2019版一轮复习理数通用版高考达标检测 三角恒等变换的3个考查点化简求值和应用 7页

高考达标检测（十八） 三角恒等变换的 3 个考查点 ——化简、求值和应用 一、选择题 1．(2016·全国卷Ⅲ)若 tan θ＝－1 3 ，则 cos 2θ＝( ) A．－4 5 B．－1 5 C.1 5 D.4 5 解析：选 D ∵cos 2θ＝cos2θ－sin2θ cos2θ＋sin2θ ＝1－tan2θ 1＋tan2θ ， 又∵tan θ＝－1 3 ，∴cos 2θ＝ 1－1 9 1＋1 9 ＝4 5. 2．已知 tan α＋π 4 ＝1 2 ，且－π 2 ＜α＜0，则 2sin2α＋sin 2α cos α－π 4 等于( ) A．－2 5 5 B．－3 5 10 C．－3 10 10 D.2 5 5 解析：选 A 由 tan α＋π 4 ＝tan α＋1 1－tan α ＝1 2 ，得 tan α＝－1 3. 又－π 2<α<0，所以 sin α＝－ 10 10 . 故 2sin2α＋sin 2α cos α－π 4 ＝2sin αsin α＋cos α 2 2 sin α＋cos α ＝2 2sin α＝－2 5 5 . 3．(2018·温州测试)已知 sin x＋ 3cos x＝6 5 ，则 cos π 6 －x ＝( ) A．－3 5 B.3 5 C．－4 5 D.4 5 解析：选 B ∵sin x＋ 3cos x＝2 1 2sin x＋ 3 2 cos x ＝2 sinπ 6sin x＋cosπ 6cos x ＝2cos π 6 －x ＝6 5 ， ∴cos π 6 －x ＝3 5. 4．(2018·东北三省模拟)已知 sin π 6 －α ＝cos π 6 ＋α ，则 cos 2α＝( ) A．1 B．－1 C.1 2 D．0 解析：选 D ∵sin π 6 －α ＝cos π 6 ＋α ， ∴1 2cos α－ 3 2 sin α＝ 3 2 cos α－1 2sin α， 即 1 2 － 3 2 sin α＝－ 1 2 － 3 2 cos α， ∴tan α＝sin α cos α ＝－1， ∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－sin2α sin2α＋cos2α ＝1－tan2α tan2α＋1 ＝0. 5．(2018·南宁调研)若θ∈[0，π]，cos θ＝3 4 ，则 tan θ 2 ＝( ) A. 7 B.1 7 C．7 D. 7 7 解析：选 D 法一：因为θ∈[0，π]，所以θ 2 ∈ 0，π 2 ， 所以 cos θ 2 ＝ cos θ＋1 2 ＝ 14 4 ， 所以 sin θ 2 ＝ 2 4 ，所以 tan θ 2 ＝ 7 7 . 法二：由题意得 sin θ＝ 7 4 ，所以 tan θ＝ 7 3 . 因为θ∈[0，π]，所以θ 2 ∈ 0，π 2 ，所以由 tan θ＝ 2tan θ 2 1－tan2 θ 2 ＝ 7 3 ， 解得 tan θ 2 ＝ 7 7 或 tan θ 2 ＝－ 7(舍去)，故选 D. 6．(2018·吉林大学附中检测)若α∈ π 2 ，π ，且 3cos 2α＝sin π 4 －α ，则 sin 2α的值为( ) A．－ 35 6 B．－1 6 C．－ 35 18 D．－17 18 解析：选 D ∵3cos 2α＝sin π 4 －α ， ∴3(cos2 α－sin2 α)＝ 2 2 (cos α－sin α)， 易知 sin α≠cos α，故 cos α＋sin α＝ 2 6 ， 两边平方得 1＋sin 2α＝ 1 18 ，解得 sin 2α＝－17 18. 