α+β)=±‎‎12‎‎13‎. 由β=(α+β)-α, 得cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα, 所以cosβ=-‎‎56‎‎65‎或cosβ=‎‎16‎‎65‎.‎ ‎11.【答案】‎ 解:(1)∵ ‎|an-an+1‎‎2‎|≤1‎,∴ ‎|an|-‎1‎‎2‎|an+1‎|≤1‎, ∴ ‎|an|‎‎2‎n‎-‎|an+1‎|‎‎2‎n+1‎≤‎‎1‎‎2‎n,n∈‎N‎*‎, ∴ ‎|a‎1‎|‎‎2‎‎-‎|an|‎‎2‎n=(‎|a‎1‎|‎‎2‎-‎|a‎2‎|‎‎2‎‎2‎)+(‎|a‎2‎|‎‎2‎‎2‎-‎|a‎3‎|‎‎2‎‎3‎)+...+(‎|an-1‎|‎‎2‎n-1‎-‎|an|‎‎2‎n)≤‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎3‎+...+‎1‎‎2‎n=‎1‎‎2‎‎(1-‎1‎‎2‎n)‎‎1-‎‎1‎‎2‎=1-‎1‎‎2‎n<1‎. ∴ ‎|an|≥‎2‎n-1‎(|a‎1‎|-2)(n∈N‎*‎)‎.‎ ‎(2)任取n∈‎N‎*‎,由(1)知,对于任意m>n, ‎|an|‎‎2‎n‎-‎|am|‎‎2‎m=(‎|an|‎‎2‎n-‎|an+1‎|‎‎2‎n+1‎)+(‎|an+1‎|‎‎2‎n+1‎-‎|an+2‎|‎‎2‎n+2‎)+...+(‎|am-1‎|‎‎2‎m-1‎-‎|am|‎‎2‎m) ≤‎1‎‎2‎n+‎1‎‎2‎n+1‎+...+‎1‎‎2‎m-1‎=‎1‎‎2‎n‎(1-‎1‎‎2‎m-n+1‎)‎‎1-‎‎1‎‎2‎<‎‎1‎‎2‎n-1‎. ∴ ‎|an|<(‎1‎‎2‎n-1‎+‎|am|‎‎2‎m)⋅‎2‎n≤[‎1‎‎2‎n-1‎+‎1‎‎2‎m⋅(‎3‎‎2‎‎)‎m]‎•‎2‎n‎=2+(‎3‎‎4‎‎)‎m⋅‎‎2‎n.① 由m的任意性可知‎|an|≤2‎. 否则,存在n‎0‎‎∈‎N‎*‎,使得‎|an‎0‎|>2‎, 取正整数m‎0‎‎>‎log‎3‎‎4‎‎|an‎0‎|-2‎‎2‎n‎0‎且m‎0‎‎>‎n‎0‎,则 ‎2‎n‎0‎•‎(‎3‎‎4‎‎)‎m‎0‎<‎‎2‎n‎0‎•‎(‎3‎‎4‎‎)‎log‎3‎‎4‎‎|an‎0‎|-2‎‎2‎n‎0‎=|an‎0‎|-2‎,与①式矛盾. 综上,对于任意n∈‎N‎*‎,都有‎|an|≤2‎.‎ ‎【解答】‎ 解:(1)∵ ‎|an-an+1‎‎2‎|≤1‎,∴ ‎|an|-‎1‎‎2‎|an+1‎|≤1‎, ∴ ‎|an|‎‎2‎n‎-‎|an+1‎|‎‎2‎n+1‎≤‎‎1‎‎2‎n,n∈‎N‎*‎, ∴ ‎|a‎1‎|‎‎2‎‎-‎|an|‎‎2‎n=(‎|a‎1‎|‎‎2‎-‎|a‎2‎|‎‎2‎‎2‎)+(‎|a‎2‎|‎‎2‎‎2‎-‎|a‎3‎|‎‎2‎‎3‎)+...+(‎|an-1‎|‎‎2‎n-1‎-‎|an|‎‎2‎n)≤‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎3‎+...+‎1‎‎2‎n=‎1‎‎2‎‎(1-‎1‎‎2‎n)‎‎1-‎‎1‎‎2‎=1-‎1‎‎2‎n<1‎. ∴ ‎|an|≥‎2‎n-1‎(|a‎1‎|-2)(n∈N‎*‎)‎.‎ ‎(2)任取n∈‎N‎*‎,由(1)知,对于任意m>n, ‎|an|‎‎2‎n‎-‎|am|‎‎2‎m=(‎|an|‎‎2‎n-‎|an+1‎|‎‎2‎n+1‎)+(‎|an+1‎|‎‎2‎n+1‎-‎|an+2‎|‎‎2‎n+2‎)+...+(‎|am-1‎|‎‎2‎m-1‎-‎|am|‎‎2‎m) ≤‎1‎‎2‎n+‎1‎‎2‎n+1‎+...+‎1‎‎2‎m-1‎=‎1‎‎2‎n‎(1-‎1‎‎2‎m-n+1‎)‎‎1-‎‎1‎‎2‎<‎‎1‎‎2‎n-1‎. ∴‎ 第69页 共72页 ◎ 第70页 共72页 ‎ ‎|an|<(‎1‎‎2‎n-1‎+‎|am|‎‎2‎m)⋅‎2‎n≤[‎1‎‎2‎n-1‎+‎1‎‎2‎m⋅(‎3‎‎2‎‎)‎m]‎•‎2‎n‎=2+(‎3‎‎4‎‎)‎m⋅‎‎2‎n.① 由m的任意性可知‎|an|≤2‎. 否则,存在n‎0‎‎∈‎N‎*‎,使得‎|an‎0‎|>2‎, 取正整数m‎0‎‎>‎log‎3‎‎4‎‎|an‎0‎|-2‎‎2‎n‎0‎且m‎0‎‎>‎n‎0‎,则 ‎2‎n‎0‎•‎(‎3‎‎4‎‎)‎m‎0‎<‎‎2‎n‎0‎•‎(‎3‎‎4‎‎)‎log‎3‎‎4‎‎|an‎0‎|-2‎‎2‎n‎0‎=|an‎0‎|-2‎,与①式矛盾. 综上,对于任意n∈‎N‎*‎,都有‎|an|≤2‎.‎ ‎12.【答案】‎ 解:‎(I)‎由题意可得:y=kx+1‎x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎=1‎,可得:‎(1+a‎2‎k‎2‎)x‎2‎+2ka‎2‎x=0‎, 得x‎1‎‎=0‎或x‎2‎‎=‎‎-2ka‎2‎‎1+‎k‎2‎a‎2‎, 直线y=kx+1‎被椭圆截得到的弦长为:‎1+‎k‎2‎‎|x‎1‎-x‎2‎|=‎‎2a‎2‎|k|‎‎1+‎a‎2‎k‎2‎‎1+‎k‎2‎.‎ ‎(II)假设圆A与椭圆由‎4‎个公共点,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足‎|AP|=|AQ|‎, 记直线AP,AQ的斜率分别为:k‎1‎,k‎2‎;且k‎1‎,k‎2‎‎>0‎,k‎1‎‎≠‎k‎2‎,由(1)可知‎|AP|=‎‎2a‎2‎|k‎1‎|‎‎1+‎k‎1‎‎2‎‎1+‎a‎2‎k‎1‎‎2‎,‎|AQ|=‎‎2a‎2‎|k‎2‎|‎‎1+‎k‎2‎‎2‎‎1+‎a‎2‎k‎2‎‎2‎, 故:‎2a‎2‎|k‎1‎|‎‎1+‎k‎1‎‎2‎‎1+‎a‎2‎k‎1‎‎2‎‎=‎‎2a‎2‎|k‎2‎|‎‎1+‎k‎2‎‎2‎‎1+‎a‎2‎k‎2‎‎2‎,所以,‎(k‎1‎‎2‎-k‎2‎‎2‎)[1+k‎1‎‎2‎+k‎2‎‎2‎+a‎2‎(2-a‎2‎)k‎1‎‎2‎k‎2‎‎2‎]=0‎,由k‎1‎‎≠‎k‎2‎, k‎1‎,k‎2‎‎>0‎,可得:‎1+k‎1‎‎2‎+k‎2‎‎2‎+a‎2‎(2-a‎2‎)k‎1‎‎2‎k‎2‎‎2‎=0‎, 因此‎(‎1‎k‎1‎‎2‎+1)(‎1‎k‎2‎‎2‎+1)=1+a‎2‎(a‎2‎-2)‎①, 因为①式关于k‎1‎,k‎2‎;的方程有解的充要条件是:‎1+a‎2‎(a‎2‎-2)>1‎, 所以a>‎‎2‎. 因此,任意点A(0, 1)‎为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点的充要条件为:‎10‎,k‎1‎‎≠‎k‎2‎,由(1)可知‎|AP|=‎‎2a‎2‎|k‎1‎|‎‎1+‎k‎1‎‎2‎‎1+‎a‎2‎k‎1‎‎2‎,‎|AQ|=‎‎2a‎2‎|k‎2‎|‎‎1+‎k‎2‎‎2‎‎1+‎a‎2‎k‎2‎‎2‎, 故:‎2a‎2‎|k‎1‎|‎‎1+‎k‎1‎‎2‎‎1+‎a‎2‎k‎1‎‎2‎‎=‎‎2a‎2‎|k‎2‎|‎‎1+‎k‎2‎‎2‎‎1+‎a‎2‎k‎2‎‎2‎,所以,‎(k‎1‎‎2‎-k‎2‎‎2‎)[1+k‎1‎‎2‎+k‎2‎‎2‎+a‎2‎(2-a‎2‎)k‎1‎‎2‎k‎2‎‎2‎]=0‎,由k‎1‎‎≠‎k‎2‎, k‎1‎,k‎2‎‎>0‎,可得:‎1+k‎1‎‎2‎+k‎2‎‎2‎+a‎2‎(2-a‎2‎)k‎1‎‎2‎k‎2‎‎2‎=0‎, 因此‎(‎1‎k‎1‎‎2‎+1)(‎1‎k‎2‎‎2‎+1)=1+a‎2‎(a‎2‎-2)‎①, 因为①式关于k‎1‎,k‎2‎;的方程有解的充要条件是:‎1+a‎2‎(a‎2‎-2)>1‎, 所以a>‎‎2‎. 因此,任意点A(0, 1)‎为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点的充要条件为:‎10‎; 当x>1‎时,x‎2‎‎-2ax+4a-2-2|x-1|‎=x‎2‎‎-(2+2a)x+4a=‎(x-2)(x-2a)‎, 则等式F(x)‎=x‎2‎‎-2ax+4a-2‎成立的x的取值范围是‎(2, 2a)‎; ‎(2)(i)‎设f(x)‎=‎2|x-1|‎,g(x)‎=x‎2‎‎-2ax+4a-2‎, 则f(x‎)‎min=f(1)‎=‎0‎,g(x‎)‎min=g(a)‎=‎-a‎2‎+4a-2‎. 由‎-a‎2‎+4a-2‎=‎0‎,解得a‎1‎=‎2+‎‎2‎,a‎2‎=‎2-‎‎2‎(负的舍去), 由F(x)‎的定义可得m(a)‎=min{f(1), g(a)}‎, 即m(a)=‎0,3≤a≤2+‎‎2‎‎-a‎2‎+4a-2,a>2+‎‎2‎ ‎; ‎(ii)‎当‎0≤x≤2‎时,F(x)≤f(x)≤max{f(0), f(2)}‎=‎2‎=F(2)‎; 当‎24‎ ‎.