2005年北京市高考数学试卷（文科）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】 6页

‎2005年北京市高考数学试卷（文科）‎ 一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）‎ ‎1. 设全集U=R，集合M={x|x>l}‎，P={x|x‎2‎>l}‎，则下列关系中正确的是（ ）‎ A.M=P B.P⊂M C.M⊂P D.‎CUM∩P=⌀‎ ‎2. 为了得到函数y=‎2‎x-3‎-1‎的图象，只需把函数y=‎‎2‎x上所有点（ ）‎ A.向右平移‎3‎个单位长度，再向下平移‎1‎个单位长度 B.向左平移‎3‎个单位长度，再向下平移‎1‎个单位长度 C.向右平移‎3‎个单位长度，再向上平移‎1‎个单位长度 D.向左平移‎3‎个单位长度，再向上平移‎1‎个单位长度 ‎3. “m=‎‎1‎‎2‎”是“直线‎(m+2)x+3my+1=0‎与直线‎(m-2)x+(m+2)y-3=0‎相互垂直”的（ ）‎ A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4. 若‎|a‎→‎|=1，|b‎→‎|=2，c‎→‎=a‎→‎+‎b‎→‎，且c‎→‎‎⊥‎a‎→‎，则向量a‎→‎与b‎→‎的夹角为‎(‎        ‎‎)‎ A.‎30‎‎∘‎ B.‎60‎‎∘‎ C.‎120‎‎∘‎ D.‎‎150‎‎∘‎ ‎5. 从原点向圆x‎2‎‎+y‎2‎-12y+27=0‎作两条切线，则该圆夹在两条切线问的劣弧长为（ ）‎ A.π B.‎2π C.‎4π D.‎‎6π ‎6. 对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（ ）‎ A.sin(α+β)>sinα+sinβ B.‎sin(α+β)>cosα+cosβ C.cos(α+β)0‎；④f(x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎)<‎f(x‎1‎)+f(x‎2‎)‎‎2‎．其中正确的命题序号是________．‎ ‎14. 已知n次多项式Pn‎(x)=a‎0‎xn+a‎1‎xn-1‎+...+an-1‎x+‎an．‎ 如果在一种算法中，计算x‎0‎k‎(k=2, 3, 4‎,…,n)‎的值需要k-1‎次乘法，计算P‎3‎‎(x‎0‎)‎的值共需要‎9‎次运算（‎6‎次乘法，‎3‎次加法），那么计算Pn‎(x‎0‎)‎的值共需要________次运算．‎ 下面给出一种减少运算次数的算法：P‎0‎‎(x‎0‎)=‎a‎0‎．Pn+1‎‎(x)=xPn(x)+ak+1‎(k=0, l, 2‎,…,n-1)‎．利用该算法，计算P‎3‎‎(x‎0‎)‎的值共需要‎6‎次运算，计算Pn‎(x‎0‎)‎的值共需要________次运算．‎ ‎ 6 / 6‎ 三、解答题（共6小题，15题12分，16、19、20题每题14分，17、18题每题13分，满分80分）‎ ‎15. 已知tanα‎2‎=2‎，求 ‎(1)tan(α+π‎4‎)‎的值 ‎(2)‎‎6sinα+cosα‎3sinα-2cosα的值．‎ ‎16. 如图，在直三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中，AC=3‎，BC=4‎，AB=5‎，AA‎1‎=4‎，点D为AB的中点．