2014年安徽省高考数学试卷（文科） 22页

‎2014年安徽省高考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共本大题10小题，每小题5分，共50分）‎ ‎1．（5分）设i是虚数单位，复数i3+=（　　）‎ A．﹣i B．i C．﹣1 D．1‎ ‎2．（5分）命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（　　）‎ A．∀x∈R，|x|+x2＜0 B．∀x∈R，|x|+x2≤0‎ C．∃x0∈R，|x0|+x02＜0 D．∃x0∈R，|x0|+x02≥0‎ ‎3．（5分）抛物线y=x2的准线方程是（　　）‎ A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣2‎ ‎4．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（　　）‎ A．34 B．55 C．78 D．89‎ ‎5．（5分）设a=log37，b=23.3，c=0.81.1，则（　　）‎ A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b ‎6．（5分）过点P（﹣，﹣1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（　　）‎ A．（0，] B．（0，] C．[0，] D．[0，]‎ ‎7．（5分）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（　　）‎ A． B． C．6 D．7‎ ‎9．（5分）若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为（　　）‎ A．5或8 B．﹣1或5 C．﹣1或﹣4 D．﹣4或8‎ ‎10．（5分）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若•+•+•+•所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（　　）‎ A． B． C． D．0‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）‎ ‎11．（5分）（）+log3+log3=　 　．‎ ‎12．（5分）如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC=2，过点A作BC的垂线，垂足为A1，过点A1作AC的垂线，垂足为A2，过点A2作A1C的垂线，垂足为A3…，依此类推，设BA=a1，AA1=a2，A1A2=a3，…，A5A6=a7，则a7=　 　．‎ ‎13．（5分）不等式组表示的平面区域的面积为　 　．‎ ‎14．（5分）若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=　 　．‎ ‎15．（5分）若直线l与曲线C满足下列两个条件：‎ ‎（i）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（ii）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C．‎ 下列命题正确的是　 　（写出所有正确命题的编号）．‎ ‎①直线l：y=0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=x3‎ ‎②直线l：x=﹣1在点P（﹣1，0）处“切过”曲线C：y=（x+1）2‎ ‎③直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=sinx ‎④直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=tanx ‎⑤直线l：y=x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y=lnx．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共75分）‎ ‎16．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．‎ ‎17．（12分）某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．‎ ‎（1）应收集多少位女生的样本数据？‎ ‎（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．‎ ‎（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ 附：K2=．‎ ‎18．（12分）数列{an}满足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），n∈N*．‎ ‎（Ⅰ）证明：数列{}是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）设bn=3n•，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH．‎ ‎（Ⅰ）证明：GH∥EF；‎ ‎（Ⅱ）若EB=2，求四边形GEFH的面积．‎ ‎20．（13分）设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0．‎ ‎（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当x∈[0，1]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．‎ ‎21．（13分）设F1，F2分别是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|F1B|．‎ ‎（Ⅰ）若|AB|=4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；‎ ‎（Ⅱ）若cos∠AF2B=，求椭圆E的离心率．