‎ ‎【解答】‎ 第69页 共72页 ◎ 第70页 共72页 ‎(1)由a≥3‎,故x≤1‎时, x‎2‎‎-2ax+4a-2-2|x-1|‎=x‎2‎‎+2(a-1)(2-x)>0‎; 当x>1‎时,x‎2‎‎-2ax+4a-2-2|x-1|‎=x‎2‎‎-(2+2a)x+4a=‎(x-2)(x-2a)‎, 则等式F(x)‎=x‎2‎‎-2ax+4a-2‎成立的x的取值范围是‎(2, 2a)‎; ‎(2)(i)‎设f(x)‎=‎2|x-1|‎,g(x)‎=x‎2‎‎-2ax+4a-2‎, 则f(x‎)‎min=f(1)‎=‎0‎,g(x‎)‎min=g(a)‎=‎-a‎2‎+4a-2‎. 由‎-a‎2‎+4a-2‎=‎0‎,解得a‎1‎=‎2+‎‎2‎,a‎2‎=‎2-‎‎2‎(负的舍去), 由F(x)‎的定义可得m(a)‎=min{f(1), g(a)}‎, 即m(a)=‎0,3≤a≤2+‎‎2‎‎-a‎2‎+4a-2,a>2+‎‎2‎ ‎; ‎(ii)‎当‎0≤x≤2‎时,F(x)≤f(x)≤max{f(0), f(2)}‎=‎2‎=F(2)‎; 当‎24‎ ‎.‎ ‎14.【答案】‎ ‎(1)证明:延长AD,BE,CF相交于点K,如图所示,∵ 平面BCFE⊥‎平面ABC,‎∠ACB=‎‎90‎‎∘‎, ∴ AC⊥‎平面BCK,∴ BF⊥AC. 又EF // BC,BE=EF=FC=1‎,BC=2‎,∴ ‎△BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BF⊥CK, ∴ BF⊥‎平面ACFD.‎ ‎(2)方法一:过点F作FQ⊥AK,连接BQ,∵ BF⊥‎平面ACFD.∴ BF⊥AK,则AK⊥‎平面BQF, ∴ BQ⊥AK.∴ ‎∠BQF是二面角B-AD-F的平面角. 在Rt△ACK中,AC=3‎,CK=2‎,可得FQ=‎‎3‎‎13‎‎13‎. 在Rt△BQF中,BF=‎‎3‎,FQ=‎‎3‎‎13‎‎13‎.可得:cos∠BQF=‎‎3‎‎4‎. ∴ 二面角B-AD-F的平面角的余弦值为‎3‎‎4‎. 方法二:如图,延长AD,BE,CF相交于点K,则‎△BCK为等边三角形, 取BC的中点,则KO⊥BC,又平面BCFE⊥‎平面ABC,∴ KO⊥‎平面BAC, 以点O为原点,分别以OB,OK的方向为x,z的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz. 可得:B(1, 0, 0)‎,C(-1, 0, 0)‎,K(0, 0, ‎3‎)‎,A(-1, -3, 0)‎,E(‎1‎‎2‎,0,‎3‎‎2‎)‎,F(-‎1‎‎2‎,0,‎3‎‎2‎)‎. AC‎→‎‎=(0, 3, 0)‎,AK‎→‎‎=(1,3,‎3‎)‎,AB‎→‎‎(2, 3, 0)‎. 设平面ACK的法向量为m‎→‎‎=(x‎1‎, y‎1‎, z‎1‎)‎,平面ABK的法向量为n‎→‎‎=(x‎2‎, y‎2‎, z‎2‎)‎,由AK‎→‎‎⋅m‎→‎=0‎‎˙‎,可得‎3y‎1‎=0‎x‎1‎‎+3y‎1‎+‎3‎z‎1‎=0‎, 取m‎→‎‎=(‎3‎,0,-1)‎. 由AK‎→‎‎⋅n‎→‎=0‎‎˙‎,可得‎2x‎2‎+3y‎2‎=0‎x‎2‎‎+3y‎2‎+‎3‎z‎2‎=0‎,取n‎→‎‎=(3,-2,‎3‎)‎. ∴ cos=‎|m‎→‎||n‎→‎|‎‎˙‎=‎‎3‎‎4‎. ∴ 二面角B-AD-F的余弦值为‎3‎‎4‎.‎ ‎【解答】‎ ‎(1)证明:延长AD,BE,CF相交于点K,如图所示,∵ 平面BCFE⊥‎平面ABC,‎∠ACB=‎‎90‎‎∘‎, ∴ AC⊥‎平面BCK,∴ BF⊥AC. 又EF // BC,BE=EF=FC=1‎,BC=2‎,∴ ‎△BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BF⊥CK, ∴ BF⊥‎平面ACFD.‎ ‎(2)方法一:过点F作FQ⊥AK,连接BQ,∵ BF⊥‎平面ACFD.∴ BF⊥AK,则AK⊥‎平面BQF,‎ 第69页 共72页 ◎ 第70页 共72页 ‎ ∴ BQ⊥AK.∴ ‎∠BQF是二面角B-AD-F的平面角. 在Rt△ACK中,AC=3‎,CK=2‎,可得FQ=‎‎3‎‎13‎‎13‎. 在Rt△BQF中,BF=‎‎3‎,FQ=‎‎3‎‎13‎‎13‎.可得:cos∠BQF=‎‎3‎‎4‎. ∴ 二面角B-AD-F的平面角的余弦值为‎3‎‎4‎. 方法二:如图,延长AD,BE,CF相交于点K,则‎△BCK为等边三角形, 取BC的中点,则KO⊥BC,又平面BCFE⊥‎平面ABC,∴ KO⊥‎平面BAC, 以点O为原点,分别以OB,OK的方向为x,z的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz. 可得:B(1, 0, 0)‎,C(-1, 0, 0)‎,K(0, 0, ‎3‎)‎,A(-1, -3, 0)‎,E(‎1‎‎2‎,0,‎3‎‎2‎)‎,F(-‎1‎‎2‎,0,‎3‎‎2‎)‎. AC‎→‎‎=(0, 3, 0)‎,AK‎→‎‎=(1,3,‎3‎)‎,AB‎→‎‎(2, 3, 0)‎. 设平面ACK的法向量为m‎→‎‎=(x‎1‎, y‎1‎, z‎1‎)‎,平面ABK的法向量为n‎→‎‎=(x‎2‎, y‎2‎, z‎2‎)‎,由AK‎→‎‎⋅m‎→‎=0‎‎˙‎,可得‎3y‎1‎=0‎x‎1‎‎+3y‎1‎+‎3‎z‎1‎=0‎, 取m‎→‎‎=(‎3‎,0,-1)‎. 由AK‎→‎‎⋅n‎→‎=0‎‎˙‎,可得‎2x‎2‎+3y‎2‎=0‎x‎2‎‎+3y‎2‎+‎3‎z‎2‎=0‎,取n‎→‎‎=(3,-2,‎3‎)‎. ∴ cos=‎|m‎→‎||n‎→‎|‎‎˙‎=‎‎3‎‎4‎. ∴ 二面角B-AD-F的余弦值为‎3‎‎4‎.‎ ‎15.【答案】‎ ‎(1)‎证明:∵ b+c=2acosB, ∴ 由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB, ∴ sinB+sin(A+B)=2sinAcosB, ∴ sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB, ∴ sinB=sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B)‎. ∵ A,B是三角形中的角, ∴ B=A-B, ∴ A=2B;‎ ‎(2)‎‎∵ ‎△ABC的面积S=‎a‎2‎‎4‎, ∴ ‎1‎‎2‎bcsinA=‎a‎2‎‎4‎, ∴ ‎2bcsinA=‎a‎2‎, ∴ ‎2sinBsinC=sinA=sin2B, ∴ sinC=cosB, ∴ B+C=‎‎90‎‎∘‎,或C=B+‎‎90‎‎∘‎, ∴ A=‎‎90‎‎∘‎或A=‎‎45‎‎∘‎.‎ ‎【解答】‎ ‎(1)‎证明:∵ b+c=2acosB, ∴ 由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB, ∴ sinB+sin(A+B)=2sinAcosB, ∴ sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB, ∴ sinB=sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B)‎. ∵ A,B是三角形中的角, ∴ B=A-B, ∴ A=2B;‎ ‎(2)‎‎∵ ‎△ABC的面积S=‎a‎2‎‎4‎, ∴ ‎1‎‎2‎bcsinA=‎a‎2‎‎4‎, ∴ ‎2bcsinA=‎a‎2‎, ∴ ‎2sinBsinC=sinA=sin2B, ∴ sinC=cosB, ∴ B+C=‎‎90‎‎∘‎,或C=B+‎‎90‎‎∘‎, ∴ A=‎‎90‎‎∘‎或A=‎‎45‎‎∘‎.‎ ‎16.【答案】‎ 由题意可知:an+1‎‎-‎an=‎-an‎2‎≤0‎,即an+1‎‎≤‎an, 故an‎≤‎‎1‎‎2‎,‎1≤‎anan+1‎. ‎ 第69页 共72页 ◎ 第70页 共72页 由an=‎(1-an-1‎)‎an-1‎得an=‎(1-an-1‎)(1-an-2‎)‎…‎(1-a‎1‎)a‎1‎>0‎. 所以‎0‎an+1‎,∴ anan+1‎‎>1‎, ∴ anan+1‎‎=anan‎-‎an‎2‎=‎1‎‎1-‎an≤2‎, ∴ ‎1≤anan+1‎≤2(n∈N‎*‎)‎, 综上所述,‎10‎. 所以‎0‎an+1‎,∴ anan+1‎‎>1‎, ∴ anan+1‎‎=anan‎-‎an‎2‎=‎1‎‎1-‎an≤2‎, ∴ ‎1≤anan+1‎≤2(n∈N‎*‎)‎, 综上所述,‎10‎,① 将AB中点M‎2mbm‎2‎‎+2‎‎,‎m‎2‎bm‎2‎‎+2‎ 代入直线方程y=mx+‎‎1‎‎2‎, 解得b=-‎m‎2‎‎+2‎‎2‎m‎2‎.② 由①②得m<-‎‎6‎‎3‎或m>‎‎6‎‎3‎.