2019版一轮复习理数通用版高考达标检测 三角函数的1个必考点函数yA sin (ωxφ)的图象和性质 8页

高考达标检测（十七） 三角函数的 1 个必考点 ——函数 y=A sin (ωx+φ)的图象和性质 一、选择题 1．(2018·长沙质检)将函数 y＝cos 2x 的图象先向左平移π 2 个单位长度，再向上平移 1 个 单位长度，所得图象对应的函数解析式是( ) A．y＝－sin 2x B．y＝－cos 2x C．y＝2sin2x D．y＝－2cos2x 2．已知曲线 C1：y＝sin x，曲线 C2：y＝cos 2x－π 3 ，则下面结论正确的是( ) A．曲线 C1 横坐标伸长到原来的 2 倍，再向左平移π 6 个单位，得到 C2 B．曲线 C1 横坐标伸长到原来的 2 倍，再向左平移 π 12 个单位，得到 C2 C．曲线 C1 横坐标缩短到原来的1 2 倍，再向左平移π 6 个单位，得到 C2 D．曲线 C1 横坐标缩短到原来的1 2 倍，再向左平移 π 12 个单位，得到 C2 解析：选 D 因为曲线 C1：y＝sin x＝cos x－π 2 ， 所以将曲线 C1 横坐标缩短到原来的1 2 倍得函数 y＝cos 2x－π 2 的图象， 再向左平移 π 12 个单位可得到曲线 C2：y＝cos 2x－π 3 . 3．已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋m 的最大值为 4，最小值为 0.函数图象的两个对称轴间 最短距离为π 2 ，直线 x＝π 6 是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式为( ) A．y＝－2sin 2x＋π 6 ＋2 B．y＝2sin 2x＋π 3 ＋2 C．y＝－2sin 2x＋π 3 D．y＝4sin 2x＋π 6 解析：选 A 由函数的最大值与最小值可得 A＝2 或－2，m＝2.由函数图象的两个对称 轴间最短距离为π 2 ，可知函数的最小正周期为π，则ω＝2.又直线 x＝π 6 是其图象的一条对称轴， 所以π 6 ×2＋φ＝kπ＋π 2 ，k∈Z，则φ＝kπ＋π 6 ，k∈Z，令 k＝0，得φ＝π 6 ，故选 A. 4．(2018·河南六市联考)将奇函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) A≠0，ω＞0，－π 2 ＜φ＜π 2 的图象 向左平移π 6 个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为( ) A．6 B．3 C．4 D．2 解析：选 A 由函数为奇函数得φ＝kπ(k∈Z)，又－π 2 ＜φ＜π 2 ，∴φ＝0，y＝Asin ωx.由 函数图象向左平移π 6 个单位得到函数 y＝Asin ω x＋π 6 ＝Asin ωx＋π 6ω ，其图象关于原点对 称，∴有π 6ω＝kπ(k∈Z)，即ω＝6k(k∈Z)，故选 A. 5．已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ) ω>0，|φ|<π 2 的最小正周期为π，且其图象向左平移π 3 个单 位后得到函数 g(x)＝cos ωx 的图象，则函数 f(x)的图象( ) A．关于直线 x＝ π 12 对称 B．关于直线 x＝5π 12 对称 C．关于点 π 12 ，0 对称 D．关于点 5π 12 ，0 对称 解析：选 C 由函数 f(x)的最小正周期为π，可得ω＝2，所以函数 f(x)＝sin(2x＋φ) |φ|<π 2 的图象向左平移π 3 个单位后得到函数 g(x)＝ cos 2x＝sin 2x＋π 2 ＝sin2x＋2π 3 ＋φ的图象，所以2π 3 ＋φ＝π 2 ，即φ＝－π 6 ， 所以 f(x)＝sin2x－π 6 ，因为 f π 12 ＝sin 2× π 12 －π 6 ＝0，所以函数 f(x)的图象关于点 π 12 ，0 对 称． 