‎ ‎　‎ ‎2014年安徽省高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共本大题10小题，每小题5分，共50分）‎ ‎1．（5分）设i是虚数单位，复数i3+=（　　）‎ A．﹣i B．i C．﹣1 D．1‎ ‎【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．‎ ‎【解答】解：复数i3+=﹣i+=﹣i+=1，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（　　）‎ A．∀x∈R，|x|+x2＜0 B．∀x∈R，|x|+x2≤0‎ C．∃x0∈R，|x0|+x02＜0 D．∃x0∈R，|x0|+x02≥0‎ ‎【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．‎ ‎【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定∃x0∈R，|x0|+x02＜0，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）抛物线y=x2的准线方程是（　　）‎ A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣2‎ ‎【分析】先化为抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=4，再直接代入即可求出其准线方程．‎ ‎【解答】解：抛物线y=x2的标准方程为x2=4y，焦点在y轴上，2p=4，‎ ‎∴=1，‎ ‎∴准线方程 y=﹣=﹣1．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（　　）‎ A．34 B．55 C．78 D．89‎ ‎【分析】写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z的值．‎ ‎【解答】解：第一次循环得z=2，x=1，y=2；‎ 第二次循环得z=3，x=2，y=3；‎ 第三次循环得z=5，x=3，y=5；‎ 第四次循环得z=8，x=5，y=8；‎ 第五次循环得z=13，x=8，y=13；‎ 第六次循环得z=21，x=13，y=21；‎ 第七次循环得z=34，x=21，y=34；‎ 第八次循环得z=55，x=34，y=55；退出循环，输出55，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查程序框图中的循环结构，常用的方法是写出前几次循环的结果找规律，属于一道基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）设a=log37，b=23.3，c=0.81.1，则（　　）‎ A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b ‎【分析】分别讨论a，b，c的取值范围，即可比较大小．‎ ‎【解答】解：1＜log37＜2，b=23.3＞2，c=0.81.1＜1，‎ 则c＜a＜b，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）过点P（﹣，﹣1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（　　）‎ A．（0，] B．（0，] C．[0，] D．[0，]‎ ‎【分析】用点斜式设出直线方程，根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得 ≤1，由此求得斜率k的范围，可得倾斜角的范围．‎ ‎【解答】解：由题意可得点P（﹣，﹣1）在圆x2+y2=1的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k，‎ 则直线方程为 y+1=k（x+），即 kx﹣y+k﹣1=0．‎ 根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得 ≤1，‎ 即 3k2﹣2k+1≤k2+1，解得0≤k≤，故直线l的倾斜角的取值范围是[0，]，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出φ的最小值．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）的图象向右平移φ的单位，‎ 所得图象是函数y=sin（2x+﹣2φ），‎ 图象关于y轴对称，可得﹣2φ=kπ+，‎ 即φ=﹣，‎ 当k=﹣1时，φ的最小正值是．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（　　）‎ A． B． C．6 D．7‎ ‎【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的体积．‎ ‎【解答】解：由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，‎ 正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，‎ 故几何体的体积为：V正方体﹣2V棱锥侧=．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为（　　）‎ A．5或8 B．﹣1或5 C．﹣1或﹣4 D．﹣4或8‎ ‎【分析】分类讨论，利用f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，建立方程，即可求出实数a的值．