‎ ‎(2)‎令t=‎1‎m∈‎-‎6‎‎2‎,0‎∪‎‎0,‎‎6‎‎2‎, 则‎|AB|=‎1+(-‎‎1‎m‎)‎‎2‎⋅‎‎(x‎2‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-4‎x‎1‎x‎2‎ ‎=t‎2‎‎+1‎⋅‎‎-2t‎4‎+2t‎2‎+‎‎3‎‎2‎t‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎, 且O到直线AB的距离为d=‎t‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎t‎2‎‎+1‎. 设‎△AOB的面积为S(t)‎, 所以S(t)=‎1‎‎2‎|AB|⋅d ‎=‎1‎‎2‎‎-2t‎2‎‎-‎‎1‎‎2‎‎2‎+2‎≤‎‎2‎‎2‎, 当且仅当t‎2‎‎=‎‎1‎‎2‎时,等号成立. 故‎△AOB面积的最大值为‎2‎‎2‎.‎ ‎【解答】‎ 解:‎(1)‎    由题意知m≠0‎, ‎ 可设直线AB的方程为y=-‎1‎mx+b,‎ 设A(x‎1‎,y‎1‎),B(x‎2‎,y‎2‎)‎,‎ 由x‎2‎‎2‎‎+y‎2‎=1,‎y=-‎1‎mx+b,‎消去y,‎ 得‎1‎‎2‎‎+‎‎1‎m‎2‎x‎2‎‎-‎2bmx+b‎2‎-1=0‎.‎ 则x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎4mb‎2+‎m‎2‎,x‎1‎x‎2‎‎=‎‎2m‎2‎(b‎2‎-1)‎m‎2‎‎+2‎,‎ 所以y‎1‎‎+y‎2‎=‎‎2m‎2‎b‎2+‎m‎2‎,‎ 所以AB中点M‎2mbm‎2‎‎+2‎‎,‎m‎2‎bm‎2‎‎+2‎,‎ 因为直线y=-‎1‎mx+b与椭圆x‎2‎‎2‎‎+y‎2‎=1‎ 有两个不同的交点,‎ 所以Δ=-2b‎2‎+2+‎4‎m‎2‎>0‎,①‎ 将AB中点M‎2mbm‎2‎‎+2‎‎,‎m‎2‎bm‎2‎‎+2‎ 代入直线方程y=mx+‎‎1‎‎2‎,‎ 解得b=-‎m‎2‎‎+2‎‎2‎m‎2‎.②‎ 由①②得m<-‎‎6‎‎3‎或m>‎‎6‎‎3‎.‎ ‎(2)‎令t=‎1‎m∈‎-‎6‎‎2‎,0‎∪‎‎0,‎‎6‎‎2‎, ‎ 第69页 共72页 ◎ 第70页 共72页 则‎|AB|=‎1+(-‎‎1‎m‎)‎‎2‎⋅‎‎(x‎2‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-4‎x‎1‎x‎2‎ ‎=t‎2‎‎+1‎⋅‎‎-2t‎4‎+2t‎2‎+‎‎3‎‎2‎t‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎‎,‎ 且O到直线AB的距离为d=‎t‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎t‎2‎‎+1‎.‎ 设‎△AOB的面积为S(t)‎,‎ 所以S(t)=‎1‎‎2‎|AB|⋅d ‎=‎1‎‎2‎‎-2t‎2‎‎-‎‎1‎‎2‎‎2‎+2‎≤‎‎2‎‎2‎‎,‎ 当且仅当t‎2‎‎=‎‎1‎‎2‎时,等号成立.‎ 故‎△AOB面积的最大值为‎2‎‎2‎.‎ ‎18.【答案】‎ 解:(1)由已知可得f(1)=1+a+b,f(-1)=1-a+b,对称轴为x=-‎a‎2‎, 因为‎|a|≥2‎,所以‎-a‎2‎≤-1‎或‎-a‎2‎≥1‎, 所以函数f(x)‎在‎[-1, 1]‎上单调, 所以M(a, b)=max{|f(1), |f(-1)|}=max{|1+a+b|, |1-a+b|}‎, 所以M(a, b)≥‎1‎‎2‎(|1+a+b|+|1-a+b|)≥‎1‎‎2‎|(1+a+b)-(1-a+b)|≥‎1‎‎2‎|2a|=|a|≥2‎;‎ ‎(2)当a=b=0‎时,‎|a|+|b|=0‎又‎|a|+|b|≥0‎,所以‎0‎为最小值,符合题意; 又对任意x∈[-1, 1]‎.有‎-2≤x‎2‎+ax+b≤2‎得到‎-3≤a+b≤1‎且‎-3≤b-a≤1‎,易知‎|a|+|b|=max{|a-b|, |a+b|}=3‎,在b=-1‎,a=2‎时符合题意, 所以‎|a|+|b|‎的最大值为‎3‎.‎ ‎【解答】‎ 解:(1)由已知可得f(1)=1+a+b,f(-1)=1-a+b,对称轴为x=-‎a‎2‎, 因为‎|a|≥2‎,所以‎-a‎2‎≤-1‎或‎-a‎2‎≥1‎, 所以函数f(x)‎在‎[-1, 1]‎上单调, 所以M(a, b)=max{|f(1), |f(-1)|}=max{|1+a+b|, |1-a+b|}‎, 所以M(a, b)≥‎1‎‎2‎(|1+a+b|+|1-a+b|)≥‎1‎‎2‎|(1+a+b)-(1-a+b)|≥‎1‎‎2‎|2a|=|a|≥2‎;‎ ‎(2)当a=b=0‎时,‎|a|+|b|=0‎又‎|a|+|b|≥0‎,所以‎0‎为最小值,符合题意; 又对任意x∈[-1, 1]‎.有‎-2≤x‎2‎+ax+b≤2‎得到‎-3≤a+b≤1‎且‎-3≤b-a≤1‎,易知‎|a|+|b|=max{|a-b|, |a+b|}=3‎,在b=-1‎,a=2‎时符合题意, 所以‎|a|+|b|‎的最大值为‎3‎.‎ ‎19.【答案】‎ ‎(1)证明:如图,以BC中点O为坐标原点,以OB、OA、OA‎1‎所在直线分别为x、y、z轴建系. 则BC=‎2‎AC=2‎‎2‎,A‎1‎O=AA‎1‎‎2‎-AO‎2‎=‎‎14‎, 易知A‎1‎‎(0, 0, ‎14‎)‎,B(‎2‎, 0, 0)‎,C(-‎2‎, 0, 0)‎, A(0, ‎2‎, 0)‎,D(0, -‎2‎, ‎14‎)‎,B‎1‎‎(‎2‎, -‎2‎, ‎14‎)‎, A‎1‎D‎→‎‎=(0, -‎2‎, 0)‎,BD‎→‎‎=(-‎2‎, -‎2‎, ‎14‎)‎, B‎1‎D‎→‎‎=(-‎2‎, 0, 0)‎,BC‎→‎‎=(-2‎2‎, 0, 0)‎,OA‎1‎‎→‎‎=(0, 0, ‎14‎)‎, ∵ A‎1‎D‎→‎‎⋅OA‎1‎‎→‎=0‎,∴ A‎1‎D⊥OA‎1‎, 又∵ A‎1‎D‎→‎‎⋅BC‎→‎=0‎,∴ A‎1‎D⊥BC, 又∵ OA‎1‎∩BC=O,∴ A‎1‎D⊥‎平面A‎1‎BC;‎ ‎(2)解:设平面A‎1‎BD的法向量为m‎→‎‎=(x, y, z)‎, 由m‎→‎‎⋅BD‎→‎=0‎‎˙‎,得‎-‎2‎y=0‎‎-‎2‎x-‎2‎y+‎14‎z=0‎, 取z=1‎,得m‎→‎‎=(‎7‎, 0, 1)‎, 设平面B‎1‎BD的法向量为n‎→‎‎=(x, y, z)‎, 由n‎→‎‎⋅BD‎→‎=0‎‎˙‎,得‎-‎2‎x-‎2‎y+‎14‎z=0‎‎-‎2‎x=0‎, 取z=1‎,得n‎→‎‎=(0, ‎7‎, 1)‎, ∴ cos<‎m‎→‎,n‎→‎‎>=‎|m‎→‎||n‎→‎|‎‎˙‎=‎1‎‎2‎2‎×2‎‎2‎=‎‎1‎‎8‎, 又∵ 该二面角为钝角, ∴‎ 第69页 共72页 ◎ 第70页 共72页 ‎ 二面角A‎1‎‎-BD-‎B‎1‎的平面角的余弦值为‎-‎‎1‎‎8‎.‎ ‎【解答】‎ ‎(1)证明:如图,以BC中点O为坐标原点,以OB、OA、OA‎1‎所在直线分别为x、y、z轴建系. 则BC=‎2‎AC=2‎‎2‎,A‎1‎O=AA‎1‎‎2‎-AO‎2‎=‎‎14‎, 易知A‎1‎‎(0, 0, ‎14‎)‎,B(‎2‎, 0, 0)‎,C(-‎2‎, 0, 0)‎, A(0, ‎2‎, 0)‎,D(0, -‎2‎, ‎14‎)‎,B‎1‎‎(‎2‎, -‎2‎, ‎14‎)‎, A‎1‎D‎→‎‎=(0, -‎2‎, 0)‎,BD‎→‎‎=(-‎2‎, -‎2‎, ‎14‎)‎, B‎1‎D‎→‎‎=(-‎2‎, 0, 0)‎,BC‎→‎‎=(-2‎2‎, 0, 0)‎,OA‎1‎‎→‎‎=(0, 0, ‎14‎)‎, ∵ A‎1‎D‎→‎‎⋅OA‎1‎‎→‎=0‎,∴ A‎1‎D⊥OA‎1‎, 又∵ A‎1‎D‎→‎‎⋅BC‎→‎=0‎,∴ A‎1‎D⊥BC, 又∵ OA‎1‎∩BC=O,∴ A‎1‎D⊥‎平面A‎1‎BC;‎ ‎(2)解:设平面A‎1‎BD的法向量为m‎→‎‎=(x, y, z)‎, 由m‎→‎‎⋅BD‎→‎=0‎‎˙‎,得‎-‎2‎y=0‎‎-‎2‎x-‎2‎y+‎14‎z=0‎, 取z=1‎,得m‎→‎‎=(‎7‎, 0, 1)‎, 设平面B‎1‎BD的法向量为n‎→‎‎=(x, y, z)‎, 由n‎→‎‎⋅BD‎→‎=0‎‎˙‎,得‎-‎2‎x-‎2‎y+‎14‎z=0‎‎-‎2‎x=0‎, 取z=1‎,得n‎→‎‎=(0, ‎7‎, 1)‎, ∴ cos<‎m‎→‎,n‎→‎‎>=‎|m‎→‎||n‎→‎|‎‎˙‎=‎1‎‎2‎2‎×2‎‎2‎=‎‎1‎‎8‎, 又∵ 该二面角为钝角, ∴ 二面角A‎1‎‎-BD-‎B‎1‎的平面角的余弦值为‎-‎‎1‎‎8‎.‎ ‎20.