‎ ‎ ‎ ‎(1)‎求证AC⊥BC‎1‎；‎ ‎(2)‎求证AC‎1‎ // ‎平面CDB‎1‎；‎ ‎(3)‎求异面直线AC‎1‎与B‎1‎C所成角的余弦值．‎ ‎17. 数列‎{an}‎的前n项和为Sn，且a‎1‎‎=1‎，an+1‎‎=‎‎1‎‎3‎Sn，n=1‎，‎2‎，‎3‎，…，求 ‎ ‎（1）a‎2‎，a‎3‎，a‎4‎的值及数列‎{an}‎的通项公式；‎ ‎（2）a‎2‎‎+a‎4‎+a‎6‎+...+‎a‎2n的值．‎ ‎18. 甲、乙俩人各进行‎3‎次射击，甲每次击中目标的概率为‎1‎‎2‎，乙每次击中目标的概率为‎2‎‎3‎． ‎ ‎（1）记甲恰好击中目标‎2‎次的概率；‎ ‎（2）求乙至少击中目标‎2‎次的概率；‎ ‎（3）求乙恰好比甲多击中目标‎2‎次的概率；‎ ‎ 6 / 6‎ ‎19. 已知函数f(x)=-x‎3‎+3x‎2‎+9x+a． ‎ ‎(1)‎求f(x)‎的单调递减区间；‎ ‎(2)‎若f(x)‎在区间‎[-2, 2]‎上的最大值为‎20‎，求它在该区间上的最小值．‎ ‎20. 如图，直线l‎1‎‎:y=kx(k>0)‎与直线l‎2‎‎:y=-kx之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W‎1‎，右半部分记为W‎2‎． ‎ ‎（1）分别用不等式组表示W‎1‎和W‎2‎．‎ ‎（2）若区域W中的动点P(x, y)‎到l‎1‎，l‎2‎的距离之积等于d‎2‎，求点P的轨迹C的方程；‎ ‎（3）设不过原点O的直线l与（2）中的曲线C相交于M‎1‎，M‎2‎两点，且与l‎1‎，l‎2‎分别交于M‎3‎，M‎4‎两点．求证‎△OM‎1‎M‎2‎的重心与‎△OM‎3‎M‎4‎的重心重合．‎ ‎ 6 / 6‎ 参考答案与试题解析 ‎2005年北京市高考数学试卷（文科）‎ 一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）‎ ‎1.C ‎2.A ‎3.B ‎4.C ‎5.B ‎6.D ‎7.C ‎8.B 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）‎ ‎9.x=-1‎,‎‎(1, 0)‎ ‎10.‎‎-20‎ ‎11.‎‎[-1, 2)∪(2, +∞)‎ ‎12.‎‎2‎ ‎13.①③④‎ ‎14.‎1‎‎2‎n(n+3)‎,‎‎2n 三、解答题（共6小题，15题12分，16、19、20题每题14分，17、18题每题13分，满分80分）‎ ‎15.解：‎(I)‎∵ tanα‎2‎=2‎，‎ ‎∴ ‎tanα=‎‎2tanα‎2‎‎1-‎tan‎2‎α‎2‎ ‎=‎‎2×2‎‎1-4‎ ‎=-‎‎4‎‎3‎ ‎∴ ‎tan(α+π‎4‎)=‎tanα+tanπ‎4‎‎1-tanαtanπ‎4‎ ‎=‎tanα+1‎‎1-tanα ‎=‎‎-‎4‎‎3‎+1‎‎1+‎‎4‎‎3‎ ‎=-‎‎1‎‎7‎ ‎(II)‎由‎( I)‎∵ ‎tanα=-‎‎4‎‎3‎ ‎∴ ‎‎6sinα+cosα‎3sinα-2cosα ‎=‎6tanα+1‎‎3tanα-2‎=‎ ‎6(-‎4‎‎3‎)+1‎‎3(-‎4‎‎3‎)-2‎ ‎=‎7‎‎6‎‎6(-‎4‎‎3‎)+1‎‎3(-‎4‎‎3‎)-2‎=‎‎7‎‎6‎ ‎16.