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- 2021-06-11 发布
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专项强化练(一) 集合、常用逻辑用语、统计、概率、算法与复数
A组——题型分类练
题型一 集合的基本关系
1．已知集合A＝{－1，3，m2}，集合B＝{3，－2m－1}，若B⊆A，则实数m＝________．
解析：∵B⊆A，∴m2＝－2m－1或－1＝－2m－1，解得m＝－1或m＝0，经检验均满足题意，故m＝－1或0.
答案：－1或0
2．(2019·天一中学模拟)已知集合A＝{x∈N|－1y，
当y＝1时，x可取2，3，4，5，有4个；
当y＝2时，x可取3，4，5，有3个；
当y＝3时，x可取4，5，有2个；
当y＝4时，x可取5，有1个．
故共有1＋2＋3＋4＝10(个)．
答案：10
[临门一脚]
1．要确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集．
2．根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．
3．集合中如果含有字母，根据条件求解后，一定要用互异性检验．
4．子集问题中要注意空集优先的原则，其中集合中的方程或不等式中含有参数需要分类讨论．
题型二 集合的运算
1．(2019·苏州中学模拟)已知U＝R，A＝{1，a}，B＝{a2－2a＋2}，a∈R，若(∁UA)∩B
＝∅，则a＝________．
解析：由题意知B⊆A，所以a2－2a＋2＝1或a2－2a＋2＝a.当a2－2a＋2＝1时，解得a＝1；当a2－2a＋2＝a时，解得a＝1或a＝2.当a＝1时，不满足集合中元素的互异性，舍去；当a＝2时，满足题意，所以a＝2.
答案：2
2．(2018·江苏高考)已知集合A＝{0，1，2，8}，B＝{－1，1，6，8}，那么A∩B＝________．
解析：A∩B＝{0，1，2，8}∩{－1，1，6，8}＝{1，8}．
答案：{1，8}
3．(2019·江苏高考)已知集合A＝{－1，0，1，6}，B＝{x|x>0，x∈R}，则A∩B＝________．
解析：因为A＝{－1，0，1，6}，B＝{x|x>0，x∈R}，
故A∩B＝{1，6}．
答案：{1，6}
4．已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．
解析：因为a2＋3≥3，所以由A∩B＝{1}，得a＝1，即实数a的值为1.
答案：1
5.已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x2－x>0}，则图中的阴影部分表示的集合为________．
解析：因为B＝{x|x2－x>0}＝{x|x>1或x<0}，所以A∪B＝R，A∩B＝{x|1f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．
解析：设f(x)＝sin x，则f(x)在上是增函数，在上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x∈(0，2]时，f(x)>f(0)＝sin 0＝0，故f(x)＝sin x满足条件f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，但f(x)在[0，2]上不一直都是增函数．
答案：f(x)＝sin x(答案不唯一)
5．若命题“∃x∈R，ax2＋4x＋a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：由命题“∃x∈R，ax2＋4x＋a≤0”为假命题，得“∀x∈R，ax2＋4x＋a>0”为真命题．当a≤0时，不成立；当a>0时，由Δ＝16－4a2<0，得a>2.故实数a的取值范围是(2，＋∞)．
答案：(2，＋∞)
[临门一脚]
1．要注意命题的否定和否命题的区别，“若p则q”的命题需要掌握其否命题，含量词的命题需要掌握其命题的否定．
2．判断充要条件的方法，一是结合充要条件的定义；二是根据充要条件与集合之间的对应关系，把命题对应的元素用集合表示出来，根据集合之间的包含关系进行判断，在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法．
3．含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的，这类试题首先把其中的基本命题的真假判断准确，再根据逻辑联结词的含义进行判断．
4．一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系，但一个命题与这个命题的否定是互相对立、一真一假．
题型四 统计
1．为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本．其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人．若其他年级共有学生3 000人，则该校学生总人数是________．
解析：设该校学生总人数为n，则1－＝，解得n＝7 500.
