高考数学专题复习练习第四章 第二节 平面向量的基本定理用坐标表示 课下练兵场 5页

第四节 第二节 平面向量的基本定理用坐标表示 课下练兵场 命 题 报 告 难度及题号 知识点 容易题 (题号) 中等题 (题号) 稍难题 (题号) 平面向量的基本定理 1 5、9 11 平面向量的坐标运算 3 10 12 平面向量共线的 坐标表示 2、4 6、7、8 一、选择题 1.已知命题：“若 k1a＋k2b＝0，则 k1＝k2＝0”是真命题，则下面对 a、b 的判断正确的是 (　　) A.a 与 b 一定共线 B.a 与 b 一定不共线 C.a 与 b 一定垂直 D.a 与 b 中至少有一个为 0 解析：由平面向量基本定理可知，当 a、b 不共线时，k1＝k2＝0. 答案：B 2.已知 A(2，－2)，B(4,3)，向量 p 的坐标为(2k－1,7)且 p∥ ，则 k 的值为 (　　) A.－ 9 10　　　　　B. 9 10 C.－19 10 D.19 10 解析： ＝(2,5)，由 p∥ 得 5(2k－1)－2×7＝0，所以 k＝19 10. 答案：D 3.若 α，β 是一组基底，向量 γ＝x·α＋y·β(x，y∈R)，则称(x，y)为向量 γ 在基底 α，β 下的 坐标，现已知向量 a 在基底 p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则 a 在另一组基 底 m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为 (　　) A.(2,0) B.(0，－2) C.(－2,0) D.(0,2) 解析：由已知 a＝－2p＋2q＝(－2,2)＋(4,2)＝(2,4)， 设 a＝λm＋μn＝λ(－1,1)＋μ(1,2)＝(－λ＋μ，λ＋2μ)， 则由 ∴a＝0m＋2n，∴a 在基底 m，n 下的坐标为(0,2). 答案：D AB AB AB 2 0 ,4 2 λ µ λ λ µ µ − + = = ⇒ + = =  4.(2010·合肥质检)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，m＝( 3b－c， cosC)，n＝(a，cosA)，m∥n，则 cosA 的值等于 (　　) A. 3 6 B. 3 4 C. 3 3 D. 3 2 解析：m∥n⇒( 3b－c)cosA－acosC＝0，再由正弦定理得 3sinBcosA＝sinCcosA＋ cosCsinA⇒ 3sinBcosA＝sin(C＋A)＝sinB，即 cosA＝ 3 3 . 答案：C 5.在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与 CD 交于点 F.若 ＝a， ＝b，则 ＝ (　　) A.1 4a＋1 2b B.2 3a＋1 3b C.1 2a＋1 4b D.1 3a＋2 3b 解析：由已知得 DE＝1 3EB， 又△DEF 与∽BEA， ∴DF＝1 3AB， 即 DF＝1 3DC， ∴CF＝2 3CD， ∴ ＝2 3 ＝2 3( － ) ＝2 3(1 2b－1 2a)＝1 3b－1 3a， ∴ ＝ ＋ ＝a＋1 3b－1 3a ＝2 3a＋1 3b. 答案：B 6.已知向量 ＝(1，－3)， ＝(2，－1)， ＝(m＋1，m－2)，若点 A、B、C 能构 成三角形，则实数 m 应满足的条件是 (　　) A.m≠－2 B.m≠1 2 C.m≠1 D.m≠－1 解析：若点 A、B、C 不能构成三角形， 则只能共线. ∵ ＝ － ＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC BD AF CF CD OD OC AF AC CF OA OB OC AB OB OA ＝ － ＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1). 假设 A、B、C 三点共线， 则 1×(m＋1)－2m＝0，即 m＝1. ∴若 A、B、C 三点能构成三角形，则 m≠1. 答案：C 二、填空题 7.(2009·辽宁高考)在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 ABCD 的边 AB∥DC，AD∥BC.已知 A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则 D 点的坐标为　　　　. 解析：设 D 点的坐标为(x，y)，由题意知 ＝ ， 即(2，－2)＝(x＋2，y)，所以 x＝0，y＝－2，∴D(0，－2). 答案：(0，－2) 8.已知点 A(1，－2)，若点 A、B 的中点坐标为(3,1)且 与向量 a＝(1，λ)共线，则 λ ＝　　　　. 解析：由 A、B 的中点坐标为(3,1)可知 B(5,4)， 所以 ＝(4,6)， 又∴ ∥a，∴4λ－1×6＝0，∴λ＝3 2. 答案：3 2 9.