【答案】‎ ‎∵ A=‎π‎4‎,∴ 由余弦定理可得:a‎2‎‎=b‎2‎+c‎2‎-2bccosπ‎4‎,∴ b‎2‎‎-a‎2‎=‎2‎bc-‎c‎2‎, 又b‎2‎‎-a‎2‎=‎‎1‎‎2‎c‎2‎.∴ ‎2‎bc-c‎2‎=‎‎1‎‎2‎c‎2‎.∴ ‎2‎b=‎3‎‎2‎c.可得b=‎‎3‎2‎c‎4‎, ∴ a‎2‎=b‎2‎‎-‎1‎‎2‎c‎2‎=‎‎5‎‎8‎c‎2‎,即a=‎10‎‎4‎c. ∴ cosC=a‎2‎‎+b‎2‎-‎c‎2‎‎2ab=‎5‎‎8‎c‎2‎‎+‎9‎‎8‎c‎2‎-‎c‎2‎‎2×‎10‎‎4‎c×‎3‎‎2‎‎4‎c=‎‎5‎‎5‎. ∵ C∈(0, π)‎, ∴ sinC=‎1-cos‎2‎C=‎‎2‎‎5‎‎5‎. ∴ tanC=sinCcosC=2‎. 或由A=‎π‎4‎,b‎2‎‎-a‎2‎=‎‎1‎‎2‎c‎2‎. 可得:sin‎2‎B-sin‎2‎A=‎1‎‎2‎sin‎2‎C, ∴ sin‎2‎B-‎1‎‎2‎=‎1‎‎2‎sin‎2‎C, ∴ ‎-‎1‎‎2‎cos2B=‎1‎‎2‎sin‎2‎C, ∴ ‎-sin(2B+π‎2‎)=sin‎2‎C, ∴ ‎-sin[2(‎3π‎4‎-C)+π‎2‎]=sin‎2‎C, ∴ sin2C=sin‎2‎C,sinC≠0‎,cosC≠0‎. ∴ tanC=‎2‎.‎ ‎∵ S‎△ABC‎=‎1‎‎2‎absinC=‎1‎‎2‎×‎10‎‎4‎c×‎3‎‎2‎‎4‎c×‎2‎‎5‎‎5‎=3‎, 解得c=‎2‎‎2‎. ∴ b=‎3‎2‎c‎4‎=3‎.‎ ‎【解答】‎ 第69页 共72页 ◎ 第70页 共72页 ‎∵ A=‎π‎4‎,∴ 由余弦定理可得:a‎2‎‎=b‎2‎+c‎2‎-2bccosπ‎4‎,∴ b‎2‎‎-a‎2‎=‎2‎bc-‎c‎2‎, 又b‎2‎‎-a‎2‎=‎‎1‎‎2‎c‎2‎.∴ ‎2‎bc-c‎2‎=‎‎1‎‎2‎c‎2‎.∴ ‎2‎b=‎3‎‎2‎c.可得b=‎‎3‎2‎c‎4‎, ∴ a‎2‎=b‎2‎‎-‎1‎‎2‎c‎2‎=‎‎5‎‎8‎c‎2‎,即a=‎10‎‎4‎c. ∴ cosC=a‎2‎‎+b‎2‎-‎c‎2‎‎2ab=‎5‎‎8‎c‎2‎‎+‎9‎‎8‎c‎2‎-‎c‎2‎‎2×‎10‎‎4‎c×‎3‎‎2‎‎4‎c=‎‎5‎‎5‎. ∵ C∈(0, π)‎, ∴ sinC=‎1-cos‎2‎C=‎‎2‎‎5‎‎5‎. ∴ tanC=sinCcosC=2‎. 或由A=‎π‎4‎,b‎2‎‎-a‎2‎=‎‎1‎‎2‎c‎2‎. 可得:sin‎2‎B-sin‎2‎A=‎1‎‎2‎sin‎2‎C, ∴ sin‎2‎B-‎1‎‎2‎=‎1‎‎2‎sin‎2‎C, ∴ ‎-‎1‎‎2‎cos2B=‎1‎‎2‎sin‎2‎C, ∴ ‎-sin(2B+π‎2‎)=sin‎2‎C, ∴ ‎-sin[2(‎3π‎4‎-C)+π‎2‎]=sin‎2‎C, ∴ sin2C=sin‎2‎C,sinC≠0‎,cosC≠0‎. ∴ tanC=‎2‎.‎ ‎∵ S‎△ABC‎=‎1‎‎2‎absinC=‎1‎‎2‎×‎10‎‎4‎c×‎3‎‎2‎‎4‎c×‎2‎‎5‎‎5‎=3‎, 解得c=‎2‎‎2‎. ∴ b=‎3‎2‎c‎4‎=3‎.‎ ‎21.【答案】‎ 解:(1)证明:因为f(x)=x‎3‎+‎‎1‎x+1‎,x∈[0, 1]‎, 且‎1-x+x‎2‎-x‎3‎=‎1-(-x‎)‎‎4‎‎1-(-x)‎=‎‎1-‎x‎4‎‎1+x, 所以‎1-‎x‎4‎‎1+x‎≤‎‎1‎‎1+x, 所以‎1-x+x‎2‎-x‎3‎≤‎‎1‎x+1‎, 即f(x)≥1-x+‎x‎2‎;‎ ‎(2)证明:因为‎0≤x≤1‎,所以x‎3‎‎≤x, 所以f(x)=x‎3‎+‎1‎x+1‎≤x+‎1‎x+1‎=x+‎1‎x+1‎-‎3‎‎2‎+‎3‎‎2‎=‎(x-1)(2x+1)‎‎2(x+1)‎+‎3‎‎2‎≤‎‎3‎‎2‎; 由(1)得,f(x)≥1-x+x‎2‎=(x-‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎+‎3‎‎4‎≥‎‎3‎‎4‎, 且f(‎1‎‎2‎)=(‎1‎‎2‎‎)‎‎3‎+‎1‎‎1+‎‎1‎‎2‎=‎19‎‎24‎>‎‎3‎‎4‎, 所以f(x)>‎‎3‎‎4‎; 综上,‎3‎‎4‎‎‎‎3‎‎4‎, 所以f(x)>‎‎3‎‎4‎; 综上,‎3‎‎4‎‎2‎. 经检验,m<0‎或m>2‎满足题意. 综上,点M的横坐标的取值范围为‎(-∞, 0)∪(2, +∞)‎. 【名师指导】本题考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法. 设点A,M的坐标,对直线AF是否与x轴垂直进行分类讨论.直线AF的方程与抛物线方程联立,求出点B的坐标,再求出点N的坐标,利用点A,M,N三点共线,求解点M的横坐标的取值范围.‎ ‎23.【答案】‎ 解:(1)证明:延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示: ∵ 平面BCFE⊥‎平面ABC,且AC⊥BC; ∴ AC⊥‎平面BCK,BF⊂‎平面BCK; ∴ BF⊥AC; 又EF // BC,BE=EF=FC=1‎,BC=2‎; ∴ ‎△BCK为等边三角形,且F为CK的中点; ∴ BF⊥CK,且AC∩CK=C; ∴ BF⊥‎平面ACFD;‎ ‎(2)∵ BF⊥‎平面ACFD; ∴ ‎∠BDF是直线BD和平面ACFD所成的角; ∵ F为CK中点,且DF // AC; ∴ DF为‎△ACK的中位线,且AC=3‎; ∴ DF=‎‎3‎‎2‎; 又BF=‎‎3‎; ∴ 在Rt△BFD中,BD=‎3+‎‎9‎‎4‎=‎‎21‎‎2‎,cos∠BDF=DFBD=‎3‎‎2‎‎21‎‎2‎=‎‎21‎‎7‎; 即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为‎21‎‎7‎.‎ ‎【解答】‎ 解:(1)证明:延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示: ∵ 平面BCFE⊥‎平面ABC,且AC⊥BC; ∴ AC⊥‎平面BCK,BF⊂‎平面BCK; ∴ BF⊥AC; 又EF // BC,BE=EF=FC=1‎,BC=2‎; ∴ ‎△BCK为等边三角形,且F为CK的中点; ∴ BF⊥CK,且AC∩CK=C; ∴ BF⊥‎平面ACFD;‎ ‎(2)∵ BF⊥‎平面ACFD; ∴ ‎∠BDF是直线BD和平面ACFD所成的角; ∵ F为CK中点,且DF // AC; ∴ DF为‎△ACK的中位线,且AC=3‎; ∴ DF=‎‎3‎‎2‎; 又BF=‎‎3‎; ∴ 在Rt△BFD中,BD=‎3+‎‎9‎‎4‎=‎‎21‎‎2‎,‎cos∠BDF=DFBD=‎3‎‎2‎‎21‎‎2‎=‎‎21‎‎7‎ 第69页 共72页 ◎ 第70页 共72页 ‎; 即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为‎21‎‎7‎.‎ ‎24.【答案】‎ 解:(1)∵ S‎2‎‎=4‎,an+1‎‎=2Sn+1‎,n∈‎N‎*‎. ∴ a‎1‎‎+a‎2‎=4‎,a‎2‎‎=2S‎1‎+1=2a‎1‎+1‎, 解得a‎1‎‎=1‎,a‎2‎‎=3‎, 当n≥2‎时,an+1‎‎=2Sn+1‎,an‎=2Sn-1‎+1‎, 两式相减得an+1‎‎-an=2(Sn-Sn-1‎)=2‎an, 即an+1‎‎=3‎an,当n=1‎时,a‎1‎‎=1‎,a‎2‎‎=3‎, 满足an+1‎‎=3‎an, ∴ an+1‎an‎=3‎,则数列‎{an}‎是公比q=3‎的等比数列, 则通项公式an‎=‎‎3‎n-1‎.‎ ‎(2)an‎-n-2=‎3‎n-1‎-n-2‎, 设bn‎=|an-n-2|=|‎3‎n-1‎-n-2|‎, 则b‎1‎‎=|‎3‎‎0‎-1-2|=2‎,b‎2‎‎=|3-2-2|=1‎, 当n≥3‎时,‎3‎n-1‎‎-n-2>0‎, 则bn‎=|an-n-2|=‎3‎n-1‎-n-2‎, 此时数列‎{|an-n-2|}‎的前n项和Tn‎=3+‎9(1-‎3‎n-2‎)‎‎1-3‎-‎(5+n+2)(n-2)‎‎2‎=‎‎3‎n‎-n‎2‎-5n+11‎‎2‎, 则Tn‎=‎2,‎n=1‎‎3,‎n=2‎‎3‎n‎-n‎2‎-5n+11‎‎2‎‎,‎n≥3‎=‎‎2,‎n=1‎‎3‎n‎-n‎2‎-5n+11‎‎2‎‎,‎n≥2‎.‎ ‎【解答】‎ 解:(1)∵ S‎2‎‎=4‎,an+1‎‎=2Sn+1‎,n∈‎N‎*‎. ∴ a‎1‎‎+a‎2‎=4‎,a‎2‎‎=2S‎1‎+1=2a‎1‎+1‎, 解得a‎1‎‎=1‎,a‎2‎‎=3‎, 当n≥2‎时,an+1‎‎=2Sn+1‎,an‎=2Sn-1‎+1‎, 两式相减得an+1‎‎-an=2(Sn-Sn-1‎)=2‎an, 即an+1‎‎=3‎an,当n=1‎时,a‎1‎‎=1‎,a‎2‎‎=3‎, 满足an+1‎‎=3‎an, ∴ an+1‎an‎=3‎,则数列‎{an}‎是公比q=3‎的等比数列, 则通项公式an‎=‎‎3‎n-1‎.