6.(2018·贵州贵阳监测)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)，其导数 f′(x) 的图象如图所示，则 f π 2 的值为( ) A．2 2 B. 2 C．－ 2 2 D．－ 2 4 解析：选 D 依题意得 f′(x)＝Aωcos(ωx＋φ)， 结合函数 y＝f′(x)的图象可知，T＝2π ω ＝4 3π 8 －π 8 ＝π，ω＝2. 又 Aω＝1，因此 A＝1 2.f′ 3π 8 ＝cos 3π 4 ＋φ ＝－1， 因为 0<φ<π，所以3π 4 <3π 4 ＋φ<7π 4 ， 所以3π 4 ＋φ＝π，φ＝π 4 ，f(x)＝1 2sin 2x＋π 4 ， f π 2 ＝1 2sin π＋π 4 ＝－1 2 × 2 2 ＝－ 2 4 . 二、填空题 7．已知函数 f(x)＝3sin ωx－π 6 (ω＞0)和 g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象完全相同，若 x∈ 0，π 2 ，则 f(x)的值域是________． 解析：f(x)＝3sin ωx－π 6 ＝3cos π 2 － ωx－π 6 ＝3cos ωx－2π 3 ， 易知ω＝2，则 f(x)＝3sin 2x－π 6 ， ∵x∈ 0，π 2 ，∴－π 6 ≤2x－π 6 ≤5π 6 ，∴－3 2 ≤f(x)≤3. 答案： －3 2 ，3 8.已知函数 f(x)＝Mcos(ωx＋φ)(M ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如 图所示，AC＝BC＝ 2 2 ，C＝90°，则 f 1 2 ＝________. 解析：依题意知，△ABC 是直角边长为 2 2 的等腰直角三角形， 因此其边 AB 上的高是1 2 ，函数 f(x)的最小正周期是 2， 故 M＝1 2 ，2π ω ＝2，ω＝π，f(x)＝1 2cos(πx＋φ)． 又函数 f(x)是奇函数，于是有φ＝kπ＋π 2 ，其中 k∈Z. 由 0＜φ＜π，得φ＝π 2 ， 故 f(x)＝－1 2sin πx，f 1 2 ＝－1 2sinπ 2 ＝－1 2. 答案：－1 2 9.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和 改造自然的象征．如图是一个半径为 R 的水车，一个水斗从点 A(3 3， －3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时 60 秒．经过 t 秒后，水斗旋转 到 P 点，设 P 的坐标为(x，y)，其纵坐标满足 y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ) t≥0，ω>0，|φ|<π 2 . 则下列叙述正确的是________． ①R＝6，ω＝ π 30 ，φ＝－π 6 ； ②当 t∈[35,55]时，点 P 到 x 轴的距离的最大值为 6； ③当 t∈[10,25]时，函数 y＝f(t)单调递减； ④当 t＝20 时，|PA|＝6 3. 解析：①由点 A(3 3，－3)，可得 R＝6，由旋转一周用时 60 秒，可得 T＝2π ω ＝60，则 ω＝ π 30 ，由点 A(3 3，－3)，可得∠AOx＝π 6 ，则φ＝－π 6 ，故①正确； ②由①知，f(t)＝6sin π 30t－π 6 ，当 t∈[35,55]时，π 30t－π 6 ∈ π，5π 3 ，即当 π 30t－π 6 ＝3π 2 时， 点 P(0，－6)，点 P 到 x 轴的距离的最大值为 6，故②正确； ③当 t∈[10,25]时，π 30t－π 6 ∈ π 6 ，2π 3 ，由正弦函数的单调性可知，函数 y＝f(t)在[10,25] 上有增有减，故③错误； ④f(t)＝6sin π 30 t－π 6 ，当 t＝20 时，水车旋转了三分之一周期，则∠AOP＝2π 3 ，所以|PA| ＝6 3，故④正确． 