2019版一轮复习理数通用版高考达标检测（四十四） 排列与组合常考3类型排列组合分组分配 5页

高考达标检测（四十四） 排列与组合常考 3 类型 ——排列、组合、分组分配 一、选择题 1．将字母 a，a，b，b，c，c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也 互不相同，则不同的排列方法共有( ) A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．36 种 解析：选 A 由分步乘法计数原理，先排第一列，有 A 33种方法，再排第二列，有 2 种 方法，故共有 A33×2＝12 种排列方法． 2．有 5 名优秀毕业生到母校的 3 个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同 分派方法种数为( ) A．150 B．180 C．200 D．280 解析：选 A 分两类：一类，3 个班分派的毕业生人数分别为 2,2,1，则有C25C23 A22 ·A33＝90 种分派方法；另一类，3 个班分派的毕业生人数分别为 1,1,3，则有 C35·A33＝60 种分派方法．所 以不同分派方法种数为 90＋60＝150. 3．将 A，B，C，D 四个球放入编号为 1,2,3 的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球， 且 A，B 两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有( ) A．30 B．36 C．60 D．66 解析：选 A 由题意知有一个盒子要放入 2 球， 先假设 A，B 可放入一个盒子，那么方法有 C24＝6, 再减去 A，B 在一起的情况，就是 6－1＝5 种. 把 2 个球的组合考虑成一个元素， 就变成了把三个不同的球放入三个不同的盒子， 那么共有 A33＝6 种. 根据分步乘法计数原理知共有 5×6＝30 种. 4．有 5 本不同的教科书，其中语文书 2 本，数学书 2 本，物理书 1 本．若将其并排摆 放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是( ) A．24 B．48 C．72 D．96 解析：选 B 根据题意可先摆放 2 本语文书，当 1 本物理书在 2 本语文书之间时，只需 将 2 本数学书插在前 3 本书形成的 4 个空中即可，此时共有 A22A 24种摆放方法；当 1 本物理 书放在 2 本语文书一侧时，共有 A22A12C12C 13种不同的摆放方法，由分类加法计数原理可得共 有 A22A24＋A22A12C12C13＝48 种摆放方法． 5．现有 2 门不同的考试要安排在 5 天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续 两天有考试，那么不同的考试安排方案种数是( ) A．12 B．6 C．8 D．16 解析：选 A 若第一门安排在开头或结尾，则第二门有 3 种安排方法，这时，共有 C12×3 ＝6 种方法；若第一门安排在中间的 3 天中，则第二门有 2 种安排方法，这时，共有 3×2 ＝6 种方法．综上可得，不同的考试安排方案共有 6＋6＝12 种． 6．航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学试验，要求 2 艘攻击型核潜艇一前一 后，3 艘驱逐舰和 3 艘护卫舰分列左右，每侧 3 艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方 案的方法种数为( ) A．72 B．324 C．648 D．1 296 解析：选 D 核潜艇排列数为 A22，6 艘舰艇任意排列的排列数为 A66，同侧均是同种舰 艇的排列数为 A33A33×2，则舰艇分配方案的方法种数为 A22(A66－A33A33×2)＝1 296. 7．安排甲、乙、丙、丁四位教师参加星期一至星期六的值日工作，每天安排一人，甲、 乙、丙每人安排一天，丁安排三天，并且丁至少要有两天连续安排，则不同的安排方法种 数为( ) A．72 B．96 C．120 D．156 解析：选 B 甲、乙、丙三位教师安排星期一至星期六的任意三天，其余三天丁值日， 故有 A36＝120 种，其中丁没有连续的安排，安排甲，乙、丙三位教师后形成了 4 个间隔， 任选 3 个安排丁，故有 A33C34＝24 种， 故不同的安排方法有 120－24＝96 种． 8．有 5 名游客到公园坐游艇，分别坐甲、乙两个游艇，每个游艇至少安排 2 名游客， 那么互不相同的安排种数为( ) A．10 B．20 C．30 D．40 解析：选 B 根据题意，将 5 名游客分别坐甲、乙两个游艇，每个游艇至少安排 2 名游 客， 先将 5 人分为 2 组，一组 3 人，另一组 2 人，有 C25＝10 种情况， 再将 2 组对应 2 个游艇，有 A22＝2 种情况， 则互不相同的安排种数为 10×2＝20. 二、填空题 9．(2017·浙江高考)从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有______种不同的选法．(用数字作 答) 解析：法一：分两步，第一步，选出 4 人，由于至少 1 名女生，故有 C48－C46＝55 种不 同的选法；第二步，从 4 人中选出队长、副队长各 1 人，有 A24＝12 种不同的选法．根据分 步乘法计数原理知共有 55×12＝660 种不同的选法． 法二：不考虑限制条件，共有 A28C 26种不同的选法， 而没有女生的选法有 A26C 24种， 故至少有 1 名女生的选法有 A28C26－A26C24＝840－180＝660(种)． 