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  • 2021-06-11 发布

高考数学专题复习练习第三章 第八节 正弦和余弦定理应用举例

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第三章 第八节 正弦和余弦定理应用举例 课下练兵场 命 题 报 告 ‎ 难度及题号 知识点 容易题 ‎(题号)‎ 中等题 ‎(题号)‎ 稍难题 ‎(题号)‎ 测量距离问题 ‎1、3‎ ‎7、9、10‎ ‎12‎ 测量高度问题 ‎6‎ 测量角度问题 ‎5‎ 正、余定理综合 ‎2、4‎ ‎8‎ ‎11‎ 一、选择题 ‎1.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与B的距离为 (  )‎ A.a km B.a km C.a km D‎.2a km 解析:‎ 由图可知,∠ACB=120°,‎ 由斜弦定理 cos∠ACB= ‎==-,‎ 则AB=a(km).‎ 答案:B ‎2.在△ABC中,角A,B均为锐角,且cosA>sinB,则△ABC的形状是 (  )‎ A.直角三角形   B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 解析:cosA=sin(-A)>sinB,-A,B都是锐角,‎ 则-A>B,A+B<,C>.‎ 答案:C ‎3.‎2009年8月4日发生的2009年第8号台风“莫拉克”造成台湾省461人死亡,192人失踪,其台风中心最大风力达到12级以上,大风降雨给灾区带来严重的灾害,不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后,折成与地面成45°角,树干也倾斜为与地面成75°角,树干底部与树尖着地处相距‎20米,则折断点与树干底部的距离是 (  )‎ A.米 B‎.10‎米 C.米 D‎.20‎米 解析:如图,设树干底部为O,树尖着地处为B,折断点为A,‎ 则∠ABO=45°,∠AOB=75°,‎ ‎∴∠OAB=60°.‎ 由正弦定理知,=,‎ ‎∴AO=(米).‎ 答案:A ‎4.如图,四边形ABCD中,∠B=∠C=120°,AB=4,BC=CD=2,‎ 则该四边形的面积等于 (  )‎ A.    B‎.5 C.6    D.7 解析:连接BD,在△BCD中,BC=CD=2,∠BCD=120°,‎ ‎∴∠CBD=30°,BD=2,‎ S△BCD=×2×2×sin120°=.‎ 在△ABD中,∠ABD=120°-30°=90°,‎ AB=4,BD=2,‎ ‎∴S△ABD=AB·BD=×4×2=4,‎ ‎∴四边形ABCD的面积是5.‎ 答案:B ‎5.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为 (  )‎ A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加的长度决定 解析:设增加同样的长度为x,原三边长为a、b、c,且c2=a2+b2,a+b>c.新的三角形的三边长为a+x、b+x、c+x,知c+x为最大边,其对应角最大.‎ 而(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=x2+2(a+b-c)x>0,由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正,则为锐角,那么它为锐角三角形.‎ 答案:A ‎6.某人在C点测得某塔在南偏西80°,塔顶仰角为45°,此人沿南偏东40°方向前进‎10米到D,测得塔顶A的仰角为30°,则塔高为 (  )‎ A‎.15米 B‎.5米 C‎.10米 D‎.12米 解析:如图,设塔高为h,在Rt△AOC中,∠ACO=45°,‎ 则OC=OA=h.‎ 在Rt△AOD中,‎ ‎∠ADO=30°,则OD=h,‎ 在△OCD中,‎ ‎∠OCD=120°,CD=10,‎ 由余弦定理得:OD2=OC2+CD2-2OC·CDcos∠OCD,‎ 即(h)2=h2+102-2h×10×cos120°,‎ ‎∴h2-5h-50=0,解得h=10,或h=-5(舍).‎ 答案:C 二、填空题 ‎7.