人教新课标A版高考数学黄金题系列第21题函数零点的性质问题理 15页

第 21 题 函数零点的性质问题 I．题源探究·黄金母题 【例 1】求函数 ( ) ln 2 6f x x x   的零点的个数． 【答案】1． 【解析】  f x 的定义域为  0, ．    , ,2 ln2 4 6 0 3 ln3 6 6 0f f        由零点 存在性定理知  f x 有零点．又    1 2 0,f x f xx      在 0, 上是单调递增函数，  f x 只有一个零点． 精彩解读 【试题来源】人教版 A 版必修 1P88 例 1． 【母题评析】本题考查了零点存在性定理、 函数零点个数的判断． 【思路方法】判断函数是否存在零点可用零 点存在性定理或利用数形结合法．而要判断 函数有几个零点，还需要借助函数的单调 性． II．考场精彩·真题回放 【例 2】【2017 高考山东卷】已知当  0,1x 时，函数  21y mx  的图象与 y x m  的图象有且只有一个交 点，则正实数 m 的取值范围是 （ ） A．  0,1 2 3,  B．   0,1 3, C． 0, 2 2 3,    D．  0, 2 3,   【答案】B 【解析】当 0 1m  时， 1 1m  ， 2( 1)y mx  单调递减， 且 2 2( 1) [( 1) ,1]y mx m    ， y x m  单调递增，且 [ ,1 ]y x m m m    ，此时有且仅有一个交点；当 1m  时， 10 1m   ， 2( 1)y mx  在 1[ ,1]m 上单调递增，所以要 有且仅有一个交点，需 2( 1) 1 3m m m     ，故选 B． 【例 3】【2016 高考天津卷】已知函数 f（x） = 2 (4 , 0, log ( 1) 1 3 , 0 3) a x a xa x x x          （a>0，且 a≠1）在 R 上单调递 减，且关于 x 的方程| ( ) | 2f x x  恰好有两个不相等的实数 解，则 a 的取值范围是 （ ） A． 20, 3     B． 2 3,3 4      【命题意图】本题主要考查分段函数的零点 问题． 本题能较好的考查考生分析问题、 解决问题的能力，以及数形结合、转化与化 归能力等． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常 基本以选择题或填空题的形式出现，难度较 大． 【难点中心】已知函数有零点求参数取值范 围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参 数的不等式，再通过解不等式确定参数范 围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求 函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一 平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后 数形结合求解． C． 1 2 3,3 3 4           D． 1 2 3,3 3 4          【答案】C． 【解析】由 ( )f x 在 R 上递减可知 3 4 0, 1 3 3 1,0 1, 3 4 a aa a         ，由方程| ( ) | 2f x x  恰好有 两个不相等的实数解，可知 13 2, 1 2a a    ， 1 2 3 3a  ， 又∵ 3 4a  时，抛物线 2 (4 3) 3y x a x a    与直线 2y x  相切，也符合题意，∴实数 a 的去范围是 1 2 3,3 3 4           ，故选 C． 【例 4】【2016 高考山东卷】已知函数   2 , , 2 4 , , x x m f x x mx m x m      其中 0m  ，若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f（x）=b 有三 个不同的根，则 m 的取值范围是________________． 【答案】 3, 【解析】画出函数图象如下图所示： 由图所示，要  f x b 有三个不同的根，需要红色部分图象 在深蓝色图象的下方，即 2 2 22 4 , 3 0m m m m m m      ， 解得 3m  ． 【命题意图】本题主要考查二次函数函数的 图象与性质、函数与方程、分段函数的概念， 考查学生分析问题与解决问题的能力． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常 基本以选择题或填空题的形式出现，难度较 大，往往是高中数学主要知识的交汇题． 【难点中心】解答这类问题的关键在于能利 用数形结合思想，通过对函数图象的分析， 转化得到代数不等式．本题能较好的考查考 生数形结合思想、转化与化归思想、基本运 算求解能力等． III．理论基础·解题原理 函数零点、方程的根、函数图象交点的相互转化： 有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转化，且这三者各具特点： （1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是 否存在零点； （2）方程的根：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析 的函数，为作图做好铺垫； （3）函数图象的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间． 三者转化：函数  f x 的零点  方程   0f x  的根 方程变形 方程    g x h x 的根  函数  g x 与  h x 的交点． IV．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】 这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，一般综合性较强，难度较大． 