答案：①②④ 三、解答题 10．(2017·山东高考)设函数 f(x)＝sin ωx－π 6 ＋sinωx－π 2 ，其中 0<ω<3.已知 f π 6 ＝0. (1)求ω； (2)将函数 y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，再将得到的 图象向左平移π 4 个单位，得到函数 y＝g(x)的图象，求 g(x)在 －π 4 ，3π 4 上的最小值． 解：(1)因为 f(x)＝sin ωx－π 6 ＋sin ωx－π 2 ， 所以 f(x)＝ 3 2 sin ωx－1 2cos ωx－cos ωx ＝ 3 2 sin ωx－3 2cos ωx＝ 3 1 2sin ωx－ 3 2 cos ωx ＝ 3sin ωx－π 3 . 因为 f π 6 ＝0，所以ωπ 6 －π 3 ＝kπ，k∈Z. 故ω＝6k＋2，k∈Z.又 0<ω<3，所以ω＝2. (2)由(1)得 f(x)＝ 3sin 2x－π 3 ， 所以 g(x)＝ 3sin x＋π 4 －π 3 ＝ 3sin x－ π 12 . 因为 x∈ －π 4 ，3π 4 ， 所以 x－ π 12 ∈ －π 3 ，2π 3 ， 当 x－ π 12 ＝－π 3 ，即 x＝－π 4 时，g(x)取得最小值－3 2. 11．已知向量 m＝(sin x，－1)，n＝ cos x，3 2 ，函数 f(x)＝(m＋n)·m. (1)求函数 f(x)的单调递增区间； (2)将函数 f(x)的图象向左平移π 8 个单位得到函数 g(x)的图象，在△ABC 中，角 A，B，C 所对边分别 a，b，c，若 a＝3，g A 2 ＝ 6 6 ，sin B＝cos A，求 b 的值． 解：(1)因为 m＝(sin x，－1)，n＝ cos x，3 2 ， 所以 f(x)＝(m＋n)·m ＝ sin x＋cos x，1 2 ·(sin x，－1) ＝sin2x＋sin xcos x－1 2 ＝1 2sin 2x－1 2(1－2sin2x) ＝1 2sin 2x－1 2cos 2x ＝ 2 2 sin 2x－π 4 . 由 2kπ－π 2 ≤2x－π 4 ≤2kπ＋π 2 ，k∈Z， 可得 kπ－π 8 ≤x≤kπ＋3π 8 ，k∈Z， 所以函数 f(x)的单调递增区间为 kπ－π 8 ，kπ＋3π 8 ，k∈Z. (2)由(1)得 g(x)＝ 2 2 sin 2 x＋π 8 －π 4 ＝ 2 2 sin 2x， 因为 g A 2 ＝ 2 2 sin A＝ 6 6 ，所以 sin A＝ 3 3 ， 在△ABC 中，sin B＝cos A>0， 可得 sin B＝cos A＝ 1－ 3 3 2＝ 6 3 ， 由正弦定理 a sin A ＝ b sin B ，可得 b＝asin B sin A ＝ 3× 6 3 3 3 ＝3 2. 12．(2018·山东师大附中模拟)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) A＞0，ω＞0，|φ|＜π 2 的部分 图象如图所示． (1)求函数 y＝f(x)的解析式； (2)说明函数 y＝f(x)的图象可由函数 y＝ 3sin 2x－cos 2x 的图象经过 怎样的平移变换得到； (3)若方程 f(x)＝m 在 －π 2 ，0 上有两个不相等的实数根，求 m 的取值 范围． 