‎ ‎【解答】解：＜﹣1时，x＜﹣，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞﹣1；‎ ‎﹣≤x≤﹣1，f（x）=﹣x﹣1+2x+a=x+a﹣1≥﹣1；‎ x＞﹣1，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞a﹣2，‎ ‎∴﹣1=3或a﹣2=3，‎ ‎∴a=8或a=5，‎ a=5时，﹣1＜a﹣2，故舍去；‎ ‎≥﹣1时，x＜﹣1，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞2﹣a；‎ ‎﹣1≤x≤﹣，f（x）=x+1﹣2x﹣a=﹣x﹣a+1≥﹣+1；‎ x＞﹣，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞﹣+1，‎ ‎∴2﹣a=3或﹣+1=3，‎ ‎∴a=﹣1或a=﹣4，‎ a=﹣1时，﹣+1＜2﹣a，故舍去；‎ 综上，a=﹣4或8．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查了函数的值域问题．解题过程采用了分类讨论的思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若•+•+•+•所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（　　）‎ A． B． C． D．0‎ ‎【分析】两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，结合其数量积组合情况，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，设与的夹角为α，‎ 分类讨论可得 ‎①•+•+•+•=•+•+•+•=10||2，不满足 ‎②•+•+•+•=•+•+•+•=5||2+4||2cosα，不满足；‎ ‎③•+•+•+•=4•=8||2cosα=4||2，满足题意，此时cosα=‎ ‎∴与的夹角为．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）‎ ‎11．（5分）（）+log3+log3=　　．‎ ‎【分析】直接利用对数运算法则以及有理指数幂的运算法则化简求解即可．‎ ‎【解答】解：（）+log3+log3=+log35﹣log34+log34﹣log35‎ ‎=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查有理指数幂的运算法则以及对数运算法则的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC=2，过点A作BC的垂线，垂足为A1，过点A1作AC的垂线，垂足为A2，过点A2作A1C的垂线，垂足为A3…，依此类推，设BA=a1，AA1=a2，A1A2=a3，…，A5A6=a7，则a7=　　．‎ ‎【分析】根据条件确定数列{an}是等比数列，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵等腰直角三角形ABC中，斜边BC=2，‎ ‎∴sin45°=，即=，‎ 同理=，=，‎ 由归纳推理可得{an}是公比q=的等比数列，首项a1=2，‎ 则a7==，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查归纳推理的应用，根据等腰直角三角形之间的关系，得到数列{an}是公比q=的等比数列是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）不等式组表示的平面区域的面积为　4　．‎ ‎【分析】由不等式组作出平面区域为三角形ABC及其内部，联立方程组求出B的坐标，由两点间的距离公式求出BC的长度，由点到直线的距离公式求出A到BC边所在直线的距离，代入三角形面积公式得答案．‎ ‎【解答】解：由不等式组作平面区域如图，‎ 由图可知A（2，0），C（0，2），‎ 联立，解得：B（8，﹣2）．‎ ‎∴|BC|=．‎ 点A到直线x+2y﹣4=0的距离为d=．‎ ‎∴．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=　　．‎ ‎【分析】通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求表达式，通过分段函数求解即可．‎ ‎【解答】解：函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，‎ 则f（）+f（）‎ ‎=f（8﹣）+f（8﹣）‎ ‎=f（﹣）+f（﹣）‎ ‎=﹣f（）﹣f（）‎ ‎=‎ ‎==．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查函数的值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）若直线l与曲线C满足下列两个条件：‎ ‎（i）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（ii）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C．‎ 下列命题正确的是　①③④　（写出所有正确命题的编号）．‎ ‎①直线l：y=0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=x3‎ ‎②直线l：x=﹣1在点P（﹣1，0）处“切过”曲线C：y=（x+1）2‎ ‎③直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=sinx ‎④直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=tanx ‎⑤直线l：y=x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y=lnx．‎ ‎【分析】分别求出每一个命题中曲线C的导数，得到曲线在点P出的导数值，求出曲线在点P处的切线方程，再由曲线在点P两侧的函数值与对应直线上点的值的大小判断是否满足（ii），则正确的选项可求．