【技能方法】 1．已知函数有零点求参数取值范围常用的方法： （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 2．此类问题的处理步骤： （1）作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图象交点问题，并作出函数图 象； （2）确定变量范围：通过图象与交点位置确定参数和零点的取值范围； （3）观察交点的特点（比如对称性等）并选择合适的方法处理表达式的值． 【易错指导】 对函数零点存在的判断需要注意以下两点：（1）函数  f x 在 ,a b 上连续；（2）满足     0f a f b  ． 上述方法只能求变号零点，对于非变号零点不能用上述方法求解． 另外需要注意的是：（1）若函数  f x 的图象在 0x x 与 x 轴相切，则零点 0x 通常称为不变号零点； （2）函数的零点不是点，它是函  y f x 数与 x 轴的交点的横坐标，是方程   0f x  的根． V．举一反三·触类旁通 考向 1 函数零点所在区间的判断 【例 1】【2018 豫西南部分示范高中高三第一学期联考】函数   2 2lnf x x x   的零点所在的区间为（ ） A． 0,1 B． 1,2 C． 2,3 D． 3,4 【答案】B 【解析】由题干知道原函数是增函数，故可以根据零点存在定理得到：     11 0 , 2 ln2 ln2 ln 02f f e      ，故两点存在于 1,2 上，故选 B． 【例 2】【2018 齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学第一次调研】已知函数      ( 0), , lnxf x x x x g x x e h x x x       的零点分别为 1 2 3, ,x x x ，则 A． 1 2 3x x x  B． 2 1 3x x x  C． 2 3 1x x x  D． 3 1 2x x x  【答案】C 【解析】根据函数 y x 分别与 , , lnxy x y e y x     图像交点，可知选 C． 【跟踪练习】 1．【2018 河南省天一大联考】函数 的零点位于区间（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ，所以由零点存在定理得零点位于区间 ，选 C． 2．【2018 湖北部分重点中学上学期第一次联考】函数   e 4 3xf x x   的零点所在的区间为（ ） A． 1 ,04     B． 10, 4      C． 1 1,4 2      D． 1 3,2 4      【答案】C 考向 2 由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围 【例 3】【2018 四川绵阳高三第一次诊断性考试】已知 是函数 的零点， 是函数 的零点，且满足 ，则实数 的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【名师点睛】解题的关键是得到 后，得到 ，然后将问题转化成方程 在 上有解的问题处理．在解题的过程中分离参数的方法，转化为求函数在 闭区间的最值问题处理，求最值时可用导数或基本不等式处理，具体求解中要注意合理的变形． 【例 4】【2018 南宁高三毕业班摸底联考】设函数 是定义在 上的偶函数，且 ，当 时， ，若在区间 内关于 的方程 （ 且 ）有且 只有 4 个不同的根，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得函数 f(x)的对称轴为 x=2，周期为 T=4，原方程变形为 ， ， 所以只需画出 ，两个函数在区间(-2，6)的图像，根据图像求 a 的范围，图像如下， 一定过（-1，0）点，当 时，显然只有一个交点，所以 ，只需要对数从点 B，点 C 下面穿过就有 4 个零点，所以 解得 ，选 D． 【名师点睛】对于求不同类的两个函数构成的方程，我们常把方程变形为 f(x)=g(x)，然后根据 y=f(x)与 y=g(x)的两个图像交点个数来判断原方程根的个数．如本题把方程 变形为 ，再画出两个函数的图像，根据两个图像有 4 个交点，求出参数 a 的范围． 【例 5】【2018 河南省天一大联考】已知函数 若关于 的方程 有 3 个实数根，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作图如下： 因此要使方程 有 3 个，实数 的取值范围是 ，选 D． 【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、 草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数 的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 【例 6】【2018 山西 45 校高三第一次联考】函数 在区间 和区间 上分别存在一个 零点，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 或 【答案】B 【例 7】【2017 江西上饶一模】已知  f x 是定义域为 0, 的单调函数，若对任意的  0,x  ，都有   1 3 log 4f f x x       ，且方程   3 23 6 9 4f x x x x a      在区间 0,3 上有两解，则实数 a 的取值 范围是（ ） A． 0 5a  B． 5a  C． 0 5a  D． 5a  【答案】A 【解析】由题意知必存在唯一的正实数 a ，满足   1 3 logf x x a  ，   4f a  ①，∴   1 3 logf a a a  ②，由①②得： 1 3 log 4a a  ，∴ 41 3 a a      ，解得 3a  ．