‎ ‎(2)an‎-n-2=‎3‎n-1‎-n-2‎, 设bn‎=|an-n-2|=|‎3‎n-1‎-n-2|‎, 则b‎1‎‎=|‎3‎‎0‎-1-2|=2‎,b‎2‎‎=|3-2-2|=1‎, 当n≥3‎时,‎3‎n-1‎‎-n-2>0‎, 则bn‎=|an-n-2|=‎3‎n-1‎-n-2‎, 此时数列‎{|an-n-2|}‎的前n项和Tn‎=3+‎9(1-‎3‎n-2‎)‎‎1-3‎-‎(5+n+2)(n-2)‎‎2‎=‎‎3‎n‎-n‎2‎-5n+11‎‎2‎, 则Tn‎=‎2,‎n=1‎‎3,‎n=2‎‎3‎n‎-n‎2‎-5n+11‎‎2‎‎,‎n≥3‎=‎‎2,‎n=1‎‎3‎n‎-n‎2‎-5n+11‎‎2‎‎,‎n≥2‎.‎ ‎25.【答案】‎ ‎(1)‎证明:∵ b+c=2acosB, ∴ sinB+sinC=2sinAcosB, ∵ sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, ∴ sinB=sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B)‎,由A,B∈(0, π)‎, ∴ ‎02‎时,函数f(x)‎在‎[-1, 1]‎上递增,则g(a)‎=f(-1)=a‎2‎‎4‎-a+(2)‎ 综上可得,g(a)=a‎2‎‎4‎‎+a+2,a≤-2‎‎1,-22‎ ‎; (2)设s,t是方程f(x)‎=‎0‎的解,且‎-1≤t≤1‎, 则s+t=-ast=b‎ ‎, 由于‎0≤b-2a≤1‎, 由此‎-2t‎2+t‎≤s≤‎1-2t‎2+t(-1≤t≤1)‎, 当‎0≤t≤1‎时,‎-2‎t‎2‎t+2‎‎≤st≤‎t-2‎t‎2‎t+2‎, 由‎-‎2‎‎3‎≤‎-2‎t‎2‎t+2‎≤0‎,由t-2‎t‎2‎t+2‎‎=9-[(2(t+2)+‎10‎t+2‎]≤9-2‎‎20‎, 得‎-‎1‎‎3‎≤t-2‎t‎2‎t+2‎≤9-4‎‎5‎, 所以‎-‎2‎‎3‎≤b≤9-4‎‎5‎; 当‎-1≤t<0‎时,t-2‎t‎2‎t+2‎‎≤st≤‎‎-2‎t‎2‎t+2‎, 由于‎-2≤‎-2‎t‎2‎t+2‎<0‎和‎-3≤t-2‎t‎2‎t+2‎<0‎,所以‎-3≤b<0‎, 故b的取值范围是‎[-3, 9-4‎5‎]‎.‎ ‎【解答】‎ ‎(1)当b=a‎2‎‎4‎+1‎时,f(x)‎=‎(x+a‎2‎‎)‎‎2‎+1‎,对称轴为x=-‎a‎2‎, 当a≤-2‎时,函数f(x)‎在‎[-1, 1]‎上递减,则g(a)‎=f(1)=a‎2‎‎4‎+a+2‎; 当‎-22‎时,函数f(x)‎在‎[-1, 1]‎上递增,则g(a)‎=f(-1)=a‎2‎‎4‎-a+(2)‎ 综上可得,g(a)=a‎2‎‎4‎‎+a+2,a≤-2‎‎1,-22‎ ‎; (2)设s,t是方程f(x)‎=‎0‎的解,且‎-1≤t≤1‎, 则s+t=-ast=b‎ ‎, 由于‎0≤b-2a≤1‎, 由此‎-2t‎2+t‎≤s≤‎1-2t‎2+t(-1≤t≤1)‎, 当‎0≤t≤1‎时,‎-2‎t‎2‎t+2‎‎≤st≤‎t-2‎t‎2‎t+2‎, 由‎-‎2‎‎3‎≤‎-2‎t‎2‎t+2‎≤0‎,由t-2‎t‎2‎t+2‎‎=9-[(2(t+2)+‎10‎t+2‎]≤9-2‎‎20‎, 得‎-‎1‎‎3‎≤t-2‎t‎2‎t+2‎≤9-4‎‎5‎, 所以‎-‎2‎‎3‎≤b≤9-4‎‎5‎; 当‎-1≤t<0‎时,t-2‎t‎2‎t+2‎‎≤st≤‎‎-2‎t‎2‎t+2‎, 由于‎-2≤‎-2‎t‎2‎t+2‎<0‎和‎-3≤t-2‎t‎2‎t+2‎<0‎,所以‎-3≤b<0‎, 故b的取值范围是‎[-3, 9-4‎5‎]‎.‎ ‎27.【答案】‎ ‎(I)由直线PA的斜率存在,设切线PA的方程为:y=k(x-t)(k≠0)‎,联立y=‎‎1‎‎4‎x‎2‎y=k(x-t)‎‎ ‎, 化为x‎2‎‎-4kx+4kt=‎0‎, ∵ ‎△‎=‎16k‎2‎-16kt=‎0‎,解得k=t, ∴ x=‎2t,∴ A(2t, t‎2‎)‎. 圆C‎2‎的圆心D(0, 1)‎,设B(x‎0‎, y‎0‎)‎,由题意可知:点B与O关于直线PD对称, ∴ y‎0‎‎2‎‎=-x‎0‎‎2t+1‎x‎0‎t-y‎0‎=0‎‎ ‎,解得x‎0‎‎=‎‎2t‎1+‎t‎2‎y‎0‎‎=‎‎2‎t‎2‎‎1+‎t‎2‎‎ ‎. ∴ B(‎2t‎1+‎t‎2‎,‎2‎t‎2‎‎1+‎t‎2‎)‎. ‎(II)‎由‎(I)‎可得:kAB‎=‎2‎t‎2‎‎1+‎t‎2‎‎-‎t‎2‎‎2t‎1+‎t‎2‎‎-2t=‎t‎2‎‎-1‎‎2t,直线AB的方程为:y-t‎2‎=t‎2‎‎-1‎‎2t(x-2t)‎,化为‎(t‎2‎-1)x-2ty+2t=‎0‎,‎ 第69页 共72页 ◎ 第70页 共72页 ‎ ∴ 点P到直线AB的距离d=‎|(t‎2‎-1)t+2t|‎‎(t‎2‎-1‎)‎‎2‎+(-2t‎)‎‎2‎=t‎3‎‎+tt‎2‎‎+1‎=t, 又‎|AB|=‎(‎2t‎1+‎t‎2‎-2t‎)‎‎2‎+(‎2‎t‎2‎‎1+‎t‎2‎-‎t‎2‎‎)‎‎2‎=‎t‎2‎. ∴ S‎△PAB‎=‎1‎‎2‎|AB|⋅d=‎‎1‎‎2‎t‎3‎.‎ ‎【解答】‎ ‎(I)由直线PA的斜率存在,设切线PA的方程为:y=k(x-t)(k≠0)‎,联立y=‎‎1‎‎4‎x‎2‎y=k(x-t)‎‎ ‎, 化为x‎2‎‎-4kx+4kt=‎0‎, ∵ ‎△‎=‎16k‎2‎-16kt=‎0‎,解得k=t, ∴ x=‎2t,∴ A(2t, t‎2‎)‎. 圆C‎2‎的圆心D(0, 1)‎,设B(x‎0‎, y‎0‎)‎,由题意可知:点B与O关于直线PD对称, ∴ y‎0‎‎2‎‎=-x‎0‎‎2t+1‎x‎0‎t-y‎0‎=0‎‎ ‎,解得x‎0‎‎=‎‎2t‎1+‎t‎2‎y‎0‎‎=‎‎2‎t‎2‎‎1+‎t‎2‎‎ ‎. ∴ B(‎2t‎1+‎t‎2‎,‎2‎t‎2‎‎1+‎t‎2‎)‎. ‎(II)‎由‎(I)‎可得:kAB‎=‎2‎t‎2‎‎1+‎t‎2‎‎-‎t‎2‎‎2t‎1+‎t‎2‎‎-2t=‎t‎2‎‎-1‎‎2t,直线AB的方程为:y-t‎2‎=t‎2‎‎-1‎‎2t(x-2t)‎,化为‎(t‎2‎-1)x-2ty+2t=‎0‎, ∴ 点P到直线AB的距离d=‎|(t‎2‎-1)t+2t|‎‎(t‎2‎-1‎)‎‎2‎+(-2t‎)‎‎2‎=t‎3‎‎+tt‎2‎‎+1‎=t, 又‎|AB|=‎(‎2t‎1+‎t‎2‎-2t‎)‎‎2‎+(‎2‎t‎2‎‎1+‎t‎2‎-‎t‎2‎‎)‎‎2‎=‎t‎2‎. ∴ S‎△PAB‎=‎1‎‎2‎|AB|⋅d=‎‎1‎‎2‎t‎3‎.‎ ‎28.【答案】‎ ‎(1)‎证明:如图, 取BC中点O,连接A‎1‎O,AO, ∵ AB=AC=2‎,O是BC的中点, ∴ AO⊥BC, ∵ A‎1‎在底面ABC的射影为BC的中点, ∴ A‎1‎O⊥‎面ABC, ∴ A‎1‎O⊥AO,A‎1‎O⊥BC, ∵ BC∩A‎1‎O=O,AO⊥BC,A‎1‎O⊥AO, BC,A‎1‎O在面A‎1‎BC内, ∴ AO⊥‎平面A‎1‎BC. ∵ A‎1‎在底面ABC的射影为BC的中点,O是BC的中点, ∴ AO‎=‎‎//‎A‎1‎D, ∴ 四边形AODA‎1‎是平行四边形, ∴ A‎1‎D // AO, ∴ A‎1‎D⊥‎平面A‎1‎BC.‎ 第69页 共72页 ◎ 第70页 共72页 ‎(2)‎建立坐标系如图, ∵ 在三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中,‎∠BAC=‎‎90‎‎∘‎, AB=AC=2‎,A‎1‎A=4‎, ∴ O(0, 0, 0)‎,B(0, ‎2‎, 0)‎, B‎1‎‎(-‎2‎, ‎2‎, ‎14‎)‎,A‎1‎‎(0, 0, ‎14‎)‎, 即A‎1‎B‎→‎‎=(0, ‎2‎, -‎14‎)‎,OB‎→‎‎=(0, ‎2‎, 0)‎,BB‎1‎‎→‎‎=(-‎2‎, 0, ‎14‎)‎, 设平面BB‎1‎C‎1‎C的法向量为n‎→‎‎=(x, y, z)‎, n‎→‎‎⋅OB‎→‎=0,‎n‎→‎‎⋅BB‎1‎‎→‎=0,‎‎  ‎即得出y=0,‎‎-‎2‎x+‎14‎z=0,‎‎ ‎ 得出n‎→‎‎=(‎7‎, 0, 1)‎,‎|BA‎1‎‎→‎|=4‎,‎|n‎→‎|=2‎‎2‎, ∵ n‎→‎‎⋅BA‎1‎‎→‎=‎‎14‎, ∴ cos<‎n‎→‎,BA‎1‎‎→‎‎>=‎14‎‎4×2‎‎2‎=‎‎7‎‎8‎, 可得出直线A‎1‎B和平面BB‎1‎C‎1‎C所成的角的正弦值为‎7‎‎8‎.