(2009·安徽高考)给定两个长度为 1 的平面向量 和 ，它们的夹角 为 120°.如图所示，点 C 在以 O 为圆心的圆弧 上变动.若 ＝x ＋y ，其中 x，y∈R，则 x＋y 的最大值是　　　　. 解析：建立如图所示的坐标系， 则 A(1,0)，B(cos120°，sin120°)， 即 B(－1 2， 3 2 ). 设∠AOC＝α，则 ＝(cosα，sinα). ∵ ＝x ＋y ＝(x,0)＋(－y 2， 3 2 y) ＝(cosα，sinα). ∴ AC OC OA BC AD AB AB AB OA OB AB OC OA OB OC OC OA OB cos ,2 3 sin .2 yx y α α  − =  = sin cos , 3 2sin , 3 x y α α α  = =  = ∴x＋y＝ 3sinα＋cosα＝2sin(α＋30°). ∵0°≤α≤120°.∴30°≤α＋30°≤150°. ∴x＋y 有最大值 2，当 α＝60°时取最大值. 答案：2 三、解答题 10.已知 A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)和 D(－2,3)，以 、 为一组基底来表示 ＋ ＋ . 解：由已知得： ＝(1,3)， ＝(2,4)， ＝(－3,5)， ＝(－4,2)， ＝(－5,1)， ∴ ＋ ＋ ＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1) ＝(－12,8). 设 ＋ ＋ ＝λ1 ＋λ2 ， 则(－12,8)＝λ1(1,3)＋λ2(2,4)， ∴ 解得 ∴ ＋ ＋ ＝32 －22 . 11.在▱ABCD 中，A(1,1)， ＝(6,0)，点 M 是线段 AB 的中点，线段 CM 与 BD 交于点 P. (1)若 ＝(3,5)，求点 C 的坐标； (2)当| |＝| |时，求点 P 的轨迹. 解：(1)设点 C 的坐标为(x0，y0)， 又 ＝ ＋ ＝(3,5)＋(6,0)＝(9,5)， 即(x0－1，y0－1)＝(9,5)， ∴x0＝10，y0＝6，即点 C(10,6). (2)设 P(x，y)，则 ＝ － ＝(x－1，y－1)－(6,0) ＝(x－7，y－1)， ＝ ＋ ＝1 2 ＋3 ＝1 2 ＋3( －1 2 )＝3 － AB AC AD BD CD AB AC AD BD CD AD BD CD AD BD CD AB AC 1 2 2 2 2 12, 4 8, λ λ λ λ + = −  + = 1 2 32, 22, λ λ =  = − AD BD CD AB AC AB AD AB AD AC AD AB BP AP AB AC AM MC AB MP AB AP AB AP AB ＝(3(x－1),3(y－1))－(6,0) ＝(3x－9,3y－3). ∵| |＝| |，∴▱ABCD 为菱形，∴ ⊥ ， ∴(x－7，y－1)·(3x－9,3y－3)＝0， 即(x－7)(3x－9)＋(y－1)(3y－3)＝0. ∴x2＋y2－10x－2y＋22＝0(y≠1). 即(x－5)2＋(y－1)2＝4(y≠1). 故点 P 的轨迹是以(5,1)为圆心，2 为半径的圆去掉与直线 y＝1 的两个交点. 12.已知 O 为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)， ＝t1 ＋t2 . (1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件； (2)求证：当 t1＝1 时，不论 t2 为何实数，A、B、M 三点都共线； (3)若 t1＝a2，求当 ⊥ 且△ABM 的面积为 12 时 a 的值. 解：(1) ＝t1 ＋t2 ＝t1(0,2)＋t2(4,4) ＝(4t2,2t1＋4t2). 当点 M 在第二或第三象限时，有 故所求的充要条件为 t2＜0 且 t1＋2t2≠0. (2)证明：当 t1＝1 时，由(1)知 ＝(4t2,4t2＋2). ∵ ＝ － ＝(4,4)， ＝ － ＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2 ， ∴不论 t2 为何实数，A、B、M 三点共线. (3)当 t1＝a2 时， ＝(4t2,4t2＋2a2). 又∵ ＝(4,4)， ⊥ ， ∴4t2×4＋(4t2＋2a2)×4＝0，∴t2＝－1 4a2， ∴ ＝(－a2，a2).又∵| |＝4 2， 点 M 到直线 AB：x－y＋2＝0 的距离 d＝|－a2－a2＋2| 2 ＝ 2|a2－1|. ∵S△ABM＝12，∴1 2| |·d＝1 2×4 2× 2|a2－1|＝12，解得 a＝±2，故所求 a 的值为±2. AB AD BP AC OM OA AB OM AB OM OA AB 2 1 2 4 0, 2 4 0. t t t <  + ≠ OM AB OB OA AM OM OA AB OM AB OM AB OM AB AB