答案：7 500
2．随着社会的发展，食品安全问题渐渐成为社会关注的热点，为了提高学生的食品安全意识，某学校组织全校学生参加食品安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如下图所示，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]，若该校的学生总人数为3 000，则成绩不超过60分的学生人数大约为________．
解析：由图知，成绩不超过60分的学生的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以成绩不超过60分的学生人数大约为0.3×3 000＝900.
答案：900
3．(2019·江苏高考)已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是________．
解析：这组数据的平均数为＝8，故方差为s2＝×[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝.
答案：
4．下表是一个容量为10的样本数据分组后的频数分布表．若利用每组中点值近似计算本组数据的平均数x，则x的值为________．
数据
[12.5，15.5)
[15.5，18.5)
[18.5，21.5)
[21.5，24.5)
频数
2
1
3
4
解析：x＝(14×2＋17×1＋20×3＋23×4)＝19.7.
答案：19.7
5.如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定(方差较小)的那名运动员的得分的方差为________．
解析：由茎叶图知，得分较为稳定的那名运动员应该是乙，他在五场比赛中得分分别为8，9，10，13，15，所以他的平均得分为x＝＝11，其方差为s2＝[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝6.8.
答案：6.8
[临门一脚]
1．从考查内容上看，主要集中在分层抽样、频率分布直方图、平均数和方差的计算上；充分理解抽样的公平性是避免抽样问题求解时出错的关键；读懂频率分布表与直方图是解总体分布估计题的重点，时刻注意分清横纵坐标的含义可避免错误．
2．系统抽样问题要注意所抽号码的特性是考查冷考点，不能遗忘．
3．分层抽样，要求每层样本数量与每层个体数量的比与所有样本数量与总体容量的比相等．
4．茎叶图的茎和叶的含义要明确，重复数字要重复算．
5．方差、标准差的公式要记忆准确，计算时不要出错，方差和标准差用来反映数据波动性，数值越小波动性越小．
题型五 概率
1．(2018·江苏高考)某兴趣小组有2名男生和3名女生，
现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．
解析：设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，从中选出2人的情况有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10种，而都是女生的情况有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3种，故所求概率为.
答案：
2．记函数f(x)＝的定义域为D.在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．
解析：由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则D＝[－2，3]，则所求概率P＝＝.
答案：
3．一架飞机向目标投弹，完全击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则目标受损但未完全击毁的概率为________．
解析：根据互斥事件的概率公式得，目标受损但未完全击毁的概率为1－0.2－0.4＝0.4.
答案：0.4
4．某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率是________．
解析：由题意知，某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首所有可能的取法有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)共6种．
其中，满足甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的取法共5种，则所求的概率P＝.
答案：
5．(2019·江苏高考)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________．
解析：设3名男同学分别为A，B，C，2名女同学分别为a，b，则所有等可能事件分别为AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件分别为Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共7个，故所求概率为.
同法一，得所有等可能事件共10个，
选出的2名同学中没有女同学包含的基本事件分别为AB，AC，BC，共3个，故所求概率为1－＝.
答案：
[临门一脚]
1．解决概率问题首先要正确区分概率模型，分清古典概型与几何概型的关键就是古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个．
2．古典概型的关键是准确理解事件的含义，多用枚举法和树形图进行计数， 列举时必须按照某一顺序做到不重复，不遗漏．
3．几何概型的常用测度要正确区分：一元问题用长度、角度来作为测度；二元问题用面积来作为测度，常与线性规划结合考察；三元问题用体积来作为测度．
4．求某些较复杂的概率问题时，通常有两种方法：一是将其分解为若干个彼此互斥的事件，然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件A的对立事件的概率，然后利用P(A)＝1－P()可得解．
题型六 算法
1．(2019·江苏高考)如图是一个算法流程图，则输出的S的值是________．
解析：第一次循环，S＝，x＝2；第二次循环，S＝＋＝，x＝3；第三次循环，S＝＋＝3，x＝4；第四次循环，S＝3＋＝5，满足x≥4，结束循环．故输出的S的值是5.