‎ ‎【解答】‎ ‎(1)‎证明:如图, 取BC中点O,连接A‎1‎O,AO, ∵ AB=AC=2‎,O是BC的中点, ∴ AO⊥BC, ∵ A‎1‎在底面ABC的射影为BC的中点, ∴ A‎1‎O⊥‎面ABC, ∴ A‎1‎O⊥AO,A‎1‎O⊥BC, ∵ BC∩A‎1‎O=O,AO⊥BC,A‎1‎O⊥AO, BC,A‎1‎O在面A‎1‎BC内, ∴ AO⊥‎平面A‎1‎BC. ∵ A‎1‎在底面ABC的射影为BC的中点,O是BC的中点, ∴ AO‎=‎‎//‎A‎1‎D, ∴ 四边形AODA‎1‎是平行四边形, ∴ A‎1‎D // AO, ∴ A‎1‎D⊥‎平面A‎1‎BC.‎ ‎(2)‎建立坐标系如图, ∵ 在三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中,‎∠BAC=‎‎90‎‎∘‎, AB=AC=2‎,A‎1‎A=4‎, ∴ O(0, 0, 0)‎,B(0, ‎2‎, 0)‎, B‎1‎‎(-‎2‎, ‎2‎, ‎14‎)‎,A‎1‎‎(0, 0, ‎14‎)‎, 即A‎1‎B‎→‎‎=(0, ‎2‎, -‎14‎)‎,OB‎→‎‎=(0, ‎2‎, 0)‎,BB‎1‎‎→‎‎=(-‎2‎, 0, ‎14‎)‎, 设平面BB‎1‎C‎1‎C的法向量为n‎→‎‎=(x, y, z)‎, n‎→‎‎⋅OB‎→‎=0,‎n‎→‎‎⋅BB‎1‎‎→‎=0,‎‎  ‎即得出y=0,‎‎-‎2‎x+‎14‎z=0,‎‎ ‎ 得出n‎→‎‎=(‎7‎, 0, 1)‎,‎|BA‎1‎‎→‎|=4‎,‎|n‎→‎|=2‎‎2‎, ∵ n‎→‎‎⋅BA‎1‎‎→‎=‎‎14‎, ∴ cos<‎n‎→‎,BA‎1‎‎→‎‎>=‎14‎‎4×2‎‎2‎=‎‎7‎‎8‎, 可得出直线A‎1‎B和平面BB‎1‎C‎1‎C所成的角的正弦值为‎7‎‎8‎.‎ ‎29.【答案】‎ ‎(1)由a‎1‎=‎2‎,an+1‎=‎2‎an,得an‎=‎2‎n(n∈N‎*‎)‎. 由题意知,当n=‎1‎时,b‎1‎=b‎2‎‎-1‎,故b‎2‎=‎2‎, 当n≥2‎时,b‎1‎‎+‎1‎‎2‎b‎2‎+‎1‎‎3‎b‎3‎+⋯+‎1‎n-1‎bn-1‎=bn-1‎,和原递推式作差得, ‎1‎nbn‎=bn+1‎-‎bn,整理得:bn+1‎n+1‎‎=‎bnn, ∴ bn‎=n(n∈N‎*‎)‎; (2)由‎(‎Ⅰ‎)‎知,anbn‎=n⋅‎‎2‎n, 因此Tn‎=2+2⋅‎2‎‎2‎+3⋅‎2‎‎3‎+⋯+n⋅‎‎2‎n ‎2Tn=‎2‎‎2‎+2⋅‎2‎‎3‎+3⋅‎2‎‎4‎+⋯+n⋅‎‎2‎n+1‎, 两式作差得:‎-Tn=2+‎2‎‎2‎+⋯+‎2‎n-n⋅‎2‎n+1‎=‎2(1-‎2‎n)‎‎1-2‎-n⋅‎‎2‎n+1‎, Tn‎=(n-1)⋅‎2‎n+1‎+2(n∈N‎*‎)‎.‎ ‎【解答】‎ 第69页 共72页 ◎ 第70页 共72页 ‎(1)由a‎1‎=‎2‎,an+1‎=‎2‎an,得an‎=‎2‎n(n∈N‎*‎)‎. 由题意知,当n=‎1‎时,b‎1‎=b‎2‎‎-1‎,故b‎2‎=‎2‎, 当n≥2‎时,b‎1‎‎+‎1‎‎2‎b‎2‎+‎1‎‎3‎b‎3‎+⋯+‎1‎n-1‎bn-1‎=bn-1‎,和原递推式作差得, ‎1‎nbn‎=bn+1‎-‎bn,整理得:bn+1‎n+1‎‎=‎bnn, ∴ bn‎=n(n∈N‎*‎)‎; (2)由‎(‎Ⅰ‎)‎知,anbn‎=n⋅‎‎2‎n, 因此Tn‎=2+2⋅‎2‎‎2‎+3⋅‎2‎‎3‎+⋯+n⋅‎‎2‎n ‎2Tn=‎2‎‎2‎+2⋅‎2‎‎3‎+3⋅‎2‎‎4‎+⋯+n⋅‎‎2‎n+1‎, 两式作差得:‎-Tn=2+‎2‎‎2‎+⋯+‎2‎n-n⋅‎2‎n+1‎=‎2(1-‎2‎n)‎‎1-2‎-n⋅‎‎2‎n+1‎, Tn‎=(n-1)⋅‎2‎n+1‎+2(n∈N‎*‎)‎.‎ ‎30.【答案】‎ 解:‎(1)‎由tan(π‎4‎+A)=tanπ‎4‎+tanA‎1-tanπ‎4‎tanA=2‎,tanπ‎4‎=1‎, 解得tanA=‎‎1‎‎3‎. ‎ ‎∴ ‎sin2Asin2A+cos‎2‎A‎=‎‎2sinAcosA‎2sinAcosA+cos‎2‎A ‎=‎‎2tanA‎2tanA+1‎ ‎=‎‎2×‎‎1‎‎3‎‎2×‎1‎‎3‎+1‎ ‎=‎‎2‎‎5‎‎;‎ ‎(2)‎由tanA=‎‎1‎‎3‎,A∈(0, π)‎, 可得sinA=‎‎10‎‎10‎,cosA=‎‎3‎‎10‎‎10‎. 又∵ a=3‎,B=‎π‎4‎, 由正弦定理asinA‎=‎bsinB, 可得‎3‎‎10‎‎10‎‎=‎bsinπ‎4‎, 解得b=3‎‎5‎.‎ ‎∴ ‎sinC=sin(A+B)‎ ‎=sin(A+π‎4‎)‎ ‎=‎10‎‎10‎×‎2‎‎2‎+‎3‎‎10‎‎10‎×‎‎2‎‎2‎ ‎=‎‎2‎‎5‎‎5‎‎. 设‎△ABC的面积为S, 则S=‎1‎‎2‎ab⋅sinC=9‎.‎ ‎【解答】‎ 解:‎(1)‎由tan(π‎4‎+A)=tanπ‎4‎+tanA‎1-tanπ‎4‎tanA=2‎,tanπ‎4‎=1‎, 解得tanA=‎‎1‎‎3‎. ‎ ‎∴ ‎sin2Asin2A+cos‎2‎A‎=‎‎2sinAcosA‎2sinAcosA+cos‎2‎A ‎=‎‎2tanA‎2tanA+1‎ ‎=‎‎2×‎‎1‎‎3‎‎2×‎1‎‎3‎+1‎ ‎=‎‎2‎‎5‎‎;‎ ‎(2)‎由tanA=‎‎1‎‎3‎,A∈(0, π)‎, 可得sinA=‎‎10‎‎10‎,cosA=‎‎3‎‎10‎‎10‎. 又∵ a=3‎,B=‎π‎4‎, 由正弦定理asinA‎=‎bsinB, 可得‎3‎‎10‎‎10‎‎=‎bsinπ‎4‎, 解得b=3‎‎5‎.‎ ‎∴ ‎sinC=sin(A+B)‎ ‎=sin(A+π‎4‎)‎ ‎=‎10‎‎10‎×‎2‎‎2‎+‎3‎‎10‎‎10‎×‎‎2‎‎2‎ ‎=‎‎2‎‎5‎‎5‎‎. 设‎△ABC的面积为S, 则S=‎1‎‎2‎ab⋅sinC=9‎.‎ 第69页 共72页 ◎ 第70页 共72页 ‎31.【答案】‎ 解:‎(1)‎∵ f(x)=x‎3‎+3|x-a|=‎x‎3‎‎+3x-3a,x≥a;‎x‎3‎‎-3x+3a,x0‎,t(a)‎在‎(0, ‎1‎‎3‎)‎上是增函数,∴ t(a)>t(0)=-2‎, ∴ ‎-2≤3a+b≤0‎; ③‎1‎‎3‎‎0‎,t(a)‎在‎(0, ‎1‎‎3‎)‎上是增函数,∴ t(a)>t(0)=-2‎, ∴ ‎-2≤3a+b≤0‎; ③‎1‎‎3‎‎0‎, 故m=‎b‎2‎‎+‎a‎2‎k‎2‎, 故点P的坐标为P(‎-a‎2‎kb‎2‎‎+a‎2‎k‎2‎, b‎2‎b‎2‎‎+a‎2‎k‎2‎)‎. (2)由于直线l‎1‎过原点O且与直线l垂直,故直线l‎1‎的方程为x+ky=‎0‎,所以点P到直线l‎1‎的距离 d=‎‎|‎-a‎2‎kb‎2‎‎+a‎2‎k‎2‎+b‎2‎kb‎2‎‎+a‎2‎k‎2‎|‎‎1‎‎+k‎2‎, 整理得:d=‎a‎2‎‎-b‎2‎b‎2‎‎+a‎2‎‎+a‎2‎k‎2‎‎+‎b‎2‎k‎2‎, 因为a‎2‎k‎2‎‎+b‎2‎k‎2‎≥2ab,所以a‎2‎‎-b‎2‎b‎2‎‎+a‎2‎‎+a‎2‎k‎2‎‎+‎b‎2‎k‎2‎‎≤a‎2‎‎-b‎2‎b‎2‎‎+a‎2‎‎+2ab=a-b,当且仅当k‎2‎‎=‎ba时等号成立. 所以,点P到直线l‎1‎的距离的最大值为a-b. ‎ ‎【解答】‎ ‎(1)设直线l的方程为y=kx+m(k<0)‎,由y=kx+mx‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎‎ ‎,消去y得 ‎(b‎2‎+a‎2‎k‎2‎)x‎2‎+2a‎2‎kmx+a‎2‎m‎2‎-‎a‎2‎b‎2‎=‎0‎. 由于直线l与椭圆C只有一个公共点P,故‎△‎=‎0‎,即b‎2‎‎-m‎2‎+‎a‎2‎k‎2‎=‎0‎, 此时点P的横坐标为‎-‎a‎2‎kmb‎2‎‎+a‎2‎k‎2‎,代入y=kx+m得 点P的纵坐标为‎-k⋅a‎2‎kmb‎2‎‎+a‎2‎k‎2‎+m=‎b‎2‎mb‎2‎‎+a‎2‎k‎2‎, ∴ 点P的坐标为‎(-a‎2‎kmb‎2‎‎+a‎2‎k‎2‎, b‎2‎mb‎2‎‎+a‎2‎k‎2‎)‎, 又点P在第一象限,故m>0‎, 故m=‎b‎2‎‎+‎a‎2‎k‎2‎, 故点P的坐标为P(‎-a‎2‎kb‎2‎‎+a‎2‎k‎2‎, b‎2‎b‎2‎‎+a‎2‎k‎2‎)‎. (2)由于直线l‎1‎过原点O且与直线l垂直,故直线l‎1‎的方程为x+ky=‎0‎,所以点P到直线l‎1‎的距离 d=‎‎|‎-a‎2‎kb‎2‎‎+a‎2‎k‎2‎+b‎2‎kb‎2‎‎+a‎2‎k‎2‎|‎‎1‎‎+k‎2‎, 整理得:d=‎a‎2‎‎-b‎2‎b‎2‎‎+a‎2‎‎+a‎2‎k‎2‎‎+‎b‎2‎k‎2‎, 因为a‎2‎k‎2‎‎+b‎2‎k‎2‎≥2ab,所以a‎2‎‎-b‎2‎b‎2‎‎+a‎2‎‎+a‎2‎k‎2‎‎+‎b‎2‎k‎2‎‎≤a‎2‎‎-b‎2‎b‎2‎‎+a‎2‎‎+2ab=a-b,当且仅当k‎2‎‎=‎ba时等号成立. 