高中数学必修1教案：第三章（第16课时）数列复习小结2 6页

课 题：数列复习小结（二）‎ 教学目的：‎ ‎1．进一步掌握数列的有关概念和公式的应用 ‎2．要求学生对等差、等比数列有更深刻的理解，逐渐形成熟练技巧 授课类型：复习课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：‎ 一引入：‎ 上一节总结了数列的有关概念、方法、公式等，本节继续通过讲解例题，进一步加深和提高运用所学知识解决问题的灵活性 ‎ 二、例题讲解 例1 在△ABC中，三边成等差数列，也成等差数列，求证△ABC为正三角形 ‎ 证：由题设，且 ‎ ‎∴‎ ‎ ∴ 即 从而 ‎ ‎∴ （获证）‎ 例2 从盛有盐的质量分数为20%的盐水2 kg的容器中倒出1 kg盐水，然后加入1 kg水，以后每次都倒出1 kg盐水，然后再加入1 kg水，‎ 问：1.第5次倒出的的1 kg盐水中含盐多少g？‎ ‎ 2.经6次倒出后，一共倒出多少k盐？此时加1 kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？‎ 解：1.每次倒出的盐的质量所成的数列为{}，则：‎ ‎ a= 0.2 kg , a=×0.2 kg , a= ()×0.2 kg ‎ 由此可见：= ()×0.2 kg , ‎ ‎= ()×0.2= ()×0.2=0.0125 kg ‎ 2.由1.得{}是等比数列 a=0.2 , q= ‎ ‎ ‎ ‎ 例3在等比数列中，，求的范围 解：∵，∴‎ 又∵，且，∴，‎ ‎∴解之：‎ 当时，，∴‎ ‎（∵）‎ 当时，，‎ ‎∵且必须为偶数 ‎∴，（∵）‎ 例4 设{}, {}都是等差数列，它们的前n项和分别为, , 已知,求⑴；⑵‎ ‎ ⑴ 解法1：＝＝‎ ‎＝.‎ ‎⑴解法2：∵{}, {}都是等差数列 ‎∴可设＝kn(5n+3), =kn(2n-1)‎ ‎∴=-= k[n(5n+3)-(n-1)(5(n-1)+3)]=kn(10n-2),‎ ‎ =-=k[n(2n-1)-(n-1)(2(n-1)-1)] =kn(4n-3),‎ ‎∴==‎ ‎⑵解：由⑴解法2，有 ‎=-= k[n(5n+3)-(n-1)(5(n-1)+3)]=kn(10n-2),‎ ‎ =-=k[n(2n-1)-(n-1)(2(n-1)-1)] =kn(4n-3),‎ ‎ ∴＝k5(105-2)=240k ‎ ＝k8(48-3)=232k ‎ ∴ =‎ 例5设等差数列{}的前n项和为, ‎ (1) 如果a＝9, S＝40, 问是否存在常数c，使数列{}成等差数列；‎ (2) 如果＝n－6n, 问是否存在常数c，使得＝‎ 对任意自然数n都成立 ‎ 解：(1) 由a＝9, S＝40, 得a＝7, d＝2, ‎ ‎∴ ＝2n＋5, ＝n2＋6n, ＝‎ ‎ ∴ 当c＝9时, ＝n＋3是等差数列；‎ ‎ (2) ＝对任意自然数n都成立，‎ 等价于{}成等差数列, ‎ 由于＝n－6n ‎ ‎∴＝, ‎ 即使c＝9, ＝|n－3|, 也不会成等差数列，‎ 因此不存在这样的常数c使得＝对任意自然数n都成立 三、课后作业：‎ ‎1．已知, a, , …, , …构成一等差数列，其前n项和为＝n, 设＝, 记{}的前n项和为, (1) 求数列{}的通项公式；(2) 证明：<1.‎ ‎ 解：(1) ＝＝1, 当n≥2时, ＝－＝2n－1; ‎ 由于n＝1时符合公式，∴ ＝2n－1 (n≥1).‎ ‎ (2) ＝, ‎ ‎∴ ＝,‎ ‎ 两式相减得 ‎＝＋＝＋(1－)－,‎ ‎ ∴ ＝＋(1－)－<1, ‎ ‎ 2．已知等差数列{}的前n项和为，＝, 且＝,＋＝21, (1) 求数列{bn}的通项公式；(2) 求证：＋＋＋……＋<2.‎ ‎ 解：(1)设等差数列{}的首项为, 公差为d,则＝(＋2d)·＝, ‎ ‎ ＋＝8＋13d＝21, 解得 ＝1, d＝1,‎ ‎ ∴ ＝n, ＝, ＝;‎ ‎ (2) ＋＋＋……＋‎ ‎＝2·[(1－)＋(－)＋……＋()]<2.‎ ‎ 23．已知函数f (x)＝(x－1), 数列{}是公差为d的等差数列，数列{}是公比为q的等比数列(q∈R, q≠1, q≠0), ‎ 若＝f (d－1), ＝f (d＋1), ＝f (q－1), ＝f (q＋1), ‎ ‎ (1) 求数列{}, {}的通项公式；‎ ‎ (2) 设数列{}对任意的自然数n均有 成立，求＋＋＋……＋的值 ‎ 解：(1) ＝f (d－1)＝(d－2), ＝f (d＋1)＝d, ‎ ‎∴ －＝2d, 即d－(d－2)＝2d, ‎ 解得d＝2, ∴ ＝0, ＝2(n－1), ‎ ‎ 又＝f (q－1)＝(q－2), ＝f (q＋1)＝q, ＝q, ‎ ‎∴ ＝q, ‎ ‎ ∵q ≠1, ∴ q＝3, ∴＝1, ＝3‎ ‎ (2) 设＝(n∈N), 数列{}的前n项和为, ‎ 则＝＝2n, ＝＝2(n－1), ‎ ‎ ∴－＝2, 即＝2, ∴ ＝2＝2·3‎ ‎ ∴＋＋＋……＋‎ ‎＝2＋2·3＋……＋2·3＝＝,‎ 四、板书设计（略）‎ 五、课后记：‎