‎(1)‎证明：直三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎，‎ 底面三边长AC=3‎，BC=4‎，AB=5‎，‎ ‎∴ AC⊥BC，且BC‎1‎在平面ABC内的射影为BC，‎ ‎∴ AC⊥BC‎1‎；‎ ‎(2)‎证明：设CB‎1‎与C‎1‎B的交点为E，连接DE，‎ ‎ 6 / 6‎ ‎∵ D是AB的中点，E是BC‎1‎的中点，‎ ‎∴ DE // AC‎1‎，‎ ‎∵ DE⊂‎平面CDB‎1‎，AC‎1‎⊄‎平面CDB‎1‎，‎ ‎∴ AC‎1‎ // ‎平面CDB‎1‎；‎ ‎(3)‎解：∵ DE // AC‎1‎，‎ ‎∴ ‎∠CED为AC‎1‎与B‎1‎C所成的角，‎ 在‎△CED中，ED=‎1‎‎2‎AC‎1‎=‎‎5‎‎2‎，‎ CD=‎1‎‎2‎AB=‎‎5‎‎2‎‎，CE=‎1‎‎2‎CB‎1‎=2‎‎2‎，‎ ‎∴ cos∠CED=‎8‎‎2⋅2‎2‎⋅‎‎5‎‎2‎=‎‎2‎‎2‎‎5‎，‎ ‎∴ 异面直线AC‎1‎与B‎1‎C所成角的余弦值‎2‎‎2‎‎5‎．‎ ‎17.解：（1）由a‎1‎‎=1‎，an+1‎‎=‎‎1‎‎3‎Sn，n=1‎，‎2‎，‎3‎，…，‎ 得a‎2‎‎=‎1‎‎3‎S‎1‎=‎1‎‎3‎a‎1‎=‎‎1‎‎3‎，a‎3‎‎=‎1‎‎3‎S‎2‎=‎1‎‎3‎(a‎1‎+a‎2‎)=‎‎4‎‎9‎，a‎4‎‎=‎1‎‎3‎S‎3‎=‎1‎‎3‎(a‎1‎+a‎2‎+a‎3‎)=‎‎16‎‎27‎，‎ 由an+1‎‎-an=‎1‎‎3‎(Sn-Sn-1‎)=‎1‎‎3‎an(n≥2)‎，得an+1‎‎=‎4‎‎3‎an(n≥2)‎，‎ 又a‎2‎‎=‎‎1‎‎3‎，所以an‎=‎1‎‎3‎(‎4‎‎3‎‎)‎n-2‎(n≥2)‎，‎ ‎∴ 数列‎{an}‎的通项公式为an‎=‎‎1‎n=1‎‎1‎‎3‎‎(‎‎4‎‎3‎‎)‎n-2‎n≥2‎；‎ ‎( II)‎由‎( I)‎可知a‎2‎，a‎4‎，…，a‎2n是首项为‎1‎‎3‎，公比为‎(‎‎4‎‎3‎‎)‎‎2‎项数为n的等比数列，‎ ‎∴ ‎a‎2‎‎+a‎4‎+a‎6‎+...+a‎2n=‎1‎‎3‎⋅‎1-(‎‎4‎‎3‎‎)‎‎2n‎1-(‎‎4‎‎3‎‎)‎‎2‎=‎3‎‎7‎[(‎4‎‎3‎‎)‎‎2n-1]‎ ‎18.解：（1）∵ 甲射击三次，每次击中目标的概率是定值，可以看作是独立重复试验 ‎∴ 甲恰好击中目标的‎2‎次的概率为C‎3‎‎2‎‎(‎1‎‎2‎‎)‎‎3‎=‎‎3‎‎8‎ ‎（2）乙射击三次，每次击中目标的概率是定值，可以看作是独立重复试验 乙至少击中目标两次包含击中两次和击中三次 ‎∴ 乙至少击中目标‎2‎次的概率为C‎3‎‎2‎‎(‎2‎‎3‎‎)‎‎2‎⋅(‎1‎‎3‎)+C‎3‎‎3‎(‎2‎‎3‎‎)‎‎3‎=‎‎20‎‎27‎；‎ ‎（3）设乙恰好比甲多击中目标‎2‎次为事件A，‎ 乙恰击中目标‎2‎次且甲恰击中目标‎0‎次为事件B‎1‎，‎ 乙恰击中目标‎3‎次且甲恰击中目标‎1‎次为事件B‎2‎，‎ 则A=B‎1‎+‎B‎2‎，B‎1‎，B‎2‎为互斥事件．‎ P(A)=P(B‎1‎)+P(B‎2‎)=C‎3‎‎2‎(‎2‎‎3‎‎)‎‎2‎⋅‎1‎‎3‎⋅C‎3‎‎0‎(‎1‎‎2‎‎)‎‎3‎+C‎3‎‎3‎(‎2‎‎3‎‎)‎‎3‎⋅C‎3‎‎1‎(‎1‎‎2‎‎)‎‎3‎=‎1‎‎18‎+‎1‎‎9‎=‎‎1‎‎6‎‎．‎ ‎∴ 乙恰好比甲多击中目标‎2‎次的概率为‎1‎‎6‎．‎ ‎19.解：‎(1)f'(x)=-3x‎2‎+6x+9‎．‎ 令f'(x)<0‎，解得x<-1‎或x>3‎，‎ 所以函数f(x)‎的单调递减区间为‎(-∞, -1)‎，‎(3, +∞)‎．