所以,点P到直线l‎1‎的距离的最大值为a-b. ‎ ‎33.【答案】‎ 证明:‎(‎Ⅰ‎)‎在直角梯形BCDE中,由DE=BE=‎1‎,CD=‎2‎,得BD=BC=‎‎2‎, 由AC=‎‎2‎,AB=‎2‎得AB‎2‎=AC‎2‎+BC‎2‎,即AC⊥BC, 又平面ABC⊥‎平面BCDE,从而AC⊥‎平面BCDE, 所以AC⊥DE,又DE⊥DC,从而DE⊥‎平面ACD; (2)作BF⊥AD,与AD交于点F,过点F作FG // DE 第69页 共72页 ◎ 第70页 共72页 ‎,与AE交于点G,连接BG,由‎(‎Ⅰ‎)‎知DE⊥AD,则FG⊥AD,所以‎∠BFG就是二面角B-AD-E的平面角,在直角梯形BCDE中,由CD‎2‎=BC‎2‎+BD‎2‎,得BD⊥BC, 又平面ABC⊥‎平面BCDE,得BD⊥‎平面ABC,从而BD⊥AB, 由于AC⊥‎平面BCDE,得AC⊥CD. 在Rt△ACD中,由DC=‎2‎,AC=‎‎2‎,得AD=‎‎6‎; 在Rt△AED中,由ED=‎1‎,AD=‎‎6‎得AE=‎‎7‎; 在Rt△ABD中,由BD=‎‎2‎,AB=‎2‎,AD=‎‎6‎得BF=‎‎2‎‎3‎‎3‎,AF=‎2‎‎3‎AD,从而GF=‎‎2‎‎3‎, 在‎△ABE,‎△ABG中,利用余弦定理分别可得cos∠BAE=‎‎5‎‎7‎‎14‎,BG=‎‎2‎‎3‎. 在‎△BFG中,cos∠BFG=GF‎2‎‎+BF‎2‎‎-BG‎2‎‎2BF⋅GF=‎‎3‎‎2‎, 所以,‎∠BFG=‎π‎6‎,二面角B-AD-E的大小为π‎6‎. ‎ ‎【解答】‎ 证明:‎(‎Ⅰ‎)‎在直角梯形BCDE中,由DE=BE=‎1‎,CD=‎2‎,得BD=BC=‎‎2‎, 由AC=‎‎2‎,AB=‎2‎得AB‎2‎=AC‎2‎+BC‎2‎,即AC⊥BC, 又平面ABC⊥‎平面BCDE,从而AC⊥‎平面BCDE, 所以AC⊥DE,又DE⊥DC,从而DE⊥‎平面ACD; (2)作BF⊥AD,与AD交于点F,过点F作FG // DE,与AE交于点G,连接BG,由‎(‎Ⅰ‎)‎知DE⊥AD,则FG⊥AD,所以‎∠BFG就是二面角B-AD-E的平面角,在直角梯形BCDE中,由CD‎2‎=BC‎2‎+BD‎2‎,得BD⊥BC, 又平面ABC⊥‎平面BCDE,得BD⊥‎平面ABC,从而BD⊥AB, 由于AC⊥‎平面BCDE,得AC⊥CD. 在Rt△ACD中,由DC=‎2‎,AC=‎‎2‎,得AD=‎‎6‎; 在Rt△AED中,由ED=‎1‎,AD=‎‎6‎得AE=‎‎7‎; 在Rt△ABD中,由BD=‎‎2‎,AB=‎2‎,AD=‎‎6‎得BF=‎‎2‎‎3‎‎3‎,AF=‎2‎‎3‎AD,从而GF=‎‎2‎‎3‎, 在‎△ABE,‎△ABG中,利用余弦定理分别可得cos∠BAE=‎‎5‎‎7‎‎14‎,BG=‎‎2‎‎3‎. 在‎△BFG中,cos∠BFG=GF‎2‎‎+BF‎2‎‎-BG‎2‎‎2BF⋅GF=‎‎3‎‎2‎, 所以,‎∠BFG=‎π‎6‎,二面角B-AD-E的大小为π‎6‎. ‎ ‎34.【答案】‎ ‎(1)‎‎∵ a‎1‎a‎2‎a‎3‎‎...an=(‎2‎‎)‎bn(n∈N‎*‎)‎ ①, 当n≥2‎,n∈‎N‎*‎时,a‎1‎a‎2‎a‎3‎‎⋯‎an-1‎‎=(‎‎2‎‎)‎bn-1‎②, 由①②知:an‎=(‎‎2‎‎)‎bn‎-‎bn-1‎, 令n=3‎,则有a‎3‎‎=(‎‎2‎‎)‎b‎3‎‎-‎b‎2‎. ∵ b‎3‎‎=6+‎b‎2‎, ∴ a‎3‎‎=8‎. ∵ ‎{an}‎为等比数列,且a‎1‎‎=2‎, ∴ ‎{an}‎的公比为q,则q‎2‎‎=a‎3‎a‎1‎=4‎, 由题意知an‎>0‎, ∴ q>0‎, ∴ q=2‎. ∴ an‎=‎2‎n(n∈N‎*‎)‎. 又由a‎1‎a‎2‎a‎3‎‎...an=(‎2‎‎)‎bn(n∈N‎*‎)‎得: ‎2‎‎1‎‎×2‎‎2‎‎×2‎‎3‎‎⋯×2‎n‎=(‎‎2‎‎)‎bn, ‎2‎n(n+1)‎‎2‎‎=(‎‎2‎‎)‎bn, ∴ bn‎=n(n+1)(n∈N‎*‎)‎.‎ 第69页 共72页 ◎ 第70页 共72页 ‎(2)(i)‎‎∵ cn‎=‎1‎an-‎1‎bn=‎1‎‎2‎n-‎1‎n(n+1)‎=‎1‎‎2‎n-(‎1‎n-‎1‎n+1‎)‎. ∴ Sn‎=c‎1‎+c‎2‎+c‎3‎+⋯+‎cn ‎=‎1‎‎2‎-(‎1‎‎1‎-‎1‎‎2‎)+‎1‎‎2‎‎2‎-(‎1‎‎2‎-‎1‎‎3‎)+⋯+‎1‎‎2‎n-(‎1‎n-‎1‎n+1‎) ‎‎=‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎2‎+⋯+‎1‎‎2‎n-(1-‎1‎n+1‎) ‎‎=1-‎1‎‎2‎n-1+‎1‎n+1‎ =‎1‎n+1‎-‎‎1‎‎2‎n; ‎(ii)‎因为c‎1‎‎=0‎,c‎2‎‎>0‎,c‎3‎‎>0‎,c‎4‎‎>0‎, 当n≥5‎时, cn‎=‎1‎n(n+1)‎[n(n+1)‎‎2‎n-1]‎, 而n(n+1)‎‎2‎n‎-‎(n+1)(n+2)‎‎2‎n+1‎=‎(n+1)(n-2)‎‎2‎n+1‎>0‎, 得n(n+1)‎‎2‎n‎≤‎5⋅(5+1)‎‎2‎‎5‎<1‎, 所以,当n≥5‎时,cn‎<0‎, 综上,对任意n∈‎N‎*‎恒有S‎4‎‎≥‎Sn,故k=4‎.‎ ‎【解答】‎ ‎(1)‎‎∵ a‎1‎a‎2‎a‎3‎‎...an=(‎2‎‎)‎bn(n∈N‎*‎)‎ ①, 当n≥2‎,n∈‎N‎*‎时,a‎1‎a‎2‎a‎3‎‎⋯‎an-1‎‎=(‎‎2‎‎)‎bn-1‎②, 由①②知:an‎=(‎‎2‎‎)‎bn‎-‎bn-1‎, 令n=3‎,则有a‎3‎‎=(‎‎2‎‎)‎b‎3‎‎-‎b‎2‎. ∵ b‎3‎‎=6+‎b‎2‎, ∴ a‎3‎‎=8‎. ∵ ‎{an}‎为等比数列,且a‎1‎‎=2‎, ∴ ‎{an}‎的公比为q,则q‎2‎‎=a‎3‎a‎1‎=4‎, 由题意知an‎>0‎, ∴ q>0‎, ∴ q=2‎. ∴ an‎=‎2‎n(n∈N‎*‎)‎. 又由a‎1‎a‎2‎a‎3‎‎...an=(‎2‎‎)‎bn(n∈N‎*‎)‎得: ‎2‎‎1‎‎×2‎‎2‎‎×2‎‎3‎‎⋯×2‎n‎=(‎‎2‎‎)‎bn, ‎2‎n(n+1)‎‎2‎‎=(‎‎2‎‎)‎bn, ∴ bn‎=n(n+1)(n∈N‎*‎)‎.‎ ‎(2)(i)‎‎∵ cn‎=‎1‎an-‎1‎bn=‎1‎‎2‎n-‎1‎n(n+1)‎=‎1‎‎2‎n-(‎1‎n-‎1‎n+1‎)‎. ∴ Sn‎=c‎1‎+c‎2‎+c‎3‎+⋯+‎cn ‎=‎1‎‎2‎-(‎1‎‎1‎-‎1‎‎2‎)+‎1‎‎2‎‎2‎-(‎1‎‎2‎-‎1‎‎3‎)+⋯+‎1‎‎2‎n-(‎1‎n-‎1‎n+1‎) ‎‎=‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎2‎+⋯+‎1‎‎2‎n-(1-‎1‎n+1‎) ‎‎=1-‎1‎‎2‎n-1+‎1‎n+1‎ =‎1‎n+1‎-‎‎1‎‎2‎n; ‎(ii)‎因为c‎1‎‎=0‎,c‎2‎‎>0‎,c‎3‎‎>0‎,c‎4‎‎>0‎, 当n≥5‎时, cn‎=‎1‎n(n+1)‎[n(n+1)‎‎2‎n-1]‎, 而n(n+1)‎‎2‎n‎-‎(n+1)(n+2)‎‎2‎n+1‎=‎(n+1)(n-2)‎‎2‎n+1‎>0‎, 得n(n+1)‎‎2‎n‎≤‎5⋅(5+1)‎‎2‎‎5‎<1‎, 所以,当n≥5‎时,cn‎<0‎, 综上,对任意n∈‎N‎*‎恒有S‎4‎‎≥‎Sn,故k=4‎.‎ ‎35.【答案】‎ 解:‎(1)‎∵ ‎△ABC中,a≠b,c=‎‎3‎, cos‎2‎A-cos‎2‎B=‎3‎sinAcosA-‎3‎sinBcosB, ∴ ‎1+cos2A‎2‎‎-‎1+cos2B‎2‎=‎3‎‎2‎sin2A-‎3‎‎2‎sin2B, 即 cos2A-cos2B=‎3‎sin2A-‎3‎sin2B, 即‎-2sin(A+B)sin(A-B)=2‎3‎⋅cos(A+B)sin(A-B)‎. ∵ a≠b,∴ A≠B,sin(A-B)≠0‎, ∴ tan(A+B)=-‎‎3‎, ∴ A+B=‎‎2π‎3‎, ∴ C=‎π‎3‎.‎ ‎(2)‎‎∵ sinA=‎4‎‎5‎<‎‎3‎‎2‎,C=‎π‎3‎, ∴ A<‎π‎3‎,或A>‎‎2π‎3‎(舍去), ∴ cosA=‎1-sin‎2‎A=‎‎3‎‎5‎. 