2020年高中数学新教材同步必修第一册 第5章 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 10页

5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第 1 课时 周期性与奇偶性 学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的意义.2.会求常见三角函数的的周期.3.通过 图象直观理解奇偶性，并能正确确定相应的对称轴和对称中心． 知识点一 周期性 1．函数的周期性 (1)一般地，设函数 f(x)的定义域为 D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个 x∈D 都有 x ＋T∈D，且 f(x＋T)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数．非零常数 T 叫做这个函数的周期． (2)如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做 f(x)的最小 正周期． 思考 周期函数的周期是否唯一？ 答案 不唯一．若 f(x＋T)＝f(x)，则 f(x＋nT)＝f(x)，(n∈Z，且 n≠0)． 2．正弦、余弦函数的周期性 正弦函数 y＝sin x(x∈R)和余弦函数 y＝cos x(x∈R)都是周期函数，2kπ(k∈Z，且 k≠0)都是它 们的周期．最小正周期为 2π. 知识点二 正弦、余弦函数的奇偶性 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数． 思考 判断函数的奇偶性除了定义外，还有判断函数奇偶性的方法吗？ 答案 若函数的图象关于原点对称，则该函数是奇函数，若函数的图象关于 y 轴对称，则该 函数是偶函数． 1．函数 y＝sin x，x∈(－π，π]是奇函数．( × ) 2．正弦函数 y＝sin x 的图象是轴对称图形，也是中心对称图形．( √ ) 3．余弦函数 y＝cos x 是偶函数，图象关于 y 轴对称，对称轴有无数多条．( √ ) 一、三角函数的周期问题 例 1 求下列函数的周期： (1)y＝sin 2x＋π 4 ； (2)y＝|sin x|. 解 (1)方法一 (定义法) y＝sin 2x＋π 4 ＝sin 2x＋π 4 ＋2π ＝sin 2x＋π＋π 4 ， 所以周期为π. 方法二 (公式法) y＝sin 2x＋π 4 中ω＝2，T＝2π ω ＝2π 2 ＝π. (2)作图如下： 观察图象可知周期为π. 反思感悟 求三角函数周期的方法 (1)定义法：即利用周期函数的定义求解． (2)公式法：对形如 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数， T＝2π |ω|. (3)观察法：即通过观察函数图象求其周期． 跟踪训练 1 利用周期函数的定义求下列函数的周期． (1)y＝cos x 2 ，x∈R； (2)y＝sin 1 3x－π 4 ，x∈R. 解 (1)因为 cos 1 2(x＋4π)＝cos x 2 ＋2π ＝cos x 2 ， 由周期函数的定义知，y＝cos x 2 的周期为 4π. (2)因为 sin 1 3 x＋6π－π 4 ＝sin 1 3x＋2π－π 4 ＝sin 1 3x－π 4 ， 由周期函数的定义知，y＝sin 1 3x－π 4 的周期为 6π. 二、三角函数的奇偶性 例 2 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝sin xcos x； (2)f(x)＝ cos x 1－sin x ； (3)f(x)＝ 1－cos x＋ cos x－1. 解 (1)函数的定义域为 R，关于原点对称． ∵f(－x)＝sin(－x)cos(－x) ＝－sin xcos x＝－f(x)， ∴f(x)＝sin xcos x 为奇函数． (2)函数应满足 1－sin x≠0， ∴函数的定义域为 x|x≠2kπ＋π 2 ，k∈Z ，显然定义域不关于原点对称， ∴f(x)＝ cos x 1－sin x 为非奇非偶函数． (3)由 1－cos x≥0， cos x－1≥0， 得 cos x＝1， ∴函数的定义域为{x|x＝2kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称． 当 cos x＝1 时，f(－x)＝0，f(x)＝±f(－x)． ∴f(x)＝ 1－cos x＋ cos x－1既是奇函数又是偶函数． 反思感悟 (1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面： 一看函数的定义域是否关于原点对称； 二看 f(x)与 f(－x)的关系． (2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则． 跟踪训练 2 下列函数中周期为π 2 ，且为偶函数的是( ) A．y＝sin 4x B．y＝cos 1 4x C．y＝sin 4x＋π 2 D．y＝cos 1 4x－π 2 答案 C 解析 显然周期为π 2 的有 A 和 C， 又因为 y＝sin 4x＋π 2 ＝cos 4x 是偶函数，故选 C. 