‎ ‎(2)‎因为f(-2)=8+12-18+a=2+a，‎ f(2)=-8+12+18+a=22+a‎，‎ 所以f(2)>f(-2)‎．‎ 因为在‎(-1, 3)‎上f'(x)>0‎，‎ 所以f(x)‎在‎[-1, 2]‎上单调递增，‎ 又由于f(x)‎在‎[-2, -1]‎上单调递减，‎ 因此f(2)‎和f(-1)‎分别是f(x)‎在区间‎[-2, 2]‎上的最大值和最小值，‎ 于是有‎22+a=20‎，解得a=-2‎．‎ ‎ 6 / 6‎ 故f(x)=-x‎3‎+3x‎2‎+9x-2‎，‎ 因此f(-1)=1+3-9-2=-7‎，‎ 即函数f(x)‎在区间‎[-2, 2]‎上的最小值为‎-7‎．‎ ‎20.解：（1）根据图象可知阴影区域左半部分，在y=-kx的下方，在y=kx的上边，‎ 故y的范围可知kx0‎ ‎∴ W‎1‎‎={(x, y)|kx0}‎，‎ ‎（2）直线l‎1‎‎:kx-y=0‎，直线l‎2‎‎:kx+y=0‎，由题意得‎|kx-y|‎k‎2‎‎+1‎‎⋅‎|kx+y|‎k‎2‎‎+1‎=‎d‎2‎，即‎|k‎2‎x‎2‎-y‎2‎|‎k‎2‎‎+1‎‎=‎d‎2‎，‎ 由P(x, y)∈W，知k‎2‎x‎2‎‎-y‎2‎>0‎，‎ 所以k‎2‎x‎2‎‎-‎y‎2‎k‎2‎‎+1‎‎=‎d‎2‎，即k‎2‎x‎2‎‎-y‎2‎-(k‎2‎+1)d‎2‎=0‎，‎ 所以动点P的轨迹C的方程为k‎2‎x‎2‎‎-y‎2‎-(k‎2‎+1)d‎2‎=0‎；‎ ‎（3）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为x=a(a≠0)‎．‎ 由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l‎1‎与l‎2‎关于x轴对称，‎ 于是M‎1‎M‎2‎，M‎3‎M‎4‎的中点坐标都为‎(a, 0)‎，‎ 所以‎△OM‎1‎M‎2‎，‎△OM‎3‎M‎4‎的重心坐标都为‎(‎2‎‎3‎a, 0)‎，即它们的重心重合，‎ 当直线l‎1‎与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=mx+n(n≠0)‎．‎ 由k‎2‎x‎2‎‎-y‎2‎-(k‎2‎+1)d‎2‎=0‎y=mx+n，得‎(k‎2‎-m‎2‎)x‎2‎-2mnx-n‎2‎-k‎2‎d‎2‎-d‎2‎=0‎ 由直线l与曲线C有两个不同交点，可知k‎2‎‎-m‎2‎≠0‎且 ‎△=(2mn‎)‎‎2‎+4(k‎2‎-m‎2‎)×(n‎2‎+k‎2‎d‎2‎+d‎2‎)>0‎ 设M‎1‎，M‎2‎的坐标分别为‎(x‎1‎, y‎1‎)‎，‎(x‎2‎, y‎2‎)‎，‎ 则x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎2mnk‎2‎‎-‎m‎2‎，y‎1‎‎+y‎2‎=m(x‎1‎+x‎2‎)+2n，‎ 设M‎3‎，M‎4‎的坐标分别为‎(x‎3‎, y‎3‎)‎，‎(x‎4‎, y‎4‎)‎，‎ 由y=kxy=mx+n得x‎3‎‎=‎nk-m，‎x‎4‎‎=‎‎-nk+m 从而x‎3‎‎+x‎4‎=‎2mnk‎2‎‎-‎m‎2‎=x‎1‎+‎x‎2‎，‎ 所以y‎3‎‎+y‎4‎=m(x‎3‎+x‎4‎)+2n=m(x‎1‎+x‎2‎)+2n=y‎1‎+‎y‎2‎，‎ 于是‎△OM‎1‎M‎2‎的重心与‎△OM‎3‎M‎4‎的重心也重合．‎ ‎ 6 / 6‎