‎ ‎【解答】解：对于①，由y=x3，得y′=3x2，则y′|x=0=0，直线y=0是过点P（0，0）的曲线C的切线，‎ 又当x＞0时y＞0，当x＜0时y＜0，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=0两侧，‎ ‎∴命题①正确；‎ 对于②，由y=（x+1）2，得y′=2（x+1），则y′|x=﹣1=0，‎ 而直线l：x=﹣1的斜率不存在，在点P（﹣1，0）处不与曲线C相切，‎ ‎∴命题②错误；‎ 对于③，由y=sinx，得y′=cosx，则y′|x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线，‎ 又x∈时x＜sinx，x∈时x＞sinx，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=x两侧，‎ ‎∴命题③正确；‎ 对于④，由y=tanx，得，则y′|x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线，‎ 又x∈时tanx＜x，x∈时tanx＞x，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=x两侧，‎ ‎∴命题④正确；‎ 对于⑤，由y=lnx，得，则y′|x=1=1，曲线在P（1，0）处的切线为y=x﹣1，‎ 设g（x）=x﹣1﹣lnx，得，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，‎ 当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．‎ ‎∴g（x）在（0，+∞）上有极小值也是最小值，为g（1）=0．‎ ‎∴y=x﹣1恒在y=lnx的上方，不满足曲线C在点P附近位于直线l的两侧，‎ 命题⑤错误．‎ 故答案为：①③④．‎ ‎【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求函数的最值，判断③④时应熟记当x∈时，tanx＞x＞sinx，该题是中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共75分）‎ ‎16．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．‎ ‎【分析】利用三角形的面积公式，求出sinA=，利用平方关系，求出cosA，利用余弦定理求出a的值．‎ ‎【解答】解：∵b=3，c=1，△ABC的面积为，‎ ‎∴=，‎ ‎∴sinA=，‎ 又∵sin2A+cos2A=1‎ ‎∴cosA=±，‎ 由余弦定理可得a==2或2．‎ ‎【点评】本题考查三角形的面积公式、余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎17．（12分）某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．‎ ‎（1）应收集多少位女生的样本数据？‎ ‎（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]‎ ‎．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．‎ ‎（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ 附：K2=．‎ ‎【分析】（1）根据频率分布直方图进行求解即可．‎ ‎（2）由频率分布直方图先求出对应的频率，即可估计对应的概率．‎ ‎（3）利用独立性检验进行求解即可 ‎【解答】解：（1）300×=90，所以应收集90位女生的样本数据．‎ ‎（2）由频率分布直方图得1﹣2×（0.100+0.025）=0.75，‎ 所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75．‎ ‎（3）由（2）知，300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表 男生 女生 总计 每周平均体育运动时间 不超过4小时 ‎45‎ ‎30‎ ‎75‎ 每周平均体育运动时间 超过4小时 ‎165‎ ‎60‎ ‎225‎ 总计 ‎210‎ ‎90‎ ‎300‎ 结合列联表可算得K2==≈4.762＞3.841‎ 所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．‎ ‎【点评】本题主要考查频率分布直方图以及独立性检验的应用，比较基础 ‎　‎ ‎18．（12分）数列{an}满足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），n∈N*．‎ ‎（Ⅰ）证明：数列{}是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）设bn=3n•，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎【分析】（Ⅰ）将nan+1=（n+1）an+n（n+1）的两边同除以n（n+1）得，由等差数列的定义得证．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）求出bn=3n•=n•3n，利用错位相减求出数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎【解答】证明（Ⅰ）∵nan+1=（n+1）an+n（n+1），‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴数列{}是以1为首项，以1为公差的等差数列；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，‎ ‎∴，‎ bn=3n•=n•3n，‎ ‎∴•3n﹣1+n•3n①‎ ‎•3n+n•3n+1②‎ ‎①﹣②得3n﹣n•3n+1‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎∴‎ ‎【点评】本题考查利用等差数列的定义证明数列是等差数列；考查数列求和的方法：错位相减法．求和的关键是求出通项选方法．