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  • 2021-06-12 发布

2013年重庆市高考数学试卷(理科)

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‎2013年重庆市高考数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2},B={2,3},则∁U(A∪B)=(  )‎ A.{1,3,4} B.{3,4} C.{3} D.{4}‎ ‎2.(5分)命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为(  )‎ A.对任意x∈R,都有x2<0 B.不存在x∈R,都有x2<0‎ C.存在x0∈R,使得x02≥0 D.存在x0∈R,使得x02<0‎ ‎3.(5分)(﹣6≤a≤3)的最大值为(  )‎ A.9 B. C.3 D.‎ ‎4.(5分)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x,y的值分别为(  )‎ A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8‎ ‎5.(5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )‎ A. B. C.200 D.240‎ ‎6.(5分)若a<b<c,则函数f(x)=(x﹣a)(x﹣b)+(x﹣b)(x﹣c)+‎ ‎(x﹣c)(x﹣a)的两个零点分别位于区间(  )‎ A.(a,b)和(b,c)内 B.(﹣∞,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(﹣∞,a)和(c,+∞)内 ‎7.(5分)已知圆C1:(x﹣2)2+(y﹣3)2=1,圆C2:(x﹣3)2+(y﹣4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为(  )‎ A.﹣1 B.5﹣4 C.6﹣2 D.‎ ‎8.(5分)执行如图所示的程序框图,如果输出S=3,那么判断框内应填入的条件是(  )‎ A.k≤6 B.k≤7 C.k≤8 D.k≤9‎ ‎9.(5分)4cos50°﹣tan40°=(  )‎ A. B. C. D.2﹣1‎ ‎10.(5分)在平面上,⊥,||=||=1,=+.若||<,则||的取值范围是(  )‎ A.(0,] B.(,] C.(,] D.(,]‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共3小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分,把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎11.(5分)已知复数z=(i是虚数单位),则|z|=  .‎ ‎12.(5分)已知{an}是等差数列,a1=1,公差d≠0,Sn为其前n项和,若a1,a2,a5成等比数列,则S8=  .‎ ‎13.(5分)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是  (用数字作答).‎ ‎ ‎ ‎14,15,16三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分:‎ ‎14.(5分)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AB=20,过C作△ABC的外接圆的切线CD,BD⊥CD,BD与外接圆交于点E,则DE的长为  .‎ ‎15.(5分)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线(t为参数)相交于A,B两点,则|AB|=  .‎ ‎16.若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|<a无解,则实数a的取值范围是  .‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(13分)设f(x)=a(x﹣5)2+6lnx,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).‎ ‎(1)确定a的值;‎ ‎(2)求函数f(x)的单调区间与极值.‎ ‎18.(13分)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球,再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球,根据摸出4个球中红球与蓝球的个数,设一、二、三等奖如下:‎ 奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额 一等奖 ‎3红1蓝 ‎200元 二等奖 ‎3红0蓝 ‎50元 三等奖 ‎2红1蓝 ‎10元 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.‎ ‎(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率;‎ ‎(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E(x).‎ ‎19.(13分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC=CD=2,AC=4,∠ACB=∠ACD=,F为PC的中点,AF⊥PB.