由正弦定理可得,asinA‎=‎csinC, 即 a‎4‎‎5‎‎=‎‎3‎‎3‎‎2‎, ∴ a=‎‎8‎‎5‎. ∴ sinB=sin[(A+B)-A]‎ ‎=sin(A+B)cosA-cos(A+B)sinA =‎3‎‎2‎×‎3‎‎5‎-(-‎1‎‎2‎)×‎4‎‎5‎=‎‎4+3‎‎3‎‎10‎, ∴ ‎△ABC的面积为 ‎1‎‎2‎‎⋅ac⋅sinB ‎=‎1‎‎2‎×‎8‎‎5‎×‎3‎×‎4+3‎‎3‎‎10‎ =‎‎18+8‎‎3‎‎25‎. ‎ ‎【解答】‎ 解:‎(1)‎∵ ‎△ABC中,a≠b,c=‎‎3‎, cos‎2‎A-cos‎2‎B=‎3‎sinAcosA-‎3‎sinBcosB, ∴ ‎1+cos2A‎2‎‎-‎1+cos2B‎2‎=‎3‎‎2‎sin2A-‎3‎‎2‎sin2B, 即 cos2A-cos2B=‎3‎sin2A-‎3‎sin2B, 即‎-2sin(A+B)sin(A-B)=2‎3‎⋅cos(A+B)sin(A-B)‎. ∵ ‎a≠b 第69页 共72页 ◎ 第70页 共72页 ‎,∴ A≠B,sin(A-B)≠0‎, ∴ tan(A+B)=-‎‎3‎, ∴ A+B=‎‎2π‎3‎, ∴ C=‎π‎3‎.‎ ‎(2)‎‎∵ sinA=‎4‎‎5‎<‎‎3‎‎2‎,C=‎π‎3‎, ∴ A<‎π‎3‎,或A>‎‎2π‎3‎(舍去), ∴ cosA=‎1-sin‎2‎A=‎‎3‎‎5‎. 由正弦定理可得,asinA‎=‎csinC, 即 a‎4‎‎5‎‎=‎‎3‎‎3‎‎2‎, ∴ a=‎‎8‎‎5‎. ∴ sinB=sin[(A+B)-A]‎ ‎=sin(A+B)cosA-cos(A+B)sinA =‎3‎‎2‎×‎3‎‎5‎-(-‎1‎‎2‎)×‎4‎‎5‎=‎‎4+3‎‎3‎‎10‎, ∴ ‎△ABC的面积为 ‎1‎‎2‎‎⋅ac⋅sinB ‎=‎1‎‎2‎×‎8‎‎5‎×‎3‎×‎4+3‎‎3‎‎10‎ =‎‎18+8‎‎3‎‎25‎. ‎ ‎36.【答案】‎ 解:(1)由题意知焦点F(0, 1)‎,准线方程为y=-1‎, 设P(x‎0‎, y‎0‎)‎,由抛物线的定义可知‎|PF|=y‎0‎+1‎,解得y‎0‎‎=2‎, ∴ x‎0‎‎=±2‎‎2‎,即P(2‎2‎, 2)‎或P(-2‎2‎, 2)‎, 由PF‎→‎‎=3‎FM‎→‎,得M(-‎2‎‎2‎‎3‎, ‎2‎‎3‎)‎或M(‎2‎‎2‎‎3‎, ‎2‎‎3‎)‎.‎ ‎(2)设直线AB的方程为y=kx+m,A(x‎1‎, y‎1‎)‎,B(x‎2‎, y‎2‎)‎, 由y=kx+mx‎2‎‎=4y得x‎2‎‎-4kx-4m=0‎, 于是‎△=16k‎2‎+16m>0‎,x‎1‎‎+x‎2‎=4k,x‎1‎x‎2‎‎=-4m, 即AB的中点M的坐标为‎(2k, 2k‎2‎+m)‎ 由PF‎→‎‎=3‎FM‎→‎,得‎(-x‎0‎, 1-y‎0‎)=3(2k, 2k‎2‎+m-1)‎, 解得x‎0‎‎=-6ky‎0‎‎=4-6k‎2‎-3m,由x‎0‎‎2‎‎=4‎y‎0‎,得k‎2‎‎=-‎1‎‎5‎m+‎‎4‎‎15‎, 由‎△>0‎,k>0‎得‎-‎1‎‎3‎f(‎4‎‎3‎)‎, ∴ 当m=‎‎1‎‎9‎时,f(m)‎取得最大值‎256‎‎243‎,此时k=±‎‎55‎‎15‎, ∴ ‎△ABP面积的最大值为‎256‎‎5‎‎135‎.‎ ‎【解答】‎ 解:(1)由题意知焦点F(0, 1)‎,准线方程为y=-1‎, 设P(x‎0‎, y‎0‎)‎,由抛物线的定义可知‎|PF|=y‎0‎+1‎,解得y‎0‎‎=2‎, ∴ x‎0‎‎=±2‎‎2‎,即P(2‎2‎, 2)‎或P(-2‎2‎, 2)‎, 由PF‎→‎‎=3‎FM‎→‎,得M(-‎2‎‎2‎‎3‎, ‎2‎‎3‎)‎或M(‎2‎‎2‎‎3‎, ‎2‎‎3‎)‎.‎ ‎(2)设直线AB的方程为y=kx+m,A(x‎1‎, y‎1‎)‎,B(x‎2‎, y‎2‎)‎, 由y=kx+mx‎2‎‎=4y得x‎2‎‎-4kx-4m=0‎, 于是‎△=16k‎2‎+16m>0‎,x‎1‎‎+x‎2‎=4k,x‎1‎x‎2‎‎=-4m, 即AB的中点M的坐标为‎(2k, 2k‎2‎+m)‎ 由PF‎→‎‎=3‎FM‎→‎,得‎(-x‎0‎, 1-y‎0‎)=3(2k, 2k‎2‎+m-1)‎, 解得x‎0‎‎=-6ky‎0‎‎=4-6k‎2‎-3m,由x‎0‎‎2‎‎=4‎y‎0‎,得k‎2‎‎=-‎1‎‎5‎m+‎‎4‎‎15‎, 由‎△>0‎,k>0‎得‎-‎1‎‎3‎f(‎4‎‎3‎)‎, ∴ 当m=‎‎1‎‎9‎时,f(m)‎取得最大值‎256‎‎243‎,此时k=±‎‎55‎‎15‎, ∴ ‎△ABP面积的最大值为‎256‎‎5‎‎135‎.‎ ‎37.【答案】‎ ‎(1)∵ a>0‎,‎-1≤x≤1‎, ①当‎00‎,故此时函数在‎(a, 1)‎上是增函数, ∴ g(a)‎=f(a)‎=a‎3‎. ②当a≥1‎,f(x)‎=x‎3‎‎+3|x-a|‎=x‎3‎‎-3x+3a,f'(x)‎=‎3x‎2‎-3<0‎,故此时函数在‎[-1, 1]‎上是减函数, 则g(a)‎=f(1)‎=‎-2+3a. 综上:g(a)=a‎3‎‎,00‎,‎-1≤x≤1‎, ①当‎00‎,故此时函数在‎(a, 1)‎上是增函数, ∴ g(a)‎=f(a)‎=a‎3‎. ②当a≥1‎,f(x)‎=x‎3‎‎+3|x-a|‎=x‎3‎‎-3x+3a,f'(x)‎=‎3x‎2‎-3<0‎,故此时函数在‎[-1, 1]‎上是减函数, 则g(a)‎=f(1)‎=‎-2+3a. 综上:g(a)=a‎3‎‎,00‎,则d=‎2‎, 所以Sn=na‎1‎+n(n-1)‎‎2‎⋅d=n‎2‎(n∈N‎*‎)‎. (2)由‎(‎Ⅰ‎)‎得,an=‎1+2(n-1)‎=‎2n-1‎, 由am‎+am+1‎+am+2‎+...+‎am+k=‎65‎得,‎(k+1)(am+am+k)‎‎2‎‎=65‎, 即‎(k+1)(2m+k-1)‎=‎65‎, 又m,k∈‎N‎*‎,则‎(k+1)(2m+k-1)‎=‎5×13‎,或‎(k+1)(2m+k-1)‎=‎1×65‎, 下面分类求当k+1‎=‎5‎时,‎2m+k-1‎=‎13‎,解得k=‎4‎,m=‎5‎; 当k+1‎=‎13‎时,‎2m+k-1‎=‎5‎,解得k=‎12‎,m=‎-3‎,故舍去; 当k+1‎=‎1‎时,‎2m+k-1‎=‎65‎,解得k=‎0‎,故舍去; 当k+1‎=‎65‎时,‎2m+k-1‎=‎1‎,解得k=‎64‎,m=‎-31‎,故舍去; 综上得,k=‎4‎,m=‎5‎.‎ ‎【解答】‎ ‎(1)由a‎1‎=‎1‎,S‎2‎‎⋅‎S‎3‎=‎36‎得, ‎(a‎1‎+a‎2‎)(a‎1‎+a‎2‎+a‎3‎)‎=‎36‎, 即‎(2+d)(3+3d)‎=‎36‎,化为d‎2‎‎+3d-10‎=‎0‎, 解得d=‎2‎或‎-5‎, 又公差d>0‎,则d=‎2‎, 所以Sn=na‎1‎+n(n-1)‎‎2‎⋅d=n‎2‎(n∈N‎*‎)‎. (2)由‎(‎Ⅰ‎)‎得,an=‎1+2(n-1)‎=‎2n-1‎, 由am‎+am+1‎+am+2‎+...+‎am+k=‎65‎得,‎(k+1)(am+am+k)‎‎2‎‎=65‎, 即‎(k+1)(2m+k-1)‎=‎65‎, 又m,k∈‎N‎*‎,则‎(k+1)(2m+k-1)‎=‎5×13‎,或‎(k+1)(2m+k-1)‎=‎1×65‎, 下面分类求当k+1‎=‎5‎时,‎2m+k-1‎=‎13‎,解得k=‎4‎,m=‎5‎; 当k+1‎=‎13‎时,‎2m+k-1‎=‎5‎,解得k=‎12‎,m=‎-3‎,故舍去; 当k+1‎=‎1‎时,‎2m+k-1‎=‎65‎,解得k=‎0‎,故舍去; 当k+1‎=‎65‎时,‎2m+k-1‎=‎1‎,解得k=‎64‎,m=‎-31‎,故舍去; 综上得,k=‎4‎,m=‎5‎.‎ ‎40.【答案】‎ 解:‎(1)△ABC中, ∵ ‎4sin‎2‎A-B‎2‎+4sinAsinB=2+‎‎2‎, ∴ ‎4×‎1-cos(A-B)‎‎2‎+4sinAsinB=2+‎‎2‎, ∴ ‎-2cosAcosB+2sinAsinB=‎‎2‎, 即 cos(A+B)=-‎‎2‎‎2‎, ∴ cosC=‎‎2‎‎2‎,∴ C=‎π‎4‎.‎ ‎(2)‎已知b=4‎,‎△ABC的面积为 ‎6=‎1‎‎2‎ab⋅sinC=‎1‎‎2‎a×4×‎‎2‎‎2‎, ∴ a=3‎‎2‎,‎ c=‎a‎2‎‎+b‎2‎-2ab⋅cosC ‎=‎‎18+16-2×3‎2‎×4×‎‎2‎‎2‎ ‎=‎‎10‎‎.‎ ‎【解答】‎ 解:‎(1)△ABC中, ∵ ‎4sin‎2‎A-B‎2‎+4sinAsinB=2+‎‎2‎, ∴ ‎4×‎1-cos(A-B)‎‎2‎+4sinAsinB=2+‎‎2‎, ∴ ‎-2cosAcosB+2sinAsinB=‎‎2‎, 即 cos(A+B)=-‎‎2‎‎2‎, ∴ cosC=‎‎2‎‎2‎,∴ C=‎π‎4‎.‎ ‎(2)‎已知b=4‎,‎△ABC的面积为 ‎6=‎1‎‎2‎ab⋅sinC=‎1‎‎2‎a×4×‎‎2‎‎2‎, ∴ a=3‎‎2‎,‎ c=‎a‎2‎‎+b‎2‎-2ab⋅cosC ‎=‎‎18+16-2×3‎2‎×4×‎‎2‎‎2‎ ‎=‎‎10‎‎.‎ 第69页 共72页 ◎ 第70页 共72页