解：(1)由题图可知，A＝2，T＝4 π 3 － π 12 ＝π， ∴2π ω ＝π，ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)，∵f π 3 ＝0， ∴sin 2π 3 ＋φ ＝0，∴φ＋2π 3 ＝kπ，k∈Z. ∵|φ|＜π 2 ，∴φ＝π 3 ，∴f(x)＝2sin 2x＋π 3 . (2)y＝ 3sin 2x－cos 2x＝2sin 2x－π 6 ＝2sin 2 x－π 4 ＋π 3 ， 故将函数 y＝ 3sin 2x－cos 2x 的图象向左平移π 4 个单位就得到函数 y＝f(x)的图象． (3)当－π 2 ≤x≤0 时，－2π 3 ≤2x＋π 3 ≤π 3 ，故－2≤f(x)≤ 3， 若方程 f(x)＝m 在 －π 2 ，0 上有两个不相等的实数根， 则曲线 y＝f(x)与直线 y＝m 在 －π 2 ，0 上有 2 个交点， 结合图形，易知－2＜m≤－ 3. 故 m 的取值范围为(－2，－ 3]． 1.已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<π 2 ，x∈R 的图象如图所 示，令 g(x)＝f(x)＋f′(x)，则下列关于函数 g(x)的说法中不正确的是( ) A．函数 g(x)图象的对称轴方程为 x＝kπ－ π 12(k∈Z) B．函数 g(x)的最大值为 2 2 C．函数 g(x)的图象上存在点 P，使得在 P 点处的切线与直线 l：y＝3x－1 平行 D．方程 g(x)＝2 的两个不同的解分别为 x1，x2，则|x1－x2|的最小值为π 2 解析：选 C 由图象可知，A＝2，最小正周期 T＝2π ω ＝4 2π 3 －π 6 ，则ω＝1， 又π 6 ＋φ＝2kπ＋π 2 ，k∈Z，且|φ|<π 2 ，则φ＝π 3 ， 所以 f(x)＝2sin x＋π 3 ，f′(x)＝2cos x＋π 3 ， 则 g(x)＝f(x)＋f′(x)＝2 2sin x＋7π 12 ， 由 x＋7π 12 ＝kπ＋π 2 ，k∈Z，可得 x＝kπ－ π 12 ，k∈Z，故 A 正确；显然 B 正确； g′(x)＝2 2cos x＋7π 12 ≤2 2，故 C 不正确； 当 g(x)＝2 2sin x＋7π 12 ＝2 时，sin x＋7π 12 ＝ 2 2 ， 则 x1＋7π 12 ＝2k1π＋π 4 或 x2＋7π 12 ＝2k2π＋3π 4 ，k1∈Z，k2∈Z， 即 x1＝2k1π－π 3 或 x2＝2k2π＋π 6 ，k1∈Z，k2∈Z， 则|x1－x2|＝2(k1－k2)π－π 2(k1，k2∈Z)， 当且仅当 k1－k2＝0 时，|x1－x2|的最小值为π 2 ，则 D 正确． 2.函数 f(x)＝6cos2ωx 2 ＋ 3sin ωx－3(ω>0)在一个周期内的图象如 图所示，A 为图象的最高点，B，C 为图象与 x 轴的交点，且△ABC 为正三角形． (1)求ω的值及函数 f(x)的值域； (2)若 f(x0)＝8 3 5 ，且 x0∈ －10 3 ，2 3 ，求 f(x0＋1)的值． 解：(1)由已知可得 f(x)＝6cos2ωx 2 ＋ 3sin ωx－3＝ 3sin ωx＋3cos ωx ＝2 3 1 2sin ωx＋ 3 2 cos ωx ＝2 3sin ωx＋π 3 ， 由正三角形 ABC 的高为 2 3，得|BC|＝4，所以 f(x)的周期为 8，故ω＝π 4 ，f(x)的值域为 [－2 3，2 3]． (2)由(1)知 f(x)＝2 3 π 4x＋π 3 . 所以由 f(x0)＝8 3 5 ，得 sin π 4 x0＋π 3 ＝4 5. 又 x0∈ －10 3 ，2 3 ，知 π 4x0＋π 3 ∈ －π 2 ，π 2 ， 故 cos π 4 x0＋π 3 ＝3 5 ， 所以 f(x0＋1)＝2 3sin π 4x0＋π 4 ＋π 3 ＝2 3sin π 4 x0＋π 3 ＋π 4 ＝2 3 4 5 × 2 2 ＋3 5 × 2 2 ＝7 6 5 .