‎ ‎(1)求PA的长;‎ ‎(2)求二面角B﹣AF﹣D的正弦值.‎ ‎20.(12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2+b2+ab=c2.‎ ‎(1)求C;‎ ‎(2)设cosAcosB=,=,求tanα的值.‎ ‎21.(12分)如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点,|AA′|=4.‎ ‎(Ⅰ)求该椭圆的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′,过P、P′作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.若PQ⊥P'Q,求圆Q的标准方程.‎ ‎22.(12分)对正整数n,记In={1,2,3…,n},Pn={|m∈In,k∈In}.‎ ‎(1)求集合P7中元素的个数;‎ ‎(2)若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方,则称A为“稀疏集”.求n的最大值,使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并集.‎ ‎ ‎ ‎2013年重庆市高考数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)(2013•重庆)已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2},B={2,3},则∁U(A∪B)=(  )‎ A.{1,3,4} B.{3,4} C.{3} D.{4}‎ ‎【分析】根据A与B求出两集合的并集,由全集U,找出不属于并集的元素,即可求出所求的集合.‎ ‎【解答】解:∵A={1,2},B={2,3},‎ ‎∴A∪B={1,2,3},‎ ‎∵全集U={1,2,3,4},‎ ‎∴∁U(A∪B)={4}.‎ 故选D ‎ ‎ ‎2.(5分)(2013•重庆)命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为(  )‎ A.对任意x∈R,都有x2<0 B.不存在x∈R,都有x2<0‎ C.存在x0∈R,使得x02≥0 D.存在x0∈R,使得x02<0‎ ‎【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题,写出命题的否定命题即可.‎ ‎【解答】解:因为全称命题的否定是特称命题,‎ 所以命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为.存在x0∈R,使得x02<0.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2013•重庆)(﹣6≤a≤3)的最大值为(  )‎ A.9 B. C.3 D.‎ ‎【分析】令f(a)=(3﹣a)(a+6)=﹣+,而且﹣6≤a≤‎ ‎3,利用二次函数的性质求得函数f(a)的最大值,‎ 即可得到所求式子的最大值.‎ ‎【解答】解:令f(a)=(3﹣a)(a+6)=﹣+,而且﹣6≤a≤3,由此可得函数f(a)的最大值为 ,‎ 故(﹣6≤a≤3)的最大值为 =,‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2013•重庆)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x,y的值分别为(  )‎ A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8‎ ‎【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来,再除以5.找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数为中位数.据此列式求解即可.‎ ‎【解答】解:乙组数据平均数=(9+15+18+24+10+y)÷5=16.8;‎ ‎∴y=8;‎ 甲组数据可排列成:9,12,10+x,24,27.所以中位数为:10+x=15,‎ ‎∴x=5.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2013•重庆)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )‎ A. B. C.200 D.240‎ ‎【分析】如图所示,该几何体是棱长分别为4,8,10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱,据此即可计算出体积.‎ ‎【解答】解:如图所示,该几何体是棱长分别为4,8,10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱,‎ 由图知V==200.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2013•重庆)若a<b<c,则函数f(x)=(x﹣a)(x﹣b)+(x﹣b)(x﹣c)+(x﹣c)(x﹣a)的两个零点分别位于区间(  )‎ A.(a,b)和(b,c)内 B.(﹣∞,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(﹣∞,a)和(c,+∞)内 ‎【分析】由函数零点存在判定定理可知:在区间(a,b),(b,c)内分别存在一个零点;又函数f(x)是二次函数,最多有两个零点,即可判断出.