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- 2021-06-11 发布
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第三章 第八节 正弦和余弦定理应用举例
课下练兵场
命 题 报 告
难度及题号
知识点
容易题
(题号)
中等题
(题号)
稍难题
(题号)
测量距离问题
1、3
7、9、10
12
测量高度问题
6
测量角度问题
5
正、余定理综合
2、4
8
11
一、选择题
1.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与B的距离为 ( )
A.a km B.a km C.a km D.2a km
解析:
由图可知,∠ACB=120°,
由斜弦定理
cos∠ACB=
==-,
则AB=a(km).
答案:B
2.在△ABC中,角A,B均为锐角,且cosA>sinB,则△ABC的形状是 ( )
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
解析:cosA=sin(-A)>sinB,-A,B都是锐角,
则-A>B,A+B<,C>.
答案:C
3.2009年8月4日发生的2009年第8号台风“莫拉克”造成台湾省461人死亡,192人失踪,其台风中心最大风力达到12级以上,大风降雨给灾区带来严重的灾害,不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后,折成与地面成45°角,树干也倾斜为与地面成75°角,树干底部与树尖着地处相距20米,则折断点与树干底部的距离是 ( )
A.米 B.10米 C.米 D.20米
解析:如图,设树干底部为O,树尖着地处为B,折断点为A,
则∠ABO=45°,∠AOB=75°,
∴∠OAB=60°.
由正弦定理知,=,
∴AO=(米).
答案:A
4.如图,四边形ABCD中,∠B=∠C=120°,AB=4,BC=CD=2,
则该四边形的面积等于 ( )
A. B.5 C.6 D.7
解析:连接BD,在△BCD中,BC=CD=2,∠BCD=120°,
∴∠CBD=30°,BD=2,
S△BCD=×2×2×sin120°=.
在△ABD中,∠ABD=120°-30°=90°,
AB=4,BD=2,
∴S△ABD=AB·BD=×4×2=4,
∴四边形ABCD的面积是5.
答案:B
5.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加的长度决定
解析:设增加同样的长度为x,原三边长为a、b、c,且c2=a2+b2,a+b>c.新的三角形的三边长为a+x、b+x、c+x,知c+x为最大边,其对应角最大.
而(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=x2+2(a+b-c)x>0,由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正,则为锐角,那么它为锐角三角形.
答案:A
6.某人在C点测得某塔在南偏西80°,塔顶仰角为45°,此人沿南偏东40°方向前进10米到D,测得塔顶A的仰角为30°,则塔高为 ( )
A.15米 B.5米 C.10米 D.12米
解析:如图,设塔高为h,在Rt△AOC中,∠ACO=45°,
则OC=OA=h.
在Rt△AOD中,
∠ADO=30°,则OD=h,
在△OCD中,
∠OCD=120°,CD=10,
由余弦定理得:OD2=OC2+CD2-2OC·CDcos∠OCD,
即(h)2=h2+102-2h×10×cos120°,
∴h2-5h-50=0,解得h=10,或h=-5(舍).
答案:C
二、填空题
7.一船以每小时15 km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向,行驶4 h后,船到B处,看到这个灯塔在北偏东15°方向,这时船与灯塔的距离为 .
解析:如图所示,依题意有AB=15×4=60,∠MAB=30°,∠AMB=45°,在△AMB中,由正弦定理得=,
解得BM=30(km).
答案:30 km
8.在△ABC中,已知sinAsinBcosC=sinAsinCcosB+sinBsinCcosA,若a、b、c分别是角A、B、C所对的边,则的最大值为 .
解析:在三角形中,由正、余弦定理可将原式转化为:
ab·=ac·+bc·,
化简得:3c2=a2+b2≥2ab,
故≤,即的最大值为.
答案:
9.线段AB外有一点C,∠ABC=60°,AB=200 km,汽车以80 km/h的速度由A向B行驶,同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶,则运动开始 h后,两车的距离最小.
解析:如图所示:设t h后,汽车由A行驶到D,摩托车由B行驶到E,则AD=80t,BE=50t.因为AB=200,
所以BD=200-80t,
问题就是求DE最小时t的值.
由余弦定理:DE2=BD2+BE2-2BD·BEcos60°
=(200-80t)2+2500t2-(200-80t)·50t
=12900t2-42000t+40000.
当t=时DE最小.
答案:
三、解答题
10.(2009·辽宁高考)如图,A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°,30°,于水面C处 测得B点和D点的仰角均为60°,AC=0.1 km.试探究图中B,D间距离与另外哪两点间距离相等,然后求B,D的距离(计算结果精确到0.01 km,≈1.414,≈2.449).
解:在△ACD中,∠DAC=30°,
∠ADC=60°-∠DAC=30°,
所以CD=AC=0.1.
又∠BCD=180-60°-60°=60°,
故CB是△CAD底边AD的中垂线,
所以BD=BA.
在△ABC中,=,
即AB==,
因此,BD=≈0.33 km.
故B、D的距离约为0.33 km.
11.如图,扇形AOB,圆心角AOB等于60°,半径为2,在弧AB上有一动点P,过P引平行于OB的直线和OA交于点C,设∠AOP=θ,求△POC面积的最大值及此时θ的值.
解:因为CP∥OB,所以∠CPO=∠POB=60°-θ,
∴∠OCP=120°.
在△POC中,由正弦定理得
=,∴=,
所以CP=sinθ.
又=,
∴OC=sin(60°-θ).
因此△POC的面积为
S(θ)=CP·OCsin120°
=·sinθ·sin(60°-θ)×
=sinθsin(60°-θ)=sinθ(cosθ-sinθ)
=[cos(2θ-60°)-],θ∈(0°,60°).
所以当θ=30°时,S(θ)取得最大值为.
12.(2008·湖南高考)在一个特定时段内,以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ(其中sinθ=,0°<θ<90°)且与点A相距10 海里的位置C.
(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);
(2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.
解:(1)如图AB=40,AC=10,∠BAC=θ,sinθ=.
∵0°<θ<90°,
∴cosθ= =.
由余弦定理可知,
BC=
=10,
∴船的行驶速度为=15(海里/小时).
(2)如图所示,以A为原点建立平面直角坐标系,设点B,C的坐标分别是B(x1,y1),C(x2,y2),BC与x轴的交点为D.由题设有,x1=y1=AB=40,
x2=ACcos∠CAD=10cos(45°-θ)
=10(cosθ+sinθ)=30,
y2=ACsin∠CAD=10sin(45°-θ)
=10(cosθ-sinθ)=20.
∴过点B,C的直线l的斜率k==2,
直线l的方程为y=2x-40.
又点E(0,-55)到直线l的距离d==3<7.
∴船会进入警戒水域.
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