故   1 3 3 logf x x  ，由方程   3 23 6 9 4f x x x x a      在区间 0,3 上有两解， 即有 3 2 1 3 log 6 9 4x x x x a     在区间 0,3 上有两解，由   3 26 9 4g x x x x a     ，可得   23 12 9g x x x   ，当1 3x  时，   0g x  ，  g x 递减；当 0 1x  时，   0g x  ，  g x 递增．  g x 在 1x  处取得最大值 a ，  0 4g a  ，  3 4g a  ，分别作出 1 3 logy x ，和 3 26 9 4y x x x    的图象，可得两图象只有一个交点 1,0 ，将 3 26 9 4y x x x    的图象向上平移， 至经过点  3,1 ，有两个交点，由  3 1g  ，即 4 1a   ，解得 5a  ，当 0 5a  时，两图象有两个交点， 即方程两解．故选 A． 【例 8】【2018 河南郑州一中模拟】已知函数  f x 满足    2 2f x f x   ，当  0,1x 时，   2f x x ， 当  1,0x  时，     22 1 f x f x    ，若定义在 1,3 上的函数      1g x f x t x   有三个不同的 零点，则实数t 的取值范围是__________． 【答案】 0,6 2 7  2,3 0 3 1x x     ，所以  3 3f x x   ，则   2 24 43 3f x x x      ．所以   2 2 2+1 { 2 ( 2 43 x x xf x x     ，         , 1,0 , 0,1 , 1,2 , 2,3 x x x x      ，画出函数  y f x 在区间 1,3 上的图像与函数  1y t x  的图像， 由于直线  1y t x  是过定点 1,0 斜率是t 的动直线，数形结合可知：当  1y t x  与  22 2y x   相切时，即方程      2 21 2 2 4 2=0t x x x t x t         有唯一解，可求得 6 2 7t   ，故结合图 像可知：当 0 6 2 7t   时，函数  y f x 在区间 1,3 上的图像与直线  1y t x  的图像有且只有 三个不同的交点，即定义在 1,3 上的函数      1g x f x t x   有三个不同的零点，应填答案  0,6 2 7 ． 【名师点睛】解答本题的关键是充分运用题设条件先将函数  y f x 在区间 1,3 上的解析表达式求出 来，再画出其图像数形结合，从而将问题转化为方程      2 21 2 2 4 2=0t x x x t x t         有唯 一解，可求得 6 2 7t   ，通过数形结合，求得当 0 6 2 7t   时，函数  y f x 在区间 1,3 上的 图像与直线  1y t x  的图像有且只有三个不同的交点，即定义在 1,3 上的函数      1g x f x t x   有三个不同的零点． 【例 9】【2017 江苏南师大附中模拟】函数       ( { 4 xx x t f x x x t    其中 0t  ，若函数     1g x f f x    有 6 个不同的零点，则实数t 的取值范围是__________． 【答案】 3,4     2 23 4 3f x x tx t x t x t      ，则 ,3 tx x t  是两个极值点，且极大值为 3 27 t ，极小值为 0．画 出函数       ( { 4 xx x t f x x x t    的图像，和直线 1, 1y t y   的图像，结合函数的图像可知：当 3 14{ 3 4 127 t t t      时，两直线 1, 1y t y   与函数  y f x 共有六个不同交点，应填答案 3,4 ． 【名师点睛】解答本题的关键关节有两个：其一是将函数的零点问题进行等价转化；其二是要巧妙运用数 形结合思想建立不等式组．求解时还要综合运用导数知识确定函数的极值点和极值． 灵活运用所学知识和重要是数学思想进行分析问题和解决问题是本题一大特征，体现了数学思想在解决数 学问题中四两拨千斤的功能． 【跟踪练习】 1．【2018 届山西 45 校高三第一次联考】函数   2 2 1f x ax x   在区间（-1，1）和区间（1，2）上分别 存在一个零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A． 3 1a   B． 3 14 a  C． 33 4a   D． 3a   或 3 4a  【答案】B 2．【2018 四川绵阳高三第一次诊断性考试】函数 满足 ，且当 时， ．若 函数 的图象与函数 （ ，且 ）的图象有且仅有 4 个交点，则 的取值集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数 满足 ，所以函数的周期为 又在一个周期 内，函数解析式为 ，所以可作出函数图象，在同一坐标系内作函数 的图象，要使两个函数图象有且仅有 四个交点，只需 ，所以 ，故选 C． 3．【2018 贵州黔东南州上学期第一次联考】已知函数   2 9 , 0{ 4 2, 0 x x xf x x x      ，若方程  f x a 有两 个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是（ ） A．  5 9, 2,2 4        B． 2,  C．  5 9, 2,2 4         D．  5 9, 2,2 4        【答案】C 【解析】作出函数   2 9 , 0{ 4 2, 0 x x xf x x x      的图象如下： 方程  f x a 有两个不相等的实数根等价于函数  y f x 与 y a 的图象有两个不同的交点，有图可知，  5 9, 2,2 4a          ．