三、三角函数的奇偶性与周期性的综合应用 例 3 定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数，又是周期函数，若 f(x)的最小正周期为π，且当 x∈ 0，π 2 时，f(x)＝sin x，则 f 5π 3 等于( ) A．－1 2 B.1 2 C．－ 3 2 D. 3 2 答案 D 解析 f 5π 3 ＝f 5π 3 －π ＝f 2π 3 ＝f 2π 3 －π ＝f －π 3 ＝f π 3 ＝sin π 3 ＝ 3 2 . 延伸探究 1．若本例中“偶”变“奇”，其他条件不变，求 f 5π 3 的值． 解 f 5 3π ＝f －π 3 ＝－f π 3 ＝－sin π 3 ＝－ 3 2 . 2．若本例中函数的最小正周期变为π 2 ，其他条件不变，求 f －17 6 π 的值． 解 因为 f(x)的最小正周期是π 2 ， 所以 f －17 6 π ＝f －3π＋π 6 ＝f －6×π 2 ＋π 6 ＝f π 6 ＝1 2. 反思感悟 三角函数周期性与奇偶性的解题策略 (1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋ φ)的形式，再利用公式求解． (2)判断函数 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公 式转化为 y＝Asin ωx(Aω≠0)或 y＝Acos ωx(Aω≠0)其中的一个． 跟踪训练 3 已知 f(x)是以π为周期的偶函数，且 x∈ 0，π 2 时，f(x)＝1－sin x，求当 x∈ 5 2π，3π 时 f(x)的解析式． 解 x∈ 5 2π，3π 时，3π－x∈ 0，π 2 ， 因为 x∈ 0，π 2 时，f(x)＝1－sin x， 所以 f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin x. 又 f(x)是以π为周期的偶函数， 所以 f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)， 所以 f(x)的解析式为 f(x)＝1－sin x，x∈ 5 2π，3π . 1．下列函数中，周期为π 2 的是( ) A．y＝sin x B．y＝sin 2x C．y＝cos x 2 D．y＝cos 4x 答案 D 2．函数 f(x)＝sin(－x)的奇偶性是( ) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 答案 A 解析 由于 x∈R，且 f(－x)＝sin x＝－sin(－x)＝－f(x)， 所以 f(x)为奇函数． 3．已知函数 f(x)＝sin πx－π 2 －1，则下列命题正确的是( ) A．f(x)是周期为 1 的奇函数 B．f(x)是周期为 2 的偶函数 C．f(x)是周期为 1 的非奇非偶函数 D．f(x)是周期为 2 的非奇非偶函数 答案 B 解析 f(x)＝sin πx－π 2 －1＝－cos πx－1， 从而函数为偶函数，且 T＝2π π ＝2. 4．函数 f(x)＝ 3sin πx 2 －π 4 ，x∈R 的最小正周期为________． 答案 4 解析 由已知得 f(x)的最小正周期 T＝2π π 2 ＝4. 5．若函数 y＝f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的奇函数且 f(1)＝3，则 f(5)＝________. 答案 －3 解析 由已知得 f(x＋3)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)， 所以 f(5)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－3. 1．知识清单： (1)周期函数的概念，三角函数的周期； (2)三角函数的奇偶性； (3)周期性、奇偶性的应用． 2．方法归纳：数形结合． 3．常见误区：函数 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)(其中 A，ω，φ是常数，且 A≠0，ω≠0) 的周期为 T＝2π |ω|. 1．下列函数中最小正周期为π的偶函数是( ) A．y＝sin x 2 B．y＝cos x 2 C．y＝cos x D．y＝cos 2x 答案 D 解析 A 中函数是奇函数，B，C 中函数的周期不是π，只有 D 符合题目要求． 2．设函数 f(x)(x∈R)满足 f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数 y＝f(x)的图象是( ) 答案 B 解析 由 f(－x)＝f(x)， 则 f(x)是偶函数，图象关于 y 轴对称． 由 f(x＋2)＝f(x)， 则 f(x)的周期为 2.故选 B. 3．函数 y＝4sin(2x－π)的图象关于( ) A．x 轴对称 B．原点对称 C．y 轴对称 D．直线 x＝π 2 对称 答案 B 解析 y＝4sin(2x－π)＝－4sin 2x 是奇函数，其图象关于原点对称． 4．函数 y＝sin －x 2 ＋π 2 的奇偶性是( ) A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数也是偶函数 答案 B 解析 y＝sin －x 2 ＋π 2 ＝sin π 2 －x 2 ＝cos x 2 ，故为偶函数． 