答案：5
2．(2018·江苏高考)一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为________．
解析：I＝1，S＝1，此时I<6，进入下一次循环；
I＝3，S＝2，此时I<6，进入下一次循环；
I＝5，S＝4，此时I<6，进入下一次循环；
I＝7，S＝8，此时I>6，不满足I<6，退出循环，
输出S＝8.
答案：8
3．执行如图所示的伪代码，若输出y的值为1，则输入x的值为________．
解析：若x≥0，则2x＋1＝1，解得x＝－1(舍去)；若x＜0，则2－x2＝1，解得x＝±1，所以x＝－1，综上所述，输入x的值为－1.
答案：－1
4．据记载，在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前n个自然数平方和的一般公式．如图是一个求前n个自然数平方和的算法流程图，若输入x的值为1，则输出S的值为________．
解析：执行程序，可得，输入x的值为1, S＝1，不满足条件S＞5，x＝2，S＝5；不满足条件S＞5，x＝3，S＝14，满足条件S＞5，退出循环，输出S的值为14.
答案：14
[临门一脚]
1．流程图和伪代码要看清楚这四个关键位置的含义：(1)分支的条件；(2)循环的条件；(3)变量的赋值；(4)变量的输出．
2．利用选择结构解决算法问题时，要根据题目的要求引入一个或多个判断框，而判断框内的条件不同，对应的下一图框中的内容和操作要相应地进行变化，故要逐个分析判断框内的条件．
3．循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断．
4．流程图和伪代码中注意求和问题中“S←S＋I”和“I←I＋1”的位置先后顺序不同对最终结果的影响．
5．For语句中step的含义是步长，如果不写即默认步长为1.
题型七 复数
1．(2019·江苏高考)已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________．
解析：(a＋2i)(1＋i)＝a－2＋(a＋2)i，
因为其实部为0，故a＝2.
答案：2
2．已知复数z满足z＝(1－2i)(3＋i)，其中i为虚数单位，则|z|＝________．
解析：复数z＝(1－2i)(3＋i)，i为虚数单位，则|z|＝|1－2i||3＋i|＝×＝5.
答案：5
3．(2018·江苏高考)若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．
解析：由i·z＝1＋2i，得z＝＝2－i，
∴z的实部为2.
答案：2
4．若复数z满足(2－i)z＝1＋i，则复数z在复平面上对应的点在第________象限．
解析：因为z＝＝＝＝＋i，所以复数z在复平面上对应的点在第一象限．
答案：一
[临门一脚]
1．复数的概念要记清楚：实部、虚部(不含i)、共轭复数(实部不变、虚部变为相反数)、复数模、复数的几何意义．
2．复数乘法的运算按“多项式乘法”来记忆，除法的运算按“分母实数化”进行记忆．
3．注意实数集内的乘法、乘方的一些结论和一些运算法则在复数集中不一定成立，要注意区分．
4．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i不能遗忘．
5．复数模的运算可以直接用公式求解，也可以用性质|z1·z2|＝|z1|·|z2|求解更简便．
B组——高考提速练
1．(2019·扬州期末)已知i是虚数单位，且复数z满足(1＋i)z＝2，则|z|＝________．
解析：法一：由题意可知，z＝＝＝1－i，则|z|＝＝.
法二：因为(1＋i)z＝2，所以|1＋i|·|z|＝2，|z|＝2，所以|z|＝＝.
答案：
2．命题“∀x≥2，x2≥4”的否定是__________________．
解析：因为全称命题的否定是存在性命题，所以命题“∀x≥2，x2≥4”的否定是：∃x≥2，x2＜4.
答案：∃x≥2，x2＜4
3．已知集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x＝2n－1，n∈M}，则M∩N＝________．
解析：由已知条件得N＝{－1，1，3}，所以M∩N＝{1}．
答案：{1}
4．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．
解析：应从丙种型号的产品中抽取
60×＝18(件)．
答案：18
5.如图是一个算法流程图．若输入x的值为，则输出y的值是________．
解析：由流程图可知其功能是运算分段函数y＝所以当输入的x的值为时，y＝2＋log2
＝2－4＝－2.