故选 C． 【名师点睛】方程的根或函数有零点求参数范围常用方法和思路 （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 4．【2018 四川达州模拟】已知   2sin 2 6f x x m      在 0, 2x     上有两个零点，则 m 的取值范围为 ( ) A．（1，2） B．[1，2] C．[1，2) D．（1，2] 【答案】C 【名师点睛】本题考查正弦函数的图象，解答本题关键是将函数有两个零点的问题转化为两个函数有两个 交点的问题，作出两函数的图象，判断出参数的取值范围，本题以形助数，是解此类题常用的方法，熟练 作出相应函数的图象对解答本题很重要 5．【2018 江西横峰中学第一次月考】设  f x 满足    - =f x f x ，且在 1,1 上是增函数，且  1 1f    ， 若函数   2 2 1f x t at   对所有的  1,1x  ，当  1,1a  时都成立，则t 的取值范围是（ ） A． 1 1 2 2t   B． 2t  或 2t   或 0t  C． 1 2t  或 1 2t   或 0t  D． 2 2t   【答案】B 【解析】若函数   2 2 1f x t at   对所有的  1,1x  都成立，由已知易得  f x 的最大值是 1，∴ 2 21 2 1 2 0t at at t      ，设   22g a at t   1 1a   ，欲使 22 0at t  恒成立， 则     1 0{ 21 0 g tg     或 2t   或 0t  ，故选 B． 6．【2018 湖北七校联考】已知 )(xf 是奇函数并且是 R 上的单调函数，若函数 )()12( 2 xfxfy   只 有一个零点，则实数  的值是 （ ） A． 4 1 B． 8 1 C． 8 7 D． 8 3 【答案】C． 【解析】令 0)()12( 2  xfxfy  ，且 )(xf 是奇函数，则 )()()12( 2   xfxfxf ，又 因为 )(xf 是 R 上的单调函数，所以  xx 12 2 只有一个零点，即 012 2  xx 只有一个零点， 则 0)1(81   ，解得 8 7 ，故选 C． 7．已知函数   lgf x x ，若 0 a b  ，且    f a f b ，则 2a b 的取值范围是 （ ） A．  2 2, B． 2 2,  C．  3, D． 3, 【答案】C． 【评注】（1）此类问题如果  f x 图象易于作出，可先作图以便于观察函数特点； （2）本题有两个关键点，一个是引入辅助变量 t ，从而用t 表示出 ,a b ，达到消元效果，但是要注意 t 是有 范围的（通过数形结合 y t 需与  y f x 有两交点）；一个是通过图象判断出 ,a b 的范围，从而去掉绝对 值． 8．已知函数   1 1 1, 0,2 2 12 , ,22 x x x f x x                ，若存在 1 2,x x ，当 1 20 2x x   时，    1 2f x f x ，则    1 2 2x f x f x 的取值范围为 （ ） A． 2 3 20, 4      B． 9 2 3 2,16 4      C． 9 1,16 2      D． 2 3 2 1,4 2       【答案】C． 9．【2018 江西新余一中二模】已知函数  y f x 的周期为 2，当  0,2x 时，    21f x x  ，如果     5log 1g x f x x   ，则函数  y g x 的所有零点之和为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】 由题意可得     5log 1g x f x x   ，根据周期性画出函数    21f x x  的图象，以及 5log 1y x  的 图象，根据 5log 1y x  在 1, 上单调增函数，当 6x  时， 5log 1 1y x   ， 当 6x  时， 5log 1 1y x   ，此时与函数  y f x 无交点，再根据 5log 1y x  的图象和  f x 的图象都关于直线 1x  对称，结合图象可知有8个交点，则函数     5log 1g x f x x   的零点个数为8 ，故选 D． 【方法点睛】判断函数  y f x 零点个数的常用方法：(1) 直接法： 令   0,f x  则方程实根的个数就是 函数零点的个；(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间 ,a b 上是连续不断的曲线，且     0,f a f b  再 结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法： 转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一 个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性， 确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题． 10．【2018 河北石家庄二中八月高三模拟】已知   2 2,{ 2, x x af x x x a     ，若函数   1lng x f x ax       有 零点，则实数 a 的取值范围是__________． 【答案】   1,2 3,   【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 11．【2018 广东茂名高三五大联盟学校 9 月联考】若函数 至少有 3 个零点，则实数 的取值范围是__________． 【答案】 【名师点睛】本题的求解过程体现了数形结合的数学思想的巧妙运用，求解时先在同一平面直角坐标系中 画出两个函数的图像，进而借助图像的直观建立不等式 ，进而通过解不等式求 出参数的取值范围 ．