‎ ‎【解答】解:∵a<b<c,∴f(a)=(a﹣b)(a﹣c)>0,f(b)=(b﹣c)(b﹣a)<0,f(c)=(c﹣a)(c﹣b)>0,‎ 由函数零点存在判定定理可知:在区间(a,b),(b,c)内分别存在一个零点;‎ 又函数f(x)是二次函数,最多有两个零点,‎ 因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)(2013•重庆)已知圆C1:(x﹣2)2+(y﹣3)2=1,圆C2:(x﹣3)2+(y﹣4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为(  )‎ A.﹣1 B.5﹣4 C.6﹣2 D.‎ ‎【分析】求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A,以及半径,然后求解圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和,即可求出|PM|+|PN|的最小值.‎ ‎【解答】解:如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A(2,﹣3),半径为1,‎ 圆C2的圆心坐标(3,4),半径为3,‎ 由图象可知当P,C2,C3,三点共线时,|PM|+|PN|取得最小值,‎ ‎|PM|+|PN|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和,‎ 即:|AC2|﹣3﹣1=﹣4=﹣4=5﹣4.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2013•重庆)执行如图所示的程序框图,如果输出S=3,那么判断框内应填入的条件是(  )‎ A.k≤6 B.k≤7 C.k≤8 D.k≤9‎ ‎【分析】根据程序框图,写出运行结果,根据程序输出的结果是S=3,可得判断框内应填入的条件.‎ ‎【解答】解:根据程序框图,运行结果如下:‎ ‎ S k ‎ 第一次循环 log23 3‎ 第二次循环 log23•log34 4‎ 第三次循环 log23•log34•log45 5‎ 第四次循环 log23•log34•log45•log56 6‎ 第五次循环 log23•log34•log45•log56•log67 7‎ 第六次循环 log23•log34•log45•log56•log67•log78=log28=3 8‎ 故如果输出S=3,那么只能进行六次循环,故判断框内应填入的条件是k≤7.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)(2013•重庆)4cos50°﹣tan40°=(  )‎ A. B. C. D.2﹣1‎ ‎【分析】‎ 原式第一项利用诱导公式化简,第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦,通分后利用同分母分式的减法法则计算,再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简,整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数,约分即可得到结果.‎ ‎【解答】解:4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°=‎ ‎==‎ ‎===.‎ 故选C ‎ ‎ ‎10.(5分)(2013•重庆)在平面上,⊥,||=||=1,=+.若||<,则||的取值范围是(  )‎ A.(0,] B.(,] C.(,] D.(,]‎ ‎【分析】建立坐标系,将向量条件用等式与不等式表示,利用向量模的计算公式,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:根据条件知A,B1,P,B2构成一个矩形AB1PB2,以AB1,AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系,设|AB1|=a,|AB2|=b,点O的坐标为(x,y),则点P的坐标为(a,b),‎ 由=1,得,则 ‎∵||<,∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵(x﹣a)2+y2=1,∴y2=1﹣(x﹣a)2≤1,‎ ‎∴y2≤1‎ 同理x2≤1‎ ‎∴x2+y2≤2②‎ 由①②知,‎ ‎∵||=,∴<||≤‎ 故选D.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共3小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分,把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎11.(5分)(2013•重庆)已知复数z=(i是虚数单位),则|z|=  .‎ ‎【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果.‎ ‎【解答】解:|z|===.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2013•重庆)已知{an}是等差数列,a1=1,公差d≠0,Sn为其前n项和,若a1,a2,a5成等比数列,则S8= 64 .‎ ‎【分析】依题意,a1=1,=a1•(a1+4d),可解得d,从而利用等差数列的前n项和公式即可求得答案.‎ ‎【解答】解:∵{an}是等差数列,a1,a2,a5成等比数列,‎ ‎∴=a1•(a1+4d),又a1=1,‎ ‎∴d2﹣2d=0,公差d≠0,‎ ‎∴d=2.‎ ‎∴其前8项和S8=8a1+×d=8+56=64.‎ 故答案为:64.‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)(2013•重庆)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是 590 (用数字作答).‎ ‎【分析】不同的组队方案:选5名医生组成一个医疗小组,要求其中骨科、脑外科和内科医生都至少有1人,方法共有6类,他们分别是:3名骨科、1名脑外科和1名内科医生;1名骨科、3名脑外科和1名内科医生,…,在每一类中都用分步计数原理解答.‎ ‎【解答】解:直接法:3名骨科、1名脑外科和1名内科医生,有C33C41C51=20种,‎ ‎1名骨科、3名脑外科和1名内科医生,有C31C43C51=60种,‎ ‎1名骨科、1名脑外科和3名内科医生,有C31C41C53=120种,‎ ‎2名骨科、2名脑外科和1名内科医生,有C32C42C51=90种,‎ ‎1名骨科、2名脑外科和2名内科医生,有C31C42C52=180种,‎ ‎2名骨科、1名脑外科和2名内科医生,有C32C41C52=120种,‎ 共计20+60+120+90+180+120=590种 间接法:‎ ‎﹣﹣﹣+1=590‎ 故答案为:590.‎ ‎ ‎ ‎14,15,16三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分:‎ ‎14.(5分)(2013•重庆)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AB=20,过C作△ABC的外接圆的切线CD,BD⊥CD,BD与外接圆交于点E,则DE的长为 5 .‎ ‎【分析】利用直角△ABC的边角关系即可得出BC,利用弦切角定理可得∠BCD=∠A=60°.利用直角△BCD的边角关系即可得出CD,BD.再利用切割线定理可得CD2=DE•DB,即可得出DE.‎ ‎【解答】解:在△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AB=20,∴BC=AB•sin60°=.‎ ‎∵CD是此圆的切线,∴∠BCD=∠A=60°.‎ 在Rt△BCD中,CD=BC•cos60°=,BD=BC•sin60°=15.‎ 由切割线定理可得CD2=DE•DB,∴,解得DE=5.‎ 故答案为5.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)(2013•重庆)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线(t为参数)相交于A,B两点,则|AB|= 16 .‎ ‎【分析】先将直线极坐标方程ρcosθ=4化成直角坐标方程,再代入曲线(t为参数)中得A,B两点的直角坐标,最后利用两点间的距离公式即可得出|AB|.‎ ‎【解答】解:将直线极坐标方程ρcosθ=4化成直角坐标方程为x=4,代入曲线(t为参数)中得A,B两点的直角坐标为(4,8),(4,﹣8),‎ 则|AB|=16.‎ 故答案为:16.‎ ‎ ‎ ‎16.(2013•重庆)若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|<a无解,则实数a的取值范围是 (﹣∞,8] .‎ ‎【分析】利用绝对值的意义求得|x﹣5|+|x+3|最小值为8,由此可得实数a的取值范围.‎ ‎【解答】解:由于|x﹣5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和﹣3对应点的距离之和,其最小值为8,‎ 再由关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|<a无解,可得a≤8,‎ 故答案为:(﹣∞,8].‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(13分)(2013•重庆)设f(x)=a(x﹣5)2+6lnx,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).‎ ‎(1)确定a的值;‎ ‎(2)求函数f(x)的单调区间与极值.‎ ‎【分析】(1)先由所给函数的表达式,求导数fˊ(x),再根据导数的几何意义求出切线的斜率,最后由曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)列出方程求a的值即可;‎ ‎(2)由(1)求出的原函数及其导函数,求出导函数的零点,把函数的定义域分段,判断导函数在各段内的符号,从而得到原函数的单调区间,根据在各区间内的单调性求出极值点,把极值点的横坐标代入函数解析式求得函数的极值.‎ ‎【解答】解:(1)因f(x)=a(x﹣5)2+6lnx,故f′(x)=2a(x﹣5)+,(x>0),‎ 令x=1,得f(1)=16a,f′(1)=6﹣8a,‎ ‎∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y﹣16a=(6﹣8a)(x﹣1),‎ 由切线与y轴相交于点(0,6).‎ ‎∴6﹣16a=8a﹣6,‎ ‎∴a=.‎ ‎(2)由(I)得f(x)=(x﹣5)2+6lnx,(x>0),‎ f′(x)=(x﹣5)+=,令f′(x)=0,得x=2或x=3,‎ 当0<x<2或x>3时,f′(x)>0,故f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数,‎ 当2<x<3时,f′(x)<0,故f(x)在(2,3)上为减函数,‎ 故f(x)在x=2时取得极大值f(2)=+6ln2,在x=3时取得极小值f(3)=2+6ln3.‎ ‎ ‎ ‎18.