5．函数 f(x)＝sin(2x＋φ)为 R 上的奇函数，则φ的值可以是( ) A.π 4 B.π 2 C．π D.3π 2 答案 C 解析 要使函数 f(x)＝sin(2x＋φ)为 R 上的奇函数，需φ＝kπ，k∈Z.故选 C. 6．函数 f(x)是以 2 为周期的函数，且 f(2)＝3，则 f(6)＝________. 答案 3 解析 ∵函数 f(x)是以 2 为周期的函数，且 f(2)＝3， ∴f(6)＝f(2×2＋2)＝f(2)＝3. 7．关于 x 的函数 f(x)＝sin(x＋φ)有以下说法： ①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数； ②存在φ，使 f(x)是偶函数； ③存在φ，使 f(x)是奇函数； ④对任意的φ，f(x)都不是偶函数． 其中错误的是________(填序号)． 答案 ①④ 解析 当φ＝0 时，f(x)＝sin x，是奇函数， 当φ＝π 2 时，f(x)＝cos x 是偶函数． 8．若 f(x)为奇函数，当 x>0 时，f(x)＝cos x－sin x，当 x<0 时，f(x)的解析式为_______． 答案 f(x)＝－cos x－sin x 解析 x<0 时，－x>0，f(－x)＝cos(－x)－sin(－x)＝cos x＋sin x， 因为 f(x)为奇函数， 所以 f(x)＝－f(－x)＝－cos x－sin x， 即 x<0 时，f(x)＝－cos x－sin x. 9．判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝lg(sin x＋ 1＋sin2x)； (2)f(x)＝sin 3x 4 ＋3π 2 . 解 (1)因为 1＋sin2x>sin2x， 所以 1＋sin2x>|sin x|≥－sin x， 所以 sin x＋ 1＋sin2x>0， 所以函数 f(x)的定义域为 R. f(－x)＝lg[sin(－x)＋ 1＋sin2－x] ＝lg(－sin x＋ 1＋sin2x) ＝lg 1 sin x＋ 1＋sin2x ＝－lg(sin x＋ 1＋sin2x)＝－f(x)， 所以 f(x)为奇函数． (2)f(x)＝sin 3x 4 ＋3π 2 ＝－cos 3x 4 ，x∈R. 又 f(－x)＝－cos －3x 4 ＝－cos 3x 4 ＝f(x)， 所以函数 f(x)＝sin 3x 4 ＋3π 2 是偶函数． 10．已知函数 y＝1 2sin x＋1 2|sin x|. (1)画出函数的简图； (2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期． 解 (1)y＝1 2sin x＋1 2|sin x|＝ sin x，x∈[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z， 0，x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z， 图象如图所示： (2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是 2π. 11．设 f(x)是定义域为 R，最小正周期为3π 2 的函数，若 f(x)＝ cos x，－π 2 ≤x≤0， sin x，00)的最小正周期不大于 2，则正整数 k 的最小值应是( ) A．10 B．11 C．12 D．13 答案 D 解析 因为 T＝2π k 4 ＝8π k ≤2，所以 k≥4π， 又 k∈N*，所以正整数 k 的最小值为 13. 13．已知函数 f(x)＝ 2sin x＋π 4 ＋φ 是奇函数，则φ∈ －π 2 ，π 2 时，φ的值为________． 答案 －π 4 解析 由已知π 4 ＋φ＝kπ(k∈Z)， ∴φ＝kπ－π 4(k∈Z)， 又∵φ∈ －π 2 ，π 2 ， ∴k＝0 时，φ＝－π 4 符合条件． 14．已知函数 f(x)＝cos x 2 ＋π 3 ，则 f(x)的最小正周期是______；f(x)的对称中心是______． 答案 4π 2kπ＋π 3 ，0 ，k∈Z 解析 由 f(x)＝cos x 2 ＋π 3 ，得 T＝2π 1 2 ＝4π；令x 2 ＋π 3 ＝kπ＋π 2 ，求得 x＝2kπ＋π 3 ，k∈Z，可得 f(x) 的对称中心是 2kπ＋π 3 ，0 ，k∈Z. 15．函数 y＝|sinx 2|的最小正周期是________． 答案 2π 解析 ∵y＝sin x 2 的最小正周期为 T＝4π，而 y＝|sin x 2|的图象是把 y＝sin x 2 的图象在 x 轴下 方的部分翻折到 x 轴上方， ∴y＝|sin x 2|的最小正周期为 T＝2π. 16．已知函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(x＋2)＝－ 1 fx(f(x)≠0)． (1)求证：函数 f(x)是周期函数； (2)若 f(1)＝－5，求 f(f(5))的值． (1)证明 ∵f(x＋2)＝－ 1 fx ， ∴f(x＋4)＝－ 1 fx＋2 ＝－ 1 － 1 fx ＝f(x)， ∴f(x)是周期函数，4 就是它的一个周期， (2)解 ∵4 是 f(x)的一个周期． ∴f(5)＝f(1)＝－5， ∴f(f(5))＝f(－5)＝f(－1) ＝ －1 f－1＋2 ＝－1 f1 ＝1 5.