一船以每小时‎15 km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向,行驶4 h后,船到B处,看到这个灯塔在北偏东15°方向,这时船与灯塔的距离为    .‎ 解析:如图所示,依题意有AB=15×4=60,∠MAB=30°,∠AMB=45°,在△AMB中,由正弦定理得=,‎ 解得BM=30(km).‎ 答案:‎‎30 km ‎8.在△ABC中,已知sinAsinBcosC=sinAsinCcosB+sinBsinCcosA,若a、b、c分别是角A、B、C所对的边,则的最大值为    .‎ 解析:在三角形中,由正、余弦定理可将原式转化为:‎ ‎ ab·=ac·+bc·,‎ 化简得:‎3c2=a2+b2≥2ab,‎ 故≤,即的最大值为.‎ 答案: ‎9.线段AB外有一点C,∠ABC=60°,AB=‎200 km,汽车以‎80 km/h的速度由A向B行驶,同时摩托车以‎50 km/h的速度由B向C行驶,则运动开始    h后,两车的距离最小.‎ 解析:如图所示:设t h后,汽车由A行驶到D,摩托车由B行驶到E,则AD=80t,BE=50t.因为AB=200,‎ 所以BD=200-80t,‎ 问题就是求DE最小时t的值.‎ 由余弦定理:DE2=BD2+BE2-2BD·BEcos60°‎ ‎=(200-80t)2+2500t2-(200-80t)·50t ‎=12900t2-42000t+40000.‎ 当t=时DE最小.‎ 答案: 三、解答题 ‎10.(2009·辽宁高考)如图,A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°,30°,于水面C处 测得B点和D点的仰角均为60°,AC=‎0.1 km.试探究图中B,D间距离与另外哪两点间距离相等,然后求B,D的距离(计算结果精确到‎0.01 km,≈1.414,≈2.449).‎ 解:在△ACD中,∠DAC=30°,‎ ‎∠ADC=60°-∠DAC=30°,‎ 所以CD=AC=0.1.‎ 又∠BCD=180-60°-60°=60°,‎ 故CB是△CAD底边AD的中垂线,‎ 所以BD=BA.‎ 在△ABC中,=,‎ 即AB==,‎ 因此,BD=≈‎0.33 km.‎ 故B、D的距离约为‎0.33 km.‎ ‎11.如图,扇形AOB,圆心角AOB等于60°,半径为2,在弧AB上有一动点P,过P引平行于OB的直线和OA交于点C,设∠AOP=θ,求△POC面积的最大值及此时θ的值.‎ 解:因为CP∥OB,所以∠CPO=∠POB=60°-θ,‎ ‎∴∠OCP=120°.‎ 在△POC中,由正弦定理得 =,∴=,‎ 所以CP=sinθ.‎ 又=,‎ ‎∴OC=sin(60°-θ).‎ 因此△POC的面积为 S(θ)=CP·OCsin120°‎ ‎=·sinθ·sin(60°-θ)× ‎=sinθsin(60°-θ)=sinθ(cosθ-sinθ)‎ ‎=[cos(2θ-60°)-],θ∈(0°,60°).‎ 所以当θ=30°时,S(θ)取得最大值为.‎ ‎12.(2008·湖南高考)在一个特定时段内,以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ(其中sinθ=,0°<θ<90°)且与点A相距10 海里的位置C.‎ ‎(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);‎ ‎(2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.‎ 解:(1)如图AB=40,AC=10,∠BAC=θ,sinθ=.‎ ‎∵0°<θ<90°,‎ ‎∴cosθ= =.‎ 由余弦定理可知,‎ BC= ‎=10,‎ ‎∴船的行驶速度为=15(海里/小时).‎ ‎(2)如图所示,以A为原点建立平面直角坐标系,设点B,C的坐标分别是B(x1,y1),C(x2,y2),BC与x轴的交点为D.由题设有,x1=y1=AB=40,‎ x2=ACcos∠CAD=10cos(45°-θ)‎ ‎=10(cosθ+sinθ)=30,‎ y2=ACsin∠CAD=10sin(45°-θ)‎ ‎=10(cosθ-sinθ)=20.‎ ‎∴过点B,C的直线l的斜率k==2,‎ 直线l的方程为y=2x-40.‎ 又点E(0,-55)到直线l的距离d==3<7.‎ ‎∴船会进入警戒水域.‎