(13分)(2013•重庆)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球,再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球,根据摸出4个球中红球与蓝球的个数,设一、二、三等奖如下:‎ 奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额 一等奖 ‎3红1蓝 ‎200元 二等奖 ‎3红0蓝 ‎50元 三等奖 ‎2红1蓝 ‎10元 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.‎ ‎(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率;‎ ‎(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E(x).‎ ‎【分析】(1)从7个小球中取3的取法为,若取一个红球,则说明第一次取到一红2白,根据组合知识可求取球的种数,然后代入古典概率计算公式可求 ‎(2)先判断随机变量X的所有可能取值为200,50,10,0根据题意求出随机变量的各个取值的概率,即可求解分布列及期望值 ‎【解答】解:(1)设Ai表示摸到i个红球,Bi表示摸到i个蓝球,则Ai与Bi相互独立(i=0,1,2,3)‎ ‎∴P(A1)==‎ ‎(2)X的所有可能取值为0,10,50,200‎ P(X=200)=P(A3B1)=P(A3)P(B1)=‎ P(X=50)=P(A3)P(B0)==‎ P(X=10)=P(A2)P(B1)==‎ P(X=0)=1﹣=‎ ‎∴X的分布列为 x ‎0‎ ‎10‎ ‎50‎ ‎200‎ P EX==4元 ‎ ‎ ‎19.(13分)(2013•重庆)如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC=CD=2,AC=4,∠ACB=∠ACD=,F为PC的中点,AF⊥PB.‎ ‎(1)求PA的长;‎ ‎(2)求二面角B﹣AF﹣D的正弦值.‎ ‎【分析】(I)连接BD交AC于点O,等腰三角形BCD中利用“三线合一”证出AC⊥BD,因此分别以OB、OC分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系如图所示.结合题意算出A、B、C、D各点的坐标,设P(0,﹣3,z),根据F为PC边的中点且AF⊥PB,算出z=2,从而得到=(0,0,﹣2),可得PA的长为2;‎ ‎(II)由(I)的计算,得=(﹣,3,0),=(,3,0),=(0,2,).利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组,解出=(3,,﹣2)和=(3,﹣,2)分别为平面FAD、平面FAB的法向量,利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦,结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角B﹣AF﹣D的正弦值..‎ ‎【解答】解:(I)如图,连接BD交AC于点O ‎∵BC=CD,AC平分角BCD,∴AC⊥BD 以O为坐标原点,OB、OC所在直线分别为x轴、y轴,‎ 建立空间直角坐标系O﹣xyz,‎ 则OC=CDcos=1,而AC=4,可得AO=AC﹣OC=3.‎ 又∵OD=CDsin=,‎ ‎∴可得A(0,﹣3,0),B(,0,0),C(0,1,0),D(﹣,0,0)‎ 由于PA⊥底面ABCD,可设P(0,﹣3,z)‎ ‎∵F为PC边的中点,∴F(0,﹣1,),由此可得=(0,2,),‎ ‎∵=(,3,﹣z),且AF⊥PB,‎ ‎∴•=6﹣=0,解之得z=2(舍负)‎ 因此,=(0,0,﹣2),可得PA的长为2;‎ ‎(II)由(I)知=(﹣,3,0),=(,3,0),=(0,2,),‎ 设平面FAD的法向量为=(x1,y1,z1),平面FAB的法向量为=(x2,y2,z2),‎ ‎∵•=0且•=0,∴,取y1=得=(3,,﹣2),‎ 同理,由•=0且•=0,解出=(3,﹣,2),‎ ‎∴向量、的夹角余弦值为cos<,>===‎ 因此,二面角B﹣AF﹣D的正弦值等于=‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)(2013•重庆)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2+b2+ab=c2.‎ ‎(1)求C;‎ ‎(2)设cosAcosB=,=,求tanα的值.‎ ‎【分析】(1)利用余弦定理表示出cosC,将已知等式变形后代入求出cosC的值,由C为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数;‎ ‎(2)已知第二个等式分子两项利用两角和与差的余弦函数公式化简,再利用同角三角函数间的基本关系弦化切,利用多项式乘多项式法则计算,由A+B的度数求出sin(A+B)的值,进而求出cos(A+B)的值,利用两角和与差的余弦函数公式化简cos(A+B),将cosAcosB的值代入求出sinAsinB的值,将各自的值代入得到tanα的方程,求出方程的解即可得到tanα的值.‎ ‎【解答】解:(1)∵a2+b2+ab=c2,即a2+b2﹣c2=﹣ab,‎ ‎∴由余弦定理得:cosC===﹣,‎ 又C为三角形的内角,‎ 则C=;‎ ‎(2)由题意==,‎ ‎∴(cosA﹣tanαsinA)(cosB﹣tanαsinB)=,‎ 即tan2αsinAsinB﹣tanα(sinAcosB+cosAsinB)+cosAcosB=tan2αsinAsinB﹣tanαsin(A+B)+cosAcosB=,‎ ‎∵C=,A+B=,cosAcosB=,‎ ‎∴sin(A+B)=,cos(A+B)=cosAcosB﹣sinAsinB=﹣sinAsinB=,即sinAsinB=,‎ ‎∴tan2α﹣tanα+=,即tan2α﹣5tanα+4=0,‎ 解得:tanα=1或tanα=4.‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)(2013•重庆)如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点,|AA′|=4.‎ ‎(Ⅰ)求该椭圆的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′,过P、P′作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.若PQ⊥P'Q,求圆Q的标准方程.‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用点A(﹣c,2)在椭圆上,结合椭圆的离心率,求出几何量,即可求得椭圆的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)设出圆Q的圆心坐标及半径,由PQ⊥P'Q得到P的坐标,写出圆的方程后和椭圆联立,化为关于x的二次方程后由判别式等于0得到关于t与r的方程,把P点坐标代入椭圆方程得到关于t与r的另一方程,联立可求出t与r的值,经验证满足椭圆上的其余点均在圆Q外,结合对称性即可求得圆Q的标准方程.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由题意知点A(﹣c,2)在椭圆上,则,即①‎ ‎∵离心率,∴②‎ 联立①②得:,所以b2=8.‎ 把b2=8代入②得,a2=16.‎ ‎∴椭圆的标准方程为;‎ ‎(Ⅱ)设Q(t,0),圆Q的半径为r,则圆Q的方程为(x﹣t)2+y2=r2,‎ 不妨取P为第一象限的点,因为PQ⊥P'Q,则P()(t>0).‎ 联立,得x2﹣4tx+2t2+16﹣2r2=0.‎ 由△=(﹣4t)2﹣4(2t2+16﹣2r2)=0,得t2+r2=8‎ 又P()在椭圆上,所以.‎ 整理得,.‎ 代入t2+r2=8,得.‎ 解得:.所以,.‎ 此时.‎ 满足椭圆上的其余点均在圆Q外.‎ 由对称性可知,当t<0时,t=﹣,.‎ 故所求圆Q的标准方程为.‎ ‎ ‎ ‎22.(12分)(2013•重庆)对正整数n,记In={1,2,3…,n},Pn={|m∈In,k∈In}.‎ ‎(1)求集合P7中元素的个数;‎ ‎(2)若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方,则称A为“稀疏集”.求n的最大值,使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并集.‎ ‎【分析】(1)对于集合P7 ,有n=7.当k=4时,根据Pn中有3个数与In={1,2,3…,n}中的数重复,由此求得集合P7中元素的个数.‎ ‎(2)先用反证法证明证当n≥15时,Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集,再证P14满足要求,从而求得n的最大值.‎ ‎【解答】解:(1)对于集合P7 ,有n=7.‎ 当k=1时,m=1,2,3…,7,Pn={1,2,3…,7},7个数,‎ 当k=2时,m=1,2,3…,7,Pn对应有7个数,‎ 当k=3时,m=1,2,3…,7,Pn对应有7个数,‎ 当k=4时,Pn={|m∈In,k∈In}=Pn={,1,,2,,3,}中有3个数(1,2,3)‎ 与k=1时Pn中的数重复,‎ 当k=5时,m=1,2,3…,7,Pn对应有7个数,‎ 当k=6时,m=1,2,3…,7,Pn对应有7个数,‎ 当k=7时,m=1,2,3…,7,Pn对应有7个数,‎ 由此求得集合P7中元素的个数为 7×7﹣3=46.‎ ‎(2)先证当n≥15时,Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集.假设当n≥15时,‎ Pn可以分成两个不相交的稀疏集的并集,设A和B为两个不相交的稀疏集,使A∪B=Pn⊇In .‎ 不妨设1∈A,则由于1+3=22,∴3∉A,即3∈B.同理可得,6∈A,10∈B.又推出15∈A,‎ 但1+15=42,这与A为稀疏集相矛盾.‎ 再证P14满足要求.当k=1时,P14={|m∈I14,k∈I14}=I14,可以分成2个稀疏集的并集.‎ 事实上,只要取A1={1,2,4,6,9,11,13},B1={3,5,7,8,10,12,14},‎ 则A1和B1都是稀疏集,且A1∪B1=I14.‎ 当k=4时,集合{|m∈I14}中,除整数外,剩下的数组成集合{,,,…,},‎ 可以分为下列3个稀疏集的并:‎ A2={,,,},B2={,,}.‎ 当k=9时,集合{|m∈I14}中,除整数外,剩下的数组成集合{,,,,…,,},‎ 可以分为下列3个稀疏集的并:‎ A3={,,,,},B3={,,,,}.‎ 最后,集合C═{|m∈I14,k∈I14,且k≠1,4,9 }中的数的分母都是无理数,‎ 它与Pn中的任何其他数之和都不是整数,‎ 因此,令A=A1∪A2∪A3∪C,B=B1∪B2∪B3,则A和B是不相交的稀疏集,且A∪B=P14.‎ 综上可得,n的最大值为14.‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:sllwyn;qiss;caoqz;minqi5;沂蒙松;maths;刘长柏;wfy814;邢新丽;ywg2058;sxs123(排名不分先后)‎ ‎2017年2月3日