答案：660 10．某外商计划在 4 个候选城市中投资 3 个不同的项目，且在同一个城市投资的项目 不超过 2 个，则该外商不同的投资方案有________种． 解析：分两种情况： ①在一个城市投资 2 个项目，在另一城市投资 1 个项目，将项目分成 2 个与 1 个，有 C23＝3 种；在 4 个城市当中，选择 2 个城市作为投资对象，有 A24＝12 种， 这种情况共有 3×12＝36 种． ②有三个城市各获得一个投资的项目，获得投资项目的城市有 C34＝4 种；安排项目与 城市对应，有 A33＝6 种，这种情况共有 4×6＝24 种． 综上，该外商不同的投资方案共有 36＋24＝60 种． 答案：60 11．若 A，B，C，D，E，F 六个不同元素排成一列，要求 A 不排在两端，且 B，C 相 邻，则不同的排法有__________种(用数字作答)． 解析：由于 B，C 相邻，把 B，C 看做一个整体，有 2 种排法．这样，6 个元素变成了 5 个．先排 A，由于 A 不排在两端，则 A 在中间的 3 个位子中，有 A13＝3 种方法，其余的 4 个元素任意排，有 A 44种不同方法，故不同的排法有 2×3×A44＝144 种． 答案：144 12．航天员拟在太空授课，准备进行标号为 0,1,2,3,4,5 的六项实验，向全世界人民普及 太空知识，其中 0 号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号， 则实验顺序的编排方法种数为______(用数字作答)． 解析：优先安排第一项实验，再利用定序问题相除法求解．由于 0 号实验不能放在第 一项，所以第一项实验有 5 种选择．最后两项实验的顺序确定，所以共有5A55 A22 ＝300 种不同 的编排方法． 答案：300 三、解答题 13．将 7 个相同的小球放入 4 个不同的盒子中． (1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？ (2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？ 解：(1)将 7 个相同的小球排成一排，在中间形成的 6 个空当中插入无区别的 3 个“隔 板”将球分成 4 份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有 C36＝20 种不同 的放入方式． (2)每种放入方式对应于将 7 个相同的小球与 3 个相同的“隔板”进行一次排列，即从 10 个位置中选 3 个位置安排隔板，故共有 C310＝120 种放入方式． 14．(2018·郑州检测)有 5 名男生和 3 名女生，从中选出 5 人担任 5 门不同学科的课代 表，分别求符合下列条件的选法数： (1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定要担任语文课代表； (3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表； (4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表． 解：(1)先选后排．符合条件的课代表人员的选法有(C35C23＋C45C13)种，排列方法有 A 55种， 所以满足题意的选法有(C35C23＋C45C13)·A55＝5 400(种)． (2)除去该女生后，即从剩余的 7 名学生中挑选 4 名学生担任四科的课代表，有 A47＝ 840(种)选法． (3)先选后排．从剩余的 7 名学生中选出 4 名有 C 47种选法，排列方法有 C14A 44种，所以 选法共有 C47C14A44＝3 360(种)． (4)先从除去该男生和该女生的 6 人中选出 3 人，有 C 36种选法，该男生的安排方法有 C 13种，其余 3 人全排列，有 A 33种，因此满足题意的选法共有 C36C13A33＝360(种)． 1．现准备将 6 台型号相同的电脑分配给 5 所小学，其中 A，B 两所希望小学每个学校 至少 2 台，其他小学允许 1 台也没有，则不同的分配方案共有( ) A．13 种 B．15 种 C．20 种 D．30 种 解析：选 B 先给 A，B 两所希望小学每个学校分配 2 台电脑，再将剩余 2 台电脑随机 分配给 5 所希望小学，共有 C15＋C25＝15 种情况. 2．大小形状完全相同的 8 张卡片上分别标有数字 1,2,3,4,5,6,7,8，从中任意抽取 6 张卡 片排成 3 行 2 列，则 3 行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为 5 的概率为________． 解析：根据题意，从 8 张卡片中任取 6 张，有 A 68种不同的取法， 再求出 3 行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为 5 的情况数目． 依据要求，中间行的数字只能为 1,4 或 2,3，共有 C12A22＝4 种排法， 然后确定其余 4 个数字，其排法总数为 A46＝360, 其中不合题意的有：中间行数字和为 5，还有一行数字和为 5，有 4 种排法， 余下两 个数字有 A24＝12 种排法， 所以此时余下的这 4 个数字共有 360－4×12＝312 种方法； 由分步乘法计数原理可知满足 3 行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为 5 的共有 4×312＝1 248 种不同的排法， 则 3 行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为 5 的概率 为1 248 A68 ＝ 13 210. 答案： 13 210