答案：－2
6.(2019·苏州期末)某班级50名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则成绩在[60，80)内的学生人数是________．
解析：由频率分布直方图得成绩在[60，80)内的频率为1－(0.010＋0.030＋0.010)×10＝0.5，所以成绩在[60，80)内的学生人数为50×0.5＝25.
答案：25
7．(2018·镇江高三期末)已知x，y∈R，则“a＝1”是“直线ax＋y－1＝0与直线x＋ay＋1＝0平行”的__________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择一个)．
解析：由两直线平行得所以a＝1，因此“a＝1”是“直线ax＋y－1＝0与直线x＋ay＋1＝0平行”的充分必要条件．
答案：充分必要
8．(2019·南京三模)从1，2，3，4，5这5个数字中随机抽取3个不同的数字，则这3个数字经适当排序后能组成等差数列的概率为________．
解析：从1，2，3，4，5这5个数字中随机抽取3个不同的数字，所有不同的情况有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共10种，其中3个数字经适当排序后能组成等差数列的情况有(1，2，3)，(1，3，5)，(2，3，4)，(3，4，5)，共4种，所以所求的概率P＝＝.
答案：
9．(2019·常州期末)一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，若输出的y值为1，则输入的实数x的值为________．
解析：由伪代码可知当x≥1时，令x2－2x－2＝1，得x＝3；当x<1时，令＝1，无解，故输入的实数x的值是3.
答案：3
10．(2018·苏州高三调研)假设苏州轨道交通1号线每5分钟一班，且列车在某站停留0.5分钟，若某乘客到达该站站台的时刻是随机的，则该乘客到达该站站台立即能乘上车的概率为________．
解析：在5分钟内，有0.5分钟该乘客到达该站站台立即能乘上车，则所求概率为＝.
答案：
11．若复数z满足z＋2z＝3＋2i，其中i为虚数单位，z为复数z的共轭复数，则复数z的模为________．
解析：设z＝x＋yi，x，y∈R，则z＝x－yi，因为z＋2z＝3＋2i，所以z＋2z＝(x＋yi)＋2(x－yi)＝3x－yi＝3＋2i，所以x＝1，y＝－2，所以z＝1－2i，所以复数z的模为.
答案：
12．根据如图所示的伪代码可知，输出的结果为________．
解析：第一次循环i＝1，满足条件i＜8，i＝1＋2＝3，S＝3×3－2＝7；
第二次循环i＝3，满足条件i＜8，i＝3＋2＝5，S＝3×5＋7＝22；
第三次循环i＝5，满足条件i＜8，i＝5＋2＝7，S＝3×7＋22＝43；
第四次循环i＝7，满足条件i＜8，i＝7＋2＝9，S＝3×9＋43＝70；
第五次循环i＝9，不满足条件i＜8，循环终止，输出S＝70.
答案：70
13．(2019·常州期初检测)给定命题p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0成立；命题q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：当p为真命题时，“对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0成立”⇔a＝0或∴0≤a＜4.当q为真命题时，“关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根”⇔Δ＝1－4a≥0，∴a≤.
∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴p，q一真一假．∴若p真q假，则0≤a＜4，且a>，∴＜a＜4；若p假q真，则即a＜0.故实数a的取值范围为(－∞，0)∪.
答案：(－∞，0)∪
14．(2018·南京四校联考)已知直线l1：x－2y－1＝0，直线l2：ax－by＋1＝0，a，b∈{1，2，3，4}，则直线l1与直线l2有公共点的概率为________．
解析：(a，b)的所有可能情况有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)共16个．
若直线l1与直线l2没有公共点，则l1∥l2，即k1＝k2，即＝，即b＝2a，满足条件的实数对(a，b)有(1，2)，(2，4)共2种情形，∴所求概率P＝1－＝.
答案：
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