7．已知 sin 2π 3 －α ＋sin α＝4 3 5 ，则 sin α＋7π 6 的值是( ) A．－4 5 B．－3 5 C．－2 5 D．－1 5 解析：选 A 因为 sin 2π 3 －α ＋sin α＝ 3 2 cos α＋3 2sin α＝ 3sin α＋π 6 ＝4 3 5 ， 所以 sin α＋π 6 ＝4 5 ， 所以 sin α＋7π 6 ＝－sin α＋π 6 ＝－4 5. 8．(2018·长沙模拟)在△ABC 中，若 3(tan B＋tan C)＝tan B·tan C－1，则 sin 2A＝( ) A．－1 2 B.1 2 C．－ 3 2 D. 3 2 解析：选 D 由两角和的正切公式知 tan B＋tan C＝tan(B＋C)(1－tan B·tan C)， 所以 3(tan B＋tan C)＝tan B·tan C－1＝ 3tan(B＋C)(1－tan B·tan C)， 所以 tan(B＋C)＝－ 3 3 ，所以 tan A＝ 3 3 ， 又 A∈(0，π)，所以 A＝π 6 ，所以 sin 2A＝ 3 2 ，故选 D. 二、填空题 9．化简：sin 50°(1＋ 3tan 10°)＝________. 解析：sin 50°(1＋ 3tan 10°) ＝sin 50° 1＋ 3·sin 10° cos 10° ＝sin 50°·cos 10°＋ 3sin 10° cos 10° ＝sin 50°·2 1 2cos 10°＋ 3 2 sin 10° cos 10° ＝2sin 50°·cos 50° cos 10° ＝sin 100° cos 10° ＝cos 10° cos 10° ＝1. 答案：1 10．(2017·北京高考)在平面直角坐标系 xOy 中，角α与角β均以 Ox 为始边，它们的终边 关于 y 轴对称．若 sin α＝1 3 ，则 cos(α－β)＝________. 解析：因为角α与角β的终边关于 y 轴对称， 所以α＋β＝2kπ＋π，k∈Z， 所以 cos(α－β)＝cos(2α－2kπ－π)＝－cos 2α ＝－(1－2sin2α)＝－ 1－2× 1 3 2 ＝－7 9. 答案：－7 9 11．(2018·东北三省四市联考)已知 tan(3π－x)＝2，则 2cos2 x 2 －sin x－1 sin x＋cos x ＝________. 解析：由诱导公式得 tan(3π－x)＝－tan x＝2， 即 tan x＝－2， 故 2cos2x 2 －sin x－1 sin x＋cos x ＝cos x－sin x sin x＋cos x ＝1－tan x tan x＋1 ＝－3. 答案：－3 12．(2018·珠海六校联考)已知 tan(α＋β)＝2 5 ，tan β＝1 3 ，则 tan α＋π 4 的值为________． 解析：∵tan(α＋β)＝2 5 ，tan β＝1 3 ， ∴tan α＝tan[(α＋β)－β]＝ tanα＋β－tan β 1＋tanα＋β·tan β ＝ 2 5 －1 3 1＋2 5 ×1 3 ＝ 1 17 ， ∴tan α＋π 4 ＝1＋tan α 1－tan α ＝ 1＋ 1 17 1－ 1 17 ＝9 8. 答案：9 8 三、解答题 13．已知函数 f(x)＝sin π 2 －x sin x－ 3cos2x＋ 3 2 . (1)求 f(x)的最大值及取得最大值时 x 的取值集合； (2)若方程 f(x)＝2 3 在(0，π)上的解为 x1，x2，求 cos(x1－x2)的值． 