‎ ‎　‎ ‎19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH．‎ ‎（Ⅰ）证明：GH∥EF；‎ ‎（Ⅱ）若EB=2，求四边形GEFH的面积．‎ ‎【分析】（Ⅰ）证明GH∥EF，只需证明EF∥平面PBC，只需证明BC∥EF，利用BC∥平面GEFH即可；‎ ‎（Ⅱ）求出四边形GEFH的上底、下底及高，即可求出面积．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：∵BC∥平面GEFH，平面GEFH∩平面ABCD=EF，BC⊂平面ABCD，‎ ‎∴BC∥EF，‎ ‎∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，‎ ‎∴EF∥平面PBC，‎ ‎∵平面EFGH∩平面PBC=GH，‎ ‎∴EF∥GH；‎ ‎（Ⅱ）解：连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK．‎ ‎∵PA=PC，O为AC中点，‎ ‎∴PO⊥AC，‎ 同理可得PO⊥BD，‎ 又∵BD∩AC=O，AC⊂底面ABCD，BD⊂底面ABCD，‎ ‎∴PO⊥底面ABCD，‎ 又∵平面GEFH⊥平面ABCD，PO⊄平面GEFH，‎ ‎∴PO∥平面GEFH，‎ ‎∵平面PBD∩平面GEFH=GK，‎ ‎∴PO∥GK，且GK⊥底面ABCD ‎∴GK是梯形GEFH的高 ‎∵AB=8，EB=2，‎ ‎∴，‎ ‎∴KB=，即K为OB中点，‎ 又∵PO∥GK，‎ ‎∴GK=PO，即G为PB中点，且GH=，‎ 由已知可得OB=4，PO===6，‎ ‎∴GK=3，‎ 故四边形GEFH的面积S===18．‎ ‎【点评】本题考查线面平行的判定与性质，考查梯形面积的计算，正确运用线面平行的判定与性质是关键．‎ ‎　‎ ‎20．（13分）设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0．‎ ‎（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当x∈[0，1]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性即可；‎ ‎（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，讨论两根与1的大小关系，判断函数在[0，1]时的单调性，得出取最值时的x的取值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1+a﹣2x﹣3x2，‎ 由f′（x）=0，得x1=，x2=，x1＜x2，‎ ‎∴由f′（x）＜0得x＜，x＞；‎ 由f′（x）＞0得＜x＜；‎ 故f（x）在（﹣∞，）和（，+∞）单调递减，‎ 在（，）上单调递增；‎ ‎（Ⅱ）∵a＞0，∴x1＜0，x2＞0，∵x∈[0，1]，当时，即a≥4‎ ‎①当a≥4时，x2≥1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，1]上单调递增，∴f（x）在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值．‎ ‎②当0＜a＜4时，x2＜1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，x2]单调递增，在[x2，1]上单调递减，‎ 因此f（x）在x=x2=处取得最大值，又f（0）=1，f（1）=a，‎ ‎∴当0＜a＜1时，f（x）在x=1处取得最小值；‎ 当a=1时，f（x）在x=0和x=1处取得最小值；‎ 当1＜a＜4时，f（x）在x=0处取得最小值．‎ ‎【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值的知识，考查学生分类讨论思想的运用能力，属中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（13分）设F1，F2分别是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|F1B|．‎ ‎（Ⅰ）若|AB|=4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；‎ ‎（Ⅱ）若cos∠AF2B=，求椭圆E的离心率．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用|AB|=4，△ABF2的周长为16，|AF1|=3|F1B|，结合椭圆的定义，即可求|AF2|；‎ ‎（Ⅱ）设|F1B|=k（k＞0），则|AF1|=3k，|AB|=4k，由cos∠AF2B=，利用余弦定理，可得a=3k，从而△AF1F2是等腰直角三角形，即可求椭圆E的离心率．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵|AB|=4，|AF1|=3|F1B|，‎ ‎∴|AF1|=3，|F1B|=1，‎ ‎∵△ABF2的周长为16，‎ ‎∴4a=16，‎ ‎∴|AF1|+|AF2|=2a=8，‎ ‎∴|AF2|=5；‎ ‎（Ⅱ）设|F1B|=k（k＞0），则|AF1|=3k，|AB|=4k，‎ ‎∴|AF2|=2a﹣3k，|BF2|=2a﹣k ‎∵cos∠AF2B=，‎ 在△ABF2中，由余弦定理得，|AB|2=|AF2|2+|BF2|2﹣2|AF2|•|BF2|cos∠AF2B，‎ ‎∴（4k）2=（2a﹣3k）2+（2a﹣k）2﹣（2a﹣3k）（2a﹣k），‎ 化简可得（a+k）（a﹣3k）=0，而a+k＞0，故a=3k，‎ ‎∴|AF2|=|AF1|=3k，|BF2|=5k，‎ ‎∴|BF2|2=|AF2|2+|AB|2，‎ ‎∴AF1⊥AF2，‎ ‎∴△AF1F2是等腰直角三角形，‎ ‎∴c=a，‎ ‎∴e==．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的性质，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