解：(1)f(x)＝sin xcos x－ 3 2 (2cos2x－1) ＝1 2sin 2x－ 3 2 cos 2x＝sin 2x－π 3 ， 故当 2x－π 3 ＝π 2 ＋2kπ，k∈Z，即 x＝5π 12 ＋kπ，k∈Z 时，f(x)取得最大值 1，故当 f(x)取得 最大值 1 时，x 的取值集合为 x|5π 12 ＋kπ，k∈Z . (2)由(1)可知 f(x)的图象关于直线 x＝5π 12 对称，且 f 5π 12 ＝1， ∴x1＋x2＝5π 6 ，即 x1＝5π 6 －x2， ∴cos(x1－x2)＝cos 5π 6 －2x2 ＝cos π 2 ＋π 3 －2x2 ＝sin 2x2－π 3 ＝f(x2)＝2 3. 14．已知函数 f(x)＝sin2x－sin2 x－π 6 ，x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在区间 －π 3 ，π 4 上的最大值和最小值． 解：(1)由已知，有 f(x)＝1－cos 2x 2 －1－cos 2x－π 3 2 ＝1 2 1 2cos 2x＋ 3 2 sin 2x －1 2cos 2x ＝ 3 4 sin 2x－1 4cos 2x＝1 2sin 2x－π 6 . 所以 f(x)的最小正周期 T＝2π 2 ＝π. (2)因为 f(x)在区间 －π 3 ，－π 6 上是减函数，在区间 －π 6 ，π 4 上是增函数， 且 f －π 3 ＝－1 4 ，f －π 6 ＝－1 2 ，f π 4 ＝ 3 4 ， 所以 f(x)在区间 －π 3 ，π 4 上的最大值为 3 4 ，最小值为－1 2. 1．已知函数 f(x)＝sin2ωx 2 ＋1 2sin ωx－1 2(ω>0)，x∈R，若 f(x)在区间(π，2π)内没有零点， 则ω的取值范围是( ) A. 0，1 8 B. 0，1 4 ∪ 5 8 ，1 C. 0，5 8 D. 0，1 8 ∪ 1 4 ，5 8 解析：选 D f(x)＝sin2ωx 2 ＋1 2sin ωx－1 2 ＝1 2sin ωx－1 2cos ωx＝ 2 2 sin ωx－π 4 ， 因为π0，所以 0<ω≤1 8 或1 4 ≤ω≤5 8. 2．已知函数 f(x)＝ 3sin(ωx＋φ)＋2sin2ωx＋φ 2 －1(ω>0，0<φ<π)为奇函数，且相邻两对 称轴间的距离为π 2. (1)当 x∈ －π 2 ，π 4 时，求 f(x)的单调递减区间； (2)将函数 y＝f(x)的图象沿 x 轴方向向右平移π 6 个单位长度，再把横坐标缩短到原来的 1 2(纵坐标不变)，得到函数 y＝g(x)的图象．当 x∈ － π 12 ，π 6 时，求函数 g(x)的值域． 解：(1)由题意得，f(x)＝ 3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝2sin ωx＋φ－π 6 ， 因为相邻两对称轴间的距离为π 2 ，所以 T＝2π ω ＝π，ω＝2. 又因为函数 f(x)为奇函数， 所以φ－π 6 ＝kπ，k∈Z，φ＝kπ＋π 6 ，k∈Z. 因为 0<φ<π，所以φ＝π 6 ， 故函数 f(x)＝2sin 2x. 令π 2 ＋2kπ≤2x≤3π 2 ＋2kπ，k∈Z， 得π 4 ＋kπ≤x≤3π 4 ＋kπ，k∈Z， 令 k＝－1，得－3π 4 ≤x≤－π 4 ， 因为 x∈ －π 2 ，π 4 ， 所以函数 f(x)的单调递减区间为 －π 2 ，－π 4 . (2)由题意可得，g(x)＝2sin 4x－π 3 ， 因为 x∈ － π 12 ，π 6 ，所以－2π 3 ≤4x－π 3 ≤π 3 ， 所以－1≤sin 4x－π 3 ≤ 3 2 ，g(x)∈[－2， 3]， 即函数 g(x)的值域为[－2， 3]．